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双曲线的标准方程及简单的几何性质


双曲线的标准方程及简单的几何性质 第一部分 双曲线及其标准方程

学习目标 1、掌握双曲线的定义,理解双曲线标准方程的推导,能根据条件确定双曲线的标准方程。 2、培养的分析能力、归纳能力、推理能力。 3、进一步掌握双曲线的定义及其标准方程的求法,特别是要熟练掌握用定义法、待定系数法求双曲线标准方程的方 法。 4、会利用双曲线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。 5、培养分析能力、归纳能力、推理能力和数学的应用能力。

重点难点 重点:双曲线的定义及其标准方程; 难点:1、双曲线标准方程的推导;2、利用双曲线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。

例题分析

第一阶梯

1

[例 1]已知两定点 F1(-5,0)、F2(5,0),求与两定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于 6 的点的轨迹方程。 分析:根据双曲线的定义可知,动点的轨迹是以 F1、F2 为焦点的双曲线,又由焦点位置可知,所求的点的轨迹方程 是双曲线的标准方程。 解:

由题意可知,所求点的轨迹是双曲线,其方程可设为

,这里 2a=6,2c=10.

变题:如将本题条件中的 6 改为 10,其余条件不变,求解本题。 解:由条件可知,所求点的轨迹是两条射线,其方程为 y=0(x≤-5 或 x≥5) 注意:在求解轨迹方程的问题时,要注意应用有关曲线的定义去判断所求的点的轨迹是什么曲线,如是已经研究过 的曲线,则可用曲线的标准方程去求解。

[例 2]

分析:分别求出椭圆及双曲线的焦点即可。 证明:易得椭圆的两个焦点为(-4,0) 、 (4,0) ,双曲线的两个焦点也为(-4,0) 、 (4,0) 。

[例 3]

分析

2

迹是以 B、C 为两焦点,实轴长为 6 的双曲线的左支。

解:在△ABC 中,|BC|=10,

故项点 A 的轨迹是以 B、C 为两焦点,实轴长为 6 的双曲线的左支。

第二阶梯

[例 4]

A、1

C 、2

解:

+|PF2| -|PF1||PF2|=16,因为∠F1PF2=90°,所以|PF1| +|PF2| =|F1F2| =(2c) =20.所以

2

2

2

2

2

评注:本题考查双曲线的基础知识以及计算能力和推理能力。
3

[例 5]在周长为 48 的直角三角形 MPN 中,∠MPN=90°, 程。

求以 M、N 为焦点,且过点 P 的双曲线方

思路分析:首先应建立适当的坐标系,由于 M、N 为焦点,所以如图建立直角坐标系,可知双曲线方程为标准方程。 由双曲线定义可知||PM|-|PN||=2a,|MN|=c,所以利用条件确定△MPN 的边长是关键。

解答:

∴设|PN|=3k,|PM|=4k,则|MN|=5k, 由 3k+4k+5k=48,得 k=4. ∴|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.

由|PM|-|PN|=4,得 2a=4,a=2,a =4. 由|MN|=20,得 2c=20,c=10.

2

[例 6]

4

思路分析:利用双曲线的定义求解。 解答:

由 P 是双曲线上一点,得||PF1|-|PF2||=16。

∴|PF2|=1 或|PF2|=33。

又|PF2|≥c-a=2,得|PF2|=33.

第三阶梯

[例 7]

交点,则|PF1|?|PF2|的值是( )

思路分析:椭圆和双曲线有共同焦点,P 在椭圆上又在双曲线上,可根据定义得到|PF1|和|PF2| 的关系式,再变形得 结果。 解答:

5

两式平方相减,得 4|PF1|

?|PF2|=4(m-s),故

|PF1|

?|PF2|=m-s。故选 A。

[例 8]

解: 由题意得 F1(-5,0) ,F2(5,0) 。设点 P 的坐标为(x0,y0)

又 PF1⊥PF2,则|PF1| +|PF2| =|F1F2| ,

2

2

2

评注:本题考查双曲线的方程等基础知识。

[例 9]已知动圆与定圆 C1:(x+5) +y =49,C2:(x-5) +y =1 都外切,求动圆圆心的轨迹方法。 分析: 设动圆圆心为 P(x,y),半径为 r,则题意可得 C1(-5,0),r1=7.C2(5,0),r2=1.|PC1|=r+7,|PC2|=r+1,|PC1|-|PC2|=6。 解: 设动圆圆心为 P(x,y), 半径为 r,则题意可得 C1(-5,0),r1=7.C2(5,0),r2=1.|PC1|=r+7,|PC2|=r+1,|PC1|-|PC2|=6, 则动

2

2

2

2

圆圆心 P 的轨迹方程为

四、检测题

6

1、ax +by =b(ab<0),则这曲线是( ) A、双曲线焦点在 x 轴上 B、双曲线焦点在 y 轴上 C、椭圆焦点在 x 轴上 D、椭圆焦点在 y 轴上

2

2

A、双曲线

B、双曲线的一支

C、半圆

D、圆

3、一动圆与两定圆⊙M:x +y =1 和⊙N:x +y -8x+12=0 都外切,则动圆圆心的轨迹为( ) A、抛物线 B、圆 C、双曲线的一支 D、椭圆

2

2

2

2

4、 “ab<0”是“方程 ax +by =c”表示双曲线的( ) A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

2

2

5、已知两定点 F1(-5,0) ,F2(5,0) ,动点 P 满足 A、双曲线和一直线 B、双曲线和一条射线 C、双曲线和一支和一条射线 D、双曲线的一支和一条直线

|PF1|

-|PF2|=2a,则当 a=3 和 5 时,P 点的轨迹为( )

6、已知方程 ax -ay =b,且 a、b 异号,则方程表示( ) A、焦点在 x 轴上的椭圆
7

2

2

B、焦点在 y 轴上的椭圆 C、焦点在 x 轴上的双曲线 D、焦点在 y 轴上的双曲线

A、焦点在 y 轴上的双曲线 B、焦点在 x 轴上的双曲线 C、长轴在 y 轴上的椭圆 D、焦点在 x 轴上的椭圆

且|AB|=m,则△ABF2 的周长是( A.4a B.4a-m

) C.4a+2m D.4a-2m

A、内切

B、外切

C、外切或内切

D、无公共点或相交

10、方程 x sinα +y cosα =1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则角α 在第_______象限。

2

2

11、双曲线 4x -y +64=0 上一点 P 到它的一个焦点的距离等于 1,则点 P 到另一个焦点的距离等于_______.

2

2

答案:

1—5 6—9

B D

B C

A C

C C

C

8

10、四 11、17

双曲线的简单几何性质

一、学习目标 1、理解并掌握双曲线的几何性质,能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的几何性质。 2、理解渐近线的概念,明确双曲线的标准方程中各量的几何意义,并能根据双曲线的几何性质确定双 曲线的标准 方程。 3、了解等轴双曲线的概念和特征。 4、培养对数学的理解能力、分析能力和应用能力。 5、理解双曲线的第二定义,掌握双曲线的准线方程及准线的几何意义,进一步理解离心率 e 的几何意义。 6、掌握用坐标法求曲线方程及由方程研究图形性质的方法。掌握双曲线的几何性质,理解双曲线的各参数的几何意 义。 7、培养对数学概念的理解能力、辨别能力、判断能力和分析问题、解决问题的能力。 8、掌握双曲线的几何性质,掌握用坐标法研究直线与双曲线的位置关系,熟练地求弦长、面积、对称等问题。 9、培养对数学的理解能力及分析问题、解决问题的能力。

二、重点难点

重点: 1、双曲线的简单几何性质及其应用; 2、双曲线的第二定义; 3、直线与双曲线的位置关系。

9

难点: 1、双曲线渐近线方程的推导和理解; 2、理解焦点与相应准线的对应关系; 3、直线与双曲线的位置关系研究方法的形成。

三、例题分析

第一阶梯

[例 1]求双曲线 9y -16x =144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。 分析:先将所给双曲线方程化为标准方程,后根据标准方程分别求出有关量。 解:

2

2

9y -16x =144 的等号右边等 注意:本题求渐近线方程的方法有两种:其一,直接根据渐近方程写出,其二,令方程 于零,分解因式即可得渐近线方程。

2

2

[例 2]求满足下列条件的双曲线方程。 (1)以 2x±3y=0 为渐近线,且经过点(1,2);

分析:

10

(1)可设所求双曲线的方程为 4x -9y =λ ,用待定系数法求双曲线方程。 (2) 、 (3)同求椭圆的方程一样,只要求出标准方程中的 a、b 即可。

2

2

解: (1)设所求双曲线方程为 4x -9 =λ ,点(1,2)在曲线上,将点的坐标代入方程可得λ =-32。
2 y2

(3)由已知得椭圆 x +5y =5 的焦点为(±2,0),又双曲线的一条渐近线方程为

2

2

.则另一条渐

注意:求双曲线方程的方法要灵活选择。

[例 3]

解:

11

评注:本题考查双曲线的性质。

第二阶梯

[例 4]

(1)求点 P 到它右准线的距离; (2)求点 P 到它左准线的距离。

分析: (1)由双曲线的第二定义可得点 P 到它的右准线的距离, (2)先求得双曲线两准线间的距离,后求点 P 到左准线的距离。

解:

(1)设 P 到右准线距离为 d,则

12

[例 5]双曲线的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列,右准线的方程是 x=1,且经过点 A(2,2),求:(1)双曲线的 离心率 e;(2)双曲线右焦点的轨迹方程。

解:

(1)依题意,有 2?2a=2b+2c,即 2a=b+c.

(2)设右焦点为 F(x,y),因点 A 在双曲线上,由双曲线的第二定义得

[例 6]

思路分析:

解答:

13

第三阶梯

[例 7]

求双曲线的离心率。

思路分析:

解答:

14

[例 8]

思路分析:|PF|为焦半径,本题可根据双曲线的第二定义来解。

解答:

四、检测题
15

1、双曲线 3x -y =3 的渐近线方程是( )

2

2

A、y=±3x

A、-16

B、-4

C、12

D、144

A、±5

B、±3

C、25

D、9

A、共同的准线

B、共同的渐近线

C、共同的焦点

D、共同的顶点

5、已知圆锥曲线 mx +4y =4m 的离心率 e 为方程 2x -5x+2=0 的两根,则满足条件的圆锥曲线的条数为( ) A、1 B、2 C、3 D、4

2

2

2

6、双曲线 mx -2my =4 的一条准线是 y=1,则实数 m 等于( )

2

2

7、如果双曲线的两条渐近线互相垂直,则双曲线的离心率是( )

16

A、焦距

B、准线

C、焦点

D、离心率

形是(

) A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、锐角或钝角三角形

10、一条直线和一条双曲线公共点的个数最多有( ) A、1 个 B、2 个 C、3 个 D 、4 个

=_________.

13、证明:从双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长。

答案: 1—5 6—10 11、24 C D A A B A C B C B

17

12、b 13、略

第二部分

[本周重点] 对照椭圆的研究来讨论双曲线的定义、方程、性质、位置关系等 [本周难点] 与渐近线相关的性质讨论 [本周内容] 1.第一定义:(与椭圆的第一定义对比)
平面内到两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数 2a(0<2a<|F1F2|)的点 P 的轨迹叫做双曲线.

2.第二定义:(与椭圆的联系)
平面内到定点 F 与到定直线 l 的距离之比等于常数 e(e>1)的点 P 的轨迹叫做双曲线.

3.

标准方程 a>0, b>0. 图形 a>0, b>0.

对称轴

x 轴,实轴长 2a y 轴,虚轴长 2b

y 轴,实轴长 2a x 轴,虚轴长 2b y≤-a 或 y≥a (0, -a) (0, a) 焦点在 y 轴上 F1(0, -c), F2(0, c)
18

范围 顶点坐标 焦点坐标

x≤-a 或 x≥a (-a,0),(a,0) 焦点在 x 轴上 F1(-c,0), F2(c, 0)

焦距 离心率 准线

|F1F2|=2c

|F1F2|=2c

渐近线

4.焦半径

.

5.等轴双曲线

实轴长与虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线.其离心率

.

6.共轭双曲线

以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线,即 线.共轭双曲线有共同的渐近线.



互为共轭双曲

7.共焦点的圆锥曲线方程

与椭圆
2

共焦点的椭圆或双曲线的方程为

,根据条件确定λ 的数值.

当 l>-b 时,方程表示与已知椭圆共焦点的椭圆. 当-a <l<-b 时,方程表示与已知椭圆共焦点的双曲线.
2 2

19

8.共渐近线的双曲线方程

与双曲线

共渐近线的双曲线方程为

,根据条件确定λ 取值.

当λ >0 时,方程表示焦点与已知双曲线焦点在同一直线上的共渐近线双曲线. 当λ <0 时,方程表示焦点在已知双曲线的虚轴所在直线上且与已知双曲线共渐近线的双曲线.

[本周例题]

例 1.方程 A、k>2 或 k<5 C、k>5 或-2<k<2 B、2<k<5

表示双曲线,则 k 的取值范围是(

).

D、k<2 或 k>5

分析:上述方程表示双曲线

解得 k∈[0,2)∪(5,+∞)或 k∈(-2,0), ∴ -2<k<2 或 k>5.

答:C.

例 2.双曲线

的两条渐近线所夹角的正切为______.

分析 1:已知双曲线的两渐近线为



,其斜率分别为

和-

,设夹角θ ,由夹角公式

.

20

分析 2:设渐近线

的倾角为

,则



∴ 由α 为钝角,从而

, ,∴ 夹角正切为 .

例 3.中心在原点,一焦点在(0,3),一条渐近线为

的双曲线方程为____.

分析:由已知,这是处于标准位置上的双曲线图形,关于坐标轴对称.因一条渐近线为

,所以另一条渐近线是

,以这两直线为渐近线的双曲线系的方程为:



又 ∵ 一焦点(0,3)在 y 轴上, ∴ 方程应为

,∴ a2=4k2, b2=9k2.

由 a +b =c 得 4k +9k =9,

2

2

2

2

2

, ∴ 双曲线方程为

.

点评:本题中,由于两渐近线

已知,也就是

,所以在解法中运用了“共渐近线的双曲线系”,直

接写出了双曲线系的方程,再用另一个条件就定出了参数 k, 这种方法对解已知两渐近线的问题是常用的.

例 4.双曲线 2mx -my =2 有一条准线 y=1 则 m 的值为_____.

2

2

分析:因为一条准线是 y=1.把方程改写成第二种标准方程.

21

,其中

, ∴







解得

.

例 5.在双曲线

的一支上有三个不同点 A(x1,y1), B(

), C(x2,y2),它们到焦点 F(0, 5)的距离成等差

数列. (1)求 y1+y2.(2)证明线段 AC 的中垂线过某定点,求该点坐标.

解:(1)按照与焦点距离的条件考虑转化到准线的距离

a =12, b =13,

2

2

,

, 准线 l1 的方程为:

.



得|AF|=e|AA1|同理 |BF|=e|BB1|, |CF|=e|CC1|,

∵ |AA1|, |BB1|, |CC1|成等差数列,∴ y1, 6, y2 成等差数列,∴ y1+y2=12.

(2)欲证 AC 的中垂线过定点,我们只能用代数分析的方法,先求 AC 中垂线的方程:

∵ A(x1,y1), C(x2,y2)在双曲线上,∴


22

两式相减得





线段 AC 中点





∴ AC 中垂线方程为

,即

可见 AC 中垂线必过定点

.

点评:本题的实质在于“弦中点”问题(弦 AC),因此使用处理弦中点的通法.

[本周练习]

1.双曲线中心在原点,焦点在坐标轴上,一渐近线为 3x+5y=0,求离心率 e.(



2.P 为双曲线

上定点,F1,F2 为两焦点,且∠F1PF2=φ ,求证:Δ F1PF2 面积为

.

测试

选择题 1.“ab<0”是“方程 ax +by =c 表示双曲线”的( A、必要条件但不是充分条件 C、充分必要条件
2 2



B、充分条件但不是必要条件 D、既不是充分条件又不是必要条件

2.双曲线

=1 的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是(


23

A、2

B、

C、

D、

3.若双曲线的两条渐近线是 y=±

x, 焦点 F1(-

,0)、F2(

,0),那么它的两条准线间的距离是(



A、

B、

C、

D、

4.设双曲线 双曲线的离心率为( )

=1(0<a<b)的半焦距为 c,直线 l 过(a,0),(0,b)两点.已知原点到直线 l 的距离为

c,则

A、2

B、

C、

D、

5.设 F1 和 F2 为双曲线

-y =1 的两个焦点,点 P 在双曲线上且满足∠F1PF2=90°,则Δ F1PF2 的面积是(

2



A、1

B、

C、2

D、

6.过双曲线 A、 B、1+
2 2

=1 的右焦点 F2 作垂直于实轴的弦 PQ,F1 是左焦点,若 ?PF1Q=90°,则双曲线的离心率是( C、2+ D、3)



7.双曲线 kx -2ky =4 的一条准线方程是 y=1,那么 k 的值为(

A、

B、

C、-

D、-

8.与双曲线 A、8 B、4

=1 有共同的渐近线,且经过点(-3,2 C、2 D、1

)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是(



9. 双曲线 C 与双曲线

=1 关于直线 x-y+2=0 对称,则双曲线 C 的方程是(



A、

-

=1

B、

-

=1

C、

-

=1

D、

-

=1
24

10.以椭圆 A、x +y -10x+9=0 C、x +y +10x-9=0
2 2 2 2

=1 的右焦点为圆心,且与双曲线 =1 的渐近线相切的圆的方程为( B、x +y -10x-9=0 D、x +y +10x+9=0
2 2 2 2



答案与解析

答案:1、A 解析:

2、C

3、A

4 、A

5、A

6、B

7、C

8、C

9、B

10、A

1.选 A.本题考查双曲线的概念,充分条件、必要条件的推理判断.

解:若方程 ax +by =c 表示双曲线,即

2

2

=1 表示双曲线,只要

<0,得 ab<0,这就是说“ab<0”是必要条件;

然而若 ab<0, c 可以等于 0,即 ab<0 不是充分条件.故选 A. 2.选 C.本小题考查双曲线的性质.

解:双曲线的渐近线方程为 y=±

x.∵ 渐近线互相垂直,且关于坐标轴对称,∴

=1,得 a=b.双曲线离心率 e=

.

3.选 A.本题考查双曲线的基础知识.

解:由条件知双曲线焦点在 x 轴上,且 c=

,又渐近线为 y=±

x,所以

=

, b=

2

a, 由a+

2

2

a =26,

2

解得 a =8. 双曲线两准线间的距离为 2

2

,2

=2

=

.故选 A.

4.选 A.本题考查点到直线的距离,双曲线的性质以及计算、推理能力.

解:由已知,l 的方程为 ay+bx-ab=0, 原点到 l 的距离为

c,则有

=

c,
25

又 c =a +b , ∴ 4ab=

2

2

2

c .两边平方,得 16a (c -a )=3c .

2

2

2

2

4

两边同除以 a 并整理得 3e -16e +16=0,∴e =4 或 e = 显然,B、C 都不正确,

4

4

2

2

2

.

∵ 0<a<b,
2

>1,

>1,得 e =

2

=1+

>2,

∴ e =4,故 e=2. 说明:本题难度系数为 0.47,难度较大.不但要用方程思想求出 e,还要根据已知条件 b>a 检验,得出符合条件的 e.本

题由已知 b>a,可知离心率大于等轴双曲线的离心率,解出 e=2 与

后就可断定 e=2.

5.选 A.本题考查双曲线的基本知识,以及计算能力和推理能力.

解:[解法 1] 由双曲线的方程知 a=2, b=1, ∴c=

.因此|F1F2|=|2c|=2

.

由于双曲线是对称图形,如图所示,设 P 点坐标为(x,

),由已知 F1P⊥F2P,



?

=-1, 即

=-1,

得x=

2

. ∴

=

?|F1F2|?

=

?2

?

=1.

[解法 2] ∵(|PF1|-|PF2|) =4a =16,而由勾股定理得|PF1| +|PF1| =(2c) =20,

2

2

2

2

2

则|PF1||PF2|=

[|PF1| +|PF2| -(|PF1|-|PF2|) ]=

2

2

2

(20-16)=2, ∴

=1.

说明:本题难度系数为 0.56,有一定难度.解法 2 远强于解法 1,解法 2 利用双曲线定义与勾股定理求出|PF1|与|PF2|的 积,进而求Δ F1PF2 的面积,思路清晰,运算简便.
26

6. 选 B

解:因为|PF2|=|F2F1|, P 点满足

=1,∴ y=

,∴ 2c=

,

即 2ac=b =c -a , 7. 选 C

2

2

2

∴ 2=e-

故 e=1+

.

解:由题意知 a =-

2

, b =-

2

,∴ a +b =-

2

2

-

=-

,c =-

2

.

∵准线方程 y=

=

=1,∴-

=

,即

=-

, -6k=4,∴ k= -

.

8.选 C

解:∵ 双曲线

=1 的渐近线为 y=±

x,点(-3,2

)在渐近线 y=-

x 下方第二象限,设所求方程为

=k,代入(-3,2

)得 k=

, c=

,

d=csinθ ,tanθ = 9.选 B

,∴sinθ =

, d=2.

解:∵关于直线 x-y+2=0 对称,故可作变换公式

,代入原双曲线方程得

=1,即

=1. 10.选 A. 解:由题意知圆心为(5,0).圆心到双曲线渐近线的距离为圆的半径 r,

∴ r=

=4,∴ 所求圆的方程为(x-5) +y =16,即 x -10x+y +9=0.
27

2

2

2

2

一类直线与圆锥曲线相交问题的解法

直线与圆锥曲线的位置关系问题涉及到解析几何主要研究对象,所用到的知识点较多,综合性强.这里介绍的是一类直 线与圆锥曲线相交问题的处理方法.
例 1:已知椭圆 C 中心在坐标原点,与双曲线 x -3y =1 有相同的焦点,直线 y=x+1 与椭圆 C 相交于 P、Q 两点,且 OP⊥ OQ,求椭圆 C 的方程. 分析:本题是有关直线与椭圆的交点问题,一般方法是将直线方程代入到椭圆方程,消元得 x(或 y)的一元二次方程,利用韦达定
2 2

理和已知条件(本题是 OP⊥OQ),结合椭圆 C 与双曲线的焦点之间的关系求出椭圆方程,这是解决有关直线与圆锥曲线相交 问题的基本方法,应注意掌握.

解法 1:双曲线 x -3y =1 的焦点为

2

2

设椭圆 C 的方程为



由椭圆 C 与双曲线 x -3y =l 同焦点,知

2

2

,即



由题意,点 P、Q 的坐标满足方程组 将(2)代入(1),整理,得 2(3b +2)x +2(3b +4)x+(3b +4)(1-b )=0.....(3)
2 2 2 2 2

设方程(3)的两根为 x1,x2,则直线 y=x+1 与椭圆 C 的交点为 P(x1,y1)、Q(x2,y2).

由 OP⊥OQ,得

,



,

也即 x1+x2+2x1x2+1=0.

由韦达定理及方程(3),得

,

即 3b +b -2=0, ∴

4

2

.

28

故所求椭圆方程为

.

上述方法中利用了条件

,由此可以看出,若能够构造相应的一元二次方程,使其两根为



就可以了,

这就要利用椭圆 C 与直线 y=x+1 得到相应的关于

的一元二次方程.

解法 2:易知椭圆 C 的方程为 即 3b x +(3b +4)y =b (3b +4)
2 2 2 2 2 2



将其与直线方程 y=x+l 联立,得 (2)?b (3b +4)-(1),得 (3b +b )x -2b (3b +4)xy+(3b +4)(b -1)y =0.两边同除以 x ,得
4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

........(3)

设 P(xl,y1),Q(x2,y2),则

是方程(3)的两根.

又 OP⊥OQ, ∴

,

由(3)和韦达定理,得

,

即 3b +b -2=0,

4

2



,

所求椭圆 C 的方程为

.........(3)

上述解法 2 利用了条件 OP⊥OQ,构造了关于

的一元二次方程,由韦达定理求得椭圆 C 方程中的参数 b ,较解法 1 简单, 29

2

这不失为解决一类垂直问题的方法,但只能用于椭圆与双曲线,对于抛物线不能得到相应的二次齐次式.
从上述两种解法中,我们可以看到在解决直线与圆锥曲线相交问题时,不一定要求出它们的交点,就可以解决有关弦长,弦中点及直 线与圆锥曲线中有关参数,其中的关键是由直线方程和圆锥曲线方程得出相应的一元二次方程,并利用韦达定理或判别式,由此获得问题 的解决. 下面再举一个例子. 例 2:(高考题)如图,抛物线方程为 y =p(x+1)(p>0),直线 x+y=m 与 x 轴的交点在抛物线的准线的右边.
2

(1)求证:直线与抛物线总有两个交点; (2)设直线与抛物线的交点为 Q、R,OQ⊥OR,求 p 关于 m 的函数 f(m)的表达式,

(3)在(2)的条件下,若抛物线焦点 F 到直线 x+y=m 的距离为

,求此直线的方程.

分析:(1)由抛物线方程知准线方程为

.

直线 x+y=m 与 x 轴的交点为(m,0).

由交点在准线右边,知

,即 4m+p+4>0.

为考察直线 x+y=m 与抛物线的交点,可将 x+y=m 代入抛物线方程,得

x -(2m+p)x+m -p=0, ∵ Δ =(2m+p) -4(m -p)=p(4m+p+4)>0, ∴ 直线与抛物线总有两个交点. (2)设 R(xl,y1),Q(x2,y2).
30
2 2

2

2

由 OR⊥OQ,得 x1x2+y1y2=0, 即 x1x2+(m-x1)(m-x2)=0.

2x1x2-(x1+x2)m+m =0, ∴ 2(m2-p)-m(2m+p)+m2=0.

2

又∵ x1+x2=2m+p, x1x2=m -p

2

∴ 由 p>0,得 m>-2.

.

又当 m=0 时,直线为 x+y=0,经过原点,与 OR⊥OQ 矛盾.

所以

(m>-2, 且 m≠0)。

(3)由点到直线距离公式即可得所求直线方程为 3x+3y+4=0.

31


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