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(数学选修2--3) 第一章 计数原理测试题


(数学选修 2--3) 数学选修
一、选择题

第一章

计数原理

10 的展开式中, 4.在 ( x ? 3) 的展开式中, x 的系数是 . 6

.

5.在 (1 ? x 2 ) 20 展开式中,如果第 4r 项和第 r + 2 项的二项式系数相等, . 展开式中, 项的二项式系数相等, 则r = , T4 r = .

1.将 3 个不同的小球放入 4 个盒子中,则不同放法种数有( ) . 个盒子中,则不同放法种数有( A. 81 B. 64 C.12 D.14 . . . . 2.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台,其中至少有甲型与乙型电视机 . 则不同的取法共有( )A.140 种 B. 84 种 C. 70 种 D. 35 种 各 1 台,则不同的取法共有( . 3. 5 个人排成一排 其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有( ) 人排成一排,其中甲 乙两人至少有一人在两端的排法种数有( 其中甲、 . A. A3 .
3

的九个数字里,任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数, 6.在 1, 2,3,..., 9 的九个数字里,任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数,这样的四 . 位数有_________________个? 个 位数有 7.用 1, 4,5, x 四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为 288 ,则 x . 四个不同数字组成四位数 所有这些四位数中的数字的总和为 则 .

B. 4A3 .

3

C. A5 ? A3 A3 .
5 2

3

D. A2 A3 + A2 A3 A3 .
2 3 1 1

3

4. a, b, c, d , e 共 5 个人,从中选 1 名组长 1 名副组长,但 a 不能当副组长, . 个人, 名副组长, 不能当副组长, 不同的选法总数是( B.16 C.10 D. 6 不同的选法总数是( )A. 20 . . . 人分别参加数学、 5.现有男、女学生共 8 人,从男生中选 2 人,从女生中选 1 人分别参加数学、 .现有男、 物理、化学三科竞赛, 不同方案,那么男、女生人数分别是( 物理、化学三科竞赛,共有 90 种不同方案,那么男、女生人数分别是( ) B.男生 3 人,女生 5 人 A.男生 2 人,女生 6 人 . . C.男生 5 人,女生 3 人 D.男生 6 人,女生 2 人. . .

8.从 1,3,5, 7,9 中任取三个数字,从 0, 2, 4, 6,8 中任取两个数字,组成没有重复数字的五位数,共 . 中任取三个数字, 中任取两个数字,组成没有重复数字的五位数, 有________________个? 个 三、解答题 1.判断下列问题是排列问题还是组合问题?并计算出结果 .判断下列问题是排列问题还是组合问题?并计算出结果. 每两人互通一封信,共通了多少封信? 每两人互握了一次手, (1)高三年级学生会有 11 人:①每两人互通一封信,共通了多少封信?②每两人互握了一次手, ) 共握了多少次手? 共握了多少次手?

?x 1 ? 6.在 ? ? 的展开式中的常数项是( . ? 的展开式中的常数项是( ?2 3 x?
A. 7 B. ?7 . C. 28 . D. ?28 .
3

8

) 从中选一名正组长和一名副组长,共有多少种不同的选法? (2)高二年级数学课外小组 10 人:①从中选一名正组长和一名副组长,共有多少种不同的选法? ) 名参加省数学竞赛,有多少种不同的选法? ②从中选 2 名参加省数学竞赛,有多少种不同的选法?

7. (1 ? 2 x)5 (2 + x) 的展开式中 x 的项的系数是( . 的项的系数是( A. 120 8. ? x + . A.180 . B. ?120 .
n



C.100 .

D. ?100 . ) 2. 7 个排成一排,在下列情况下,各有多少种不同排法? . 个排成一排,在下列情况下,各有多少种不同排法? (1)甲排头, )甲排头,

? ?

2 ? 展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是 则展开式中的常数项是( ? 展开式中只有第六项二项式系数最大 则展开式中的常数项是( x2 ?
B. 90 . C. 45 . D. 360 .

二、填空题
1.从甲、乙,……,等 6 人中选出 4 名代表,那么(1)甲一定当选,共有 ……, 名代表,那么( )甲一定当选, .从甲、 甲一定不入选,共有 甲一定不入选, 种选法.(3)甲、乙二人至少有一人当选,共有 种选法 ( ) 乙二人至少有一人当选, 2. 4 名男生, 4 名女生排成一排,女生不排两端,则有 种不同排法. . 名男生, 名女生排成一排,女生不排两端, 种不同排法 这六个数字组成_____个没有重复数字的六位奇数 个没有重复数字的六位奇数. 3.由 0,1, 3,5, 7,9 这六个数字组成 . 个没有重复数字的六位奇数 种选法. (2) 种选法. ) ( 种选法. 种选法 (2)甲不排头,也不排尾, )甲不排头,也不排尾,

丙三人必须在一起, (3)甲、乙、丙三人必须在一起, )

4.在 在 (1+x)的展开式中,若第 3 项与第 6 项系数相等,且 n 等于多少? 的展开式中, 项系数相等, 等于多少?

n

4)甲、乙之间有且只有两人, ) 乙之间有且只有两人,

丙三人两两不相邻, (5)甲、乙、丙三人两两不相邻, )

1 ? ? 5. ? x x + ? 的展开式奇数项的二项式系数之和为 128 , 3 x? ?
则求展开式中二项式系数最大项。 则求展开式中二项式系数最大项。

n

(6)甲在乙的左边(不一定相邻) )甲在乙的左边(不一定相邻) ,

丙三人按从高到矮,自左向右的顺序, (7)甲、乙、丙三人按从高到矮,自左向右的顺序, )

(8)甲不排头,乙不排当中。 )甲不排头,乙不排当中。

6.已知

(2 ? 3x)50 = a0 + a1 x + a2 x 2 + L + a50 x 50 , 其 中 a0 , a1 , a2 L , a50 是 常 数 , 计 算

(a0 + a2 + a4 + L + a50 ) 2 ? (a1 + a3 + a5 + L + a49 ) 2
3.解方程 (1) A2 x = 140 Ax ; .
4 3

n +1 ?1 (2)Cn +3 = Cnn?1 + Cnn+1 + Cnn ? 2

一、选择题 1.B 每个小球都有 4 种可能的放法,即 4 × 4 × 4 = 64 每个小球都有 种可能的放法, . 2.C . 分两类: (1) (2) 分两类: )甲型 1 台,乙型 2 台: C4C5 ; )甲型 2 台,乙型 1 台: C4 C5 ( (
1 1 C4C52 + C42C5 = 70 1 2 2 1

5. 4, ?C20 x . 6. 840 . 7. 2 .

15 30

4 r 15 15 C20r ?1 = C20+1 , 4r ? 1 + r + 1 = 20, r = 4, T16 = C20 (? x 2 )15 = ?C20 x 30 2 2 2 2

先排首末, 先排首末,从五个奇数中任取两个来排列有 A5 ,其余的 A7 ,共有 A5 ? A7 = 840 个四位数, 当 x ≠ 0 时,有 A4 = 24 个四位数,每个四位数的数字之和为 1 + 4 + 5 + x
4

3.C . 4.B . 5.B .

若甲, 不考虑限制条件有 A5 ,若甲,乙两人都站中间有 A3 A3 , A5 ? A3 A3 为所求
5 2 3 5 2 3

24(1 + 4 + 5 + x) = 288, x = 2 ;当 x = 0 时, 288 不能被 10 整除,即无解 整除,
8.11040 . 的特殊情况, 在首位, 不考虑 0 的特殊情况,有 C5 C5 A5 = 12000, 若 0 在首位,则 C5 C4 A4 = 960,
3 2 5 3 1 4 5 1 4 C53C52 A5 ? C53C4 A4 = 12000 ? 960 = 11040

不考虑限制条件有 A5 ,若 a 偏偏要当副组长有 A4 , A5 ? A4 = 16 为所求
2 1 2 1

设男学生有 x 人,则女学生有 8 ? x 人,则 C x C8? x A3 = 90,
2 1 3

即 x ( x ? 1)(8 ? x ) = 30 = 2 × 3 × 5, x = 3
1 4 8? r ? r 8? r x 1 1 1 Tr +1 = C8r ( )8? r (? 3 ) r = (?1)r ( )8? r C8r x 3 = (?1) r ( )8? r C8r x 3 2 2 2 x

三、解答题 封信; 是组合问题, 1.解: )①是排列问题,共通了 A11 = 110 封信;②是组合问题,共握手 C11 = 55 次。 . (1) 是排列问题, (
2 2

6.A .

种选法; 是组合问题, 种选法。 (2)①是排列问题,共有 A10 = 90 种选法;②是组合问题,共有 C10 = 45 种选法。 ) 是排列问题,
2 2

令8 ? 7.B .

4 1 r = 0, r = 6, T7 = (?1)6 ( )8?6 C86 = 7 3 2

个商; 是组合问题, 个积。 (3)①是排列问题,共有 A8 = 56 个商;②是组合问题,共有 C8 = 28 个积。 ) 是排列问题,
2 2

(1 ? 2 x)5 (2 + x) = 2(1 ? 2 x)5 + x(1 ? 2 x)5 = ... + 2C53 (?2 x)3 + xC52 (?2 x)2 + ... = (4C52 ? 16C53 ) x3 + ... = ?120 x3 + ...

2.解: )甲固定不动,其余有 A6 = 720 ,即共有 A6 = 720 种; . (1)甲固定不动, (
6 6

个位置供选择, (2)甲有中间 5 个位置供选择,有 A5 ,其余有 A6 = 720 ,即共有 A5 A6 = 3600 种; )
1 6 1 6

8.A .

只有第六项二项式系数最大, 只有第六项二项式系数最大,则 n = 10 ,
r Tr +1 = C10 ( x )10? r ( 5 5? r 2 r 5 r 2 ) = 2r C10 x 2 ,令 5 ? r = 0, r = 2, T3 = 4C10 = 180 2 x 2

丙三人, 再把该三人当成一个整体,再加上另四人, (3)先排甲、乙、丙三人,有 A3 ,再把该三人当成一个整体,再加上另四人,相当于 5 人 )先排甲 的全排列, 的全排列,即 A5 ,则共有 A5 A3 = 720 种;
5 5 3

3

二、填空题 1. ) 10 . (1) ( 2. 8640 . 3. 480 . 4.1890 .

C53 = 10 ; ) 5 (2) (
4

C54 = 5 ; ) 14 (3) (
4 4

C64 ? C44 = 14
4

个人排甲、乙之间, (4)从甲、乙之外的 5 人中选 2 个人排甲、乙之间,有 A5 ,甲、乙可以交换有 A2 , ) 把该四人当成一个整体,再加上另三人, 人的全排列, 把该四人当成一个整体,再加上另三人,相当于 4 人的全排列, 则共有 A5 A2 A4 = 960 种;
2 2 4

2

2

先排女生有 A6 ,再排男生有 A4 ,共有 A6 ? A4 = 8640
1 1 5 0 既不能排首位,也不能排在末尾,即有 A4 ,其余的有 A55 ,共有 A4 ? A5 = 480 既不能排首位,也不能排在末尾,

四人形成五个空位, 丙之外的四人, (5)先排甲、乙、丙之外的四人,有 A4 ,四人形成五个空位,甲、乙、丙三人排 )先排甲 这五个空位, 这五个空位,有 A5 ,则共有 A5 A4 = 1440 种;
3 3 4

4

r 4 Tr +1 = C10 x10 ? r (? 3) r ,令 10 ? r = 6, r = 4, T5 = 9C10 x 6 = 1890 x 6

甲在乙的左边(不一定相邻) 占总数的一半, ,占总数的一半 (6)不考虑限制条件有 A7 ,甲在乙的左边(不一定相邻) 占总数的一半, ) , 即

7

4 4 系数最大项是 T4+1 = C8 ( x x ) (

1 7 A7 = 2520 种; 2
4

1 4 ) = 70 x 4 3 x 2 。 3 x
50

6.解:设 f ( x ) = (2 ? 3 x)50 ,令 x = 1 ,得 a0 + a1 + a2 + L + a50 = (2 ? 3) . 令 x = ?1 ,得 a0 ? a1 + a2 ? L + a50 = (2 + 3)
50

个位置上排甲 丙之外的四人, 留下三个空位, (7)先在 7 个位置上排甲、乙、丙之外的四人,有 A7 ,留下三个空位,甲、乙、丙三人按 ) 从高到矮,自左向右的顺序自动入列,不能乱排的, 从高到矮,自左向右的顺序自动入列,不能乱排的,即 A7 = 840
4

(a0 + a2 + a4 + L + a50 )2 ? (a1 + a3 + a5 + L + a49 ) 2 =

这样重复了甲排头 甲排头, (8)不考虑限制条件有 A7 ,而甲排头有 A6 ,乙排当中有 A6 ,这样重复了甲排头,乙排当 ) 一次, 中 A5 一次,即 A7 ? 2 A6 + A5 = 3720
5 7 6 5

7

6

6

?2 x + 1 ≥ 4 ?x ≥ 3 ? 4 3 3.解: (1) A2 x +1 = 140 Ax ? ? . ?x ∈ N ?(2 x + 1)2 x(2 x ? 1)(2 x ? 2) = 140 x( x ? 1)( x ? 2) ? ?x ≥ 3 ? ? ?x ∈ N ?(2 x + 1)(2 x ? 1) = 35( x ? 2) ? ?x ≥ 3 ? ? ?x ∈ N ?4 x 2 ? 35 x + 69 = 0 ?
得x=3
2 2 1 2 1 2 (2)Cn +3 = Cn +1 + Cn +1 + Cn , Cn2+ 2 + Cn + 2 = Cn2+ 2 + Cn 1 2 Cn + 2 = Cn , n + 2 =

(a0 + a1 + a2 + L + a50 )(a0 ? a1 + a2 ? L + a50 ) = (2 ? 3)50 (2 + 3)50 = 1

n(n ? 1) ,n = 4 2

4.解: )由已知得 Cn = Cn ? n = 7 . (1) (
2 5

(2)由已知得 Cn + Cn + Cn + ... = 128, 2 )
1 3 5

n ?1

= 128, n = 8 ,而展开式中二项式


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