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第一章 1.2命题及其关系、充分条件与必要条件


第一章

集合与常用逻辑用语

§1.2

命题及其关系、充分 条件与必要条件

第一章

集合与常用逻辑用语

1.命题 在数学中用语言、符号或式子表达的,可 判断真假的陈述句 叫做命题.其中 以___________________ 判断为假 _________ 判断为真 的语句叫做真命题,_________ 的语句叫做假命题.

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2.四种命题及其关系 (1)四种命题及其关系
若q则p

若綈 p 则綈 q

若綈 q 则綈 p

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(2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们有_____ 相同 的真 假性; ②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们 没有关系 . 的真假性__________ 3.充分条件与必要条件 (1)如果p?q,那么p是q的_________ 充分条件 ,q是p的 必要条件 ; __________ 充要条件 . (2)如果p?q,q?p,那么p是q的_________

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1.下列命题是真命题的是( ) 1 1 A.若 = ,则 x=y x y B.若 x2=1,则 x=1 C.若 x=y,则 x= y 2 2 D.若 x<y,则 x <y 1 1 解析:由x=y得 x=y,A 正确,B、C、D

错误. 答案:A

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2.命题“若 x=1 或 x=6,则(x-1)(x-6) =0”的逆否命题是( ) A.若 x≠1 或 x≠6,则(x-1)(x-6)≠0 B.若 x≠1 且 x≠6,则(x-1)(x-6)≠0 C.若(x-1)(x-6)≠0,则 x≠1 或 x≠6 D.若(x-1)(x-6)≠0,则 x≠1 且 x≠6

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解析:首先根据命题“若 p 则 q”的逆否命题 为“若﹁q 则﹁p”,排除 A、B,再根据命题 “p 且 q”的否定是“﹁p 或﹁q”,命题“p 或 q”的否定是“﹁p 且﹁q”,可知 C 错误, D 正确.

答案:D

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3.“x>0”是“x≠0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:∵“x≠0”等价于“x<0 或 x>0”, ∴“x>0”?“x<0 或 x>0”,“x<0 或 x
>0”?/“x>0”. 答案:A

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4.下列命题:①若一个整数的末位数字为 0, 则这个整数能被 5 整除; ②奇函数的图象关于原点中心对称; ③矩形的对角线相等. 其逆否命题为真命题的序号为______. 解析:原命题与逆否命题的真假性一致, 而以
上三个原命题均真,故填写①②③.

答案:①②③

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5.“x= 2”是“向量 a=(x+2,1)与向量 b =(2,2-x)共线”的________条件.

解析:若 a=(x+2,1)与 b=(2,2-x)共线,则 有(x+2)· (2-x)=2,解得 x=± 2,所以“x = 2”是“向量 a=(x+2,1)与向量 b=(2,2 -x)共线”的充分不必要条件.
答案:充分不必要

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四种命题及其关系

关于命题“若抛物线 y=ax2+bx+c 的开 口向下, 则{x|ax2+bx+c<0}≠?”的逆命 题、否命题、逆否命题,下列结论成立的 是( ) A.都真 B.都假 C.否命题真 D.逆否命题真

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【思路点拨】 给出一个命题,判断其逆命 题、否命题、逆否命题等的真假时,如果直 接判断命题本身的真假比较困难, 则可以通 过判断它的等价命题的真假来确定.

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【解析】 本题考查四种命题之间的关系及真 假判断. 对于原命题: “若抛物线 y=ax2+bx+c 的开口 向下,则{x|ax2+bx+c<0}≠?”这是一个真命 题, 所以其逆否命题也为真命题, 但其逆命题: “若{x|ax2+bx+c<0}≠?,则抛物线 y=ax2+ bx+c 的开口向下”是一个假命题, 因为当不等 式 ax2+bx+c<0 的解集非空时, 可以有 a>0, 即抛物线的开口可以向上.因此否命题也是假 命题,故选 D.

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【拓展提升】

四种命题的关系:若① p? q

为原命题,则②q?p,③﹁p?﹁q,④﹁q? ﹁p 分别为原命题①的逆命题、否命题、逆否 命题, ①、 ④互为逆否命题, 是等价命题. ②、 ③也互为逆否命题,也是等价命题.因此,应 写准一个命题的逆命题、否命题、逆否命题, 同时掌握四种命题之间的关系.

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充分条件与必要条件的判定

指出下列各小题中,p 是 q 的什么条件: (1)p:(x-2)(x-3)=0,q:x-2=0; (2)p:四边形的对角线相等,q:四边形是平 行四边形; 2 2 (3)p:(x-1) +(y-2) =0,q:(x-1)(y-2) =0; (4)在△ABC 中,p:∠A>∠B,q:BC>AC.

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【思路点拨】

先分清条件与结论,再分析由

前者能否推出后者,由后者能否推出前者,即 可判断出是什么条件. 【解析】 (1)∵(x-2)(x-3)=0?/ x-2=0(可 能 x-3=0),但 x-2=0?(x-2)(x-3)=0,

∴p 是 q 的必要不充分条件.

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(2)∵四边形的对角线相等 ?/ 四边形是平行四边形, 四边形是平行四边形?/ 四边形的对角线相等, ∴p 是 q 的既不充分也不必要条件. (3)∵(x-1)2+(y-2)2=0?x=1 且 y=2? 2 (x-1)(y-2)=0,而(x-1)(y-2)=0?/ (x-1) +(y 2 -2) =0, ∴p 是 q 的充分不必要条件. (4)∵在△ABC 中,大边对大角,大角对大边, ∴∠A>∠B?BC>AC, 同时, BC>AC?∠A>∠B, ∴p 是 q 的充要条件.

第一章

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【拓展提升】 充分条件、必要条件、充要条 件的判定: (1)定义法 ①分清条件和结论: 分清哪个是条件, 哪个是 结论; ②找推式:判断“p?q”及“q?p”的真假; ③下结论:根据推式及定义下结论. (2)等价转化法 条件和结论带有否定性词语的命题, 常转化为 其逆否命题来判断.

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(3)集合法

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充要条件的证明

已知 ab≠0,求证:a+b=1 的充要条件 是 a3+b3+ab-a2-b2=0.
【思路点拨】 此类问题需证明两个命题, 即充分性与必要性,故应分清谁是条件,谁 是结论,然后再分别证明.

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【证明】 (必要性) ∵a+b=1,即 a+b-1=0, ∴a3+b3+ab-a2-b2 =(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2) =(a+b-1)(a2-ab+b2)=0. (充分性) ∵a3+b3+ab-a2-b2=0, ∴(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,

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又∵ab≠0,∴a≠0 且 b≠0, b2 3 2 2 2 所以 a -ab+b =(a- ) + b >0, 2 4 所以 a+b-1=0,即 a+b=1, 综上可知,当 ab≠0 时,a+b=1 的充要 条件是 a3+b3+ab-a2-b2=0.

第一章

集合与常用逻辑用语

【拓展提升】

这类证明问题通常需要证明充

分性和必要性两个方面,因此必须分清条件和 结论.由已知条件证明结论成立是充分性,由 结论证明条件成立是必要性,不能将二者混 淆.证明时,不要认为它是推理过程的 “双向 书写”,而应该进行由条件到结论,由结论到 条件的两次证明.

第一章

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条件关系的应用
设命题 p:(4x-3)2≤1; 命题 q: x2-(2a+1)x +a(a+1)≤0,若﹁p 是﹁q 的必要不充分条 件,求实数 a 的取值范围.

第一章

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【思路点拨】

(1)用集合的观点考查问题,

先写出﹁p 和﹁q,然后,由﹁q?﹁p,但﹁ p?/﹁q 来求 m 的取值范围. (2)将﹁p 是﹁q 的必要不充分条件转化为 p 是 q 的充分不必 要条件再求解.

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【解析】 设 A={x|(4x-3)2≤1}, B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0}, 1 易知 A={x| ≤x≤1}, 2 B={x|a≤x≤a+1}. 由﹁p 是﹁q 的必要不充分条件,从而 p 是 q 的充分不必要条件,即 A
? 1 ?a≤ 2 B,∴? ? ?a+1≥1.

1 故所求实数 a 的取值范围是[0, ]. 2

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【拓展提升】 在涉及求参数的取值范围又与 充分、必要条件有关的问题时,常常借助集合 的观点来考虑. 若涉及参数问题解决起来较为 困难时,注意运用等价转化,转化后就比较好 理解了.

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求证:a<-1 是一元二次方程 ax2+2x+1= 0(a≠0) 有一个正根和一个负根的充分不必要 条件.

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证明: 据题意, 方程有两异号实根的充要条件是:
?Δ=22-4a>0 ? ? 1 x2=a<0 ?x1· ? ? ?a<0 ,即? ,得:a<0. ? ?a<1

令 A={a|a<0},B={a|a<-1},显然 B A. ∴ a<-1 是方程有两异号实根的充分不必要条 件.

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1.从近两年的高考试题看,充要条件的判 定、判断命题的真假等是高考的热点,题 型以选择题、填空题为主,分值为5分,属 中低档题目.

第一章

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2.本节知识常和函数、不等式及立体几 何中直线、平面的位置关系等有关知识相 结合,考查学生对函数的有关性质、不等 式的解法及直线与平面位置关系判定的掌 握程度. 3.预测2012年高考仍将以充要条件的判 定、判断命题的真假为主要考点,重点考 查学生的逻辑推理能力.

第一章

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1. (2010 天津)命题“若 f(x)是奇函数, 则 f(- x)是奇函数”的否命题是( ) A.若 f(x)是偶函数,则 f(-x)是偶函数 B.若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数 C.若 f(-x)是奇函数,则 f(x)是奇函数 D.若 f(-x)不是奇函数,则 f(x)不是奇函数

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集合与常用逻辑用语

解析:命题“若 p,则 q”的否命题为“若 ﹁ p ,则 ﹁ q” ,而 “ 是 ” 的否定是 “ 不 是”,故选 B.
答案:B

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2.(2010 北京)a、b 为非零向量,“a⊥b” 是“函数 f(x)=(xa+b)· (xb-a)为一次函 数”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

第一章

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解析:函数 f(x)=x2a· b-(a2-b2)x-a· b,当 函数 f(x)是一次函数时必然要求 a· b=0, 即a ⊥b,但当 a⊥b,|a|=|b|时,函数 f(x)不是一 次函数,故选 B.

答案:B

第一章

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3.(2010 山东)设{an}是等比数列,则“a1<a2 <a3”是“数列{an}是递增数列”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

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解析:{an}为等比数列,an=a1qn-1,由 a1 <a2<a3,得 a1<a1q<a1q2,即 a1>0,q> 1 或 a1<0,0<q<1, 则数列{an}为递增数列. 反之也成立,故选 C. 答案:C

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4.(2011 上海春招)若 a1、a2、a3 均为单 3 6 位向量,则 a1=( , )是 a1+a2+a3 3 3 =( 3, 6)的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件

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解析:由题意可知, |a1|= |a2|= |a3|= 1,若 a1 + a2 + a3 = ( 3 , 6) ,则 |a1 + a2 + a3| = 3 = |a1| +|a2|+|a3|,a1、a2、a3 共线且方向相同,即 a1 3 6 3 6 =a2=a3=( , );若 a1=( , ),当 a1、 3 3 3 3 a2、a3 不全相等时,a1+a2+a3≠( 3, 6),故 选 B.
答案:B


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