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高中数学必修5第二章数列题组总训练答案


高中数学必修 5 第二章数列题组总训练答案 [一 ]
一、选择题 二、填空题 1.C 2.B 3.B 4.C 5.B 6.C 1.8 2.49 3.

65 4. ? 753 3 5. ? 2 12
2. 31 .5
3

三、解答题 1. 2,5,8,11 或 11,8,5,2

? a(

1 ? a n ) n(n ? 1) ? (a ? 1) ? ? 1? a 2 3. 原式= ? 2 ? n ? n (a ? 1) ? ?2 2

4. q ? ?

4 2

[二 ]
一、选择题 二、填空题 1.B 2.A 3.D 4.D 5.B 6.A 1.38 2. a n ?

7 (10 n ? 1) 3. 5 4.0 5. 18 9

?1 ? x n ? nxn ( x ? 1) ? ? 1? x 三、解答题 1. 15,20,25 2. 原式= ? ? n(n ? 1) ( x ? 1) ? ? 2
2 ? ?? n ? 10n, (n ? 5) 3. S n ? ? 2 ? ?n ? 10n ? 50, (n ? 6)

4. n ? 8, 且n为偶数

[三 ]
一、选择题 1.B 2.A 3.D 4.C 5.C 6.B 二、填空题 1. ?

1 n

2. 100 3. 4 : 1 : (?2)

4. 10

5. 156 3. 10 4. ? 76

三、解答题 1. a n ? ? [四、五] 1[答案] C

?5, (n ? 1)
n ?1 ?2 , (n ? 2)

2. q ? 2, 项数为 8

[解析] an=3(2n-1)=6n-3,由 6n-3=81,得 n=14. 2[答案] A [解析] ∵an=-n+5, ∴an+1-an=[-(n+1)+5]-(-n+5)=-1, ∴{an}是公差 d=-1 的等差数列. 3[答案] C

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[解析] a1=1,d=-1-1=-2,∴an=1+(n-1)· (-2)=-2n+3,由-89=-2n+3 得:n=46. 4[答案] D 25 ? ?a10>1 由题意? ,∴ 1 ? ?a9≤1

[解析]

? +9d>1 ? ?25+8d≤1

1





8 3 <d≤ . 75 25

5[答案] C 1 2 [解析] a1= ,a2+a5=2a1+5d= +5d=4, 3 3 2 1 2 ∴d= ,又 an=a1+(n-1)d= + (n-1)=33,∴n=50. 3 3 3 6[答案] D a2· a4=12 ? ? ? ?a2=6 [解析] 由?a2+a4=8 ,得? , ? ?a4=2 ? ?d<0
?a1=8 ? ∴? ,∴an=-2n+10. ?d=-2 ?

7[答案] 13 [解析] ∵a5=a2+6,∴3d=6, ∴a6=a3+3d=7+6=13. 8[答案] 12 2 [解析] 由条件知 b 一定不是斜边,设 c 为斜边, 2b=a+c ? ?1 则?2ab=12 ? ?a +b =c
2 2

解得:b=4 2,a=3 2,c=5 2,

2

∴a+b+c=12 2. 9[解析] 设首项为 a1,公差为 d, 由 a3=7,a11=-1 得,a1+2d=7,a1+10d=-1,所以 a1=9,d=-1,则 a7=3. [答案] 3
?a1+?m-1?d=n ? 10[解析] 解法 1:由? , ? ?a1+?n-1?d=m

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? ?a1=m+n-1 解得? ?d=-1 ?



∴am+n=a1+(m+n-1)d=(m+n-1)-(m+n-1)=0. m-n y-m 解法 2:设 am+n=y,则由三点(m,n),(n,m),(m+n,y)共线得: = , n-m ?m+n?-n ∴y=0,即 am+n=0. 11[答案] A [解析] 设等差中项为 x,由等差中项的定义知,2x=a+b= 2)+( 3+ 2)=2 3,∴x= 3,故选 A. 12[答案] B [解析] 设公差为 d,则 a1+d+a1+2d=2a1+3d=4+3d=13,解得 d=3,所以 a4+a5 +a6=(a1+3d)+(a1+4d)+(a1+5d)=3a1+12d=42. 13[答案] C b-a b-a [解析] 由题意可知:d1= ,d2= , 3 4 d1 4 ∴ = ,故选 C. d2 3 14[答案] C [解析] 设 x2-2x+m=0 的根为 x1,x2 且 x1<x2,x2-2x+n=0 的根为 x3,x4 且 x3<x4, 1 且 x1= , 4 7 又 x1+x2=2,∴x2= , 4 又 x3+x4=2,且 x1,x3,x4,x2 成等差数列, 17 1 1 3 5 ∴公差 d= ( - )= ,∴x3= ,x4= . 34 4 2 4 4 1 7 3 5 1 ∴|m-n|=| × - × |= ,故选 C. 4 4 4 4 2 15[答案] 67 66 1 1 + =( 3- 3+ 2 3- 2

[解析] 设此等差数列为{an},公差为 d,则
? ?a1+a2+a3+a4=3, ? ? ?a7+a8+a9=4,

?4a1+6d=3, ? ∴? ?3a1+21d=4, ?

?a =22, 解得? 7 ?d=66,
1

13

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13 7 67 ∴a5=a1+4d= +4× = . 22 66 66 16[答案] 9
? ? ?an≥0 ?79-9n≥0 [解析] a1=70, d=-9, ∴an=70-9(n-1)=79-9n, 由? , 即? , ?an+1<0 ? ? ?79-9?n+1?<0

70 79 得 <n≤ , 9 9 ∵n∈N*,∴n=8, 由于 a8=7,a9=-2,∴绝对值最小的一项是第 9 项. 17[解析] 解法 1:设首项为 a1,公差为 d,则 an=a1+(n-1)d
? ? ?a1+?15-1?d=33 ?a1=-23 由已知? 解得? ?a1+?61-1?d=217 ?d=4 ? ?



∴an=-23+(n-1)×4=4n-27, 令 an=153 即 4n-27=153 得 n=45∈N*, ∴153 是所给数列的第 45 项. 解法 2:假设 153 是数列{an}的第 n 项,则(15、33),(61、217),(n、153)三点共线, ∴ 217-33 153-33 = , 61-15 n-15

∴n=45, ∵n∈N*∴153 是这个数列的第 45 项. 1 1 1 18[证明] ∵ , , 成等差数列, a b c 2 1 1 ∴ = + 化简得:2ac=b(a+c), b a c b+c a+b bc+c2+a2+ab b?a+c?+a2+c2 又∵ + = = a c ac ac 2ac+a2+c2 ?a+c?2 ?a+c?2 a+c = = = =2· , ac ac b b?a+c? 2 ∴ b+c c+a a+b , , 也成等差数列. a b c

[六、七]
1[答案] D [解析] 由题设 a1+a2+a3+?+a101=101a51=0, ∴a51=0. 2[答案] D

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? ? ?a6+a9=16 ?2a1+13d=16 [解析] 解法 1:∵? ,∴? , ?a4=1 ?a1+3d=1 ? ? ?a1=-5 ? ∴? ,∴a11=a1+10d=15. ?d=2 ?

解法 2:∵6+9=4+11, ∴a4+a11=a6+a9=16,∴a11=15. [点评] 解法 2 比解法 1 简便的多,由此可见等差数列性质的作用,因此在解题过程中 要不断归纳总结,掌握规律,提升解题能力. 3[答案] B [解析] ∵a1+a2+a3=3a2=15,∴a2=5, 又∵a1a2a3=80,∴a1a3=16, 即(a2-d)(a2+d)=16, ∵d>0,∴d=3. 则 a11+a12+a13=3a12=3(a2+10d)=105. 4[答案] C [解析] ∵a1=a,an+2=b, an+2-a1 b-a ∴公差 d= = . ?n+2?-1 n+1 5[答案] A [解析] 令 bn= 1 1 1 1 ,则 b2= = ,b = =1, an+1 a2+1 3 6 a6+1

由条件知{bn}是等差数列, 2 ∴b6-b2=(6-2)d=4d= , 3 1 ∴d= , 6 1 1 2 ∴b4=b2+2d= +2× = , 3 6 3 1 1 ∵b4= ,∴a4= . 2 a4+1 6[答案] B [解析] ∵{an}是等差数列, ∴a1+a3+a5=3a3=105,∴a3=35, a2+a4+a6=3a4=99,∴a4=33, ∴d=a4-a3=-2, a20=a4+16d=33-32=1.

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[点评] 考查等差(等比)数列的性质是高考主要命题方式之一,解答此类题目,一定要 注意充分观察所给条件中项的下标构成规律, 依据规律构造新数列或利用性质解决. 本题中 观察下标(1,3,5),(2,4,6),设 b1=a1+a3+a5,b2=a2+a4+a6,则 b18=a18+a20+a22=b1+ 17×(b2-b1)=3=3a20,∴a20=1,请再练习下题: 等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则 a3+a6+a9 的值为( A.30 B.27 C.24 D.21 [答案] B [解析] b1=a1+a4+a7=39,b2=a2+a5+a8=33,b3=a3+a6+a9,∵{an}成等差数列, ∴b1,b2,b3 成等差数列,∴a3+a6+a9=b3=b2+(b2-b1)=2b2-b1=27. 7[答案] 18 [分析] 利用等差数列的性质求解,或整体考虑问题,求出 2a1+11d 的值. [解析] 解法 1:根据题意,有 (a1+d)+(a1+2d)+(a1+9d)+(a1+10d)=36, ∴4a1+22d=36,则 2a1+11d=18. ∴a5+a8=(a1+4d)+(a1+7d)=2a1+11d=18. 解法 2:根据等差数列性质,可得 a5+a8=a3+a10=a2+a11=36÷ 2=18. [点评] 解法 1 设出了 a1、d,但并没有求出 a1、d,事实上也求不出来,这种“设而不 求”的方法在数学中常用,它体现了整体的思想.解法 2 实际上运用了等差数列的性质:若 p+q=m+n,p,q,m,n∈N*,则 ap+aq=am+an. 8[答案] 15 [解析] ∵a3+a15=6,又 a7+a11=a8+a10=2a9=a3+a15,∴a7+a8+a9+a10+a11=(2 1 5 + )(a3+a15)= ×6=15. 2 2 9[答案] 1 (A+B) 2 )

[解析] ∵m-n,m,m+n 成等差数列,又{an}是等差数列.∴am-n,am,am+n 成等差 数列, 1 ∴2am=am-n+am+n=A+B,∴am= (A+B). 2 10[解析] 设四个数为 a-3d,a-d,a+d,a+3d,据题意得, (a-3d)2+(a-d)2+(a+d)2+(a+3d)2=94 ?2a2+10d2=47.① 3 7 又(a-3d)(a+3d)=(a-d)(a+d)-18?8d2=18?d=± 代入①得 a=± ,故所求四数为 2 2 8,5,2,-1 或 1,-2,-5,-8 或-1,2,5,8 或-8,-5,-2,1.
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11[答案] A [解析] 过圆(x-5)2+y2=25 内点(5,3)的最大弦长为 10,最小弦长为 8.由题意 a1=8, 2 ak=10,则 ak=a1+(k-1)d,得 d= , k-1 1 1 1 2 1 ∵d∈[ , ],∴. ≤ ≤ ,∴5≤k≤7,故选 A. 3 2 3 k-1 2 12[答案] B 1 1 3 [解析] ∵S△ABC= acsinB= ac= ,∴ac=6, 2 4 2 ∵a、b、c 成等差数列,∴2b=a+c, 由余弦定理得,b2=a2+c2-2ac· cosB=(a+c)2-(2+ 3)ac=4b2-6(2+ 3), ∴b2=4+2 3,∵b>0,∴b= 3+1,故选 B. 13[答案] A [解析] 依题意得 an+1-an=ln n+1 , n

2 3 则有 a2-a1=ln ,a3-a2=ln , 1 2 4 n a4-a3=ln ,?,an-an-1=ln , 3 n-1 234 n ·· ?· ? 累加得 an-a1=ln?1· ? 2 3 n-1?=lnn, 故 an=2+lnn,选 A. 14[答案] A [解析] ∵2012÷ 4=503, ∴从 1 开始,每 4 个数一组,4 在第一组尾,8 在第 2 组尾,故 2012 在第 503 组尾,应 为 201220132014,故选 A. 15[答案] 4,6,8 [解析] 设这三个数为 a-d,a,a+d,
? ??a-d?+a+?a+d?=18 则? , 2 2 2 ??a-d? +a +?a+d? =116 ? ?a=6 ? ∴? ,∴三数为 4,6,8. ?d=± 2 ?

16[答案] 5030 n?n+1? [解析] 由前四组可以推知 an= ,b1=a4=10,b2=a5=15,b3=a9=45,b4=a10 2 =55,依次可知,当 n=4,5,9,10,14,15,19,20,24,25,?时,an 能被 5 整除,由此可得,b2k= a5k(k∈N*),∴b2012=a5×1006=a5030.
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17[证明] ∵ a+ c=2 b,平方得 a+c+2 ac=4b,又∵a+c=2b,∴ ac=b,故 ( a- c)2=0, ∴a=b=c.故△ABC 为正三角形. 1 1 1 1 1 1 18[解析] ∵b1b2b3= ,又 bn=( )an,∴( )a1· ( )a2· ( )a3= . 8 2 2 2 2 8 1 1 ∴( )a1+a2+a3= ,∴a1+a2+a3=3, 2 8 又{an}成等差数列∴a2=1,a1+a3=2, 1 17 ∴b1b3= ,b1+b3= , 4 8 1 b =2 ? ? ? ? ? 1 ?b1=8 ?a1=-1 ?a1=3 ∴? ,即? 或? , 1 或? ?a3=3 ?a3=-1 ? ? ? ? ?b3=8 ?b3=2 ∴an=2n-3 或 an=-2n+5.

[八、九]
1[答案] B 10 [解析] 由 S 偶-S 奇= d=15,得 d=3. 2 2[答案] D 1 1 ? ? ?a1=2 ?a1=2 [解析] 设公差为 d,由? ?? ? ? ?S4=20 ?4a1+6d=20 1 ? ?a1=2 6×5 ?? ?S6=6a1+ ×3=48. 2 ?d=3 ? 3[答案] C n?n-1? [解析] 解法 1:将 Sm=30,S2m=100 代入 Sn=na1+ d得 2

?ma +m?m2-1?d=30, ? 2m?2m-1? ?2ma + 2 d=100.
1 1

解之得 d=

40 10 20 ,a = + . m2 1 m m2

3m?3m-1? ∴S3m=3ma1+ d=210. 2 解法 2:根据等差数列的性质知:Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 也成等差数列,从而有 2(S2m -Sm)=Sm+(S3m-S2m).
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∴S3m=3(S2m-Sm)=210. n?n-1? 解法 3:∵Sn=na1+ d, 2 n -1 ?x-1?d Sn Sn Sm ∴ =a1+ d,∴点(n, )是直线 y= +a1 上的一串点,由三点(m, )、(2m, n 2 n 2 m S2m S3m )、(3m, )共线易知 S3m=3(S2m-Sm)=210. 2m 3m 解法 4:令 m=1 得 S1=30,S2=100,从而 a1=30,a1+a2=100,得到 a1=30,a2= 70,∴a3=70+(70-30)=110,∴S3=a1+a2+a3=210. [点评] 对于等差数列{an}的前 m 项、前 2m 项、前 3m 项的和 Sm、S2m、S3m,有 Sm, S2m-Sm,S3m-S2m 成等差,∴2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m,∴S3m=3(S2m-Sm)=3(100-30)= 210.要通过本题深刻领会等差数列的性质在解题中的应用,以迅速提升自已的解题能力. 4[答案] B [解析] 由题设求得:a3=35,a4=33,∴d=-2,a1=39,∴an=41-2n,a20=1,a21 =-1,所以当 n=20 时 Sn 最大.故选 B. 5[答案] B 11 1 11 1 1 1 1 11 1 2 [解析] 原式= ( - )+ ( - )+?+ ( - )= ( - )= ,故选 B. 23 5 25 7 2 13 15 2 3 15 15 6[答案] A [解析] 本小题主要考查等差数列的通项公式和前 n 项和公式的运用,以及裂项求和的 综合应用. ∵a5=5,S5=15 ∴ 5?a1+a5? =15,即 a1=1. 2

a5-a1 ∴d= =1,∴an=n. 5-1 ∴ 1 1 1 1 = = - . n anan+1 n?n+1? n+1

1 1 1 1 1 1 1 则数列{ }的前 100 项的和为:T100=(1- )+( - )+?+( - )=1- = 2 2 3 100 101 101 anan+1 100 . 101 故选 A. [点评] 本题亦可利用等差数列的性质,由 S5=15 得 5a3=15,即 a3=3,再进一步求 解. 7[答案] 25

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[解析] 由?

? ?a1=1

? ?a1=1 得? , ?a4=7 ?d=2 ? ?

5×4 ∴S5=5a1+ ×d=25. 2 8[答案] 0 [解析] ∵{an}是等差数列,S3=S12, ∴S12-S3=a4+a5+?+a12=0. 又∵a4+a12=a5+a11=?=2a8, ∴S12-S3=9a8=0,故 a8=0. 9[答案] 110 [解析] 设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. a3=a1+2d=16,S20=20a1+ 20×19 d=20, 2

? ?a1+2d=16, ∴? 解得 d=-2,a1=20. ?2a1+19d=2, ?

10×9 ∴S10=10a1+ d=200-90=110. 2 10[解析] 设{an}的公差为 d,则
??a1+2d??a1+6d?=-16 ? ? , ? ?a1+3d+a1+5d=0
2 2 ? ?a1+8da1+12d =-16 ? 即 , ?a1=-4d ?

? ? ?a1=-8 ?a1=8 解得? ,或? . ?d=2 ?d=-2 ? ?

n?n-1? n?n-1? 因此 Sn=-8n+ ×2=n2-9n,或 Sn=8n+ ×(-2)=-n2+9n. 2 2 11[答案] B [解析] ∵Sn 有最大值,∴a1>0,d<0, ∵ a11 <-1, a10

∴a11<0,a10>0,∴a10+a11<0, 20?a1+a20? ∴S20= =10(a10+a11)<0, 2 19?a1+a19? 又 S19= =19a10>0,故选 B. 2 12[答案] D

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11×10 [解析] S11=5×11=55=11a1+ d=55d-55, 2 ∴d=2,S11-x=4×10=40,∴x=15, 又 a1=-5,由 ak=-5+2(k-1)=15 得 k=11. 13[答案] C [解析] an=120+5(n-1)=5n+115, 由 an<180 得 n<13 且 n∈N*, 由 n 边形内角和定理得, n?n-1? (n-2)×180=n×120+ ×5. 2 解得 n=16 或 n=9 ∵n<13,∴n=9. [点评] 请思考若最小内角为 100° ,公差为 10° 时边数 n 是多少? 14[答案] A [解析] ∵{an}是等差数列,且 a1+a2+a3=15,∴a2=5, 又∵a1· a2· a3=105,
? ?a1a3=21 ∴a1a3=21,由? 及{an}递减可求得 a1=7,d=-2,∴an=9-2n,由 an≥0 ?a1+a3=10 ?

得 n≤4,∴选 A. 15[答案] 5 或 6 [解析] ∵a1+a11=a3+a9=0, 11?a1+a11? ∴S11= =0, 2

根据二次函数图象的性质,由于 n∈N*,所以当 n=5 或 n=6 时 Sn 取最大值. 16[答案] 4240 [解析] 公共项构成的新数列{cn}是以 c1=22 为首项 d=20 为公差的等差数列,∴cn= 20n+2,
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∵an=4n+2,bn=5n-3,∴a100=402,b100=497. ∴20n+2 ≤402,∴n≤20, 20×19 ∴公共项有 20 项,它们的和为 S20=20×22+ ×20=4240. 2

17[解析]

?S (1)依题意? ?S

12=12a1+

12×11 d>0, 2 13×12 d<0, 2 ①

13=13a1+

?2a1+11d>0, ? 即? ?a1+6d<0. ② ?

由 a3=12,得 a1+2d=12.
? ?24+7d>0, 将③分别代入②①,得? ? ?3+d<0,



24 解得- <d<-3. 7 (2)由 d<0 可知{an}是递减数列,因此若在 1≤n≤12 中,使 an>0 且 an+1<0,则 Sn 最大. 由于 S12=6(a6+a7)>0,S13=13a7<0,可得 a6>0,a7<0, 故在 S1,S2,?,S12 中 S6 的值最大. 18[解析] (1)由等差数列的性质得,a3+a4=a2+a5=22, 又 a3· a4=117,所以 a3,a4 是方程 x2-22x+117=0 的解, 又公差大于零,故解得 a3=9,a4=13, 所以公差 d=a4-a3=13-9=4,首项 a1=1. 所以通项公式为 an=a1+(n-1)d=1+4(n-1)=4n-3. n?1+4n-3? (2)由(1)知:Sn= =2n2-n, 2 2n2-n Sn 所以 bn= = . n+c n+c 1 6 15 故 b1= ,b = ,b = . c+1 2 c+2 3 c+3 12 1 15 令 2b2=b1+b3,即 = + , c+2 c+1 c+3 所以 2c2+c=0. 2n2-n 1 因为 c≠0,故 c=- ,此时 bn= =2n. 2 1 n- 2 当 n≥2 时,bn-bn-1=2n-2(n-1)=2.

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1 所以当 c=- 时,{bn}为等差数列. 2

[十、十一]
1[答案] B [解析] 9 2 n-1 1 2 - 8 2 · ( ) = ,∴( )n 1= =( )3∴n=4. 8 3 3 3 27 3

2[答案] A [解析] ∵{an}是等比数列,a1+a2=3,a2+a3=6, ∴设等比数列的公比为 q, 则 a2+a3=(a1+a2)q=3q=6,∴q=2. ∴a1+a2=a1+a1q=3a1=3,∴a1=1, ∴a7=a1q6=26=64. 3[答案] A [解析] a4=a1q3=q3=8,∴q=2,∴a5=a4q=16. 4[答案] C [解析] m-k=(a5+a6)-(a4+a7) =(a5-a4)-(a7-a6) =a4(q-1)-a6(q-1)=(q-1)(a4-a6) =(q-1)· a4· (1-q2) =-a4(1+q)(1-q)2<0(∵an>0,q≠1). 5[答案] B [解析] 设公比为 q,由已知得 a1q2· a1q8=2(a1q4)2,即 q2=2, 因为等比数列{an}的公比为正数,所以 q= 2, a2 1 2 故 a1= = = ,故选 B. q 2 2 6[答案] B a =-b ? ? 2 [解析] 由条件知?b =ac=9 ? ?c2=-9b
2



?a2≥0, ? ∵? ∴a2>0,∴b<0,∴b=-3,故选 B. ?a≠0, ?

7[答案] 3· 2n [解析]

-3

2 ? ? ?a3=3 ?a1q =3 ? ? ∵ ,∴ 9 ?a10=384 ? ? ?a1q =384

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3 - - ∴q7=128,∴q=2,∴a1= ,∴an=a1qn 1=3· 2n 3. 4 8[答案] 648 [解析] 设公比为 q,则 8q6=5 832,∴q6=729, ∴q2=9,∴a5=8q4=648. 9[答案] an=2n
-1

或 an=(-2)n

-1

[解析] 设等比数列{an}的公比为 q,则 20=a3+a5=q2(a1+a3)=5q2, ∴q2=4,∴q=± 2, 代入 a1+a3=5 中,得 a1=1, 当 q=2 时,an=2n 1;


当 q=-2 时,an=(-2)n 1.


10[解析] (1)设{an}的公比为 q, 由已知得 16=2q3,解得 q=2, ∴an=a1qn 1=2n.


(2)由(1)得 a3=8,a5=32,则 b3=8,b5=32, 设{bn}的公差为 d,则有
? ? ?b1+2d=8, ?b1=-16, ? 解得? ? ? ?b1+4d=32, ?d=12.

从而 bn=-16+12(n-1)=12n-28, ∴数列{bn}的前 n 项和 Sn= 11[答案] C 1 [解析] ∵a2, a3,a1 成等差数列,∴a3=a2+a1, 2 ∵{an}是公比为 q 的等比数列,∴a1q2=a1q+a1, ∴q2-q-1=0,∵q>0,∴q= ∴ a3+a4 a3+a4 5-1 1 = = = . 2 a4+a5 ?a3+a4?q q 5+1 . 2 n?-16+12n-28? =6n2-22n. 2

12[答案] C [解析] ∵a1、a3、a7 为等比数列{bn}中的连续三项, ∴a2 a7,设{an}的公差为 d,则 d≠0, 3=a1· ∴(a1+2d)2=a1(a1+6d),∴a1=2d, a3 4d ∴公比 q= = =2,故选 C. a1 2d
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13[答案] C [解析] ∵a,b,c 成等比数列, ∴b2=ac>0. 又∵Δ=b2-4ac=-3ac<0, ∴方程无实数根. 14[答案] C [解析] 1 1 + log ax log cx

=log xa+log xc=log x(ac)=log xb2 2 =2log xb= log bx ∴ 1 1 1 , , 成等差数列. log ax log bx log cx

15[答案] 15.5 19 19 [解析] 每次剩下原来的 ,∴逐次剩下的酒精量就构成以 19 为首项,以 为公比的 20 20 等比数列{an}, 19 - ∴an=19· ( )n 1 20 19 ∴a5=19· ( )4=19×0.954≈15.5 (L), 20 故倒 5 次后容器中剩下纯酒精 15.5L. 16[答案] x+y-7=0 [解析] 由条件得 x1=3,x2=5,y1=2,y2=4, ∴MN 的中点(4,3),kMN=1,∴MN 的中垂线方程为 y-3=-(x-4),即 x+y-7=0. 17[证明] 当 n=1 时,a1=S1=21-1=1. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n 1-1)


=2n-2n 1=2n 1.
- -

又当 n=1 时,2n 1=21 1=1=a1,
- -

∴an=2n 1.




an+1 2?n 1? 1 = n-1 =2(常数), an 2
+ -

∴{an}是等比数列. 18[解析] 设这个城市平均每年要新增住房 x 万 m2, 据题意 20×8+4x=20(1+1%)4· 10 ∴x=50×1.014-40≈12. 答:这个城市平均每年至少需新增住房 12 万 m .
2

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[十二、十三]
1[答案] B a3+a4 [解析] ∵q2= =9,∴q=± 3, a2+a1 因此 a4+a5=(a3+a4)q=27 或-27.故选 B. 2[答案] B [解析] 设 A=a1a4a7?a28,B=a2a5a8?a29, C=a3a6a9?a30,则 A、B、C 成等比数列, 公比为 q10=210,由条件得 A· B· C=230,∴B=210, ∴C=B· 210=220. 3[答案] A bn+1 a2 an+1 2 n+1 [解析] 设 bn=a2 ,则 = 2 =( ) =q2, n bn an an 2an+1 ∴{bn}成等比数列; =2an+1-an≠常数; 2an 当 an<0 时 lgan 无意义;设 cn=nan, 则 cn+1 ?n+1?an+1 ?n+1?q = = ≠常数. cn nan n

4[答案] D [解析] a2a10=a5a7=6.
? ? ? ?a2a10=6 ?a2=2 ?a2=3 由? ,得? 或? . ?a2+a10=5 ?a10=3 ?a10=2 ? ? ?



a18 a10 3 2 = = 或 .故选 D. a10 a2 2 3

5[答案] D
?2b=a+c ? [解析] ? 2 消去 a 得:4b2-5bc+c2=0, ?a =bc ?

∵b≠c,∴c=4b,∴a=-2b,代入 a+3b+c=10 中得 b=2,∴a=-4. 6[答案] B [解析] 设前三项分别为 a1,a1q,a1q2,后三项分别为 a1qn 3,a1qn 2,a1qn 1.
- - -

3 3 3n 6 所以前三项之积 a3 =4. 1q =2,后三项之积 a1q


3(n 两式相乘得,a6 1q

-1)

n 1 =8,即 a2 =2. 1q


又 a1· a1q· a1q2· ?· a1qn 1=an 1q
- -

n?n-1? =64, 2

2 n 1 n 即(a1 q ) =642,即 2n=642.所以 n=12.

[点评] 运用性质 a1an=a2an-1=a3an-2,有(a1an)3=2×4=8,∴a1an=2,
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n ∴a1a2?an=( 2)n=2 =64,∴n=12. 2 7[答案] 0<q<1 [解析] ∵? 8[答案] [解析]
? ?a1q>a1 ∴? 2 ∴0<q<1. ?a3>a2 ?a1q<a1q ? ?a2>a1

13 16
2 ∵a1,a3,a9 成等比∴a3 =a1a9,即(a1+2d)2=a1(a1+8d),∴d=a1,∴an=a1

+(n-1)d=nd, ∴ a1+a3+a9 13 d 13 = = . a2+a4+a10 16 d 16

9[答案] 3 或 27
? ?2a=3+b [解析] 设此三数为 3、a、b,则? , 2 ??a-6? =3b ? ?a=3 ?a=15 ? ? 解得? 或? , ?b=3 ? ? ?b=27

∴这个未知数为 3 或 27. b 10[解析] 由题意设此四个数为 ,b,bq,a, q b =-8, ? ? 则有?2bq=a+b, ? ?ab2q=-80,
3

a=10, ? ? 解得?b=-2, ? ?q=-2

a=-8, ? ?b=-2, 或? 5 ? ?q=2.

4 所以这四个数为 1,-2,4,10 或- ,-2,-5,-8. 5 11[答案] A [解析] 解法 1:a=log23,b=log26=log2 3+1, c=log2 12=log2 3+2. ∴b-a=c-b. 解法 2:∵2a· 2c=36=(2b)2,∴a+c=2b,∴选 A. 12[答案] C [解析] 依题意,a1,a3,a5,a7,a9,a11 构成以 2 为首项,2 为公比的等比数列,故 a11=a1×25=64,a12=a11+2=66.故选 C. [点评] 本题容易出现由 an+1=an+2 得出{an}成等差数列的错误. 13[答案] A [解析] 设等差数列首项为 a1,公差为 d,则

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an ap ap-an q= = = ak an an-ak = [a1+?p-1?d]-[a1+?n-1?d] p-n n-p = = . [a1+?n-1?d]-[a1+?k-1?d] n-k k-n

故选 A. 14[答案] D [解析] 由题意可知 1 是方程之一根,若 1 是方程 x2-5x+m=0 的根则 m=4,另一根 为 4,设 x3,x4 是方程 x2-10x+n=0 的根,则 x3+x4=10,这四个数的排列顺序只能为 1、 m 1 x3、4、x4,公比为 2、x3=2、x4=8、n=16、 = ;若 1 是方程 x2-10x+n=0 的根,另一 n 4 根为 9,则 n=9,设 x2-5x+m=0 之两根为 x1、x2 则 x1+x2=5,无论什么顺序均不合题意. 15[答案] 4,12,36 [解析] ∵a、b、c 成等比数列,公比 q=3,∴b=3a,c=9a,又 a,b+8,c 成等差数 列,∴2b+16=a+c, 即 6a+16=a+9a,∴a=4,∴三数为 4,12,36. 16[答案] 3 5

[解析] 本题考查等比数列及古典概型的知识. 等比数列的通项公式为 an=(-3)n 1.所以此数列中偶数项都为负值,奇数项全为正值.


若 an≥8,则 n 为奇数且(-3)n 1=3n 1≥8,则 n-1≥2,∴n≥3,∴n=3,5,7,9 共四项
- -

4 3 满足要求.∴p=1- = . 10 5 [点评] 本题可以直接列举出这 10 个数找出小于 8(或大于等于 8)的数即可,直接考虑 情况较多时,也可以从其对立面来考虑问题. 17[解析] 原计划三年产值成等差数列,设为 a-d,a,a+d,d>0,由三年总产值为 300 万元,得 a=100 万元,又 a+10-d,a+10,a+11+d 成等比数列,得(a+10)2=(a+ 10-d)(a+11+d),∴(110-d)(111+d)=1102?d2+d-110=0?d=10,或 d=-11(舍).∴ 原计划三年的产值依次为 90 万元,100 万元,110 万元. 18[解析] (1)依题意:Sn=2n-1(n∈N*), ∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-2n 1=2n 1.
- -

当 n=1,S1=a1=1,∴an=2n 1(n∈N*).


(2)因为 bn=log2an-12=n-13,所以数列{bn}是等差数列. n2-25n 1 25 625 ∴Tn= = (n- )2- . 2 2 2 8 故当 n=12 或 13 时,数列{bn}的前 n 项和最小. n2-25n n2-27n+26 (3)∵Tn-bn= -(n-13)= 2 2
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?n-1??n-26? <0, 2

∴1<n<26,且 n∈N*, 所以不等式的解集为{n|1<n<26,n∈N }.
*

[十四、十五]
1[答案] C [解析] S4=1,S8=S4+q4· S4=1+q4=17∴q=± 2. 2[答案] B [解析] 由 a4(q-1)=576,a1(q-1)=9, a4 ∴ =q3=64,∴q=4,∴a1=3, a1 3×?45-1? ∴a1+a2+a3+a4+a5= =1 023. 4-1 3[答案] B [解析] 本题考查了等比数列的通项公式及等比数列的性质. ∵a3a11=16,∴a2 7=16,∵an>0,∴a7=4, ∴a10=a7q3=4×23=25,∴log2a10=5,故选 B. [点评] 利用等比数列的性质求得 a7 的值,进而求出结果. 4[答案] B a q =1 ? ? 1 [解析] {an}是正数组成的等比数列,∴a3= a2a4=1,又 S3=7,∴?a1?1-q3? , =7 ? ? 1-q 1 1- 5? 4×? 2 ? ? 31 q2+q+1 1 消去 a1 得, =7,解之得 q= ,∴a1=4,∴S5= = . 2 q 2 1 4 1- 2 5[答案] C 2 2 [解析] ∵an+1=1- Sn,∵n≥2 时,an=1- Sn-1 3 3 an+1 1 2 相减得:an+1-an=- an,∴ = . 3 an 3 6[答案] D [解析] ∵a1+a2+a3=21,∴a1(1+q+q2)=21, 又∵a1=3,∴1+q+q2=7, ∵an>0,∴q>0,∴q=2, ∴a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=22×21=84. 7[答案] -1
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2

[解析] a10+a11+?+a99=S99-S9 =log0.1100-log0.110=-2-(-1)=-1. 8[答案] 3 [解析] 若 q=1 时,S3=3a1,S6=6a1,显然 S6≠4S3,故 q≠1, ∴ a1?1-q6? a1?1-q3? =4· ,∴1+q3=4,∴q3=3. 1-q 1-q

∴a4=a1q3=3. 9[答案] 15 1 a1?1- 4? 2 15 1 1 [解析] 设数列{an}的首项为 a1,则 S4= = a1,a4=a1· ( )3= a1, 1 8 2 8 1- 2 15 a S4 8 1 ∴ = =15. a4 1 a1 8 10[解析] ∵a1an=a2an-1=128,又 a1+an=66,∴a1、an 是方程 x2-66x+128=0 的两 根,解方程得 x1=2,x2=64,∴a1=2,an=64 或 a1=64,an=2,显然 q≠1. a1-anq - 若 a1=2,an=64,由 =126 得 2-64q=126-126q,∴q=2,由 an=a1qn 1 得 1-q 2n 1=32,∴n=6.


1 若 a1=64,an=2,同理可求得 q= ,n=6. 2 1 综上所述,n 的值为 6,公比 q=2 或 . 2 11[答案] B S6-S3 S6 [解析] ∵ =3,∴S6=3S3,∴ =2, S3 S3 S9-S6 2 ∵S3,S6-S3,S9-S6 成等比,∴ =2 , S3 ∴S9=4S3+S6=7S3, S9 7S3 7 ∴ = = ,∴选 B. S6 3S3 3 12[答案] B 2010 [解析] S2010=1+(-2)+3+(-4)+?+2009+(-2010)=(-1)· =-1005. 2 13[答案] D

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[解析]

7 = (10n-1),故前 n 项和为 9

7 7 7 Sn= (10-1)+ (102-1)+?+ (10n-1) 9 9 9 = 7 [(10+102+?+10n)-n] 9

7 10 = [ (10n-1)-n] 9 9 14[答案] D [解析] ∵{an}为等比数列,且 8a2+a5=0, ∴8a2+a2· q3=0,∵a2≠0,∴q3=-8,∴q=-2, a1?1-q5? 1-q 1-q5 1-?-2?5 33 S5 = = = = =-11,故选 D. S2 a1?1-q2? 1-q2 1-?-2?2 -3 1-q 15[答案] 2 3 [解析] 由 Sn=80,S2n=6 560 知 q≠1. a?1-q ? ? ? 1-q =80 ∴? a?1-q ? ? 1-q =6 560 ?
2n n

① ②

∴qn=81,∵q>0,∴q>1,又 a>0. ∴该数列为递增数列.∴前 n 项中最大的项为 an, ∴an=aqn 1=54,又 qn=81,∴3a=2q,将 qn=81 代入①得 a=q


-1,∴a=2,q=3. 16[答案] 2
? ?S奇+S偶=-240, [解析] 由题意,得? ?S奇-S偶=80, ?

解得 S 奇=-80,S 偶=-160, S偶 -160 ∴q= = =2. S奇 -80 1+2d 1+8d 17[解析] (1)由题设知公差 d≠0,由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列得 = , 1 1+2d 解得 d=1,或 d=0(舍去),故{an}的通项 an=1+(n-1)×1=n. (2)由(1)知 2an=2n,由等比数列前 n 项和公式得

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2?1-2n? n+1 Sn=2+22+23+?+2n= =2 -2. 1-2 18[解析] (1)依题设,An=(500-20)+(500-40)+?+(500-20n)=490n-10n2; 1 1 1 500 Bn=500[(1+ )+(1+ 2)+?+(1+ n)]-600=500n- n -100. 2 2 2 2 500 (2)Bn-An=(500n- n -100)-(490n-10n2) 2 500 50 =10n2+10n- n -100=10[n(n+1)- n -10]. 2 2 50 因为函数 y=x(x+1)- x -10 在(0,+∞)上为增函数, 2 50 50 当 1≤n≤3 时,n(n+1)- n -10≤12- -10<0; 2 8 50 50 当 n≥4 时,n(n+1)- n -10≥20- -10>0. 2 16 ∴仅当 n≥4 时,Bn>An. 答: 至少经过 4 年, 该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯 利润.

[十六、十七]
1[答案] A [解析] 取特例正三角形两条件都满足排除 B、C、D,∴选 A. 2[答案] C [解析] 设三边为 a,b,c(0<a<b<c),则
?b2=ac ? ? 2 2 2 ?a +b =c ?



5-1 a ∴a2+ac-c2=0,∴ = . c 2 3[答案] C [解析] 由题设 a2 a6 3=a2· ∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d) ∴d=-2a1,∴an=(3-2n)a1. a3 -3a1 公比 q= = =3. a2 -a1 4[答案] C [解析] ∵bc=ad,∴ bc= ad, ∵ a+d a+d ? a- d?2 - bc= - ad= >0. 2 2 2

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[点评] 请学过下一章后,尝试用基本不等式解决. 5[答案] C [解析] 1 1 acsinB= ,∴ac=2, 2 2

又 2b=a+c,∴a2+c2=4b2-4, 3+ 3 由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 得,b= . 3 6[答案] C [解析] 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q; 由 4a1,2a2,a3 成等差数列得,4a2=4a1+a3, ∴4a1q=4a1+a1q2, ∵a1=1,∴q2-4q+4=0,∴q=2, a1?1-q4? 1×?1-24? ∴S4= = =15. 1-q 1-2 7[答案] 2 [解析] b2=ac,2x=a+b,2y=b+c, a c 2a 2c ∴ + = + x y a+b b+c = 2ab+4b2+2bc 2b?a+2b+c? = =2. ?a+b??b+c? b?a+2b+c?

8[答案] 2+ 3 nπ [解析] an=sin 的周期为 12, 6 且 a1+a2+?+a12=0. ∴a1+a2+?+a2010=a1+a2+a3+a4+a5+a6 =2+ 3. 9[答案] 63 [解析] Sn=a1+a2+?+an n+1 2 3 =log2 +log2 +?+log2 3 4 n+2 n+1 2 3 2 =log2( × ×?+ )=log2 <-5, 3 4 n+2 n+2 ∴ 2 1 < ,∴n>62, 32 n+2

∵n∈Z,∴n 的最小值为 63. 10[解析] (1)当 n=1 时,a1=S1=3; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=4n-1.
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∵当 n=1 时也适合, ∴an=4n-1(n∈N*). (2)设抽取的为第 t 项,则 1<t<k. 由题意知 Sk=79×(k-1)+at, 即 2k2+k=79k-79+4t-1 ∴2t=k2-39k+40,∴2<k2-39k+40<2k. 则 38<k<40,∵k∈N*.∴k=39,t=20. 故抽取的为第 20 项,共有 39 项. 11[答案] B [解析] 设项数为 2n,则由已知得 a2+a4+a6+?+a2n - - =q=2,又 a1=1,得 an=2n 1,其中间两项和为 an+an+1=2n 1 a1+a3+a5+?+a2n-1 +2n=24,可解得 n=4,故得项数 2n=8,应选 B. 12[答案] B [解析] ∵a、b、c 成等比数列,∴b2=ac,又∵c=2a, a2+c2-b2 a2+4a2-2a2 3 ∴b2=2a2,∴cosB= = = . 2ac 4 2a×2a [点评] 在知识的交汇处命题是高考命题的一种基本形式.本题融数列与三角函数于一 体,集中考查正弦定理、余弦定理、等比数列等基础知识.体现了数列、三角函数等内容是 高考中的热点问题. 13[答案] B [解析] a2 a4, 3=a2· 2 1 1 = + . a4 a3 a5 a1+a3 ∵2a2=a1+a3,∴a2= , 2 2a2 3 代入(1)得,a4= , a1+a3 a1+a3 1 1 代入(2)得, 2 = + , a3 a3 a5 ∴a2 3=a1a5. 14[答案] D 1 [解析] 按题意要求,每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列填表如图,故 a= , 2 3 1 9 b= ,c= ,则 a+b+c= .∴选 D. 8 4 8 1
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(1) (2)

2

3

4

0.5 0.25 0.125 0.0625 3 15[答案] - 2

1 0.5 0.25 0.125

1.5 0.75 0.375 0.1875

2 1 0.5 0.25

[解析] 设等比数列{an}的首项为 a1, 由题意知,an=a1qn 1,|q|>1,


由 bn=an+1,∴bn-1=a1qn 1.


∴{bn-1}是等比数列,{bn-1}有连续四项在集合{-54,-24,18,36,81}中,经分析可 知是-24,36,-54,81, 3 ∴公比 q=- . 2 16[答案] 22 [解析] 由横行成等差数列知,6 下边为 3,从纵列成等比数列及所有公比相等知,公 4+6 比 q=2,∴b=2×2=4 由横行等差知 c 下边为 =5,故 c=5×2=10,由纵列公比为 2 2 知 a=1×23=8,∴a+b+c=22. 17[解析] 解:(1)b1=a2-a1=1, an-1+an 当 n≥2 时,bn=an+1-an= -an 2 1 1 =- (an-an-1)=- bn-1. 2 2 1 ∴{bn}是以 1 为首项,- 为公比的等比数列; 2 1?n-1 (2)由(1)知 bn=an+1-an=? ?-2? , 1? ? 1?n-2 当 n≥2 时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+?+(an-an-1)=1+1+? ?-2?+?+?-2? 1?n-1 1-? ?-2? =1+ 1 - ? 1-? ? 2? 1 - 2 =1+ ? 1-?- ?n 1? 3? ? 2? ? 5 2 1?n-1 - = - ? , 3 3? 2? 5 2 1?1-1 - 当 n=1 时, - ? =1=a1, 3 3? 2?

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5 2 1?n-1 - ∴an= - ? (n∈N*). 3 3? 2? 18[解析] (1)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q.依题意得 10×9 S10=10+ d=55,b4=q3=8, 2 解得 d=1,q=2, 所以 an=n,bn=2n 1.


(2)分别从{an}和{bn}的前 3 项中各随机抽取一项,得到的基本事件有 9 个: (1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4). 符合题意的基本事件有 2 个:(1,1),(2,2). 2 故所求的概率 P= . 9

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