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课时作业71 直线与圆的位置关系


课时作业 71

直线与圆的位置关系

时间:45 分钟 分值:100 分 一、填空题(每小题 5 分,共 45 分) 1 1.如图,AB 是⊙O 的直径,MN 与⊙O 切于点 C,AC=2BC, 则 sin∠MCA=________. 解析:由弦切角定理得, AC ∠MCA=∠ABC,sin∠ABC=AB = AC AC 5 =5. 2

2= 5AC AC +BC

5 答案: 5

1题图

2题图

2.如图,AB 是圆 O 的直径,PB,PE 分别切圆 O 于点 B,C, 若∠ACE=40° ,则∠P=________. 解析:连接 BC,OC.因为 PC 是圆 O 的切线,所以∠ACE=∠ ABC=∠OCB=40° .又 PB 也是圆 O 的切线, 所以∠P+∠BOC=180° =∠AOC+∠BOC,所以∠P=∠AOC,而∠AOC=∠OBC+∠OCB =80° ,所以∠P=80° .

答案:80° 3.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠C=72° ,⊙O 过 A、B 两点 且与 BC 相切于点 B,与 AC 交于点 D,连接 BD,若 BC= 5-1, 则 AC=________. 解析:由题易知,∠C=∠ABC=72° ,∠A=∠DBC=36° ,所以 △BCD∽△ACB, 又易知 BD=AD=BC,所以 BC2=CD· AC=(AC-BC)· AC,解得 AC=2. 答案:2

3题图

4题图

4.如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形,延长 AB 和 DC PB 1 PC 1 BC 相交于点 P,若 PA =2,PD=3,则AD的值为________. 解析:∵∠P=∠P,∠PCB=∠PAD,∴△PCB∽△PAD, PB PC BC ∴PD= PA =DA, PB 1 PC 1 BC 6 ∵ PA =2,PD=3,∴AD= 6 . 6 答案: 6 5.(2013· 重庆卷)如图,在△ABC 中,∠C=90° ,∠A=60° ,AB

=20,过 C 作△ABC 的外接圆的切线 CD,BD⊥CD,BD 与外接圆 交于点 E,则 DE 的长为________. 解析: 由已知 BC=ABsin60° =10 3, 由弦切角定理∠BCD=∠A =60° ,所以 BD=BCsin60° =15,CD=BCcos60° =5 3,由切割线定 理 CD2=DE· BD,所以 DE=5. 答案:5

?5题图?

?6题图?

6.(2013· 湖北卷)如图,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D, CE 点 D 在半径 OC 上的射影为 E.若 AB=3AD,则EO的值为________. 1 解析:连接 AC,BC,则 AC⊥BC.又 AB=3AD,则 AD=3AB, 2 1 1 2 BD=3AB,OD=6AB,OC=2AB,△ABC 中,CD2=AD· BD=9AB2, 1 4 △OCD 中, OD2=OE· OC, CD2=CE· OC 可得: OE=18AB, CE=9AB, CE EO=8. 答案:8 7.

(2013· 天津卷)如图,△ABC 为圆的内接三角形,BD 为圆的弦, 且 BD∥AC.过点 A 作圆的切线与 DB 的延长线交于点 E,AD 与 BC 交于点 F.若 AB=AC,AE=6,BD=5,则线段 CF 的长为________. 解析: 由切割线定理 EA2=EB· ED 得 62=EB· (EB+5), 经计算 EB =4,∠EAB=∠ACB=∠ABC,所以 AE∥BC,又因为 AC∥BD,所 以四边形 AEBC 是平行四边形,可得 BC=AE=6,AC=EB=4.∠C AC =∠C,∠CAF=∠D=∠C=∠ABC,所以△CAF∽△CBA,所以BC CF AC2 16 8 =AC即 CF= BC = 6 =3. 8 答案:3 8.(2013· 陕西卷)如图,弦 AB 与 CD 相交于⊙O 内一点 E,过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线交于点 P,已知 PD=2DA=2,则 PE =________.

解析:由 PE∥BC 得∠PED=∠C=∠A,△APE 中与△EPD 中

PD PE ∠APE=∠EPD,∠PED=∠A,故△PDE∽△PEA,则 PE = PA ,即 PE2=PA· PD,又 PA=PD+DA=3;PD=2,故 PE2=2×3=6,则 PE= 6. 答案: 6 9.(2013· 广东卷)如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上.延 长 BC 到 D 使 BC=CD,过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E.若 AB=6, ED=2,则 BC=________.

解析:连接 OC,则 OC⊥CE,∠OCA+∠ACE=90° , ∵∠OAC=∠OCA,∴∠OAC+∠ACE=90° 得△ACB≌△ACD, 则∠OAC=∠EAC,∴∠EAC+∠ACE=90° , ∴∠AEC=90° ,在 Rt△ACD 中,CD2=ED· AD,又 CD=BC, AD=AB 将 AB=6,ED=2 代入得 CD=2 3,所以 BC=2 3. 答案:2 3 二、解答题(共 55 分,解答应写出必要的文字说明、演算步骤或 证明过程) 10.(15 分)

(2013· 辽宁卷)如图, AB 为⊙O 的直径, 直线 CD 与⊙O 相切于 E, AD 垂直 CD 于 D,BC 垂直 CD 于 C,EF 垂直 AB 于 F,连接 AE, BE.证明: (1)∠FEB=∠CEB; (2)EF2=AD· BC. 解:(1)由直线 CD 与⊙O 相切,得∠CEB=∠EAB. 由 AB 为⊙O 的直径,得 AE⊥EB, π 从而∠EAB+∠EBF=2; π 又 EF⊥AB,得∠FEB+∠EBF=2, 从而∠FEB=∠EAB.故∠FEB=∠CEB. (2)由 BC⊥CE, EF⊥ AB,∠ FEB=∠CEB, BE 是公共边,得 Rt△BCE≌Rt△BFE,所以 BC=BF. 类似可证,Rt△ADE≌Rt△AFE,得 AD=AF. 又在 Rt△AEB 中,EF⊥AB,故 EF2=AF· BF, 所以 EF2=AD· BC. 11.(20 分)如图,已知 AP 是圆 O 的切线,P 为切点,AC 是圆 O 的割线,与圆 O 交于 B、C 两点,圆 O 在∠PAC 的内部,点 M 是 BC 的中点.

(1)证明 A、P、O、M 四点共圆; (2)求∠OAM+∠APM 的大小. 解:(1)证明:连接 OP、OM.

因为 AP 与圆 O 相切,所以 OP⊥AP. 因为 M 是圆的弦 BC 的中点,所以 OM⊥BC. 于是∠OPA+∠OMA=180° . 由圆心 O 在∠PAC 的内部,可知四边形 APOM 的对角互补,所 以 A、P、O、M 四点共圆. (2)由(1),得 A、P、O、M 四点共圆, 所以∠OAM=∠OPM.由(1),得 OP⊥AP. 由圆心 O 在∠PAC 的内部,可知∠OPM+∠APM=90° ,所以∠ OAM+∠APM=90° . ——创新应用—— 12.(20 分)

(2013· 新课标全国卷Ⅰ)如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B, 点 C 在圆上,∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆 于点 D. (1)证明:DB=DC; (2)设圆的半径为 1,BC= 3,延长 CE 交 AB 于点 F,求△BCF 外接圆的半径. 解:(1)连接 DE,交 BC 于点 G.

由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE. 而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE. 又 DB⊥BE,所以 DE 为直径,则∠DCE=90° , 由勾股定理可得 DB=DC. (2)由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC, 3 故 DG 是 BC 的中垂线,所以 BG= 2 .

设 DE 的中点为 O,连接 BO,则∠BOG=60° . 从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30° , 3 所以 CF⊥BF,故 Rt△BCF 外接圆的半径等于 2 .


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