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2016-2017学年度下学期江苏省苏锡常镇四市高三教学情况调研数学试题


2016-2017 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)

数 学 Ⅰ 试 题
注意事项:

2017.5

1.本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题)两部 分.本试卷满分 160 分,考试时间 120 分钟. 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试号用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的 指定位置. 3.答题时,必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定位置,在其它位置作答 一律无效. 4.如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚. 5. 请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆 珠笔. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需要写出解答过程,请把答案 直接填在答题卡相应位置上 . ........ 1.已知集合 A ? ?x ?1 ? x ? 3? , B ? ?x x ? 2? ,则 A ? B ? ▲ . ▲ .

2.已知 i 为虚数单位,复数 z1 ? 3 ? yi ( y ? R ) , z2 ? 2 ? i ,且

z1 ? 1 ? i ,则 y ? z2

3.下表是一个容量为 10 的样本数据分组后的频数分布.若利用组中值近似计算本组数据 的平均数 x ,则 x 的值为 数据 频数
[12.5,15.5)




[15.5,18.5) [18.5, 21.5) [21.5, 24.5)

2

1

3

4

4.已知直线 2x ? 3 y ? 0 为双曲线 心率的值为 ▲ .

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线,则该双曲线的离 a 2 b2

1

5.据记载,在公元前 3 世纪,阿基米德已经得出了前 n 个自然数 平方和的一般公式.右图是一个求前 n 个自然数平方和的算法 流程图,若输入 x 的值为 1,则输出 S 的值为 ▲ .

开始

输入 x
S ?0
S ? S ? x2
x ? x ?1

6 .已知 ?1 是集合 ( x, y ) x 2 ? y 2 ? 1 所表示的区域, ?2 是集合

?

?

?( x , y ) y? x ? 所表示的区域,向区域 ? 内随机的投一个点,则
1

S ?5



该点落在区域 ?2 内的概率为







输出 S

7.已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,公比 q ? 3 ,S3 ? S4 ? 则 a3 ? ▲ .

53 , 3

结束

8.已知直四棱柱底面是边长为 2 的菱形,侧面对角线的长为 2 3 ,则该直四棱柱的侧面 积为 ▲ .
3 10

9.已知 ? 是第二象限角,且 sin ? ?

, tan(? ? ? ) ? ?2 ,则 tan ? ?





10.已知直线 l : mx ? y ? 2m ? 1 ? 0 ,圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 ,当直线 l 被圆 C 所截得 的弦长最短时,实数 m ? ▲ .

11.在△ ABC 中,角 A, B, C 对边分别是 a , b, c ,若满足 2b cos A = 2c ? 3a ,则角 B 的大小 为 ▲ .

1 12.在△ ABC 中, AB ? AC , AB ? , AC ? t , P 是△ABC 所在平面内一点,若 t ??? ? ???? ??? ? 4 AB AC ? ? ???? ,则△PBC 面积的最小值为 AP ? ??? ▲ . | AB | | AC |
? 4 x ? x 2 , x …0, ? 13.已知函数 f ( x) ? ? 3 若函数 g ( x) ? f ( x) ? 3x ? b 有三个零点,则实数 b 的 x ? 0, ? , ? x

取值范围为





14.已知 a , b 均为正数,且 ab ? a ? 2b ? 0 ,则
2

a2 2 1 ? ? b2 ? 的最小值为 4 a b





二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出必 ....... 要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 已知向量 m ? ( 3 cos x, ?1) , n ? (sin x,cos2 x) . (1)当 x ?

π 时,求 m ? n 的值; 3

3 1 ? π? ? ,求 cos 2 x 的值. (2)若 x ? ? 0, ? ,且 m ? n ? 3 2 ? 4?

16. (本小题满分 14 分) 如图,在四面体 ABCD 中,平面 ABC⊥平面 ACD, E,F,G 分别为 AB,AD,AC 的中点, AC ? BC ,
?ACD ? 90? .

B

E

(1)求证:AB⊥平面 EDC; (2)若 P 为 FG 上任一点,证明 EP∥平面 BCD.

A F

G P D

C

17. (本小题满分 14 分) 某科研小组研究发现:一棵水蜜桃树的产量 w (单位:百千克)与肥料费用 x (单位: 百元)满足如下关系: w ? 4 ?
3 ,且投入的肥料费用不超过 5 百元.此外,还需 x ?1

要投入其他成本(如施肥的人工费等) 2 x 百元.已知这种水蜜桃的市场售价为 16 元 /千克(即 16 百元/百千克) ,且市场需求始终供不应求.记该棵水蜜桃树获得的利润 为 L( x) (单位:百元) . (1)求利润函数 L ? x ? 的函数关系式,并写出定义域; (2)当投入的肥料费用为多少时,该水蜜桃树获得的利润最大?最大利润是多少?

3

18. (本小题满分 16 分)
b ? 0 , e 为自然对数的底数, e ? 2.71828 …. 已知函数 f ( x) ? a ln x ? bx3 , a, b 为实数,

(1)当 a ? 0 , b ? ?1 时,设函数 f ( x) 的最小值为 g (a) ,求 g (a) 的最大值; (2)若关于 x 的方程 f ( x)=0 在区间 (1,e] 上有两个不同实数解,求

a 的取值范围. b

19. (本小题满分 16 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F (?1,0) ,左准线方程为 x ? ?2 . a 2 b2
y P A

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)已知直线 l 交椭圆 C 于 A , B 两点. ①若直线 l 经过椭圆 C 的左焦点 F , ???? ???? 交 y 轴 于 点 P , 且 满 足 P A? ? A F , ??? ? ??? ? PB ? ? BF .求证: ? ? ? 为定值; ②若 A,B 两点满足 OA ? OB (O 为 坐标原点) ,求△AOB 面积的取值范围.
F B

O

x

20. (本小题满分 16 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ?

? an 2 ? ? an ? 4
an ? 2

,其中 n ? N* , ? , ? 为非零常数.

(1)若 ? ? 3, ? ? 8 ,求证: ?an ? 1? 为等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?an ? 是公差不等于零的等差数列. ①求实数 ? , ? 的值; ②数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 构成数列 ?Sn ? ,从 ?Sn ? 中取不同的四项按从小到大排列 组成四项子数列.试问:是否存在首项为 S1 的四项子数列,使得该子数列中的所有项 之和恰好为 2017?若存在, 求出所有满足条件的四项子数列; 若不存在, 请说明理由.

4

2016-2017 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二) 数学参考答案
一、填空题. 1. ?x ?1 ? x ? 2? 5.14 9. 2.1 6. 3.19.7 7. 3 11. 4.
21 3

2017.5

3 4

8. 16 2

1 7

10.-1

π 6

12.

3 2

1 13. (??, ?6) ? (? ,0] 14.7 4 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.
15.解: (1)当 x ?
3 3 1 π 时, m ? ( , ?1) , n ? ( , ) , ……………………………4 分 2 2 4 3

所以 m ? n ? (2) m ? n =
?

3 1 1 ? ? .…………………………………………………………6 分 4 4 2
3 cos x sin x ? cos2 x
3 1 1 π 1 sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin(2 x ? ) ? , ………………………8 分 2 2 2 6 2

若 m?n ?

3 1 π 1 3 1 π 3 ? ,则 sin(2 x ? ) ? ? ? ,即 sin(2 x ? ) ? , 3 2 6 2 3 2 6 3 π 6 π ,所以 cos(2 x ? ) ? , ……………10 分 6 3 3

π π π 因为 x ?[0, ] ,所以 ? 剟2x ? 4 6 6

π π π 3 π 1 ? sin(2 x ? ) ? 则 cos 2 x ? cos[(2 x ? ) ? ] ? cos(2 x ? ) ? 6 6 6 2 6 2 ?

……………12 分

6 3 3 1 3 ?2 3 ? ? ? ? . ……………………………14 分 3 2 3 2 6 16. (1)因为平面 ABC⊥平面 ACD, ?ACD ? 90? ,即 CD⊥AC, 平面 ABC ? 平面 ACD=AC,CD ? 平面 ACD,

所以 CD⊥平面 ABC, ………………………………………………………………3 分 又 AB ? 平面 ABC,所以 CD⊥AB, ………………………………………………4 分 因为 AC ? BC ,E 为 AB 的中点,所以 CE⊥AB, …………………………………6 分 又 CE ? CD ? C ,CD ? 平面 EDC,CE ? 平面 EDC, 所以 AB⊥平面 EDC. …………………………………………………………………7 分
5

(2)连 EF,EG,因为 E,F 分别为 AB,AD 的中点, 所以 EF∥BD,又 BD ? 平面 BCD, EF ? 平面 BCD, 所以 EF∥平面 BCD, ………………………………………………………………10 分 同理可证 EG∥平面 BCD,且 EF ? EG=E,EF ? 平面 BCD,EG ? 平面 BCD, 所以平面 EFG∥平面 BCD, ………………………………………………………12 分 又 P 为 FG 上任一点,所以 EP ? 平面 EFG,所以 EP∥平面 BCD.……………14 分 3 ? 48 ? ? 3x ( 0剟x 5 ) 17.解: (1) L( x) ? 16 ? 4 ? .………………4 分 ? ? x ? 2 x ? 64 ? x ?1? x ?1 ? (2)法一: L( x) ? 64 ?
48 ? 48 ? ? 3 x ? 67 ? ? ? 3 ? x ? 1? ? x ?1 ? x ?1 ?

? 67 ? 2

48 ? 3 ? x ? 1? ? 43 .……………………………………8 分 x ?1

当且仅当

48 ? 3? x ? 1? 时,即 x ? 3 时取等号.……………………………10 分 x ?1 故 L ? x ?max ? 43 .………………………………………………………………12 分

答:当投入的肥料费用为 300 元时,种植该果树获得的最大利润是 4300 元.…14 分 48 法二: L? ? x ? ? ? 3 ,由 L? ? x ? ? 0 得, x ? 3 .……………………………7 分 2 ? x ? 1? 故当 x ? ? 0,3? 时, L? ? x ? ? 0 , L ? x ? 在 ? 0,3? 上单调递增; 当 x ? ? 3,10 ? 时, L? ? x ? ? 0 , L ? x ? 在 ? 3,5? 上单调递减;…………………10 分 故 L ? x ?max ? 43 .………………………………………………………………12 分 答:当投入的肥料费用为 300 元时,种植该果树获得的最大利润是 4300 元.…14 分 18.解: (1)当 b ? ?1 时,函数 f ( x) ? a ln x ? x3 ,

a a ? 3x3 , ………………………………………………………2 分 ? 3x2 ? x x a a 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 3 ? ,因为 a ? 0 时, 3 ? ? 0 , 3 3
则 f ?( x) ?

x
f ?( x) f ( x)

a (0, 3 ? ) 3

3

?

a 3

a ( 3 ? , ??) 3

?

0 极小值

+

a a a a a a 所以 g (a) ? f ( 3 ? ) ? a ln 3 ? ? ? ln(? ) ? , ……………………………4 分 3 3 3 3 3 3 令 t ( x) ? ? x ln x ? x , 则 t ?( x) ? ? ln x ,令 t ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 , 且当 x ? 1 时, t ( x ) 有最大值 1, 所以 g (a) 的最大值为 1(表格略) ,(分段写单调性即可),此时 a ? ?3 .………6 分

(2)由题意得,方程 a ln x ? bx 3 ? 0 在区间 (1,e] 上有两个不同实数解,
6

a x3 在区间 (1,e] 上有两个不同的实数解, ? b ln x a x3 即函数 y1 ? 图像与函数 m( x) ? 图像有两个不同的交点,…………………9 分 b ln x x 2 (3ln x ? 1) 因为 m?( x) ? ,令 m?( x) ? 0 ,得 x ? 3 e , (ln x)2
所以

x
m?( x ) m( x )

(1, 3 e)

3

e

( 3 e,e?
+

?

0 3e

3 所以当 x ? (1, e) 时, m( x) ? (3e, ??) ,……………………………………………14 分

当 x? (3 e,e] 时, m( x) ? (3e,e3 ] ,

a a 所以 a , b 满足的关系式为 3e ? ? e3 ,即 的取值范围为 (3e,e3 ] .…………16 分 b b
19.解: (1)由题设知 e ?
(1, ? 2 2

2 , a 2 ? 2c 2 ? b2 ? c 2 ,即 a2 ? 2b2 ,……………………1 分 2

) 代入椭圆 C 得到

1 1 ? ? 1 ,则 b 2 ? 1 , a 2 ? 2 ,…………………2 分 2b2 2b2

∴C :

x2 2

? y 2 ? 1 . ……………………………………………………………………3 分

(2)①由题设知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,则 P(0, k ) . 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,直线 l 代入椭圆得 x2 ? 2k 2 ( x ? 1)2 ? 2 ,整理得,

?4k 2 2k 2 ? 2 . ……………5 分 , x1 x2 ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? x1 ? x2 ,? ? 由 PA ? ? AF , PB ? ? BF 知, ? ? , ……………………………7 分 1 ? x1 1 ? x2
(1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 ,∴ x1 ? x2 ?
?4k 2 4k 2 ? 4 ? 2 2 x ? x2 ? 2 x1 x2 ?4 ? ? 1 ? 2k 2 1 ? 22k ?? ? ?4 (定值) ∴? ? ? ? ? 1 .………9 分 ?4k 2k ? 2 1 ? x1 ? x2 ? x1 x2 ?1 1? ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

②当直线 OA, OB 分别与坐标轴重合时,易知△AOB 的面积 S ?

2 ,……………10 分 2 1 当直线 OA, OB 的斜率均存在且不为零时,设 OA : y ? kx, OB : y ? ? x , k 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,将 y ? kx 代入椭圆 C 得到 x2 ? 2k 2 x 2 ? 2 ,

7

∴ x12 ?

2 2k 2 ? 1

, y12 ?

2k 2 2k 2 2 2 ,同理 , …………………12 分 x ? , y22 ? 2 2 ? k2 2 ? k2 2k 2 ? 1

OA ? OB △AOB 的面积 S ? ? 2

? 2k

?k
2

2

? 1?? k 2 ? 2 ?

? 1?

2

. ………………………………13 分

t2 1 , ? ? 2t ? 1?? t ? 1? 2 ? 1 ? 1 t t2 ?2 2 ? 1 1 1 令 u ? ? (0,1) ,则 S ? ? ?? , ? 2 2 ? . ……………15 分 ?u ? u ? 2 t 1 ? 9 ?3 2 ? ? ??u ? ? ? 2? 4 ?
令 t ? k 2 ? 1? ?1, ?? ? , S ?

?2 2 ? 综上所述, S ? ? , ?. ?3 2 ?

………………………………………………………16 分
3an 2 ? 8an ? 4 (3an ? 2)(an ? 2) ? ? 3an ? 2 , an ? 2 an ? 2

20.解: (1)当 ? ? 3, ? ? 8 时, an ?1 ?

∴ an ?1 ? 1 ? 3(an ? 1) .……………………………………………………………………2 分 ∴ ?an ? 1? 为 2 为首项,3 为公比的等比数列, 又 an ? 1 ? 0 ,不然 a1 ? 1 ? 0 ,这与 a1 ? 1 ? 2 矛盾,…………………………………3 分

∴ an ? 1 ? 2 ? 3n ?1 ,∴ an ? 2 ? 3n?1 ? 1 . …………………………………………………4 分 (2)①设 an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? d ? 1 , 由 an ?1 ?

? an 2 ? ? an ? 4
an ? 2

得 an?1 (an ? 2) ? ?an 2 ? ?an ? 4 ,

∴ (dn ? d ? 3)(dn ? 1) ? ? (dn ? d ? 1)2 ? ? (dn ? d ? 1) ? 4 , …………………………5 分 ∴ d 2 ? n2 ? (4d ? d 2 )n ? d ? 3 ? ?d 2 n2 ? (2(1 ? d )? ? ? )dn ? ? (1 ? d )2 ? (1 ? d )? ? 4 对任意 n ? N? 恒成立. ………………………………………………………………7 分 ?d 2 ? ? d 2, ?? ? 1, ? ? 2 ∴ ?4d ? d ? (2(1 ? d )? ? ? )d, 即 ?u ? d ? 2, ∴ ? ? 1, u ? 4, d ? 2 .…………9 分 ?d ? 2, ? 2 ? ??d ? 3 ? ? (1 ? d ) ? (1 ? d ) ? ? 4,

综上, ? ? 1,? ? 4, an ? 2n ? 1 . ……………………………………………………10 分 n(1 ? 2n ? 1) ②由①知 Sn ? ? n2 . 2 设存在这样满足条件的四元子列,观察到 2017 为奇数,这四项或者三个奇数一个偶 数、或者一个奇数三个偶数.

1? 若三个奇数一个偶数,设 S1 , S2 x?1 , S2 y ?1 , S2 z 是满足条件的四项,
则 1 ? (2x ? 1)2 ? (2 y ? 1)2 ? 4 z 2 ? 2017 , ∴ 2( x2 ? x ? y 2 ? y ? z 2 ) ? 1007 ,这与 1007 为奇数矛盾,不合题意舍去. ……11 分
8

2? 若一个奇数三个偶数,设 S1 , S2 x , S2 y , S2 z 是满足条件的四项,
则 12 ? 4 x2 ? 4 y 2 ? 4 z 2 ? 2017 ,∴ x2 ? y 2 ? z 2 ? 504 . ……………………………12 分 由 504 为偶数知, x, y, z 中一个偶数两个奇数或者三个偶数. 1)若 x, y, z 中一个偶数两个奇数,不妨设 x ? 2 x1,y ? 2 y1 ? 1, z ? 2 z1 ? 1, 则 2( x12 ? y12 ? y1 ? z12 ? z1 ) ? 251 ,这与 251 为奇数矛盾. ………………………13 分 2)若 x, y, z 均为偶数,不妨设 x ? 2 x1 , y ? 2 y1 , z ? 2 z1 , 则 x12 ? y12 ? z12 ? 126 ,继续奇偶分析知 x1 , y1 , z1 中两奇数一个偶数, 不妨设 x1 ? 2 x2 , y1 ? 2 y2 ? 1 , z1 ? 2 z2 ? 1 ,则 x22 ? y22 ? y2 ? z22 ? z2 ? 31 . …14 分 因为 y2 ( y2 ? 1), z2 ( z2 ? 1) 均为偶数,所以 x 2 为奇数,不妨设 0剟y2

z2 ,

当 x2 ? 1 时, y22 ? y2 ? z22 ? z2 ? 30 , y22 ? y2 ? 14 ,检验得 y2 ? 0 , z2 ? 5 , x2 ? 1 , 当 x2 ? 3 时, y22 ? y2 ? z22 ? z2 ? 22 , y22 ? y2 ? 10 ,检验得 y2 ? 1 , z2 ? 4 , x2 ? 3 , 当 x2 ? 5 时, y22 ? y2 ? z22 ? z2 ? 6 , y22 ? y2 ? 2 ,检验得 y2 ? 0 , z2 ? 2 , x2 ? 5 , 即 S1 , S4 , S8 , S44 或者 S1 , S12 , S24 , S36 或者 S1 , S4 , S20 , S40 满足条件, 综上所述,?S1 , S4 , S8 , S44 ? ,?S1 , S12 , S24 , S36 ? ,?S1 , S4 , S20 , S40 ? 为全部满足条件的四元子 列.…………………………………………………………………………………………16 分

9

(第Ⅱ卷 理科附加卷)
21. 【选做题】本题包括 A , B , C , D 四小题,每小题 10 分. A. (选修 4-1 几何证明选讲). 解:连结 OD,设圆的半径为 R, BE ? x ,则 OD ? R , DE ? 2 BE ? 2 x . …………2 分
OE ,即 R2 ? OC ? 在 Rt△ODE 中,∵ DC ? OB ,∴ OD2 ? OC ? ( R ? x) , ① OE ,即 4 x2 ? x? 又∵直线 DE 切圆 O 于点 D,则 DE 2 ? BE ? ( R ? x) ,② ………6 分

∴x?

2R 2R 3R ,代入①, R2 ? OC ? , ……………………………8 分 (R ? ) , OC ? 3 3 5 3R 2 R , ? 5 5

∴ BC ? OB ? OC ? R ?

∴ 2OC ? 3BC . ……………………………………………………………………10 分 B. (选修 4—2:矩阵与变换) ?1 a ? ? 1 ? ?1 ? a ? ? 1 ? ? ?1? ?1 ? a ? ?1, ?? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? 解:由题知, ? ……………………4 分 ? ? ?3 b ? ? ?1? ?3 ? b ? ? ?1? ? 1 ? ?3 ? b ? 1,
?1 2 ? ∴ a ? 2, b ? 2 , M ? ? ? .…………………………………………………………6 分 ?3 2 ? 1 2 det( M ) ? ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ?4 , …………………………………………………8 分 3 2

∴ M ?1

? 1 ?? 2 ?? ? 3 ? ? 4

1 ? 2 ? ? . ………………………………………………………………10 分 1? ? 4? ?

C. (选修 4—4:坐标系与参数方程) 解: ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 4cos2 ? ? 4sin 2 ? ? 4 , ∴曲线 C 的普通方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 . ……………………………………4 分

? 1 3 ? sin(? ? ) ? a ? ? sin ? ? ? cos ? ? a ,
3 2 2

∴曲线 D 的直角坐标方程为 3x ? y ? 2a ? 0 , ……………………………………6 分 曲线 C 圆心到直线 D 的距离为 d ?
3 ? 3 ? 3 ? 1 ? 2a ( 3)2 ? 12 ? 2 , ………………………8 分

∴ a ? 3 ? 2 ,∴ a ? 1 或 a ? 5 .………………………………10 分(少一解,扣一分)

10

D. (选修 4—5:不等式选讲) 解法一:基本不等式 ∵a? ∴a?

c2 b2 a2 …2b , b ? …2c , c ? …2a , a c b

b2 c2 a2 … 2a ? 2b ? 2c , ………………………………………6 分 ?b? ?c? a b c b2 c 2 a 2 ∴ ? ? …a ? b ? c , ………………………………………………………10 分 a b c b2 c 2 a 2 解法二:柯西不等式 (a ? b ? c)( ? ? )… (b ? c ? a)2 , a b c b2 c 2 a 2 ∴ ? ? …a ? b ? c , …………………………………………………………10 分 a b c
【必做题】第 22,23 题,每小题 10 分,计 20 分. 22.解: (1)设在一局游戏中得 3 分为事件 A , 则 P( A) ?
1 1 1 C2 C2 C1 2 ? .… …………………………………………………………2 分 3 C5 5

答:在一局游戏中得 3 分的概率为 (2) X 的所有可能取值为 1, 2,3, 4 . 在一局游戏中得 2 分的概率为
P( X ? 1) ?
2 1 C2 C2 1 ? ; 3 C5 5

2 .………………………………………………3 分 5

1 2 2 1 C2 C2 ? C2 C1 3 ,…………………………………5 分 ? 3 C5 10

4 3 6 ; P( X ? 2) ? ? ? 5 10 25 4 3 2 28 ; P( X ? 3) ? ? (1 ? ) ? ? 5 10 5 125 4 3 3 42 . P( X ? 4) ? ? (1 ? ) ? ? 5 10 5 125

所以

X

1
1 5

2
6 25

3
28 125

4
42 125

P

………………………………………………………………………………………………8 分 1 6 28 42 337 ∴ E( X ) ? 1? ? 2 ? ? 3 ? .…………………………………10 分 ? 4? ? 5 25 125 125 125

11

23.解:(1) f1 ( x) ? C10 x ? C11 ( x ? 1) ? x ? x ? 1 ? 1 ;………………………………………1 分
0 2 1 2 2 f 2 ( x)? C C x 1) ? 2 C ( ? x 2 2) 2 x? 2( ?

? x2 ? 2( x2 ? 2x ? 1) ? ( x2 ? 4x ? 4) ? 2 ; ………………………………………2 分
0 3 1 2 3 f3 ( x) ? C3 x ? C3 ( x ? 1)3 ? C3 ( x ? 2)3 ? C3 ( x ? 3)3

? x3 ? 3( x ? 1)3 ? 3( x ? 2)3 ? ( x ? 3)3 ? 6 . ………………………………………3 分
(2)猜测: f n ( x) ? n ! . …………………………………………………………………4 分 n! n! (n ? 1)! n! k k ?1 ?k ? ? 而 kCn , nCn , ?1 ? n k !(n ? k )! (k ? 1)!(n ? k )! (k ? 1)!(n ? k )! (k ? 1)!(n ? k )!
k k ?1 所以 kCn …………………………………………………………………5 分 ? nCn ?1 . 用数学归纳法证明结论成立. ①当 n ? 1 时, f1 ( x) ? 1 ,所以结论成立. 1 ②假设当 n ? k 时,结论成立,即 fk ( x) ? Ck0 xk ? Ck ( x ? 1)k ? ? ? (?1)k Ckk ( x ? k )k ? k ! . 1 k ?1 ?1 k ?1 当 n ? k ? 1 时, fk ?1 ( x) ? Ck0?1 xk ?1 ? Ck ? ? ? (?1)k ?1 Ckk? ?1 ( x ? 1) 1 ( x ? k ? 1) 1 k k k k k ?1 k ?1 ? Ck0?1 xk ?1 ? Ck Ck ?1 ( x ? k ? 1)k ?1 ?1 ( x ? 1) ( x ? 1) ? ? ? (?1) Ck ?1 ( x ? k ) ( x ? k ) ? (?1)
1 k k k k ? x[Ck0?1 xk ? Ck ?1 ( x ? 1) ? ? ? (?1) Ck ?1 ( x ? k ) ] 1 k 2 k k ?1 ?1 k ?1 ?[Ck kCkk?1 ( x ? k )k ] ? (?1)k ?1 Ckk? ?1 ( x ? 1) ? 2Ck ?1 ( x ? 2) ? ? (?1) 1 ( x ? k ? 1)

1 ? x[Ck0 xk ? (Ck ? Ck0 )( x ? 1)k ? ? ? (?1)k (Ckk ? Ckk ?1 )( x ? k )k ] 1 ?1 k ?(k ? 1)[( x ? 1)k ? Ck ( x ? 2)k ? ? (?1)k ?1 Ckk ?1 ( x ? k )k ] ? (?1)k ?1 Ckk? 1 ( x ? k ? 1) ( x ? k ? 1)
1 ? x[Ck0 x k ? Ck ( x ? 1)k ? ? ? (?1)k Ckk ( x ? k )k ] ? x[Ck0 ( x ? 1)k ? ? ? (?1)k ?1 Ckk ?1 ( x ? k )k ] 1 ?(k ? 1)[( x ? 1)k ? Ck ( x ? 2)k ? ? (?1)k ?1 Ckk ?1 ( x ? k )k ]

? x(?1)k ?1 Ckk ( x ? k ? 1)k ? (k ? 1)(?1)k ?1 ( x ? k ? 1)k
1 ? x[Ck0 x k ? Ck ( x ? 1)k ? ? ? (?1)k Ckk ( x ? k )k ]

? x[Ck0 ( x ? 1)k ? ? ? (?1)k -1 Ckk ?1 ( x ? k )k ? (?1)k Ckk ( x ? k ? 1)k ] ?(k ? 1)[( x ? 1) ? C ( x ? 2) ? ? (?1)
k 1 k k k ?1

(*)
k

C

k ?1 k

( x ? k ) ? (?1) ( x ? k ? 1) ]
k k

由归纳假设知(*)式等于 x ? k !? x ? k !? (k ? 1) ? k ! ? (k ? 1)! . 所以当 n ? k ? 1 时,结论也成立. 综合①②, f n ( x) ? n ! 成立. ………………………………………………………10 分

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