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2013年中考数学二轮复习专题突破(4)方案设计题


专题突破四┃ 方案设计题

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方案设计型问题要求以方案设计的形式解决数 学问题,问题情境包含实际问题情景和数学问题情 境,设计目标有图形设计问题、测量方案问题、经 济方案问题等,它一般包括“问题情境——模型建 立——说明、应用和拓展”等具体求解过程,三种 设计目标所建立的数学模型如下: ? 1.图形设计方案题:在实际生活的背景下,不 只是传统的简单作图,而是运用轴对称图形和中心 对称图形的性质,借助某些规则的图形(如等腰三角 形、菱形、矩形、圆)的性质,通过对图形进行分解 与组合进行创新设计.

专题突破四┃ 方案设计题

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2.测量方案设计题:利用全等三角形、相似三 角形、锐角三角函数等设计一个可行的方案,对某 一物体的长度、高度、宽度等进行测量计算. ? 3.经济方案设计题:提供或寻求到多种解决 问题的方案,并考虑到实施中的经济因素,选择最 佳(可行)方案,主要建立方程模型、函数模型、概 率模型以解决问题. ? 方案设计题贴近生活,具有较强的操作性和实践性, 考查学生的动手实践能力和创新设计才能,解决问 题时要慎于思考,并能在实践中对所有可能的方案 进行罗列与分析,得出符合要求的一种或几种方案.

专题突破四┃ 方案设计题 ? 类型之一 测量方案设计问题

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例1 [2011· 宜宾] 如图X4-1,飞机沿水平方向(A,B 两点所在直线)飞行,前方有一座高山,为了避免飞机飞行 过低,就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN.飞机能够测 量的数据有俯角和飞行距离 (因安全因素,飞机不能飞到山 顶的正上方N处才测飞行距离),请设计一个求距离MN的方案, 要求: (1)指出需要测量的数据 (用字母表示,并在图中标出); (2)用测出的数据写出求 距离MN的步骤.
图X4-1

专题突破四┃ 方案设计题

解:此题为开放题,答案不唯一,只要方案设计合理即 可,答案列举如下: (1)如图,测出飞机在A处对山顶的俯角为α ,测出飞机在 B处对山顶的俯角为β ,测出AB的距离d,连结AM,BM,过M点 作MN⊥AN,垂足为N.

专题突破四┃ 方案设计题

MN MN (2)第一步骤:在Rt△AMN中,tanα = ,∴AN= ; AN tanα
第二步骤:在Rt△BMN中,tanβ = 由AN=d+BN,解得MN=

MN MN ,∴BN= , BN tanβ
.

d·tanα ·tanβ
tanβ -tanα

专题突破四┃ 方案设计题

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这是一道测量方案设计的题目,它是 在限定条件的情况下,测量MN之间的距离, 对测量方法、测量数据及MN的计算表达式 均无限制,因此解题的方法较多. 构造适当 的直角三角形是解题的关键所在.

专题突破四┃ 方案设计题 ? 类型之二 图形设计方案问题

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例2 在所给的9×9方格中,每个小正方形的 边长都是1.按要求画平行四边形,使它的四个顶点 以及对角线交点都在方格的顶点上. (1)在图甲中画一个 平行四边形,使它的周 长是整数; (2)在图乙中画一个 平行四边形,使它的周长 图X4-2 不是整数.

专题突破四┃ 方案设计题

解:

专题突破四┃ 方案设计题

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例3 (1)计算:如图X4-3①,直径为a的三个 等圆⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切,切点分别为A、B、 C,求O1A的长(用含a的代数式表示); ? (2)探索:若干个直径为a的圆圈分别按如图② 所示的方案一和如图③所示的方案二的方式排放, 探索并求出这两种方案中n层圆圈的高度hn和 hn′(用含n、a的代数式表示);

图X4-3

专题突破四┃ 方案设计题

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(3)应用:现有长方体集装箱,其内空长 为5米,宽为3.1米,高为3.1米.用这样的集 装箱装运长为5米,底面直径(横截面的外圆 直径)为0.1米的圆柱形钢管,你认为采用(2) 中的哪种方案在该集装箱中装运钢管数最多? 并求出一个这样的集装箱最多能装运多少根 钢管?(≈1.73)

专题突破四┃ 方案设计题

解:(1)∵⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切, ∴O1O2=O2O3=O1O3=a. 又∵O2A=O3A, ∴O1A⊥O2O3, ∴O1A= 1 2 3 a - a = a. 4 2
2

(2)hn=na, 3? ? h′n= ??n-1??a+a, 2

专题突破四┃ 方案设计题

(3)方案二装运钢管最多.即:按图③的方式排放钢管, 放置根数最多. 根据题意,第一层排放31根,第二层排放30根, 3? ? 设钢管的放置层数为n,可得 ?n-1?×0.1+0.1≤3.1, ? ? 2 解得n≤35.68. ∵n为正整数, ∴n=35. 钢管放置的最多根数为:31×18+30×17=1068(根).

专题突破四┃ 方案设计题

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类型之三

经济方案设计题

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例4 [2012· 南充] 学校6名教师和234名学生 集体外出活动,准备租用45座大车或30座小 车.若租用1辆大车2辆小车共需租车费1000元; 若租用2辆大车1辆小车共需租车费1100元. ? (1)求大、小车每辆的租车费各是多少元? ? (2)若每辆车上至少要有一名教师,且总组成 费用不超过2300元,求最省钱的租车方案.

专题突破四┃ 方案设计题

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解:(1)设租用一辆大车的租车费是x 元,租用一辆小车的租车费是y元,
依题意,

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答:大、小车每辆的租车费分别是400 元和300元.

专题突破四┃ 方案设计题

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(2)240名师生都有座位,租车总辆数≥6;每 辆车上至少要有一名教师,租车总辆数≤6.故租车 总数为6辆,设大车辆数是x辆,则租小车(6-x) 辆. 得: 解得4≤x≤5. ∵x是正整数, ∴x=4或5. 于是有两种租车方案,方案1:大车4辆小车2辆 总租车费用2200元,方案2:大车5辆小车1辆总租车 费用2300元,可见最省钱的是方案1.

专题突破四┃ 方案设计题 ? 类型之四 利用函数进行方案设计

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例5 [2012· 青岛] 在“母亲节”期间,某校部 分团员参加社会公益活动,准备购进一批许愿瓶进 行销售,并将所得利润捐给慈善机构.根据市场调 查,这种许愿瓶一段时间内的销售量y(个)与销售 单价x(元/个)之间的对应关系如图X4-4所示: ? (1)试判断y与x之间的函数关系, ? 并求出函数关系式;

?
图X4-4

专题突破四┃ 方案设计题

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(2)若许愿瓶的进价为6元/个,按照上述 市场调查的销售规律,求销售利润w(元)与销 售单价x(元/个)之间的函数关系式; ? (3)若许愿瓶的进货成本不超过900元, 要想获得最大利润,试确定这种许愿瓶的销 售单价,并求出此时的最大利润.

专题突破四┃ 方案设计题

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解:(1)y是x的一次函数,设所求函数关系式为y= kx+b. ? 由于该函数的图象过点(10,300),(12,240), ? ? ? ? ∴y=-30x+600. ? 当x=14时,y=180;当x=16时,y=120, ? 即点(14,180),(16,120)均在函数y=-30x+600 图象上. ? ∴y与x之间的函数关系式为y=-30x+600.

专题突破四┃ 方案设计题
(2)w=(x-6)(-30x+600) =-30x2+780x-3600. 即w与x之间的函数关系式为w=-30x2+780x-3600. (3)由题意得6(-30x+600)≤900,解得x≥15. w=-30x2+780x-3600图象的对称轴为 780 x=- =13. 2×(-30) ∵a=-30<0, ∴抛物线开口向下,当x≥13时,w随x增大而减小. ∴当x=15时,w最大=1350. 即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350 元.

专题突破四┃ 方案设计题

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在实际问题或数学问题中建立方程、 不等式或函数模型后,利用不等式(组)、函 数的最大(小)值可求最大利润、最大面积、 最佳方案等问题.


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