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第二章2.2.1 对数与对数运算


第 11 张卷

2.2.1

对数与对数运算

1.对数的概念 (1)定义:一般地,如果 ax=N(a>0,且 a≠1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x=logaN,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 释疑点 在对数 logaN 中规定 a>0,且 a≠1,N>0 的原因 (1)若 a<0,则

N 为某些数值时,x 不存在,如式子(-3)x=4 没有实数解,所以 log(-3)4 不存在,因此规定 a 不能小于 0; (2)若 a=0,且 N≠0 时,logaN 不存在;N=0 时,loga0 有无数个值,不能确定,因此 规定 a≠0,N≠0; (3)若 a=1,且 N≠1 时,x 不存在;而 a=1,N=1 时,x 可以为任何实数,不能确定, 因此规定 a≠1; (4)由 ax=N,a>0 知 N 恒大于 0. (2)特殊对数 名称 记法 说明 lg N 常用对数 以 10 为底的对数,并把 log10N 记为 lg N 以 e(e=2.718 28?)为底的对数称为自然对数,并把 logeN ln N 自然对数 记为 ln N (3)对数的性质 根据对数的概念,对数 logaN(a>0,且 a≠1)具有以下性质: 性质 说明 当 a>0, 且 a≠1 时, ax>0, 即 N=ax>0, 零和负数没有对数,即 N>0 所以对数 logaN 只有在 N>0 时才有意义 1 的对数等于 0,即 loga1=0 因为 a0=1,由对数的定义得 0= loga1 底的对数等于 1,即 logaa=1 因为 a1=a,由对数的定义得 1=logaa (4)对数与指数的互化关系 当 a>0,且 a≠1 时.如图所示:
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比如:43=64 ? 3=log464;log525=2 ? 52=25;以前无法解的方程 2x=3,学习了对 数后就可以解得 x=log23. 谈重点 对指数与对数的互化关系的理解 (1)由指数式 ab=N 可以写成 logaN=b(a> 0,且 a≠1),这是指数式与对数式互化的依据.从对数定义可知,对数式与指数式是同一 种数量关系的两种不同表达形式.其关系如下表: 式子 名称 x 指数 对数
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指数式 ax=N 对数式 logaN=x

a 底数 底数

N 幂 真数

意义 a 的 x 次幂等于 N 以 a 为底 N 的对数等于 x
loga N

(2)根据指数与对数的互化关系,可以得到恒等式 a

=N .

指数与对数的互化是解决指数式和对数式有关问题的有效手段. 【例 1-1】下列指数式与对数式的互化中,不正确的一组是( ) 0 A.10 =1 与 lg 1=0
1

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1 3

B. 27

?

1 1 1 ? 与 log 27 = ? 3 3 3
1

C.log39=2 与 9 2 =3 D.log55=1 与 51=5 答案:C 【例 1-2】完成下表指数式与对数式的转换. 题号 指数式 对数式 3 (1) 10 =1 000 (2) log210=x 3 (3) e =x 答案:(1)lg 1 000=3;(2)2x=10;(3)ln x=3. 【例 1-3】求下列各式中 x 的值: (1)log2(log5x)=0;(2)log3(lg x)=1;(3)logx27= 2.对数的运算性质 (1)对数的运算性质 如果 a>0,且 a≠1,M>0,N>0,那么: ①loga(M· N)=logaM+logaN;

3 ;(4)x=log84. 4

M =logaM-logaN; N ③logaMn=nlogaM(n ? R).
② log a 谈重点 对对数的运算性质的理解 (1)对应每一条运算性质,都要注意只有当式子中 所有的对数符号都有意义时,等式才成立,如 log2[(-3)· (-5)]=log2(-3)+log2(-5)是错误 的. (2)巧记对数的运算性质:①两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的积;②两个 正数的商的对数等于这两个正数的对数的差; ③正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的 底数的对数. (2)对数的运算法则与指数的运算法则的联系 式子 ab=N logaN=b am· an=am 运算 性质
+n

loga(MN)=logaM+logaN

am - =am n n a

log a

M =logaM-logaN N

(am)n=amn logaMn=nlogaM 谈重点 对数运算性质推导的基本方法 利用对数的定义将对数问题转化为指数问题,再利用幂的运算性质,进行转化变形,然 后把它还原为对数问题.如“loga(MN)=logaM+logaN”的推导:设 logaM=m,logaN=n, + 则 am=M,an=N,于是 MN=am· an=am n,因此 loga(MN)=logaM+logaN=m+n. 【例 2-1】若 a>0,且 a≠1,x>y>0,n ? N*,则下列各式: ①logax· logay=loga(x+y);②logax-logay=loga(x-y);

log a x x ? log a ; log a y y log a x 1 ? log a n x . ⑤(logax)n=logaxn;⑥ log a x ? ? log a ;⑦ x n
③loga(xy)=logax· logay;④ 其中式子成立的个数为( ) A.2 B .3 C.4 D.5 答案:A 辨误区 应用对数的运算性质常见的错误 常见的错误有:loga(M± N)=logaM± logaN;
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loga(M· N)=logaM· logaN;

log a

M log a M ; ? N log a N

logaMn=(logaM)n. 【例 2-2】计算:(1)2log122+log123;(2)lg 500-lg 5; (3)已知 lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1,求 lg 45 .解:(1) 1.(2) 2.(3) lg 45 =0.826 6. 析规律 对数的运算性质的作用 (1)利用对数的运算性质,可以把乘、除、乘方、开 方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算,反之亦然,这种运算的互化可简化计算; (2) 由于 lg 2+lg 5=lg 10=1,所以 lg 5=1-lg 2,这是在对数运算中经常用到的结论. 3.换底公式 (1)公式 logab= (2)公式推导: 设

log c b (a>0,且 a≠1;c>0,且 c≠1,b>0). log c a

log c b log c b =logab. ? x ,则 logcb=xlogca=logcax,∴b=ax.∴x=logab.∴ log c a log c a
ln N lg N , log a N ? ,利用它及常用对数表、自然对数表便可求任一个对数的 ln a lg a
n

(3)公式的作用 换底公式的作用在于把以 a 为底的对数,换成了以 c 为底的对数,特别有:

log a N ?
值.

(4)换底公式的三个推论: ① log a m N ? ②logab=

n log a N (a, N>0, 且 a≠1, m≠0, m, n ? R); m

1 (a,b>0,且 a,b≠1);③logab· logbc· logcd=logad(a,b,c>0,且 a,b, log b a

c≠1,d>0).

log a N n n log a N n ? ? log a N . log a a m m m logb b 1 ②logab= . ? logb a logb a lg b lg c lg d lg d ? ? ? ③logab· logbc· logcd= =log ad. lg a lg b lg c lg a log8 9 【例 3-1】 的值是( ) log 2 3 2 3 A. B. C.1 D.2 答案:A 3 2
证明:①logamNn= 【例 3-2】若 log34· log48· log8m=log416,则 m 等于( ) 答案:B

1 A. 2

B.9

C.18

D.27

4.对数定义中隐含条件的应用 根据对数的定义, 对数符号 logaN 中实数 a 和 N 满足的条件是底数 a 是不等于 1 的正实

? N >0, ? 数,真数 N 是正实数,即 ? a >0, ? a ? 1, ?
因此讨论对数问题时,首先要注意对数的底数和真数满足的隐含条件.
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对数概念比较难理解, 对数符号初学时不太好掌握, 学习时要抓住对数与指数相互联系, 深刻理解对数与指数之间的关系,将有助于掌握对数的概念. 【例 4-1】已知对数 log(1-a)(a+2)有意义,则实数 a 的取值范围是__________.

? a ? 2>0, ? 解析:根据对数的定义,得 ?1 ? a >0, ?1 ? a ? 1, ?
解得-2<a<0 或 0<a<1. 答案:(-2,0) (0,1) 2 【例 4-2】若 log(1-x)(1+x) =1,则 x=__________. 答案:x=-3 5.对数的化简、求值问题 应用对数的定义、有关性质及运算法则等可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数 的加、减、乘、除运算,反之亦然,这种运算的互化可简化计算过程,加快计算速度. (1)同底数的对数式的化简、求值 一是“拆”,将积、商的对数拆成对数的和、差. 如 log 3

9 +log35=log39- log35+log35=log39=2. 5 9 ?9 ? +log35= log 3 ? ? 5 ? =log39=2. 5 ?5 ?

二是“收”,将同底数的对数和、差合成积、商的对数. 如, log 3

三是“拆”与“收”相结合. (2)不同底数的对数式的化简、求值 常用方法是利用换底公式,转化为同底数的对数式,进而进行化简,化简后再将底数统 一进行计算.也可以在方向还不清楚的情况下,统一将不同的底换为常用对数等,再进行化 简、求值. 对数式的化简、 求值, 要灵活运用对数的性质、 运算性质、 换底公式和一些常见的结论, 如 loga1=0,logaa=1,alogaN=N,lg 2+lg 5=1,logab· logba=1 等. 【例 5-1】化简求值: (1)4lg 2+3lg 5- lg

log 5 2 ? log 49 81 1 ;(2) ; 1 5 3 log 25 ? log 7 4 3

(3)2log32- log 3

32 log 3 +log38- 5 5 ;(4)log2(1+ 2 + 3 )+log2(1+ 2 - 3 ). 9

解:(1) 4.(2)-3.(3)-1. 【例 5-2】计算:(log43+log83)(log32+log92)- log 1 4 32 .
2

6.条件求值问题 对于带有附加条件的与对数式有关的求值问题, 如果附加条件比较复杂, 则需先对其进 行变形、化简,并充分利用其最简结果解决问题.

1 23 x ? 2?3 x - 的值时,我们可由 x=log23,求出 2x=3,2 x= ,然 x ?x 3 2 ?2 3 ?1? 33 ? ? ? 3x ?3 x 3x ?3 x 2 ? 2 2 ?2 ? 3 ? ? 91 . ? 后将它们代入 x ,可得 x ?x ?x 1 2 ?2 9 2 ?2 3? 3 2 1 【例 6】已知 3a=4b=36,求 ? 的值. a b
例如:设 x=log23,求 析规律 与对数式有关的求值问题的解决方法
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(1)注意指数式与对数式的互化,有些

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需要将对数式化为指数式,而有些需要将指数式化为对数式; (2)注意换底公式与对数的运 算性质的应用,解题时应全方位、多角度地思考,注意已知条件和所求式子的前后照应. 7.利用已知对数表示其他对数 (1)换底公式的作用是将不同底的对数式转化成同底的对数式,将一般对数转化成自然 对数或常用对数来运算.要注意换底公式的正用、逆用及变形应用. (2)用对数 logax 和 logby 等表示其他对数时,首先仔细观察 a,b 和所要表示的对数底数 的关系,利用换底公式把所要表示的对数底数换为 a,b.解决此类题目时,通常用到对数 的运算性质和换底公式. 对数的运算性质总结: 如果 a>0,且 a≠1,M>0,N>0,那么: loga(M· N)=logaM+logaN;

M =logaM-logaN; N logaMn=nlogaM(n ? R). log c b 换底公式:logab= (a>0,且 a≠1;c>0,且 c≠1;b>0). log c a log a
(3)题目中有指数式和对数式时,要注意将指数式与对数式进行互化,统一成一种形式. 【例 7-1】已知 lg 2=a,lg 3=b, 则 log36=( ) A.

a?b a

B.

a?b b

C.

a a?b

D.

b a?b

【例 7-2】已知 log189=a,18b=5,求 log3645(用 a,b 表示). 8.与对数有关的方程的求解问题 关于对数的方程有三类: 第一类是形如关于 x 的方程 logaf(x)=b,通常将其化为指数式 f(x)=ab,这样解关于 x 的方程 f(x)=ab 即可,最后要注意验根.例如:解方程 log 64 ? x ?
2 2 2 ? ? ? 15 3 3 3 3 ? 64 ,又 64 ? (4 ) 式为 x ? 16

2 ? 15 ? ? ? ? ,将其化为指数 3 ? 16 ? 15 1 1 ? 4?2 ? ,则 x ? ? ,所以 x=1,经检验 x 16 16 16

=1 是原方程的根. 第二类是形如关于 x 的方程 logf(x)n=b,通常将其化为指数式 fb(x)=n,这样解关于 x 的 方程 fb(x)=n 即可,最后要注意验根.例如,解方程 log(1-x)4=2,将其化为指数式为(1-x)2 =4,解得 x=3 或 x=-1,经检验 x=3 是增根,原方程 的根是 x=-1. 第三类是形如关于 x 的方程 f(logax)=0,通常利用换元法,设 logax=t,转化为解方程 f(t)=0 得 t=p 的值,再解方程 logax=p,化为指数式则 x=ap,最后要注意验根. 【例 8-1】已知 lg x+lg y=2lg(x-2y),求 log
2

x 的值.解:4. y

辨误区 解对数方程易出现的错误 在处理与对数有关的问题时,必须注意“真数大 于零”这一条件,否则会出现错误.例如,本题若不注意“真数大于零”,则会出现两个结 果:4 和 0. 【 例 8-2】解方程 lg2x-lg x2-3=0. 解:原方程可 化为 lg2x-2lg x-3=0. 设 lg x=t,则有 t2-2t-3=0,解得 t=-1 或 t=3, 于是 lg x=-1 或 3,解得 x ? 经检验 x ?

1 或 1 000. 10

1 ,1 000 均符合题意, 10 1 因此原方程的根是 x ? ,或 x=1 000. 10
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辨误区 lg2x 与 lg x2 的区别 本题中,易混淆 lg2x 和 lg x2 的区别,lg2x 表示 lg x 的平 方,即 lg2x=(lg x)2,而 lg x2=2lg x. 9.对数运算的实际应用 对数运算在实际生产和科学技术中运用广泛, 其运用问题大致可分为两类: 一类是已知 对数应用模型(公式),在此基础上进行一些实际求值.计算时要注意利用“指、对互化”把 对数式化成指数式.另一类是先建立指数函数应用模型,再进行指数求值,此时往往将等式 两边进行取对数运算. 【例 9】抽气机每次抽出容器内空气的 60%,要使容器内的空气少于原来的 0.1%,则 至少要抽几次?(lg 2≈0.301 0) 解:设至少抽 n 次可使容器内空气少于原来的 0.1%, 则 a(1-60%)n<0.1%a(设原先容器中的空气体积为 a),即 0.4n<0.001, 两边取常用对数得 n· lg 0.4<lg 0.001, 所以 n>

lg 0.001 3 ≈7.5. ? lg 0.4 2 lg 2 ? 1

故至少需要抽 8 次. 点技巧 求数值较大的指数的方法 利用对数计算是常用的方法, 一般的方法是对等式 (或不等式)两边取常用对数或自然对数,再用计算器或计算机进行对数的计算.

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