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2011年全国高中数学联赛模拟题冲刺(4)


2011 年全国高中数学联赛模拟题冲刺(4)
一试
1、 f ( x) 是周期为 5 的奇函数, f (1) ? 8 ,则 f (2010) ? f (2009) ? 2、设函数 f ? x ? ? 的值域是
x



1? ? 1? 3 ? ,若 ? x ? 表示不大于 x 的最大整数,则函数 ? f ?

x ? ? ? ? ? f ? ? x ? ? ? x 2? ? 2? 1? 3 ? 。
3 2

3、 ?? ? 0 , x1 , x2 , x3 为多项式 ? x ? ? x ? ? x ? ? ? 0 的根,则

( x1 ? x2 ? x3 )(

1 1 1 ? ? )? x1 x2 x3
1 3 8 2 5 20 48 3 7 4 9 5 6 11 13 24 … 7 … … …

4、如图是一个数表,第一行依次写着从小到大的正 整数,然后把每行的相邻两个数的和写在这两数的 正中间的下方得到下一行,数表从左到右、从上到 下无限。则 2000 在表中出现 次。 2 5、 已知二次函数 f ? x ? ? x ? 2mx ? 1 , 若对于 ? 0,1? 上 的任意三个实数 a, b, c ,函数值 f ? a ? , f ? b ? , f ? c ? 都 能构成一个三角形的三边长,则满足条件的 m 的值 可以是 。
5 5

12 16 20 64 80

28 36 44 … 112 144 … … … …

6、若 ( x ? y ) ? x ? y ? 0 ,则 y ? 。 1 2 3 4 5 6 7 8 7、 如图从第一格跳到 第 8 格,规定每次只能跳一格或者 2 格,则不同的跳格方法总数为 。 8、等比数列 {an } 中, a1 ? 1, a2010 ? 4 ,函数 f ( x) ? x( x ? a1 )( x ? a2 )? ( x ? a2010 ) ,则函 数在 (0, 0) 处的切线方程为 。 9、 (本题 16 分)如图,已知 O 为 ?ABC 的外心, a, b, c分别是 角 A、B、C 的对边,且满足 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? tan A tan A (1)推导出三边 a, b, c 之间的关系式; (2)求 的值。 CO ? AB ? BO ? CA 。 ? tan B tan C

第1页

10、 (本题 20 分)设直线 l : y ? kx ? m (其中 k , m 为整数)与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 交于不同两 16 12

x2 y 2 点 A , B ,与双曲线 ? ? 1 交于不同两点 C , D ,问是否存在直线 l ,使得向量 4 12 ???? ??? ? AC ? BD ? 0 ,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.

1 ,对于n ? N? , 定义 f1 ? x ? ? f ? x ? , f n ?1 ? x ? ? f ? f n ? x ? ? , ? ? 1? x 偶函数 g ? x ? 的定义域为 ? x x ? 0? ,当 x ? 0 时, g ? x ? ? f 2009 ? x ? 。 (1)求 g ? x ? ; (2)若存在

11、 (本题 20 分) 已知函数 f ? x ? ?

实数 a, b ? a ? b ? 使得该函数在 ? a, b ? 上的最大值为 ma ,最小值为 mb ,求非零实数 m 的取值 范围。

第2页

2011 年全国高中数学联赛模拟题冲刺(4)
(二试) 1、 (本题 40 分)设△ ABC 的外接圆、内切圆半径分别为 R 、 r .外心到重心的距离 为 e ,内心到重心的距离为 f .求证: R 2 ? e2 ≥ 4(r 2 ? f 2 ) .

第3页

2 2、 (本题 40 分)数列 ?an ? 满足: a1 ? 3 , an ?1 ? an ? 2an ? 2 ? n ? N *? (1)求数列 ?an ? 的通

项公式; (2)求证:数列 ?an ? 中的任两项互质。 (3)记 bn ? 前 n 项和,求 S2009 的整数部分;

1 1 , S n 为数列 ?bn ? 的 ? an an ? 2

第4页

1 ? n k ? 3、 (本题 50 分)求证不等式: ?1 ? ? ? 2 ? ? ln n ≤ , n ? 1 ,2,… k ?1? 2 ? k ?1

第5页

4、 (本题 50 分)求满足 2

2005

| 161 n ? 1 的最小正整数 n

?

?

第6页

2011 年全国高中数学联赛模拟题冲刺(4)
参考答案 一试 1、8, f (0) ? 0,(2010) ? f (2009) ? f (0) ? f (?1) ? 8
1 2、{0,1}。解:由已知得 0 ? f ? x ? ? 1, f ? x ? ? f ? ? x ? ? 1, 所以当f ? x ? ? f ? ? x ? ? 时, 值为 1; 2 1 1 当0 ? f ? x ? ? 时, 值为0;当 ? f ? x ? ? 1时, 值为0; 所以值域为?0,1? 2 2

3、-1,设 x1 , x2 ,? , xn 为多项式的所有正根,由韦达定理有

? ? x1 ? x2 ? x3 ? 1    ( ) 1 ? 1 1 1 ? ? ? 变形为 x1 x2 x3 ( ? ? )? (2) (2) ? x1 x2 ? x1 x3 ? x2 x3 ? x1 x2 x3 ? ? ? ? ? ? x1 x2 x3 ? ? ?        (3) ? 1 1 1 1 1 1 (3) 代入得 ? ? ? ?1 结合 (1) 得 ( ? ? ? ? )( x1 ? x2 ? ? xn ) ? ?1 x1 x2 x3 x1 x2 xn
4、解:由数表推得,每一行都是等差数列,第 n 行的公差为 2 n?1 ,
f ? n,1? 2
n?2

记第 n 行的第 m 个数为 f ?n, m ? ,则 f ? n,1? ? f ? n ? 1,1? ? f ? n ? 1, 2 ?
? 2 f ? n ? 1,1? ? 2n ? 2 ?
n

?

f ? n ? 1,1? 2
n ?1

?

1 4

算得 f ? n,1? ? ? n ? 1? ? 2

? f ? n, m ? ? f ? n,1? ? ? m ? 1? ? 2n ?1 ? 2n ? 2 ? 2m ? n ? 1?? n ? N ? ?

2n ? 2 ? 2m ? n ? 1? ? 2000 ? 24 ? 53 ,当n ? 1,3,5,6时符合。 答案为 4。

5、 ? 0,

? ? ?

? f ? x ? min ? 0 2? ? 内的任一实数。解:由题意当 x ? ?0,1?时, ? ; ? 2 ? ?2 f ? x ? min ? f ? x ? max ? ?

? f ? x ? min ? f ? 0 ? ? 1 ? 0 ? 当 m ? 0 时, ? 不存在; ?2 f ? x ? min ? 2 ? f ? x ? max ? f ?1? ? 2 ? 2m ? m ? 0, ? ? f ? x ? min ? f ?1? ? 2 ? 2m ? 0 3 ? ? m ? ,不存在; 当 m ? 1 时, ? 4 ?2 f ? x ? min ? 4 ? 4m ? f ? x ? max ? f ? 0 ? ? 1 ?

当0? m?

? f ? x ? min ? f ? m ? ? 1 ? m 2 ? 0 1 ? ? 0 ? m ?1, 时, ? 2 2 ?2 f ? x ? min ? 2 ? 2m ? f ? x ? max ? f ?1? ? 2 ? 2m ?

1 ; 2 ? f ? x ? min ? f ? m ? ? 1 ? m 2 ? 0 2 2 1 ? ?? ?m? 当 ? m ? 1 时, ? , 2 2 2 2 ?2 f ? x ? min ? 2 ? 2m ? f ? x ? max ? f ? 0 ? ? 1 ?

所以这时 0 ? m ?

所以这时 6、0

1 2 2 ;综上所述 0 ? m ? 。 ?m? 2 2 2
5

解:原方程可化为 ? x ? y ? ? ? x ? y ? ? x5 ? x 考虑单调性 ? x ? y ? x ? y ? 0

7、完成从第一格到第 7 格,每次跳一格,要跳 7 次才能完成。有 x 次跳 1 格, y 次跳 2 格, 则 x ? 2 y ? 7( x, y ? N )
第7页

当 x ? 1, y ? 3 时,有 C 4 种跳法;当 x ? 3, y ? 2 时,有 C5 种跳法
1 3

当 x ? 5, y ? 1时,有 C6 种跳法;当 x ? 7, y ? 0 时,有 C7 种跳法
5 7

共有 21 种跳法 8、 y ? 2
2010

x , g ( x) ? ( x ? a1 )( x ? a2 )?( x ? a2010 ) 则 f ?( x) ? g ( x) ? xg ?( x)
505

切线斜率 k ? f ?(0) ? a1a2 ? a2010 ? (a1a2010 )

? 22010

9、解:(1)取 AB、AC 的中点 E、F,则 ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ??? 1 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 CO ? AB ? (CE ? EO) ? AB ? CE ? AB ? CB ? CA ? CB ? CA ? ? a 2 ? b2 ? 2 2

?

??

?

同理 BO ? CA ? (2)

??? ??? ? ?

tan A tan A ? cos B cos C ? sin A sin ? B ? C ? ? sin A ? ?? ? ? ? ?? tan B tan C ? sin B sin C ? cos A sin B ? sin C ? cos A

1 2 ? c ? a 2 ? ;所以 2a 2 ? b 2 ? c 2 2

a2 ?2 b2 ? c 2 ? a 2 bc ? 2bc

? y ? kx ? m ? 10、由 ? x 2 y 2 消去 y 化简整理得 ? 3 ? 4k 2 ? x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 48 ? 0 ? ?1 ? ?16 12 2 8km ?1 ? ? 8km ? ? 4 ? 3 ? 4k 2 ?? 4m2 ? 48 ? ? 0 ① 设 A ? x1 ,y1 ? , B ? x2 ,y2 ? ,则 x1 ? x2 ? ? 2 3 ? 4k ? y ? kx ? m ? 由 ? x2 y 2 消去 y 化简整理得 ? 3 ? k 2 ? x 2 ? 2kmx ? m2 ? 12 ? 0 ? ?1 ? ? 4 12 2 2km ? 2 ? ? ?2km ? ? 4 ? 3 ? k 2 ?? m2 ? 12 ? ? 0 设 C ? x3 ,y4 ? , D ? x4 ,y4 ? ,则 x3 ? x4 ? ② 3 ? k2 ???? ??? ? 因为 AC ? BD ? 0 , 所以 ? x4 ? x2 ? ? ? x3 ? x1 ? ? 0 , 此时 ? y4 ? y2 ? ? ? y3 ? y1 ? ? 0 . x1 ? 2 ? 3 ? 4 由 x x x



8km 2km 4 1 .所以 2km ? 0 或 ? .由上式解得 k ? 0 或 m ? 0 .当 ? ? 2 2 2 3 ? 4k 3? k 3 ? 4k 3 ? k2 k ? 0 时,由①和②得 ?2 3 ? m ? 2 3 .因 m 是整数,所以 m 的值为 ?3 , ?2 , ?1 , 0 , 1 , ?

2 , 3 .当 m ? 0 ,由①和②得 ? 3 ? k ? 3 .因 k 是整数,所以 k ? ?1 , 0 , 1 .于是满足 条件的直线共有 9 条. 11、解: (1)因为 1 1 x ?1 1 f1 ? x ? ? f ? x ? ? , f 2 ? x ? ? f ? f1 ? x ? ? ? ? , f3 ? x ? ? f ? f 2 ? x ?? ? ?x ? ? 1 x ?1 1? x x 1? 1? 1? x x

f 4 ?x ? ? f ? f 3 ?x ?? ?

1 , 所以迭代函数以3为周期,f 1? x

2009

?x ? ? f 2 ?x ? ? x ? 1 …
x

?x ?1 1 设 x ? 0, 则 ? x ? 0, g ? x ? ? g ? ? x ? ? ? 1? , ?x x

? 1 ?1? x , x ? 0 ? 所以 g ? x ? ? ? … ?1? 1 , x ? 0 ? x ? 图象如右: (2)因为 a ? b, ma ? mb ? 0 ? m ? 0, a ? b ? 0 ;

又因为 mb ? 0 ,所以 ? 1 ? [a, b] (否则 m ? 0, mb ? ma ? 0 ,矛盾)
第8页

? 1 ?1 ? ? ma 1 ? 当 a ? b ? ?1, 则f ? x ? ? 1 ? 在(??, ?1]上是减函数,由题意 ? a x ?1 ? 1 ? mb ? b ? 1 1 1 所以 a, b是方程1 ? ? mx的两不同实根, ? x2 ? x ? ? 0在? ??, ?1? 有两个不同实根, x m m 1 4 ? ?? ? m2 ? m ? 0 ? 1 1 1 ? ? g ? ?1? ? 1 ? ? ? 0 ? ? ? m ? 0 m m 4 ? ? 1 ? 2m ? ?1 ?
1 ? ??1 ? a ? mb 1 ? 当 ? 1 ? a ? b ? 0时, 则f ? x ? ? ?1 ? 在(?1, 0)上是增函数,由题意 ? x ??1 ? 1 ? ma ? b ? ? a ? b不合.

1 综上所述 ? ? m ? 0 。 4

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 3PG ? PA ? PB ? PC . ??? 2 ??? ??? ??? ? ? ? ? 9 PG ? ( PA ? PB ? PC ) 2 ∴ ??? 2 ??? 2 ??? 2 ? ? ? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? PA ? PB ? PC ? 2( PA ? PB ? PA ? PC ? PB ? PC ) ??? 2 ??? 2 ??? 2 ??? ??? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? 3PA ? 3PB ? 3PC ? ( PA ? PB) 2 ? ( PA ? PC ) 2 ? ( PB ? PC ) 2 ??? 2 ??? 2 ??? 2 ??? 2 ???? 2 ??? 2 ? ? ? ? ? ? 3PA ? 3PB ? 3PC ? AB ? AC ? BC . ??? ? ???? ??? ? 设 AB ? c , AC ? b , BC ? a ,则 ??? 2 ??? 2 ??? 2 ??? 2 1 ? ? ? ? 3 PG ? PA ? PB ? PC ? (a 2 ? b2 ? c 2 ) . 3 2 2 1 2 2 2 当 P 为 外 心 O 时 , 3e ? 3R ? (a ? b ? c. 即 ) 3 1 R 2 ? e 2 ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) . 9 F 1 2 2 2 2 2 2 2 当 P 为内心 I 时, 3 f ? IA ? IB ? IC ? (a ? b ? c ) . 3 I 如图,内切圆 I 切三边于 D 、 E 、 F ,设 AE ? AF ? x , B D BD ? BF ? y , CD ? CE ? z .而 IA2 ? x2 ? r 2 ,从而 1 3 f 2 ? 3r 2 ? x 2 ? y 2 ? z 2 ? (a 2 ? b2 ? c 2 ) . 3 1 1 ∴ r 2 ? f 2 ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? ( x 2 ? y 2 ? z 2 ) . 9 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 要证 R ? e ≥ 4(r ? f ) ,只要证 4( x ? y ? z ) ≥ a ? b ? c .

二试 1、证:设点 P 为平面 ABC 上任意一点, G 为△ ABC 重心,则

A

E

C

第9页

而 2x ? b ? c ? a , 2y ? a ? c ? b , 2z ? a ? b ? c . ∴

4 x 2 ? 4 y 2 ? 4 z 2 ? (b ? c ? a)2 ? (a ? c ? b)2 ? (a ? b ? c)2 ? 3(a 2 ? b2 ? c 2 ) ? 2(ab ? bc ? ca) .
2 2 2 2 2 2

所以只要证: 3(a ? b ? c ) ? 2(ab ? bc ? ca) ≥ a ? b ? c . 只要证: (a ? b) ? (b ? c) ? (a ? c) ≥ 0 . 此式显然成立.
2 2 2

2、 (1)解:因为 an ? 1 ? ? an ?1 ? 1? ? ? an ? 2 ? 1? ? ? ? ? a2 ? 1?
2 22

2n ? 2

? ? a1 ? 1?

2n?1

? 22

n ?1

当 n ? 1, a1 ? 1 ? 22 也成立,所以 an ? 22 所以 an ? an ?1an ?2 ?a2 a1 ? 2 ,

1?1

n ?1

? 1;

(2)因为 an ? 2 ? an?1 ? an?1 ? 2? ? an?1an?2 ? an?2 ? 2 ? ? ? ? an?1an?2 ?a2 a1 因为 a n 为奇数,所以对任意的 n ? 1, an与前面项a1 , a2 ,?, an?1 (3)解:因为 an ?1 ? 2 ? an ? an ? 2 ? ,所以 所以 bn ?
2 2 , ? an ? 2 an ?1 ? 2 2 2 2 ,所以 S2009 的整数部分为 1。 ? ? 2 ? 22010 a1 ? 2 a2010 ? 2 2 ?1 2 1 1 1 1 , ? ? ,又因为 bn ? ? an ?1 ? 2 an ? 2 an an an ? 2

所以 S2009 ?

3、证明:首先证明一个不等式:⑴

x ? ln(1 ? x) ? x , x ? 0 . 1? x x 事实上,令 h( x) ? x ? ln(1 ? x) , g ( x) ? ln(1 ? x) ? . 1? x 1 1 x 1 则对 x ? 0 , h?( x) ? 1 ? ? ? ?0. ? 0 , g ?( x) ? 2 1 ? x (1 ? x) (1 ? x)2 1? x 于是 h( x) ? h(0) ? 0 , g ( x) ? g (0) ? 0 .

在⑴中取 x ? 令 xn ? ?
n

1 得 n



1 ? 1? 1 ? ln ?1 ? ? ? . n ?1 ? n? n

k 1 ? ln n ,则 x1 ? , k2 ?1 2 k ?1
2

n 1 ? 1 n 1 ? ? ln ?1 ? ?0 ? ?? 2 ?? 2 n ?1 (n ? 1)n ? n ?1? n ?1 n 1 因此 xn ? xn ?1 ? ? ? x1 ? .又因为 2 xn ? xn ?1 ?
n?1 ? 1? ln n ? (ln n ? ln(n ? 1)) ? (ln(n ? 1) ? ln(n ? 2)) ? ? ? (ln 2 ? ln1) ? ln1 ? ? ln ?1 ? ? . ? k? k ?1 n n ?1 k ? 1? 从而 xn ? ? 2 ? ? ln ?1 ? ? ? k? k ?1 k ? 1 k ?1 n ?1 n ?1 1? ? k n ? k ? 1 ?? ? ?? 2 ? ln ?1 ? ? ? ? 2 ? ?? 2 ? ? k ?1 k ? ? n ? 1 k ?1 ? k ? 1 k ? ? k ?1 ? n ?1 n ?1 1 1 1 ? ?? 2 ≥ ?? ? ?1 ? ? ?1 . n k ?1 ( k ? 1) k k ?1 (k ? 1)k

4、解:设 n ? 2 ? q , S ? N , 2不能整除q 则
s

161 n ? 1 ? 161 2

s

q

? 1 ? 161 2 ? 1 ? A
s

?

?

第 10 页

易知 2不能整除A ,故 由2
2005

161 n ? 1 ? 2 2005 161 2 ? 1 ,故可设 n ? 2 s
s

由 161 ? 2 ? 5 ? 1 ,下证 2 s ? 5 161 2 ? 1
5
s

当 n ? 1时, 上式显然成立 假定 n ? k 时,有 2 k ?5 161 2 ? 1 ,
k

则 当 n ? k ? 1时

161 2

k ?1

? 1 ? 161 2
k

?

k

?

2

? 1 ? 161 2 ? 1 161 2 ? 1
k k

?

??

?
k ?1

易知 2 161 2 ? 1 , 以及 2 k ? 5 161 2 ? 1 ?
k

2 k ? 6 1612

?1



k ? 5 ≥ 2005 ? k ≥ 2000 2005 n 161 ? 1 的最小正整数 n 为 2 2000 从而使 2

第 11 页


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