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2015年高一数学精品优秀教案:2.2.1《对数与对数运算》(新人教A版必修一)


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第一课时 对数的概念 三维目标定向 〖知识与技能〗 理解对数的概念,掌握对数恒等式及常用对数的概念,领会对数与指数的关系。 〖过程与方法〗 从指数函数入手, 引出对数的概念及指数式与对数式的关系, 得到对数的三条性质及对 数恒等式。 〖情感、态度与价值观〗 增强数学的理性思维能力及用普遍联系、 变化发展的眼光看待问题的能力, 体会对数的 价值,形成正确的价值观。 教学重难点:指、对数式的互化。 教学过程设计 一、问题情境设疑 引例 1:已知 2 ? 4, 2 ? 32 ,如果 2 x ? 26 ,则 x = ?
2 5

引例 2、改革开放以来,我国经济保持了持续调整的增长,假设 2006 年我国国内生产 总值为 a 亿元,如果每年平均增长 8%,那么经过多少年国内生产总值比 2006 年翻两番? 分析:设经过 x 年国内生产总值比 2006 年翻两番,则有 a (1 ? 8%) ? 4a ,即 1.08 =
x
x

4。 这是已知底数和幂的值,求指数的问题,即指数式 a b ? N 中,求 b 的问题。 能否且一个式子表示出来?可以, 下面我们来学习一种新的函数, 他可以把 x 表示出来。 二、核心内容整合 1 、对数:如果 a ? N (a ? 0且a ? 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作
x

x ? log a N 。其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数。
根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:当 a > 0 且 a ?1 时,

a x ? N ? x ? log a N (符号功能)——熟练转化
如: 1.01x ?

18 18 ? x ? log1.01 ,4 2 = 16 ? 2 = log 4 16 13 13
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2、常用对数:以 10 为底 log10 N 写成 lg N ; 自然对数:以 e 为底 log e N 写成 ln N (e = 2.71828?) 3、对数的性质: (1)在对数式中 N = a
x

> 0(负数和零没有对数) ;

(2)log a 1 = 0 , log a a = 1(1 的对数等于 0,底数的对数等于 1) ; (3)如果把 a b ? N 中 b 的写成 log a N ,则有 a 三、例题分析示例 例 1、将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: (1)5
4

log a N

。 ? N (对数恒等式)

= 625;

(2) 2 ?6 ?

1 ; 64

(3) ( ) m ? 5.73 ;

1 3

(4) log 1 16 ? ?4 ; (5)lg0.01 = – 2; (6)ln10 = 2.303。
2

例 2、求下列各式中 x 的值: (1) log 64 x ? ?

2 ; 3

(2)log x 8 = 6; (4)– ln e
2

(3)lg100 = x;

= x。

补充例题:求值(1) log 9 27 ; (2) log 3

54

625 。

四、学习水平反馈:P64,练习 1,2,3,4。 补充练习:求下列各式中的值。 log 2 (log 5 x) ? 1 , log 4 [log 3 (log 1 x)] ? 0 。
2

五、三维体系构建 1、对数的相关概念,常用对数,自然对数; 2、对数与指数的互换; 3、对数的基本性质; 4、求值(已知对数、底数、真数其中两个,会求第三个) 。 六、课后作业:P74,习题 2.2,A 组 1、2。 教学反思:

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第二课时 对数的运算 三维目标定向 〖知识与技能〗 理解并会推导对数的运算法则, 并会用语言叙述该法则, 理解并能用换底公式化简求值。 〖过程与方法〗 理解积、商、幂的对数运算法则,能灵活应用换底公式化简求值。 〖情感、态度与价值观〗 从新颖别致的运算法则中感受奇异美,并能体会对数运算的使用价值。 教学重难点:灵活运用对数法则,求值或化简。 教学过程设计 一、复习引入 1、对数的概念: a x ? N ? x ? log a N ,常用对数 lg x,自然对数:ln x。 2、对数的性质:N = a 3、课前练习: (1)给出四个等式:① lg(lg10) ? 0 ③若 lg x ? 10 ,则 x = 10 ② lg(ln e) ? 0 其中正确的是 。
x

> 0;log a 1 = 0 , log a a = 1; a

log a N

?N。

④若 ln x ? e 则 x ? e 2 。 。

(2) log 3 1 ? log 3 3 ? log 3 27 ? (3) ln e ? lg100 ? (4) lg14 ? 2 lg

7 ? lg 7 ? lg18 ? ? 3

二、核心内容整合 对数的运算性质:如果 a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0,那么: (1) log a MN ? log a M ? log a N ; (2) log a (3) log a M n ? n log a M (n ? R ) 。 语言表达:两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和; 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差; 一个正数的 n 次方的对数等于这个正数的对数的 n 倍。

M ? log a M ? log a N ; N

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证明: log a MN ? log a M ? log a N 证:设 log a M ? p, log a N ? q ,由对数的定义可以得: M ? a , N ? a ,
p q

所以 MN ? a p ? a q ? a p ? q ? log a MN ? p ? q , 即证得 log a MN ? log a M ? log a N 。 学生类比证明(2) (3) 。 三、例题分析示例 例 1、用 log a x, log a y, log a z 表示下列各式: (1) log a

xy ; z

(2) log a

x2 y
3

z



例 2、求下列各式的值: (1) log 2 (4 ? 2 ) ;
7 5

(2) lg 5 100 。

课堂小结:对数的运算性质 如果 a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0,那么: (1) log a MN ? log a M ? log a N ; (2) log a (3) log a M n ? n log a M (n ? R ) 。 说明(1)简易语言表达; (2)有时可逆向运用公式; (3)底数的取值必须是 (0, ??) ; (4)注意: log a ( MN ) ? log a M ? log a N , log a ( M ? N ) ? log a M ? log a N 巩固练习:P68,练习 1、2、3。 提高练习: 1(1)若 lg x ? lg a ? 2 lg b ? 3lg c ,则 x = (2) 。 。

M ? log a M ? log a N ; N

1 log 6 12 ? log 6 2 的值为 2

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(3) log 2 8 ? 4 3 ? log 2 8 ? 4 3 ? 四、探究 (1) log a m N n ? (2) log a b ?



n log a N ; m

log c b (a ? 0且a ? 1, c ? 0且c ? 1, b ? 0) (换底公式) ; log c a

(3) log a b ? log b a ? 1 。 分析: (1)设 log a m N ? x ? (a ) ? N ? a
n m x n mx

? N n ? log a N n ? mx ,

所以 x ?

1 n log a N n ? log a N 。 m m

(2)设 x ?

log c b ? log c b ? x log c a ? log c a x ? b ? a x ? x ? log a b , log c a log c b 。 log c a
lg b lg a ? ?1。 lg a lg b

所以 log a b ?

(3) log a b ? log b a ?

应用:P75,练习,4。 五、课后作业:P74 习题 2.2,A 组,3、4、5。 教学反思:

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第三课时 对数运算性质的应用 一、课标定位 (一)知识与技能 1、掌握对数的运算性质,能较熟练地运用对数的运算性质解决有关对数式的化简、求 值问题。 2、掌握换底公式,会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数,并能进行一 些简单的化简和证明。 3、能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答。 (二)过程与方法 1、利用类比的方法,得出对数的运算性质,体会数学知识的前后连贯性,加深对公式 内容及公式适用条件的记忆。 2、结合实例探究换底公式,并通过换底公式的应用,体会化归与转化的数学思想。 3、通过师生之间、学生之间互相交流探讨,培养探究能力。 (三)情感态度与价值观 1、通过探究换底公式的概念,使学生体会知识之间的有机联系,感受数学的整体性, 激发学生的学习兴趣,培养严谨的科学精神。 2、通过计算器来探索对数的运算性质,认识到现代信息技术是认识世界的有效手段和 工具,激发学生学习数学的热情。 二、教学过程设计 (一)知识梳理 1、对数的运算性质 如果 a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0,那么: (1) log a MN ? log a M ? log a N ; (2) log a (3) log a M n ? n log a M (n ? R ) ; 2、换底公式: log a b ?

M ? log a M ? log a N ; N n (4) log a m N n ? log a N ; m

log c b (a ? 0且a ? 1, c ? 0且c ? 1, b ? 0) ; log c a

(二)对数运算性质的运用 例 1、若 a ? 0, a ? 1, x ? y ? 0, n ? N * ,则下列各式中:

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① (log a x) n ? n log a x ; ② (log a x) n ? log a x n ; ④

③ log a x ? ? log a ⑥

1 ; x

log a x y ? log a ; log a y x
n

⑤ n log a x ?

1 log a x ; n

1 log a x ? log a n x ; n

⑦ log a x ? log a n x ; 其中成立的有( (A)3 个 例 2、 lg 25 ? ) (B)4 个

⑧ log a

x? y x? y 。 ? ? log a x? y x? y

(C)5 个

(D)6 个 。 ) (C)c < a < b (D)b < a < c

2 lg 8 ? lg 5 ? lg 20 ? lg 2 2 ? 3 ln 2 ln 3 ln 5 练习 1、若 a ? ,则( ,b ? ,c ? 2 3 5
(A)a < b < c (B)c < b < a

(三)对数换底公式的应用 例 3、已知 log a b ? log 3 a ? 4 ,求 b 的值。 例 4、设 3x ? 4 y ? 36 ,求

2 1 ? 的值。 x y


练习 2、若 y ? log 5 6 ? log 6 7 ? log 7 8 ? log 8 9 ? log 9 10 ,则有(

(A) y ?(0,1) (B) y ? (1,2) (C) y ? (2,3) (D) y ? (3,4)

(四) 、对数运算在实际问题中的应用 例 5、20 世纪 30 年代,里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪 衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大。这就是我们常 说的里氏震级 M,其计算公式为 M = lg A – lg A 0,其中,A 是被测地震的最大振幅,A 0 是 “标准地震” 的振幅 (使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差) 。 (1)假设在一次地震中,一个距离震中 100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是 20, 此时标准地震的振幅是 0.001,计算这次地震的震级(精确到 0.1) ; (2)5 级地震给人的震感已比较明显,计算 7.6 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大 振幅的多少倍(精确到 1) 。

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例 6、科学研究表明,宇宙射线在大气中能够产生放射性碳 14。碳 14 的衰变极有规律, 其精确性可以称为自然界的“标准时钟” 。动植物在生长过程中衰变的碳 14,可以通过与大 气的相互作用得到补充,所以活着的动植物每克组织中的碳 14 含量保持不变。死亡后的动 植物,停止了与外界环境的相互作用,机体中原有的碳 14 按确定的规律衰减,我们已经知 道其“半衰期”为 5730 年。 湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳 14 的残余量约占原始含量的 76.7%,试推算马王堆 古墓的年代。 练习 3、 声音的强度 D (dB) 由公式: D ? 10 lg(

I 其中 I 为声音能量 ( W / cm 2 ) , ) 给出, ?16 10

能量小于 10?16 W / cm 2 时,人听不见声音。求: (1)人低声说话( I ? 10?13W / cm 2 )的声音强度; (2)平时常人的交流( I ? 3.16 ? 10?6 W / cm 2 )的声音强度; (3)听交响音乐时,坐在铜管乐前( I ? 5.01? 10?6 W / cm 2 )的声音强度。 (五)探究创新 设 a ? 0, a ? 1, x, y 满足 log a x ? 3log x a ? log x y ? 3 , 用 log a x 表示 log a y , 并求当 x 取何值时, log a y 取得最小值。 (六)课堂小结 1、利用对数的运算法则时,要注意各个字母的取值范围; 2、初学对数运算法则时,容易出现下面的错误: log a ( M ? N ) ? log a M ? log a N ,

log a M ? log a N ? log a M ? log a N , log a

M log a M , log a N n ? (log a N ) n ?;产生 ? N log a N

这样错误的原因是将积、商、幂的对数与对数的积、商幂混淆起来,把对数符号当作表示数 的字母进行运算; 3、换底公式可将各种底的对数换算为常用对数或自然对数,是对数运算中非常重要的 工具。 (七)作业:课本 P74,习题 2.2,A 组 11,12;B 组 3。 教学反思:

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