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宁波镇海中学2012学年高一创新班入学数学试卷


宁波镇海中学 2012 学年高一创新班入学数学试卷
注意:(1) 试卷共有三大题 35 小题,满分 200 分,考试时间 150 分钟. (2) 请把解答写在答题卷的对应题次上, 做在试题卷上无效. 一、 选择题(本题有 11 小题,每小题 3 分,共 33 分)下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确 的,请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内. 1.在直角坐标系中,若一点的横坐标与纵坐标互为相反数,则该点一定不在( (A) 直线 y = –x 上 (B) 抛物线 y = x 上
2

)

(C) 直线 y = x 上

(D) 双曲线 xy = 1 上

2.以等速度行驶的城际列车,若将速度提高 25%,则相同距离的行车时间可节省 k%,那么 k 的值是 ( ) (A) 35 (B) 30
3

(C) 25

(D) 20 )
3

3.若-1< a <0,则 a, a , 3 a ,

1 一定是 ( a
, (D)

(A)

1 3 最小, a 最大 a

,

(B)

3

a 最小, a 最大

(C)

1 最小,a 最大 a

1 最小, a

a 最大

4.如图,将△ADE 绕正方形 ABCD 的顶点 A 顺时针旋转 90°,得△ABF,连结 EF 交 AB 于 H,则下列结论错误的是( (A) AE⊥AF (C) AF2 = FH?FE )

(B)EF:AF = 2 :1 (D)FB :FC = HB :EC

5.在△ABC 中,点 D,E 分别在 AB,AC 上,且 CD 与 BE 相交于点 F,已知△BDF 的面积为 10,△ BCF 的面积为 20,△CEF 的面积为 16,则四边形区域 ADFE 的面积等于( (A) 22 (B) 24 (D) 36 (D)44 )

6.某医院内科病房有护士 15 人,每 2 人一班,轮流值班,每 8 小时换班一次,某两人同值一班后,到下 次两人再同班,最长需要的天数是( (A)30 (B)35 (C)56
2

) (D) 448 】

3 ?1? 7、下列图中阴影部分面积与算式 ? ? ? ? ? 2?1 的结果相同的是【 4 ?2?

8、下列命题中正确的个数有?【 】 ① 实数不是有理数就是无理数;② a<a+a;③121 的平方根是 ±11;④在实数范围内, 非负数一定是正数;⑤两个无理数之和一定是无理数 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 9、某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游。甲旅行社告知:父母买全票,女儿按 半价优惠;乙旅行社告知:家庭旅行可按团体票计价,即每人均按八折收费。若这两家旅行社每人的原标 价相同,那么?【 】
共 4 页第 1 页

A、甲比乙更优惠

B、乙比甲更优惠

C、甲与乙相同

D、与原标价有关

10、如图,∠ACB=60○,半径为 2 的⊙O 切 BC 于点 C,若将⊙O 在 CB 上向右 滚动,则当滚动到⊙O 与 CA 也相切时,圆心 O 移动的水平距离为【 A、2π B、π C、 2 3 D、4 11、平面内的 9 条直线任两条都相交,交点数最多有 m 个,最少有 n 个, 则 m ? n 等于?【 】 A、36 B、37 C、38 D、39 二、填空题(本题有 14 个小题,每小题 4 分,共 56 分) 12.若 4sin2A – 4sinAcosA + cos2A = 0, 则 tanA = ___ ___ . 】

13.在某海防观测站的正东方向 12 海浬处有 A、B 两艘船相会之后,A 船以每小时 12 海 浬的速度往南航行,B 船则以每小时 3 海浬的速度向北漂流. 则经过 后,观测站及 A、B 两船恰成一个直角三角形. 14. 如右图,在坐标平面上,沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形,其长、宽分别 为 是 4 、 2 , 则 通 过 A,B,C . 三 点 的 拋 物 线 对 应 的 函 数 关 系 式 小时

15. 桌面上有大小两颗球, 相互靠在一起。 已知大球的半径为 20cm, 小球半径 5cm, 则 这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于 cm. 16.物质 A 与物质 B 分别由点 A(2,0)同时出发,沿正方形 BCDE 的周界做环绕运动,物 质 A 按逆时针方向以 l 单位/秒等速运动,物质 B 按顺时针方向,以 2 / 秒 等 速 运 动 , 则 两 个 物 质 运 动 后 的 第 11 次 相 遇 地 点 的 坐 是 . 单位

17.设 C1 , C 2 , C 3 , ? ? 为一群圆, 其作法如下: C1 是半径为 a 的圆, 在 C1 的 圆内作四个相等的圆 C 2 (如图), 每个圆 C 2 和圆 C1 都内切, 且相邻的两个圆 C 2 均外切, 再在每一个圆 C 2 中, 用同样的方法作四个相等的圆 C3 , 依此类推作出

C 4 , C 5 , C 6 , ?? , 则
(1) 圆 C 2 的半径长等于 (2) 圆 C k 的半径为 (用 a 表示); ( k 为正整数,用 a 表示,不必证明)

18、甲、乙两人骑自行车,同时从相距 65 千米的两地相向而行,甲、乙两人的速度和为 32.5 千米/时,则 经过 小时,两人相遇。 。

19、若化简 1 ? x ? x 2 ? 8x ? 16 的结果为 2x ? 5 ,则 x 的取值范围是

20、某校把学生的笔试、实践能力和成长记录三项成绩分别按 50%、20%和 30%的比例计入学期总评成 绩,90 分以上为优秀。甲、乙、 丙三人的各项成绩(单位:分)如 下表,学期总评成绩优秀的学生 是 。
共 4 页第 2 页

甲 乙 丙

笔试 90 88 90

实践能力 83 90 88

成长记录 95 95 90

21、已知点 A 是一次函数 y ? x 的图像与反比例函数 y ?

2 的图像在第一象限内的交点,点 B 在 x 轴的 x
。 。

负半轴上,且 OA ? OB ( O 为坐标原点) ,则 ?AOB 的面积为 22、如果多项式 x2 ? px ? 12 可以分解成两个一次因式的积,那么整数 p 的值是

23、如右图所示,P 是边长为 1 的正三角形 ABC 的 BC 边上一点,从 P 向 AB 作垂 线 PQ,Q 为垂足。延长 QP 与 AC 的延长线交于 R,设 BP= x ( 0 ? x ? 1 ) ,△BPQ 与△CPR 的面积之和为 y ,把 y 表示为 x 的函数是 。 24、已知 x1,x2 为方程 x ? 4 x ? 2 ? 0 的两实根,
2

则 x13 ? 14 x2 ? 55 ?



25、小明、小林和小颖共解出 100 道数学题,每人都解出了其中的 60 道,如果将其 中只有 1 人解出的题叫做难题,2 人解出的题叫做中档题,3 人都解出的 题叫做容易题,那么难题比容易题多 道。 三、解答题(本题有 10 个小题,共 111 分)解答应写出文字说明,证明过程 或推演步骤。 26.(本小题满分 10 分)如图,四边形 ABCD 内接于圆 O,且 AD 是圆 O 的 直径,DC 与 AB 的延长线相交于 E 点,OC∥AB. (1) 求证 AD = AE; (2) 若 OC=AB = 4,求△BCE 的面积.

27.(本题满分 10 分)已知抛物线 y = x2 + 2px + 2p –2 的顶点为 M, (1) 求证抛物线与 x 轴必有两个不同交点; (2) 设抛物线与 x 轴的交点分别为 A,B,求实数 p 的值使△ABM 面积达到最小.

28 (本小题满分 12 分)某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表: 胜一 场 积分 奖励(元/每人) 3 1500 平一 场 1 700 负一 场 0 0

当比赛进行到 12 轮结束(每队均要比赛 12 场)时,A 队共积 19 分。 (1) 试判断 A 队胜、平、负各几场?
共 4 页第 3 页

(2) 若每一场每名参赛队员均得出场费 500 元, A 队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为 W 设 (元) ,试求 W 的最大值.

29.(本小题满分 16 分)已知:矩形 ABCD, (字母顺序如图)的边长 AB=3,AD=2,将此矩形放在平面 直角坐标系 xOy 中,使 AB 在 x 轴正半轴上,而矩形的其它两个顶点在第一象限,且直线 y = 这两个顶点中的一个. (1)求出矩形的顶点 A、B、C、D 的坐标; (2)以 AB 为直径作⊙M,经过 A、B 两点的抛物线,y = ax2+bx+c 的顶点是 P 点. ① 若点 P 位于⊙M 外侧且在矩形 ABCD 内部,求 a 的取值范围; ② 过点 C 作⊙M 的切线交 AD 于 F 点,当 PF∥AB 时,试判断抛物线与 y 轴的交点 Q 是位于直 线y=
3 x-1 经过 2

3 x-1 的上方?还是下方?还是正好落在此直线上?并说明理由. 2

30、 (10 分)在 ?ABC中, AB? AC , ?A ? 45? 。 AC 的垂直平分线分别交 AB 、 AC 于 D 、 E 两点,连 结 CD ,如果 AD ? 1 ,求: tan ?BCD的值。

31、 (11 分)某公司为了扩大经营,决定购买 6 台机器用于生产活塞。现有甲、乙两种机器供选择,其 中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞数量如下表所示。经过预算,本次购买机器所需的资金不能 超过 34 万元。 甲 乙 ⑴ 按该公司的要求,可以有几种购买方案? 7 5 价格(万元/台) ⑵ 若该公司购进的 6 台机器的日生产能力不能低于 每台日产量(个) 100 60 380 个,为了节约资金,应选择哪种购买方案?

32、 (10 分)如图所示,已知边长为 4 的正方形钢板有一个角锈蚀,其中 AF ? 2 , BF ? 1 。为了合理利 用这块钢板.将在五边形 EABCD 内截取一个矩形块 MDNP,使点 P 在 AB 上,且要求面积最大,求钢 板的最大利用率。

共 4 页第 4 页

33 、 10 分 ) 如 图 所 示 等 腰 梯 形 ABCD 中 , AB ∥ CD , AD ? CB , 对 角 线 AC 与 BD 交 于 ( O , ?ACD ? 60? , 点 S、P、Q 分别是 OD、OA、BC 的中点。 求证:△ PQS 是等边三角形。

34、 (10 分)如右图,直线 OB 是一次函数 y ? 2 x 的图像,点 A 的坐标是(0,2) ,点 C 在直线 OB 上且△ACO 为等腰三角形,求 C 点坐标。

35、 (12 分)已知关于 x 的方程 (m 2 ? 1) x 2 ? 3(3m ? 1) x ? 18 ? 0 有两个正整数根(m 是整数) 。 △ABC 的三边 a、b、c 满足 c ? 2 3 , m ? a m ? 8a ? 0 , m ? b m ? 8b ? 0 。
2 2 2 2

求:⑴ m 的值;⑵ △ABC 的面积。

共 4 页第 5 页

2012 年高一实验班选拔考试数学卷评分标准
一、 选择题(本题有 11 小题,每小题 3 分,共 33 分) 1.C 2.D 3.A 4.C 5.D 6.B 7、B, 8、B, 9、B, 10、C, 11、B

二、填空题(本题有 14 个小题,每小题 4 分,共 56 分) 12.

1 . 2

13.2.

14. y = –

5 2 1 20 x – x+ . 2 12 3

15.20. .

16.( –

4 ,–2). 3

17.(1) 圆 C 2 的半径 ( 2 ? 1) a ; 18、2 22、 ?7, ?8, ?13 三、解答题 26.(本小题满分 10 分) 19、 1 ? x ? 4 23、

(2)圆 C k 的半径 ( 2 –1 )n – 1 a 20、甲、乙 21、 2 24、7

3 (3x 2 ? 4 x ? 2) 8

25、20

(1)证 1.∵AD 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上, ∴∠ACD = 90?,即 AC⊥DE. 又∵OC∥AE,O 为 AD 中点, ∴AD = AE. 4分

证 2 ∵O 为 AD 中点,OC∥AE,
∴2OC = AE, 又∵AD 是圆 O 的直径, ∴ 2OC = AD, ∴AD = AE. (2)由条件得 ABCO 是平行四边形, ∴BC∥AD, 又 C 为中点,∴AB =BE = 4, ∵AD = AE, ∴BC = BE = 4, 连接 BD,∵点 B 在圆 O 上, ∴∠DBE= 90?, ∴CE = BC= 4, 即 BE = BC = CE= 4, ∴ 所求面积为 4 3 . 4分 4分 4分

共 4 页第 6 页

27.(本题满分 10 分) 解:(1) ∵⊿ = 4p2 – 8p + 8 = 4 ( p –1)2 + 4 >0 , ∴抛物线与 x 轴必有两个不同交点. (2) 设 A (x1, 0 ), B( x2, 0), 则|AB|2 = |x2 – x1|2 = [ (x1 + x2)2 – 4x1x2]2 = [4p2 – 8p + 8 ]2 = [4 ( p –1)2 + 4]2, ∴|AB| = 2 (p ?1) 2 ? 1 . 又设顶点 M ( a , b ), 由 y = ( x – p)2 – ( p – 1 )2 – 1 . 得 b = – ( p – 1 )2 – 1 . 当 p =1 时,|b|及|AB|均取最小,此时 S△ABM =
1 |AB||b|取最小值 1 . 2

4分

5分

5分

28 (本小题满分 12 分) 解: (1)设 A 队胜 x 场,平 y 场,负 z 场, 得?
? x ? y ? z ? 12 ? y ? 19 ? 3x ,可得: ? 3x ? y ? 19 ? ?z ? 2 x ? 7

4分

依题意,知 x≥0,y≥0,z≥0,且 x、y、z 均为整数,
?19 ? 3x ? 0 ? ∴ ?2 x ? 7 ? 0 ?x ? 0 ?

解得:

7 19 ≤x≤ 2 3

,∴ x 可取 4、5、6

4分

∴ A 队胜、平、负的场数有三种情况: 当 x=4 时, y=7,z=1; 当 x=5 时,y= 4,z = 3 ; 当 x=6 时,y=1,z= 5. (2)∵W=(1500+500)x + (700+500)y +500z= – 600x+19300 当 x = 4 时,W 最大,W 最大值= – 60?4+19300=16900(元) 答略. 4分 4分

29(本小题满分 16 分) 解:(1)如图,建立平面直有坐标系, ∵矩形 ABCD 中,AB= 3,AD =2, 设 A(m 0)( m > 0 ), 则有 B(m+3 0);C(m+3 2), D(m 2); 若 C 点过 y =

3 3 x-1;则 2= (m+3)-1, 2 2

m = -1 与 m>0 不合; ∴C 点不过 y= 若点 D 过 y=

3 x-1; 2

3 3 x-1,则 2= m-1, m=2, 2 2
共 4 页第 7 页

∴A (2, 0), B(5,0),C(5,2 ), D(2,2); (2)①∵⊙M 以 AB 为直径,∴M(3.5 0), 由于 y = ax2+bx+c 过 A(2, 0)和 B(5 ,0)两点, ∴?

5分

?0 ? 4a ? 2b ? c ?b ? ?7a ∴? ?0 ? 25a ? 5b ? c ?c ? 10a

2分

∴y = ax2-7ax+10a ( 也可得:y= a(x-2)(x-5)= a(x2-7x+10) = ax2-7ax+10a ) ∴y = a(x-

7 2 9 ) - a; 2 4 7 9 , - a) 2 4
2分

∴抛物线顶点 P(

∵顶点同时在⊙M 内和在矩形 ABCD 内部, ∴

3 9 8 2 <- a < 2,∴- <a<– . 2 4 9 3

3分

② 设切线 CF 与⊙M 相切于 Q,交 AD 于 F,设 AF = n, n>0; ∵AD、BC、CF 均为⊙M 切线,∴CF=n+2, DF=2-n; 在 Rt?DCF 中, ∵DF2+DC2=CF2; ∴32+(2-n)2=(n+2)2, ∴n=

9 9 , ∴F(2, ) 8 8 9 9 9 1 ;∴- a = ,∴a = - ; 8 4 8 2
3分

∴当 PF∥AB 时,P 点纵坐标为 ∴抛物线的解析式为:y= -

1 2 7 x + x-5 2 2

抛物线与 y 轴的交点为 Q(0,-5) , 又直线 y =

3 x-1 与 y 轴交点( 0,-1) ; 2 3 x-1 下方. 2
3分

∴Q 在直线 y=

30、有已知可得 ?ADE 和?CDE 均为等腰直角三角形,计算得 BD ?

2 ? 1,在直角三角形 BCD 中,

BD tan ?BCD ? ? 2 ? 1。 CD
31、 (1)设购买 x 台甲机器,则 7 x ? 5(6 ? x) ? 34 ,所以 x ? 2 。即 x 取 0、1、2 三个值,有三种购买方 案:①不购买甲机器,购 6 台乙机器;②购买 1 台甲机器,5 台乙机器;③购买 2 台甲机器,购 4 台乙机 器。 (2)按方案①,所需资金 6 ? 5 ? 30 (万元) ,日产量为 6 ? 60 ? 360 (个) ;按方案②,所需资金 1 ? 7 ? 5 ? 5 ? 32(万元) 日产量为 1 ? 100 ? 5 ? 60 ? 400(个) 按方案③, , ; 所需资金为 2 ? 7 ? 5 ? 4 ? 34 (万元) ,日产量为 2 ? 100 ? 4 ? 60 ? 440 (个) 。所以,选择方案②。 32、如图所示,为了表达矩形 MDNP 的面积,设 DN=x,PN=y,则面积 S= xy, ① 因为点 P 在 AB 上,由△APQ∽△ABF 得
共 4 页第 8 页
D N C E M A P Q F B

4? y 1 ? ,即 x ? 10? 2 y . 2 ? (4 ? x) 2 代入①,得 S ? (10 ? 2 y) y ? ?2 y 2 ? 10y , 5 2 25 即 S ? ?2( y ? ) ? . 2 2 5 5 因为 3≤y≤4,而 y= 不在自变量的取值范围内,所以 y= 不是最值点, 2 2
当 y=3 时,S=12;当 y=4 时,S=8.故面积的最大值是 S=12. 此时,钢板的最大利用率是 80%。 33、连 CS。 ∵ABCD 是等腰梯形,且 AC 与 BD 相交于 O, ∴AO=BO,CO=DO. ∵∠ACD=60°,∴△OCD 与△OAB 均为等边三角形. ∵S 是 OD 的中点,∴CS⊥DO. 1 在 Rt△BSC 中,Q 为 BC 中点,SQ 是斜边 BC 的中线,∴SQ= BC. 2 同理 BP⊥AC. 1 在 Rt△BPC 中,PQ= BC. 2 1 1 又 SP 是△OAD 的中位线,∴SP= AD= BC. 2 2 ∴SP=PQ=SQ. 故△SPQ 为等边三角形. 34、若此等腰三角形以 OA 为一腰,且以 A 为顶点,则 AO=AC1=2. 8 8 16 设 C1( x, 2x ) ,则得 x 2 ? (2 x ? 2)2 ? 22 ,解得 x ? ,得 C1( , ) 5 5 5 若此等腰三角形以 OA 为一腰,且以 O 为顶点,则 OC2=OC3=OA=2. 2 4 4 设 C2( x ' , 2 x ' ) ,则得 x'2 ? (2 x' )2 ? 22 ,解得 x' ? .得 C2( 5, 5) 5 5 5 2 4 又由点 C3 与点 C2 关于原点对称,得 C3( ? 5, ? 5 ) 5 5 1 1 若此等腰三角形以 OA 为底边,则 C4 的纵坐标为 1,从而其横坐标为 ,得 C4( ,1 ). 2 2 所以,满足题意的点 C 有 4 个,坐标分别为: 1 8 16 2 4 2 4 ( , )( , , ,C 5, 5 )( ? 5, ? 5 ) 4( ,1 ) 2 5 5 5 5 5 5 35、 (1)方程有两个实数根,则 m ? 1 ? 0 ,解方程得
2

?m ? 0,1,2,5, ?m ? 1 ? 1, 2,3,6, 6 3 , x2 ? .由题意,得 ? 即? m ?1 m ?1 ?m ? 1 ? 1,3, ?m ? 2,4. 故m ? 2. 2 2 (2)把 m ? 2 代入两等式,化简得 a ? 4a ? 2 ? 0 , b ? 4b ? 2 ? 0 , 当 a ? b 时, a ? b ? 2 ? 2 . 2 当 a ? b 时, a 、 b 是方程 x ? 4 x ? 2 ? 0 的两根,而△>0,由韦达定理得, a ? b ? 4 >0, ab ? 2 >0,则 a >0、 b >0. 2 2 2 2 ① a ? b , c ? 2 3 时,由于 a ? b ? (a ? b) ? 2ab ? 16? 4? 12? c 1 故△ABC 为直角三角形,且∠C=90° △ABC= ab ? 1 . ,S 2 ② a ? b ? 2 ? 2 , c ? 2 3 时,因 2(2 ? 2 ) ? 2 3 ,故不能构成三角形,不合题意,舍去.
x1 ?
③ a ? b ? 2 ? 2 , c ? 2 3 时,因 2(2 ? 2 ) > 2 3 ,故能构成三角形. 1 S△ABC= ? 2 3 ? (2 ? 2)2 ? ( 3)2 ? 9 ? 12 2 2
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综上,△ABC 的面积为 1 或 9 ? 12 2 .

共 4 页第 10 页


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