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福建省龙岩市2013届高三临考适应性检测 理科数学卷3


福建省龙岩市 2013 届高三临考适应性检测理科数学卷 3
一、选择题: (共10小题,每小题5分,计50分) 1.已知复数 z 满足 (1 ? 3i ) z ? 1 ? i ,则 z =( A.
2 2

) C. 2 D. 2

B. ? 2

2.已知直线过定点(-1,1) ,则“直线的斜率为

0”是“直线与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 3. B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

设等差数列{an } 的前 n 项和 sn , a1 ? ?11 , a4 ? a6 ? ?6 ,则当 sn 取最小值时, n 等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9
1 2x ) 的展开式中第3项的二项式系数是15,则展开式中所有项系数之和为(
n

4.若 ( x ? A. ?
1



B.

1 32

C.

1 64
1

D.

1 128

64

5.设偶函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的部分图象 如图所示,△KLM 为等腰直角三角形,∠KML=90° ,KL=1,则 f ( ) 的值
6

为 (A) ?
3 4

(B) ?

1 4

(C) ?

1 2

(D)

3 4

6.某几何体的三视图如右图,其正视图中的曲线部分为半个圆弧,则该几何体的表面积为( ) A. 19 ? ? cm
2

B. 22 ? 4? cm

2

2 C. 10 ? 6 2 ? 4? cm

2 D. 13 ? 6 2 ? 4? cm

7.设O为坐标原点,

?x ? y ? 1 ? A(1,1) ,若点 B ( x, y ) 满足 ?0 ? x ? 1 , ? 0 ? y ?1 ?
2 2

OB 则 OA? 取得最小值时,点B的个数是(

??? ??? ? ?

) C.3
a?b 2

A.1

B.2

D.无数个 对称,则函数 y ? f ( x) 在区

8.若函数 y ? f ( x) 的导函数在区间 [a, b] 上的图象关于直线 x ?

·1·

间 [a, b] 上的图象可能是(



A.①

B.②

C.③

D.③④

9. 已知函数 f ( x) 满足:①定义域为R;② ?x ? R ,有 f ( x ? 2) ? 2 f ( x) ;③当 x ? [0, 2] 时,
f ( x ) ? 2 ? 2 x ? 2 .记 ? ( x ) ? f ( x ) ?

x ( x ? [ ?8, 8]) .

根据以上信息,可以得到函数 ? ( x) 的零点个数为( A.15 B.10 C.9

) D.8

(10) 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方:将 1,2,?,9 填入 3 ×3 的方格内,使三行、三列、二对角线的三个数之和都等于 15,如图 1 所示, 一般地,将连续的正整数 1,2,3,?, n 2 填入 n × n 个方格中,使得每行、 每列、每条对角线上的数的和相等,这个正方形就叫做 n 阶幻方,记 n 阶幻方的 对 角 线 上 数 的 和 为 N , 如 图 1 的 幻 方 记 为 N 3 ? 15 , 那 么 N12 的 值 为 ( ) A. 869 B. 870 D. 875 C. 871 二、填空题: (共 5 小题,每小题 4 分,计 20 分) 11.抛物线 y ? 2 x 与直线 y ? x ? 4 所围成的图形面积是_____
2

12.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 s 的值是_____ 13.已知双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0) 的左右焦点是 F1,F2,设 P 是双曲

线右支上一点, F1 F2 在 F1 P 上的投影的大小恰好为 | F1 P | 且它们的夹角 为
?
6

?????

????

????

,则双曲线的离心率 e 为__
? 1, 且P ( an , an ?1 )( n ? N )
*

. 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上,若

14.已知数列 {an }中, a1 函数
1 n ? a1 1

f ( n) ?

?

n ? a2

?

1 n ? a3

?? ?

1 n ? an

( n ? N , 且n ? 2) ,函数 f ( n) 的最小值
*



·2·

15.若自然数 n 使得作加法 n ? (n ? 1) ? (n ? 2) 运算均不产生进位现象,则称 n 为“给力数” ,例如: ,因 32 ? 33 ? 34 不产生进位现象; 23 不是“给力数” ,因 23 ? 24 ? 25 产生进位现 32 是“给力数” 象.设小于 1000 的所有“给力数”的各个数位上的数字组成集合 A ,则用集合 A 中的数字可组成无 重复数字的三位偶数的个数为_______________ 三、解答题: (共 6 小题,计 80 分) 16. (13 分) 如图, 单位圆 (半径为 1 的圆) 的圆心 O 为坐标原点, 单位圆与 y 轴的正半轴交与点 A , 与钝角 ? 的终边 OB 交于点 B ( xB , y B ) ,设 ?BAO ? ? . (1) 用 ? 表示 ? ; (2) 如果 sin ? (3) 求 xB
? yB

?

4 5

,求点 B ( xB , y B ) 的坐标;

的最小值.

17. (13 分) 某科考试中,从甲、乙两个班级各抽取 10 名同学的成绩进行统计分析,两班成绩的茎叶图如图 5 所示,成绩不小于 90 分为及格. (Ⅰ)甲班 10 名同学成绩的标准差 乙班 10 名同学成绩的标准差(填“>”,“<”) ; (Ⅱ)从两班 10 名同学中各抽取一人,已知有人及格,求乙班同学不及格的概率; (Ⅲ)从甲班 10 人中取一人,乙班 10 人中取两人,三人中及格人数记为 X, 求 X 的分布列和期望. 甲 乙 2,5,7 7 8,9 3,6,8 8 6,7,8 5,8 9 1,2,3,5 6,8 10 1

18. (13 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB=2,BC= a , ?PAD 为等边三角形, 又平面 PAD⊥平面 ABCD. (Ⅰ)若在边 BC 上存在一点 Q,使 PQ⊥QD,求 a 的取值范围; (Ⅱ)当边 BC 上存在唯一点 Q,使 PQ⊥QD 时,求二面角 A-PD-Q 的余弦值.

·3·

x2 19.在平面直角坐标系 xOy 中,经过点(0, 2)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 +y2=1 有两个不同的交点 2 P 和 Q. (1) 求 k 的取值范围; (2) 设椭圆与 x 轴正半轴、 轴正半轴的交点分别为 A、 是否存在常数 k, y B, 使得向量 与 AB 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由. 20.(14 分) 已知函数 f (x) 满足如下条件:当 x ? (?1, 1] 时, f ( x) ? ln( x ? 1) ,且对任意 x ? R ,都有
f ( x ? 2) ? 2 f ( x ) ? 1 .

OP ? OQ

(1)求函数 f (x) 的图象在点 (0 , f (0)) 处的切线方程; (2)求当 x ? (2k ? 1 , 2k ? 1] , k ? N * 时,函数 f (x) 的解析式; (3)是否存在 xk ? (2k ? 1 , 2k ? 1] , k ? 0 ,, , , 1 2 ? 2011 ,使得等式
2011

? [2
k ?0

k

xk ? f ( xk )] ? 4019 ? 2

2012

? 2017

成立?若存在就求出 xk ( k ? 0 ,, , , ,若不存在,说明理由. 1 2 ? 2011 ) 21. (14 分)本题有三小题,请任选两小题作答。 (1)选修 4-2:矩阵与变换 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 点 A(0,0) , B(-2,0) , C(-2,1) 。 设 k 为 非 零 实 数 , 矩 阵 M= ?
?k ?0 0? ?0 ? ,N= ? 1? ?1 1? ? ,点 A、B、C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为 A1、B1、C1,△A1B1C1 0?

的面积是△ABC 面积的 2 倍,求 k 的值。 (2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 ?
36 4 cos ? ? 9 sin ?
2 2



(Ⅰ)若以极点为原点,极轴所在的直线为 x 轴,求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若 P ( x, y ) 是曲线 C 上的一个动点,求 3 x ? 4 y 的最大值
·4·

(3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a,b,c 为实数,且 a ? b ? c ? 2 ? 2m ? 0, a 2 ?
1 4 1 9 (a ? b ? c) 14
2

1 4

b ?
2

1 9

c ? m ? 1 ? 0.
2

(I)求证: a ?
2

b ?
2

c

2

?

;

(II)求实数 m 的取值范围。

参考答案
一、选择题:AAACD、ACBDB 二、11、18 12、 ?
1 2

13、 3 ? 1

14、

7 12

15、10 . ????????4
? 2? )

16.解:(1)如图 ?AOB ? ? ? ?
2

? ? ? 2 ? ,?? ?

3? 2

? 2?

(2)由 sin ?

?

yB r

,又 r ? 1 ,得 yB

? sin ? ? sin(

3? 2

4 2 7 2 ? ? cos 2 ? ? 2 sin ? ? 1 ? 2 ? ( ) ? 1 ? 5 25

. ??????????7
24 25

由钝角 ? ,知 x
? B (? 24 , 7 )

B

? cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ?
2

,

25 25

……………………………… ……………………………….9
?
4
? ?, ? ?

(3) 【法一】 xB ? yB ? cos ? ? sin ? ? 2 cos(? ? 又 ? ? ( ? , ? ),?
2

),

?

?
4

?(

3? 5? ? ? 2 , ) , cos(? ? ) ? ? ? 1,? 4 4 4 2 ?

? xB ? y B 的最小值为 ?

2 ………………………………………………………..13
2 2

【法二】 ? 为钝角,? xB ? 0, y B ? 0, xB ? y B ? 1 ,
·5·

xB ? y B ? ?( ? xB ? y B ) ,

( ? xB ? y B ) ? 2( xB ? y B ) ? 2 ,? xB ? y B ? ? 2 ,
2

2

2

? xB ? y B 的最小值为 ?

2 . ?????????????????13

17.解: (Ⅰ)>. ···························· 2 分 (Ⅱ)甲班有 4 人及格,乙班有 5 人及格. 事件“从两班 10 名同学中各抽取一人,已知有人及格”记作 A , 事件“从两班 10 名同学中各抽取一人,乙班同学不及格”记作 B ,
20 P( A ? B) P ( A) 2 100 ? . ················ 6 分 30 7 1? 100

则 P ( B | A) ?

?

(Ⅲ)X 取值为 0,1,2,3
P ( X ? 0) ? C6
1 1

?

C5

2

C10 C6
1 1

C10 C5
2

2

?

2 15 C4
1 1

; P ( X ? 1) ?

C6
1

1

?

C5 C5 C10
2

1

1

?

C4
1

1

?

C5

2

C10 C5 C5 C10
2 1 1

C10 C4
1 1

C10 C5
2

2

?

19 45 4



P ( X ? 2) ?

?

C10

C10

2

?

?

?

16 45

; P ( X ? 3) ?

?

C10

C10

C10

2

?

. ·· 10 分

45

所以 X 的分布列为
X P(X) 0
2 15

1
19 45 7 5

2
16 45

3
4 45

所以 E ( X ) ?

19 ? 32 ? 12 45

?

.······················ 13 分

18.解: (Ⅰ)取 AD 中点 O,连接 PO,则 PO⊥AD ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,∴PO⊥平面 ABCD???2 分 建立如图的空间直角坐标系, P (0, 0, 则
3 2 3 2
a 2

a ), D (

a 2

(t, 0) 2, , , 0, 0) ,设 Q



PQ

=(t,2,-
??? ???? ?

, a)

DQ

=(t ?

,2,0) .

∵PQ⊥QD,∴ PQ ? DQ ? t (t ? ) ? 4 ? 0 .
2

a

∴ a ? 2(t ? ) ? 8 ,等号成立当且仅当 t=2.
t

4

故 a 的取值范围为 [8, ??) . ????7 分

·6·

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 t ? 2 , a =8 时,边 BC 上存在唯一点 Q,使 PQ⊥QD. 此时 Q(2,2,0) ,D(4,0,0), P (0, 0, 4 3) . 设
n ? ? x, y , z ?

是平面 PQD 的法向量, PQ =(2,2, ?4 3 ) ,

DQ

=(-2,2,0) .

??? ? ? n?DP ? 0 ? ? ???? 2 x ? 2 y ? 4 3z ? 0 ? n?DQ ? 0 由? ,得. {

?2 x ? 2 y ? 0

取 x ? y ? 3 ,则 n ? (3, 3, 3)
??? ?

?

是平面 PQD 的一个法向量.

而 AB ? (0, 2, 0) 是平面 PAD 的一个法向量,
??? ? ? 21 7 21 7

设二面角 A-PD-Q 为 ? ,由 cos ? ? cos AB, n ?



∴二面角 A-PD-Q 的余弦值为



??13 分

19.解: (1) 由已知条件知直线 l 的方程为 y=kx+ 2, x2 代入椭圆方程得 +(kx+ 2)2=1. 2 1 2? 2 整理得?2+k ?x +2 2kx+1=0.① ? 直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 1 2 Δ=8k2-4?2+k ?=4k2-2>0, ? ? 2 2 解得 k<- 或 k> . 2 2 2 2 即 k 的取值范围为?-∞,- ?∪? ,+∞?. 2? ?2 ? ? (2) 设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 则
OP ? OQ ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ),

由方程①得 x1+x2=-

4 2k .② 1+2k2 又 y1+y2=k(x1+x2)+2 2,③



A( 2 ,0), B (0,1), AB ? ( ? 2 ,1).

所以 OP ? OQ 与 AB 共线等价于 x1+x2=- 2(y1+y2),
·7·

将②③代入上式,解得 k= 由(1)知 k<-

2 . 2

2 2 或 k> ,故没有符合题意的常数 k. 2 2
1 x ?1

20.解 (1) x ? (?1, 1] 时, f ( x) ? ln( x ? 1) , f ?( x) ?



???????2 分

所以,函数 f (x) 的图象在点 (0 , f (0)) 处的切线方程为 y ? f (0) ? f ?(0)( x ? 0) ,即 y ? x .?3 分 (2)因为 f ( x ? 2) ? 2 f ( x) ? 1 , 所以,当 x ? (2k ? 1 , 2k ? 1] , k ? N * 时, x ? 2k ? (?1 , 1] , ????????4 分
f ( x ) ? 2 f ( x ? 2) ? 1 ? 2 f ( x ? 4) ? 2 ? 1 ? 2 f ( x ? 6) ? 2 ? 2 ? 1
2 3 2

? ? ? 2 f ( x ? 2k ) ? 2
k k

k ?1

?2

k ?2

? ? ? 2 ? 1 ? 2 ln( x ? 2k ? 1) ? 2 ? 1 6 分
k k

(3)考虑函数 g ( x) ? 2 x ? f ( x) , x ? (2k ? 1 , 2k ? 1] , k ? N , 则 g ?( x) ? 2 ?
k

2

k

x ? 2k ? 1

?

2 ( x ? 2k )
k

x ? 2k ? 1



当 2k ? 1 ? x ? 2k 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减; 当 x ? 2k 时, g ?( x) ? 0 ; 当 2k ? x ? 2k ? 1 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增; 所以,当 x ? (2k ? 1, 2k ? 1] , k ? N 时, g ( x) ? g (2k ) ? (2k ? 1)2 ? 1 ,
k

当且仅当 x ? 2k 时, g ( x) ? g (2k ) ? (2k ? 1)2 ? 1 . ????????????10 分
k
2011 2011 2011

所以, ? [2 k xk ? f ( xk )] ?
k ?0
n

? g(x
k ?0

)? k

? [(2k ? 1)2
k ?0

k

? 1]

而 ? [(2k ? 1)2k ? 1] ? 1 ? 21 ? 3 ? 22 ? ? ? (2n ? 1)2n ? n ,
k ?0

令 S n ? 1 ? 21 ? 3 ? 22 ? ? ? (2n ? 1)2n ,则 2 S n ? 1 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (2n ? 1)2n ?1 , 两式相减得, ? S n ? 1 ? 21 ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 23 ? ? ? 2 ? 2 n ? (2n ? 1)2 n ?1
? 1? 2 ?
1 n ?1

2 ? 2 (2
2

? 1)

2 ?1

? ( 2n ? 1) 2

n ?1

? ?( 2n ? 3) 2

n ?1

?6.

所以, S n ? (2n ? 3)2 n ?1 ? 6 ,
2011

故 ? [( 2k ? 1)2 k ? 1] ? S 2011 ? 2011 ? 4019 ? 2 2012 ? 2017 .????????12 分
k ?0
2011 2011 2011

所以, ? [2k xk ? f ( xk )] ?
k ?0

? g ( xk ) ?
k ?0

?[(2k ? 1)2
k ?0

k

? 1 ? 4019 ? 2

n ?1

? 2017 .

当且仅当 xk ? 2k , k ? 0, 1, 2, ?, 2011 时,
·8·

2011

2011 k

2011 k

? [2
k ?0

xk ? f ( xk )] ?

? g(x
k ?0

)?

?[(2k ? 1)2
k ?0

k

? 1 ? 4019 ? 2

n ?1

? 2017 .

所以,存在唯一一组实数 xk ? 2k , k ? 0 , 1 , 2 , ? , 2011 ,
2011

使得等式 ? [2 k xk ? f ( xk )] ? 4019 ? 2 n ?1 ? 2017 成立. ??????????14 分
k ?0

21 解: (1)由题设得 MN ? ?
?0 ?1 k ? ?0 ?? 0 ? ?0 ?2 0

?k ?0

0? ?0 ?? 1 ? ?1 0 ?2

1 ? ?0 ??? 0 ? ?1

k? ? 0?

由?

?2 ? ? 0 ??? 1 ? ?0

k ? 、B 、C 。 ? ,可知 A1(0,0) 1(0,-2) 1( k ,-2) ?2 ?

计算得△ABC 面积的面积是 1,△A1B1C1 的面积是 | k | ,则由题设知: | k |? 2 ?1 ? 2 。 所以 k 的值为 2 或-2。 坐标系与参数方程: (Ⅰ)
? 1 ;???3 分 4 (Ⅱ)设 P (3 cos ? , 2 sin ? ) , ? 9 x
2 2

y

则 3 x ? 4 y = 9 cos ? ? 8 sin ? ? 145 sin(? ? ? ) ??6
? ? ? R,? 当 sin(? ? ? ) ? 1 时, 3 x ? 4 y 的最大值为 145

???7 分

解:①由柯西不等式得 [a 2 ? ( b) 2 ? ( c) 2 ][12 ? 2 2 ? 3 2 ] ? (a ? b ? c) 2
2 3
2 2

1

1

即 (a ?
2

1 4

b ?
2

1 9

c ) ? 14 ? ( a ? b ? c ) ,? a ?
2

1 4

b ?
2

1 9

c

2

?

(a ? b ? c) 14

2

当且仅当 | a |?

1 4

| b |?

1 9

| c | 取得等号,?????????4 分 1 4 b ?
2

②由已知得 a ? b ? c ? 2m ? 2, a 2 ?
2 2

1 9

c

2

? 1? m 5 2 ? m ?1

?14(1 ? m) ? ( 2m ? 2) 即2m ? 3m ? 5 ? 0 ? ?

又? a 2 ?

1 4

b ?
2

1 9

c

2

? 1 ? m ? 0,

? m ? 1,? ?

5 2

? m ? 1 ????7 分

·9·


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