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2007届东莞市高三理科数学五月高考模拟题


2007 届东莞市高三理科数学五月高考模拟题
考生注意:满分 150 分,时间 120 分钟.不准使用计算器. 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分. 每小题各有四个选择支,仅有一个选择支正确.请把正确选择支号填在答题表内.) 1.满足条件 {1,2} ? M = ? 1,2,3 A.1 2.复数 B.2

? 的所有集合 M 的个数是

>C.3 D.4

5 的共轭复数是 1 ? 2i
B. ?

5 10 A. ? ? i 3 3

5 10 ? i 3 3

C . 1 ? 2i

D. 1 ? 2i

3. 若条件 p : x ? 1 ? 4 ,条件 q : x 2 ? 5x ? 6 ,则 ? p 是 ? q 的 A.必要不充分条件 C.充要条件 B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件

4. 工人制造零件的尺寸在正常情况下服从正态分布 N

??,? ? ,在一次正常的试验
2

中,取 1000 个零件,不属于 ?? ? 3? , ? ? 3? ? 这个尺寸范围的零件个数可能为 A. 7 个 B. 10 个 C. 3 个 D.6 个

5. 阅读右图所示的流程图,输出的结果为 A.24 B.12 C.6 ①若 m ? ? , m ? ? , 则? ? ? ; ②若 m // ? , m // ? , 则? // ? ;

D.4

6. 已知直线 m, n ,平面 ? , ? ,给出下列命题:

③若 m ? ? , m // ? , 则? ? ? ; ④若异面直线 m, n 互相垂直,则存在过 m 的平面与 n 垂直. 其中正确的命题是 A.②③ B.①③ 7. 设椭圆 C.②④ D.③④

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1,抛物线 y 2 ? 2(m ? n) x(其中m ? n ? 0) 的离心率分别为 e1 , e2 , e 3 ,则 ? ? 1 ,双曲线 2 2 2 m n m n
B. e1e2 ? e3 C. e1e2 ? e3 D. e1e2 与 e 3 的大小关系不能确定

A. e1e2 ? e3

8. 正方体的直观图如右下图所示,则其展开图是

A A

B B

C C

D D

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

二、填空题(请按要求答题,每小题 5 分,共20分.请把答案填在题中的横线上.) 9 . ( x ? x ? 1) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? a10 x
2 5 2 10

, 则 x 的 系 数 a2 的 值 为

2

___________.

10.表示右图中阴影部分的二元一次不等式组为______________. 11.曲线 y=x3 在点(a,a3)(a≠0)处的切线与 x 轴、直线 x=a 所围成的三角形的

面积为

1 ,则 a= 6

王新敞
奎屯

新疆

12.当 a0 , a1 , a2 成等差数列时,有 a0 ? 2a1 ? a2 ? 0,当a0 , a1 , a2 , a3 成等差 数列时,有 a0 ? 3a1 ? 3a2 ? a3 ? 0,当a0 , a1 , a2 , a3 , a4 成等差数列时,有 a0 ? 4a1 ? 6a2 ? 4a3 ? a4 ? 0 ,由此归纳:当
0 2 n a0 , a1 , a2 ??an 成等差数列时有 c n a0 ? c1 ) n cn a n =0.如果 a0 , a1 , a2 ,?, an 成等比数列,类比上 n a 1 ? c n a 2 ? ? ? (?1

述方法归纳出的等式为

王新敞
奎屯

新疆

考生可从下面第 14、15 两道题中任选一道做答,若两道题全做答,则只按前一题计算得分. 13. 从不在圆上的一点 A 做直线交⊙O 于 B、C 两点,且 AB·AC=60,OA=8,则⊙O 的半径等于 14.点 P(3,0)到直线 ? . .

?x ? t (其中参数 t 是任意实数)上的点的距离的最小值是 ? y ? 2t ? 1
2 2 2

15.已知 2 x ? y ? 3z ? 6, 则:x ? y ? z 的最小值是 三、解答题(共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16. (本小题满分 12 分) 已知 a ? (



?

3 , ? ), 且 sin ? ? . 2 5

(I)求 cos(? ? (II)求 sin
2

?

?
2

4

) 的值;

? tan(? ?

?
4

) 的值.

17. (本小题满分 13 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形,侧面 PAD 垂直底面 ABCD,且Δ PAD 为正三角形,E 为侧棱 PD 的中点. (I)求证:AE⊥平面 PCD; (II)求平面 PAB 与平面 PDC 所成二面角的大小; (III)求直线 PB 与平面 PDC 所成角的正弦值.

18. (本小题满分 13 分) 袋子里有大小相同的 3 个红球和 4 个黑球,今从袋子里随机取出 4 个球: (I)求取出的红球数 ? 的概率分布列和数学期望;

(II)若取出一个红球得 2 分,取出一个黑球得 1 分,求总得分不超过 5 分的概率.

19. (本小题满分 14 分) 设正项等比数列 {an } 的首项 a1 = (I)求 {an } 的通项公式; (II)求数列 {nSn } 的前 n 项和 Tn .

1 ,前 n 项和为 S n ,且 210 S30 ? (210 ? 1)S 20 ? S10 ? 0 . 2

20. (本小题满分 14 分) 过椭圆

x2 y2 ? ?1 a2 b2

(a ? b ? 0) 的左焦点 F 任作一条与两坐标轴都不垂直的弦 AB,若 x 轴
王新敞
奎屯 新疆

上的定点 M,总能使得 MF 为 ?AMB 的一条内角平分线,则称点 M 为该椭圆的“左特征点” ①求椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的“左特征点”M 的坐标; 5 x2 y2 ? ?1 a2 b2 (a ? b ? 0) 的“左特征点”M 是一个怎样的点?并证明你的结论

②试根据①中的结论猜测:椭圆

王新敞
奎屯

新疆

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln

x?2 x ? . x?4 4

(I)求 f ( x ) 的极值; (II)求证 f ( x ) 的图象是中心对称图形;

(III)设 f ( x ) 的定义域为 D ,是否存在 ? a, b? ? D .当 x ? ? a, b? 时, f ( x ) 的取值范围是 ? , ? ?若存在,求实数 a 、b 的 4 4 值;若不存在,说明理由.

?a b? ? ?

参考答案
一、选择题:DDBC CDBD 二、填空题: 9. ? 5

?x ? 0 ? 10. ? y ? ?1 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
14. 5

11. ? 1

12. a0 n ? a1

C0

? c1 n

Cm ( ?1) ? a2 ? ? ? an

2

n

n Cn

? 1.

13. 2 或 2 31 三、解答题: 16、 (1) ?

15.

18 7

2 10

(2)

73 70

17. 证明: (I)在正 ?PAD 中, E 是 PD 的中点,所以 AE ? PD . 又 面PAD ? 面ABCD , 面PAD ? 面ABCD ? AD , CD ? AD ,所以 CD ? 面PAD . 而 AE ? 面PAD,所以 CD ? AE . 所以由 PD ? CD ? D ,有 AE ? 面PDC . (II)取正 ?PAD 的底边 AD 的中点 O ,连接 PO ,则 PO ? AD . 又 面PAD ? 面ABCD , 所以 PO ? 面ABCD . 如图,以点 O 为坐标原点, DA 为 x 轴, OP 为 z 轴, 建立空间直角坐标系.

z

0, 0) , 设 AD ? 2 a ,则有 A(a,

y

a 3a 2a, 0) , D(?a,0,0) , E (? ,0, ) , AP ? (?a,0, 3a) , AB ? (0,2a,0) .再设 P(0, 0,3a) , B(a, 2 2

x

n ? ( x, y, z) 是面 PAB 的法向量,则有
? ?? ax ? 3az ? 0 ?n ? AP ? 0 ,即 ? ,可设 n ? ( 3,0,1) . ? ? 2ay ? 0 ? ?n ? AB ? 0

又 AE ? (?

3 3 a,0, a) 是面 PDC 的法向量,因此 2 2
1 ?? , 2 | AE | ? | n |
?

cos ? AE , n ??

AE ? n

所以 ? AE, n ?? 120? ,即平面 PAB 与平面 PDC 所成二面角为 60 . (Ⅲ)由(II)知 PB ? (a,2a,? 3a) ,设 PB 与面 PDC 所成角为 ? ,则

sin ? ?

| PB ? AE | | PB | ? | AE |

?

6 4

所以 PB 与面 PDC 所成角的正弦值为

6 . 4

3 1 4 C4 C3 12 C4 1 18.解: (I) P(? ? 0) ? 4 ? , P(? ? 1) ? , ? 4 35 C7 35 C7 2 2 1 3 C4 C3 18 C4 C3 4 , , ? P ( ? ? 3 ) ? ? 4 4 35 35 C7 C7

P(? ? 2) ?

∴ ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

18 35 1 12 18 4 12 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . ∴ E? ? 0 ? 35 35 35 35 7
3 1 4 C4 C3 13 C4 ∴P ? 4 ? . ? 4 35 C7 C7

1 35

12 35

4 35

(II)当且仅当取出 4 个黑球,或 3 个黑球、1 个红球时总得分不超过 5 分.

19.解: (Ⅰ)由 210 S30 ? (210 ? 1)S 20 ? S10 ? 0 得 210 (S30 ? S 20 ) ? S 20 ? S10 , 即 210 (a21 ? a22 ? ? ? a30 ) ? a11 ? a12 ? ? ? a20 , 可得 210 ? q10 (a11 ? a12 ? ?? a20 ) ? a11 ? a12 ? ?? a20 . 因为 an ? 0 ,所以 210 q10 ? 1,
n ?1 ? 因而 a n ? a1 q

解得 q ?

1 , 2

1 , n ? 1,2, ?. 2n 1 1 、公比 q ? 的等比数列,故 2 2

(Ⅱ)因为 {an } 是首项 a1 ?

1 1 (1 ? n ) 2 ? 1 ? 1 , nS ? n ? n . Sn ? 2 n 1 2n 2n 1? 2
则数列 {nSn } 的前 n 项和 Tn ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( ?

1 2 n ? ? ? n ), 2 2 2 2 Tn 1 1 2 n ?1 n ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ). 2 2 2 2 2 2

前两式相减,得

Tn 1 1 1 1 n ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( ? 2 ? ? ? n ) ? n ?1 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) n(n ? 1) 2 2 ? n , ? ? 1 4 2 n ?1 1? 2 n(n ? 1) 1 n ? n ?1 ? n ? 2. 即 Tn ? 2 2 2
x2 ? y 2 ? 1 的左特征点, 5

20.解: (1)设 M ?m,0? 为椭圆

由椭圆的左焦点为 F ?? 2,0? ,可设直线 AB 的方程为 x ? ky ? 2 ?k ? 0? ,

x2 2 ? y 2 ? 1 得 ?ky ? 2? ? 5 y 2 ? 5 即 k 2 ? 5 y 2 ? 4ky ? 1 ? 0 代入 5
设 A?x1 , y1 ?,

?

?

B?x2 , y2 ? , 则 y ? y 2 ?

4k , k ?5
2

y1 y 2 ? ?

1 k ?5
2

? ?AMB 被 x 轴平分? k AM ? k BM ? 0

?

y1 y2 ? ?0 x1 ? m x2 ? m

y1 ?x2 ? m? ? y2 ?x1 ? m? ? 0


y1 ?ky2 ? 2? ? y2 ?ky1 ? 2? ? ? y1 ? y2 ?m ? 0 ? 2ky1 y2 ? ? y1 ? y2 ??m ? 2? ? 0
1 ? 4k ? ?m ? 2? ? 0 2k ? ? ? 2 ?? 2 ? k ?5? k ?5
5 2

于是

? k ? 0, ?1 ? 2?m ? 2? ? 0 ,即 m ? ?

? 5 ? ? M ? ? , 0? ? 2 ?
?? 5 a2 ?? 2 c

(2)对于椭圆

x2 ? y 2 ? 1, a ? 5 , b ? 1, c ? 2 5

x2 y2 于是猜想:椭圆 2 ? 2 ? 1 的“左特征点”是椭圆的左准线与 x 轴的交点 a b
证明: 设椭圆的左准线 l 与 x 轴相交于 M 点, 过 A、 B 分别作 l 的垂线, 垂足分别为 C、 D, 据椭圆的第二定义:

| AF | | BF | ? | AC | | BD |



| AF | | AC | | AF | | CM | ? ? AC // FM // BD, ? ? | BF | | BD | | BF | | DM | | AC | | CM | | AC | | BD | ? ?AMC ? ?BMD ? ?AMF ? ?BMF ? ? ,即 | BD | | DM | | CM | | DM |
王新敞
奎屯 新疆

于是

? MF 为 ?AMB 的平分线,故 M 为椭圆的“左特征点”
21.解:(I) f ( x) ?
/

x?2 x( x ? 6) ? 0 ,即 x ? (??, 2) ? (4, ??) , .注意到 x?4 4( x ? 2)( x ? 4)



x( x ? 6) ? 0 得 x ? 6 或 x ? 0 .所以当 x 变化时, f / ( x), f ( x) 的变化情况如下表: 4( x ? 2)( x ? 4)

x
f / ( x)
f ( x)

(??, 0)
+ 递增

0
0 极大值

(0, 2)
- 递减

(4, 6)
- 递减

6
0 极小值

(6, ??)
+ 递增

1 3 是 f ( x ) 的一个极大值, f (6) ? ln 2 ? 是 f ( x ) 的一个极大值.. 2 2 3 3 (II) 点 ? 0, f (0) ? ,(6, f (6)) 的中点是 (3, ) ,所以 f ( x ) 的图象的对称中心只可能是 (3, ) . 4 4
所以 f (0) ? ln 设

P( x, f ( x))



f ( x)













,

P





(

3 3 4

, 的 )对







3 4? x 6? x 3 Q(6 ? x, ? f ( x)) .? f (6 ? x) ? ln ? ? ? f ( x) .?Q 也在 f ( x) 的图象上 , 因而 f ( x) 的图象是中心对 2 2? x 4 2
称图形. (III) 假设存在实数 a 、 b .? ? a, b? ? D ,? b ? 2 或 a ? 4 . 若 0 ? b ? 2 , 当 x ? ? a, b? 时 , f ( x) ? f (0) ? ln

1 b b ? 0 , 而 ? 0 ? f ( x) ? . 故此时 f ( x) 的取值范围是不可能是 2 4 4

?a b? , . ? ?4 4? ?
若 4 ? a ? 6 ,当 x ? ? a, b? 时, f ( x) ? f (6) ? ln 2 ?

3 3 a 3 a ? ,而 ? ? f ( x) ? .故此时 f ( x) 的取值范围是不可能是 2 2 4 4 2

?a b? , . ? ?4 4? ?
若 a ? b ? 0或6 ? a ? b , 由 g ( x) 的 单 调 递 增 区 间 是 ? ??,0? , ? 6, ??? , 知 a , b 是 f ( x) ?

x 的两个解.而 4

f ( x) ?

x x?2 ?a b? ? ln ? 0 无解. 故此时 f ( x) 的取值范围是不可能是 ? , ? . 4 x?4 ?4 4?

综上所述,假设错误,满足条件的实数 a 、 b 不存在.


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