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3.1.1数系的扩充和复数的概念


数 系 的 扩 充 和 复 数 的 概 念

第三章 数系的扩充与复数的引入
3.1.1 数系的扩充和复数的概念

数 系 的 扩 充 和 复 数 的 概 念

人类在社会发展中,逐步学会了以 对应的方法来计算事物的个数,如“屈 指”计数,“结绳”计数,“堆石子” 计数等。经过长期的实践,把表示事物 的个数:

“一个”、“二个”、“三 个”,……;或把表示事物的次序: “第一”、“第二”、“第三”,…… 抽象出来的数 1,2,3,4,…… 叫做自然数。

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?我们知道“0”以前不属于自 然数,零作为符号和作为数经 历长期的发展过程。

?公元前6世纪的巴比伦用空出 一格来表示“零”。 ?“0” 是印度人的卓越发明。

数 系 的 扩 充 和 复 数 的 概 念

?从自然数到整数,自然数的 加法仍是自然数,但相减呢 不一定是自然数,于是有了 负数. ?刘徽说明:“今两数得失相 反,要令正负以名之”数系也 就由自然数系扩展为整数系。

数 系 的 扩 充 和 复 数 的 概 念

整数集对于加、减、乘能保证 其封闭性。但对于除法运算不是封 闭的。这样产生了分数。 记载分数最古老的典籍是约公元前 1500年埃及 Ahmes 著的草纸书。 欧洲在15世纪以后才逐渐形成现代 分数的算法。 中国在秦始皇时期的历书(公元前 1 246年)拟订一年的日数是365 天 4

数 系 的 扩 充 和 复 数 的 概 念

?整数与分数构成了有理数集。 ?从有理数到实数经历了漫长的过程。 从毕达哥拉斯学派发现 2 与1不可公度, 即不能表示成两个整数之比,到它的理 论基本完成,经历了二○个世纪。在数 学史上是罕见的。 ?公元前5世纪,古希腊的毕达哥拉斯学 派发现边长为1的正方形的对角线与其 一边不可公度。希腊人叫它“没有比” 西方译为“ irrational number ” 我国的徐 光启、李善兰把它译为“无理数”。

数 系 的 扩 充 和 复 数 的 概 念

复习回顾

自然数

数 系 的 扩 充

用图形表示包含关系: 整数 有理数 无理数 实数 N

R

Q

Z

数 系 的 扩 充 和 复 数 的 概 念

实数集的出现 给了我们一个 范围异常之广 的数的家庭。 那它是否是封 闭的呢?

可以知道对于加、 减、乘、除(除数 不为零)以及乘方 运算来说是封闭的。

但是对于乘方的逆运算——开方来 说就不是的。

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知识引入

我们已知知道:

对于一元二次方程

x ? 1 ? 0 没有实数根.
2

x ? ?1
2
因为在实数范围内负数不能开平方,所以方程 无实数根。

这样我们有不得不重新考虑数集的 扩展。

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问1:引入一个新数c? 实际上,早在16世纪时期,数学家们就已经 解决了这个矛盾,而且形成了一整套完整的理论。 因为这个新数不是实的数,就称为虚数单位,英 文译名为imaginary number unit.所以,用“i” 来表示这个新数。 问2:引入的新数必须满足一定的条件,才能进行 相关的运算,虚数单位i应满足什么条件呢?

如何解决“在实数范围中开 方运算不总实施的矛盾”?
思考?
我们能否将实数集进行扩充,使得在新的 数集中,该问题能得到圆满解决呢?

引入一个新数:

i

满足

i ? ?1
2

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现在我们就引入这样一个数 i ,把 i 叫做虚数单位,
并且规定: (1)i2 ??1; (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运 算时,原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结 合律和分配律)仍然成立。
思考:

在i 规定下,i与实数加乘的结果形式如何? a+bi,a∈R,b∈R

复数有关概念
1.定义: 形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
注意:①复数通常用字母z表示,即复数a+bi(a∈R, b∈R)可记作:z =a+bi (a∈R,b∈R),把这一表示 形式叫做复数的代数形式。

②全体复数所组成的集合叫复数集,记作C。 ③复数Z=a+bi (a∈R, b∈R )把实数a,b叫做
复数的实部和虚部。 请同学观察复数的代数形式会发现什么?

数 系 的 扩 充 和 复 数 的 概 念

复数的代数形式: 通常用字母 z 表示,即

z ? a ? bi (a ? R, b ? R)
实部 虚部

其中

i 称为虚数单位。
R? C ?

讨论?

复数集C和实数集R之间有什么关系?
?实数b ? 0 ? ?纯虚数a ? 0,b ? 0 ? ? 虚数b ? 0?非纯虚数a ? 0,b ? 0 ? ?

复数a+bi

数 系 的 扩 充 和 复 数 的 概 念

i为-1的一个 平方根 、-1的另一个 平方根为-i 一般地,a(a>0)的平方根为 ? a 、 - a (a>0)的平方根为 ? a i
小数 实数 (b=0) 有理数 分数 正分数 零 负分数

;

复数z=a+bi
(a、b?R) 虚数 (b?0)

无理数

不循环小数

特别的当 a=0 时 纯虚数

a=0是z=a+bi(a、b?R)为纯虚数的 必要但不充分 条件.

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2.复数的分类:
?实数(b ? 0) ? 复数a+bi ? ?纯虚数(a ? 0,b ? 0) ?虚数(b ? 0) ?非纯虚数(a ? 0,b ? 0) ? ?
思 考?
虚数集 复数集

复数集,虚数集,实数 集,纯虚数集之间的关 系?

纯虚数集

实数集

数 系 的 扩 充 和 复 数 的 概 念

1.说明下列数中,那些是实数,哪些是虚数, 哪些是纯虚数,并指出复数的实部与虚部。 2 0 0.618 2? 7 i 7 2 5 i+8 3 ? 9 2i i 1? 3

i

?

?

2、判断下列命题是否正确:

(1)若a、b为实数,则Z=a+bi为虚数
(2)若b为实数,则Z=bi必为纯虚数

(3)若a为实数,则Z= a一定不是虚数

数 系 的 扩 充 和 复 数 的 概 念

例1 实数m取什么值时,复数

z ? m ? 1 ? ( m ? 1 )i
是(1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数? 解: (1)当 m ? 1 ? 0,即 m ? 1 时,复数z 是实数. (2)当 m ? 1 ? 0 ,即 (3)当 ? m ? 1 ? 0 ? ?m ? 1 ? 0

m ? 1 时,复数z 是虚数.
即 m ? ?1 时,复数z 是 纯虚数.

练习:当m为何实数时,复数

Z ? m ? m ? 2 ? ( m ? 1 )i 是 (1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数
2 2

数 系 的 扩 充 和 复 数 的 概 念

利用复数代数形式确定复数是实数、 虚数、还是纯虚数,只需根据复数的分类 与实部、虚部的关系列出方程,解方程求 参数。

注意:当为纯虚数时,既要考虑实部为零, 虚部不为零,两者缺一不可。

数 系 的 扩 充 和 复 数 的 概 念

我们知道若

a ? bi ? 0 则

0 0 a ? _____ b ? _____

如何定义两个复数的相等?
如果两个复数的实部和虚部分别相等,那 么我们就说这两个复数相等.

若a, b, c, d ? R,

a ? bi ? c ? di

注意:一般对两个复数只能说相等或不相等。 不全为实数的两个复数不能比较大小。

?a ? c ? ?b ? d ?

数 系 的 扩 充 和 复 数 的 概 念

如果两个复数的实部和虚部分别相等,那 么我们就说这两个复数相等.
若a , b , c , d ? R ,

a ? bi ? c ? di ?

?a ? c ? ?b ? d

例2 已知 ( 2 x ? 1) ? i 求 x与y .

? y ? (3 ? y )i ,其中x, y ? R

解:根据复数相等的定义,得方程组

?2 x ? 1 ? y ? ?1 ? ?( 3 ? y )

5 解得 x ? , y ? 4 2

数 系 的 扩 充 和 复 数 的 概 念

求解复数方程方法:
1、由复数相等的条件,由此可获得一个方程 组,再解方程组求得问题; 2、复数问题实数化是解决复数问题的最基本 也是最重要的思想方法。

数 系 的 扩 充 和 复 数 的 概 念

如果两个复数的实部和虚部分别相等,那 么我们就说这两个复数相等.
若a , b , c , d ? R ,

a ? bi ? c ? di
1、若x,y为实数,且

?a ? c ? ?b ? d ?

求x,y。 ? x ? ?3, y ? 4

? x 2 ? y 2 ? x ? ? yi ? 2 ? 4i ? ? ? ?

2.若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6) =0,求x的值.

i

?x?2

数 系 的 扩 充 和 复 数 的 概 念

i ?
n
性质2:

?
n

复数的虚数 单位的性质 n ? 4k ? 1 性质1: ? 1 n ? 4k ? 2 n 具有周期性 i ? i n ? 4k ? 3

i

i

1
n ?1

n ? 4k
n?2

i ?i ?i ?i ? 0 2 3 2013 例3、计算i ? i ? i ? ? ? i 的值
方法一:利用 同期性 方法二:利用等比数列求和公式

n ?3

i

数 系 的 扩 充 和 复 数 的 概 念

1、复数z ? i ? i ? i ? i 的值是 B  A. ? 1 B.0  C.1 D.i
2 3 4

2、计算 (1)i ? i ? i ? ? ? i
2 4 6 2 3 2012

? _______ . 0
2013

(2)i ? 2i ? 3i ? ? ? 2013i

? 1006 ? 1913i _______ . 方法一:利用同期性 (2 ? 2i ) ? 503 ? 2013i
方法二:利用错位相减法求和

复数的发展史

在19世纪可没那么简单.第一次认真讨论这种数的是 文艺复兴时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹,他是1545 年开始讨论这种数的,当时复数被他称作“诡辩量”.几 乎过了100年,笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名 字——虚数.但是又过了140年,欧拉还是说这种数只是 存在于“幻想之中”,并用i(imaginary,即虚幻的缩写) 来表示它的单位. 后来德国数学家高斯给出了复数的定义, 但他们仍感到这种数有点虚无缥缈,尽管他们也感到它的 作用.1830年,高斯详细论述了用直角坐标系的复平面上 的点表示复数a+bi,使复数有了立足之地,人们才最终承 认了复数.

数 系 的 扩 充 和 复 数 的 概 念

1.虚数单位i的引入; 2.复数有关概念:
复数的代数形式: z ? a ? bi (a ? R, b ? R) 复数的实部 、虚部 虚数、纯虚数 复数相等 a ? bi ? c ? di ?
?a ? c ? ?b ? d


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