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高考圆锥曲线知识点总结


22) (理 22)已知动直线 l 与椭圆 C:

+

= 1 相交于 P(x1,y1),Q(x2,y2)两个不同点,且

△OPQ 的面积 S△OPQ =

,其中 O 为坐标原点.

圆锥曲线知识点小结
圆锥曲线在高考中的地位: 圆锥曲线在高考中的地位:
圆锥曲线在高考数学中占有十分重要的地位,是高考的重点、热点和难点。通过以圆锥曲线为载体,与平面 向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合,结合数学思想方法,并与高等数学基础知识融为一体, 考查学生的数学思维能力及创新能力,其设问形式新颖、有趣、综合性很强。 (1).重视圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。 (2).重视圆锥曲线性质与数列的有机结合。 (2009 年山东卷)设 m∈R,在平面直角坐标系中,已知向量 a=(mx,y+1),向量 b=(x,y-1),a⊥b,动点 M(x,y)的轨迹为 (3).重视解析几何与立体几何的有机结合。 E.

(1)证明:

+



+

均为定值;

(2)设线段 PQ 的中点为 M,求∣OM∣ ·∣PQ∣的最大值;

(3)椭圆 C 上是否存在三点 D, E, G,使得 S△ODE = S△ODG = S△OEG = 形状;若不存在,请说明理由.

?若存在,判断△DEG 的

(1)求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;

高考再现: 22) 高考再现:2011 年(文 22)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:

+ y = 1.如图所示,斜

2

率为 k(k>0)且不过原点的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,线段 AB 的中点为 E,射线 OE 交椭圆 C 于点 G,交直线 x = -3 于点 D(-3,m).

(2)已知 m=1/4,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B,且 OA⊥OB(O 为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知 m=1/4,设直线 l 与圆 C:x2+y2=R2(1<R<2)相切于 A1,且 l 与轨迹 E 只有一个公共点 B1,当 R 为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值. 一.圆锥曲线的定义 圆锥曲线的定义 定义:
椭圆:平面内与两个定点
椭圆的焦点,两焦点的距离 的距离之和等于定长(大于 叫做椭圆的焦距。 )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 叫做

(1)求 m2 + k2 的最小值;
2 (2)若∣OG∣ =∣OD∣ ·∣OE∣, ① 求证:直线 l 过定点;

数学语言: 数学语言 常数 2a= 常数 2a< ,轨迹是线段 ,轨迹不存在; ;

② 试问点 B、G 能否关于 x 轴对称?若能,求出此时△ABG 的外接圆方程;若不能,请说明 理由.

平面内与两个F1, 2的距离之差的绝对值等于常数 F (小于||F1F2) 的点的轨迹叫做双曲线。 这两个定点 双曲线: 叫做双曲线的焦点,两焦点的距离 叫做双曲线的焦距。

1

数学语言: 数学语言: 常数 2a= 常数 2a>

MF1 ? MF2 = 2a
,轨迹是两条射线; ,轨迹不存在;



2a < F1 F2 )

(1)定点 F1 (?3,0), F2 (3,0) ,在满足下列条件的平面上动点 P 的轨迹中,是椭圆的是( ) A. PF 1 + PF 2 = 4 B. PF 1 + PF 2 = 6 C. PF1 + PF 2 = 10 D. PF 1
2

+ PF 2

2

= 12

常数 2a=0,轨迹是 F1 F2 的中垂线。

(2)方程 ( x ? 6)2 + y 2 ? ( x + 6)2 + y 2 = 8 表示的曲线是____ ) 二、圆锥曲线的标准方程 椭圆: 椭圆:焦点在 x 轴上时:

抛物线
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点 F 叫做抛 物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线.(注:F 不在 l 上) 当 F 在 l 上时是过 F 点且垂直于 l 的一条直线。

x2 y2 y2 x2 + 2 = 1 焦点在 y 轴上时: 2 + 2 = 1 a2 b a b

注:是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上。

定义中要重视“括号 内的限制条件 定义中要重视 括号”内的限制条件 括号

x2 y2 y2 x2 双曲线:焦点在 x 轴上时: 2 ? 2 = 1 焦点在 y 轴上时: 2 ? 2 = 1 双曲线 a b a b
注:是根据项的正负来判断焦点所在的位置。 抛物线的标准方程: 抛物线的标准方程:

图形

标准方程

焦点坐标

准线方程
(1)已知方程 )

x2 y2 + = 1 表示椭圆,则 k 的取值范围为____ 3+k 2?k

x2 y2 (2)已知方程 ) ? = 1 表示双曲线,求 m 取值范围。 m+ 2 m+1
(3)已知方程 )

x2 y2 + = 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是( ) m ?1 2 ? m

(4)抛物线 y2=mx(m≠0)的焦准距 p 为------------,焦点坐标是-------------,准线方程是---------. )

三、椭圆与双曲线的性质分析

2

分类
分类 椭圆 平面内与两个F1,F2的距离之和等 于常数(大于||F1F2)的点的轨迹 双曲线 平面内与两个F1, 2的距离之差的绝对值 F 等于常数(小于||F1F2)的点的轨迹

椭圆

双曲线

定义

对称性

关于x轴和y轴对称, 也关于原点对称

关于x轴和y轴对称, 也关于原点对称

y

顶点
x

A1 (?a,0) B1 (0,?b)

A2 (a,0) B2 (0, b)
e= c a F2 (c,0)

图形

A1 (?a,0),

A2 (a,0)

标准方程

x2 y2 + = 1(a > b > 0) a 2 b2
c2 = a 2 ? b2

x2 y2 ? = 1(a > 0,b > 0) a 2 b2
c2 = a 2 + b2

离心率

e =

c a F2 (c,0)

a、 c关系 b、

焦点坐标

F1 (?c,0),

F1 (?c,0), y=±

a、b、c的意义

a是长半轴长,b是短半轴长,c是半焦距

a是实长半轴长,b是虚短半轴长,c是半焦距

渐近线
范围

? a ≤ x ≤ a,

?b ≤ y ≤ b

x ≤ ? a,

x≥a

y∈R



b x a

抛物线几何性质:

标准方程 y y y F O 图 象 O F x F O x O x F x y

3

范 围 焦点 坐标 顶点 坐标 离 心 率 对 称 轴 焦 半 径 准线 方程 p 的几 何意 义 通 径

( 8) 已知抛物线方程为 )
x≥0 F( p ,0) 2 x≤0 F(- p ,0) 2 y≥0 F(0, p ) 2 y≤0 F(0,- p ) 2

y2 = 8x ,若抛物线上一点
到 y 轴的距离等于 5, 则它 到抛物线的焦点的距离等

O(0,0)

O(0,0)

O(0,0)

O(0,0)

e=1

e=1

e=1

e=1

于____; ( 9) 抛物线 y 2 = 2x 上的 )

x轴

x轴

y轴

y轴

两点 A、B 到焦点的距离 和是 5, 则线段 AB 的中点

p |PF|=x0+ 2 p x=- 2

p |PF|=-x0+ 2 p x= 2

p |PF|=y0+ 2 y=- p 2

p |PF|=-y0+ 2 y= p 2

到 y 轴的距离为______ 四 、 点 P ( x0 , y0 ) 和 椭 圆

抛物线的焦点到准线的距离,p 越大张口就越大

x2 y2 + = 1( a > b > 0 ) a2 b2
的关系: 的关系
2 2 x0 y 0 + =1? p 点 a 2 b2

过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线两交点间的线段叫做抛物线的通径,其长为 2p

(1)椭圆 )椭圆若椭圆

x2 y2 10 ,则 m 的值是__ + = 1 的离心率 e = 5 m 5

在椭圆上。
2 2 x0 y 0 + 2 < 1 ? p 点在椭圆内。 a2 b 2 2 x0 y 0 + 2 > 1 ? p 点在椭圆外。 a2 b

(2)双曲线的渐近线方程是 3x ± 2y = 0,则该双曲线的离心率等于______ ) (3)若该抛物线上的点 M 到焦点的距离是 4,则点 M 的坐标为__ ) (4)设双曲线 )

x2 y2 ? = 1 (a>0,b>0)中,离心率 e∈[ 2 ,2],则两条渐近线夹角 θ 的取值范围是________ a 2 b2
2

对于双曲线和抛物线与点的位置关系可以此类推。 五、直线与圆锥曲线的位置关系: 在这里我们把圆包括进来) 直线与圆锥曲线的位置关系 (在这里我们把圆包括进来)
(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的 a.直线与圆:一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法),也可以利用方程实根的个数来判断(解析 法). b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程,判断相交、相切、相离

(5)设 a ≠ 0, a ∈ R ,则抛物线 y = 4ax 的焦点坐标为________ (6)双曲线的离心率等于 )

x2 y 2 5 ,且与椭圆 + = 1有公共焦点,则该双曲线的方程_____ 9 4 2

(7)设中心在坐标原点 O ,焦点 F1 、 F2 在坐标轴上,离心率 e = ) 程为_______

2 的双曲线 C 过点 P(4,? 10) ,则 C 的方

4

c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性
2 (2).a.求弦长。公式:弦长 l = 1 + k 2 x1 ? x2 = (1 + k 2 ) ?( x1 + x2 ) ? 4 x1 x2 ? ? ? 其中 k 为直线的斜率, ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) 是两交点坐标.

2 2 (12)直线 y = ax + 1 与双曲线 3x ? y = 1交于 A 、 B 两点。 )

①当 a 为何值时, A 、 B 分别在双曲线的两支上? ②当 a 为何值时,以 AB 为直径的圆过坐标原点? 1、求弦长问题: 、 弦长问题: 问题 :

b.求弦所在的直线方程 c.根据其它条件求圆锥曲线方程 (3).已知一点 A 坐标,一直线与圆锥曲线交于两点 P、Q,且中点为 A,求 P、Q 所在的直线方程(点差法) (4).已知一直线方程,某圆锥曲线上存在两点关于直线对称,求某个值的取值范围(或者是圆锥曲线上否存在 两点关于直线对称)
2 (2)过抛物线 y = 2 x 焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,已知|AB|=10,O 为坐标原点,则 ?ABC 重 )

, (1)过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1) B(x2,y2)两点,若 x1+x2=6,那么|AB|等 ) 于_______

(1)若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支有两个不同的交点,则 k 的取值范围是_______ ) (2)直线 y―kx―1=0 与椭圆 )

心的横坐标为_______ 2、圆锥曲线的中点弦问题: 、圆锥曲线的中点弦问题: (1)如果椭圆 )

x2 y 2 + = 1 恒有公共点,则 m 的取值范围是______ 5 m

(3)过双曲线 )

x2 y2 ? = 1 的右焦点直线交双曲线于 A、B 两点,若│AB︱=4,则这样的直线有_____条. 1 2 x2 y2 ? =1 外一点 P ( x0 , y0 ) 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下: a2 b2

x2 y2 + = 1 弦被点 A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是 36 9 x2 y2 + = 1(a > b > 0) 相交于 A、B 两点,且线段 AB 的中点在直线 L: a2 b2

(2)已知直线 y=-x+1 与椭圆 )

(4)过双曲线 )

x-2y=0 上,则此椭圆的离心率为_______

(5)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。 ) (6)过点 ( 2,4) 作直线与抛物线 y 2 = 8x 只有一个公共点,这样的直线有__ )

(3)试确定 m 的取值范围,使得椭圆 )

x2 y2 + = 1 上有不同的两点关于直线 y = 4 x + m 对称 4 3
y P M B A x

x2 y 2 (7)过点(0,2)与双曲线 ? = 1 有且仅有一个公共点的直线的斜率取值范围为______ ) 9 16
(8)过双曲线 x 2 ? )

特别提醒:因为 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件, 特别提醒 因为 ? > 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦 长、对称问题时,务必别忘了检验 ? > 0 ! 对称问题时,
3、直线恒过定点问题: 、直线恒过定点问题: (1)A、B 是抛物线 y2=2px(p>0)上的两点,且 OA⊥OB(O 为坐标原点) 求证:直线 AB 经过一个定点;

O

y2 = 1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若 AB = 4,则满足条件的直线 l 有__条 2
2

(9)对于抛物线 C: y 2 = 4 x ,我们称满足 y 0 < 4x 0 的点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线的内部,若点 M ( x0 , y0 ) 在抛物 ) 线的内部,则直线 l : y 0 y = 2( x + x 0 ) 与抛物线 C 的位置关系是_______
2 (10)过抛物线 y = 4x 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p、 q ,则 )

(2)抛物线 y2=2px(p>0)上有两个动点 A、B 及一定点 M(p, 2p) 为焦点;若|AF|、|MF|、|BF|成等差数 ,F 列,求证:线段 AB 的垂直平分线过定点。 y A O M x B

F

1 1 + = _______ p q
(11)求椭圆 7 x + 4 y = 28 上的点到直线 3x ? 2 y ? 16 = 0 的最短距离 )
2 2

例3图

4、焦点三角形问题: 、焦点三角形问题: 问题

5

(1) ) 短轴长为 5 , 离心率 e = 的周长为________

2 的椭圆的两焦点为 F1 、F2 , F1 作直线交椭圆于 A、 两点, ?ABF2 过 B 则 3

则|AB|=|AF|+|BF|=|AA/|+|BB/|=x1+ (3)∵A(x1,y1) 、B(x2,y2)∴

p p +x2+ =x1+x2+p 2 2 1 p x 1+ 2 1 + p x 2+ 2 A O B

y A F B ⑥题 x

1 1 + = |AF| |BF|

(2)设 P 是等轴双曲线 x 2 ? y 2 = a 2 (a > 0) 右支上一点,F1、F2 是左右焦点,若 PF2 ? F1 F2 = 0 ,|PF1|=6, ) 则该双曲线的方程为 (3)双曲线的虚轴长为 4,离心率 e= )
= x1+x2+p x1+x2+p = 2 p p2 p p p2 x1x2+ (x1+x2)+ + (x1+x2)+ 2 4 4 2 4 x1+x2+p 2 = p p (x +x2+p) 2 1

6 ,F1、F2 是它的左右焦点,若过 F1 的直线与双曲线的左支交 2



于 A、B 两点,且 AB 是 AF2 与 BF2 等差中项,则 AB =_______ ( 4 ) 已 知 双 曲 线 的 离心 率 为 2 , F1 、 F2 是 左 右 焦 点 , P 为 双 曲 线 上 一 点 , 且 ∠F1 PF2 = 60 o ,

S ?PF1F2 = 12 3 .求该双曲线的标准方程。
5、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质: 、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质
若抛物线的方程为 y2=2px(p>0) ,过抛物线的焦点 F( 、B(x2,y2)两点,则 A(x1,y1) p (1) y1y2=-p2;x1x2= ; 4 (2)| AB|=x1+x2+p;通径=2P 1 1 2 (3) + = ; |AF| |BF| p (4) 过 A、B 两点作准线的垂线,垂足分别为 A 、B ,F 抛物线的焦点,则∠A FB =90 ; (5) 以弦 AB 为直径的圆与准线相切。 (6) 设 A, B 是抛物线 y2=2px 上的两点,O 为原点, 则 OA⊥OB 的充要条件是直线 AB 恒过定点(2p,0) p p 证明:(1)当直线过焦点且垂直于 x 轴时,A( ,p) 、B( ,-p) ,因此 y1y2=-p2 成立; 当直线过焦点且 2 2 不与 x 轴垂直时,显然直线的斜率 k≠0,直线 AB 的方程为: y=k(x- y p y p p ) ;由此的 x= + ;把 x= + 代入 y2=2px 消去 x 得: k 2 k 2 2
/ / / / 0 2

(4)过 A、B 两点分别作准线的垂线,垂足分别为 A/、B/, 由于点 A、B 是抛物线上的点,F 是抛物线的焦点,根据抛物线的定义可知,|AF|=|AA/|,|BF|=|BB/| ∴∠B/BF=1800-2∠B/FB,∠A/AF=1800-2∠A/FA y 由∵AA/∥BB/ ∴∠B/BF+∠A/AF=1800 即:1800-2∠B/FB+1800-2∠A/FA=1800 A/ A ∴∠B/FB+∠A/FA=900 (5) N 为线段 AB 的中点,过 A、B、N 分别作准线的垂线, 垂足分别为 A/、B/、N/, ∵N 为线段 AB 的中点,则|NN/|= |AF|+|BF| |AB| = = 2 2 ∴以 AB 为直径的圆与准线相切。 (6)设 A, B 是抛物线 y2=2px 上的两点,O 为原点, 则 OA⊥OB 的充要条件是直线 AB 恒过定点(2p, 0) 六.你了解下列结论吗? 你了解下列结论吗 |AA |+|BB | 2
/ /

p ,0)的直线交抛物线与 2

N/ O B/ B ⑦题图

N F

x

共渐近线的双曲线系: n x y x即 ± = 0 m m n x2 y 2 的双曲线方程可设为: 2 ? 2 = λ ( λ ≠ 0 ) m n λ > 0时表示焦点在x轴上的双曲线; λ < 0时表示焦点在y轴上的双曲线;

(1) 渐近线方程为:y = ±

ky2-2py-kp2=0,∴y1y2=-p2 ∵A(x1,y1) 、B(x2,y2)两点都在抛物线 y2=2px(p>0)上, ∴y12=2px1,y22=2px2;两式相乘得(y1y2)2=2px1·2px2 ∴p4=4p2x1x2; p2 从而 x1x2= 4 p (2)过 A、B 两点作准线 x=- 的垂线,垂足分别为 A/、B/, 2

x2 y 2 ? = 1有相同的渐近线的 a2 b2 2 x y2 双曲线方程可设为: 2 ? 2 = λ ( λ ≠ 0 ) a b

( 2 ) 与双曲线

(1)与双曲线

x2 y2 ? = 1 有共同的渐近线,且过点 (?3,2 3) 的双曲线方程为_______ 9 16

6

(2) 中心在原点,一个焦点为(3,0),一条渐近线方程 2x-3y=0 的双曲线方程是-------七、圆锥曲线中的最值问题 圆锥曲线中的最值问题 (1)如图所示,若 A(3,2) 为抛物线 y2=2x 的焦点,求|PF|+|PA| ,F 值,以及取得最小值时点 P 的坐标。 变式:若 A(3,5)呢? (2).定长为 3 的线段 AB 的端点 A、B 在抛物线 y = x 上移动,求 AB
2

所求动圆圆心的轨迹是双曲线的一支,其方程为:
的最小

x2 y2 ? = 1 ( x ≥ 1) 1 8

L N N O

y P P F A

变式:(1)、一动圆与圆 x 2 + y 2 + 6 x + 5 = 0 外切,同时与圆 x 2 + y 2 ? 6 x ? 91 = 0 内切,求动圆圆心的轨 变式 迹方程式,并说明它是什么曲线.

x

点 (2 、 已知 ?ABC 的底边 BC 长为 12,且底边固定,顶点 A 是动点,使 sin B ? sin C = 轨迹
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M 到 y 轴距离的最小值,并求此时 AB 中点 M 的坐标。
2 2 (3)若 x, y ∈ R ,且 3x 2 + 2 y 2 = 6 ,则 x + y 的最大值是___, x + y )

1 sin A ,求点 A 的 2

例8图

的最小

值是 (4)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时,则椭圆长轴的最小值为__ 八.动点轨迹方程问题 动点轨迹方程问题: 问题
1、直接法 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当所求动点的要满足的条件简单明确时,直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明” 五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.

分析:首先建立坐标系,由于点 A 的运动规律不易用坐标表示,注意条件的运用,可利用正弦定理将其化为 边的关系,注意有关限制条件 解:以底边 BC 为 x 轴,底边 BC 的中点为原点建立 xoy 坐标系,这时
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1 B(?6,0), C (6,0) ,由 sin B ? sin C = sin A 得 2 1 b ? c = a = 6 ,即 | AC | ? | AB |= 6 所以, A 的轨迹是以 B(?6,0), C (6,0) 为焦点, a =6 的双曲线的左支 其 点 2 2
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方程为:

例 1.点 M 与定点 F (0, 2) 的距离和它到定直线 y = 8 的距离的比是 1: 2 ,求点的轨迹方程式,并说明轨 迹是什么图形.
变式: 变式:已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线 x = 3 的距离之和等于 4,求 P 的轨迹方程.
2、待定系数法: 待定系数法: 已知轨迹是什么图形,先设出其标准方程,再求出参数。 已知轨迹是什么图形,先设出其标准方程,再求出参数。 例 2、 已知椭圆的焦点坐标为 和 ,且经过点
0

x2 y2 ? = 1( x < ?3) 9 27

(3 ) .动点到点(3,0)的距离比它到直线 x=-2 的距离大 1,则动点的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线 解析:由题意可知,动点到点(3,0)的距离等于它到直线 x=-3 的距离,由抛物线定义知动点的轨迹是抛物 解析: 线.答案:D 答案: 答案 4、代入法 当题目中有多个动点时,将其他动点的坐标用所求动点 P 的坐标 x, y 来表示,再代入到其他动点要满足的条

,求椭圆的标准方程。

件或轨迹方程中,整理即得到动点 P 的轨迹方程,称之代入法,也称相关点法、转移法. 例 4:点 A 位于双曲线
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变式:抛物线的顶点在原点,以 x 轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为 135 的直线,被抛物线截得的弦长为 8,试 求抛物线的方程。 3、定义法:定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线等)的定义或 定义法: 定义法 特征,再求出该曲线的相关参量,从而得到轨迹方程. 例 3、求与圆 ( x ? 3) 2 + y 2 = 1 及 ( x + 3) 2 + y 2 = 9 都外切的动圆圆心的轨迹方程 解:设动圆的半径为 r,则由动圆与定圆都外切得
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x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 上, F1 , F2 是它的两个焦点,求 ?AF1F2 的重心 G 的轨迹方程 a 2 b2
注意限制条件

分析:要求重心的轨迹方程,必须知道三角形的三个顶点的坐标,利用相关点法进行求解 解:设 ?AF1 F2 的重心 G 的坐标为 ( x, y ) ,则点 A 的坐标为 (3 x,3 y ) 因为点 A 位于双曲线

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MF1 = 3 + r , MF2 = 1 + r ,
又因为 MF1 ? MF2 = (3 + r ) ? (1 + r ) = 2 , 由双曲线的定义可知,点 M 的轨迹是双曲线的一支
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x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 上,从而有 a 2 b2

(3 x) 2 (3 y ) 2 x2 y2 ? 2 = 1( y ≠ 0) ,即 ? = 1( y ≠ 0) a 2 b 2 a2 b ( ) ( ) 3 3

7

所以, ?AF1 F2 的重心 G 的轨迹方程为

x2 y2 ? = 1( y ≠ 0) a 2 b 2 ( ) ( ) 3 3

M 、 N 两点, A1 , A2 为双曲线的左、右顶点,求直线 A1 M 与
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A2 N 的交点 P 的轨迹方程,并指出轨迹的形状.
y P Q N O x 解:设 P ( x, y ) 及 M ( x1 , y1 ), N ( x1 ,? y1 ) ,又 A1 (? a,0), A2 (a,0) ,可得 直线 A1 M 的方程为 y =

变式:如图,从双曲线 C : x 2 ? y 2 = 1 上一点 Q 引直线 变式:

l : x + y = 2 的垂线,垂足为 N ,求线段 QN 的中点 P 的轨迹方程.

解:设 P ( x, y ),Q ( x1 , y1 ) ,则 N (2 x ? x1 ,2 y ? y1 ) .Q N 在直线 l 上,

y1 ? y1 ( x + a ) ①;直线 A2 N 的方程为 y = ( x ? a) ②. x1 + a x1 + a

∴ 2 x ? x1 + 2 y ? y1 = 2. ① 又 PN ⊥ l 得

y ? y1 = 1, 即 x ? y + y1 ? x1 = 0 .② x ? x1

x12 y12 ? y12 b2 2 b2 2 2 2 2 2 2 2 ①×②得 y = 2 ( x ? a ) ③. 又Q 2 ? 2 = 1, ∴ ? y1 = 2 (a ? x1 ) , 代入③得 y = ? 2 ( x ? a ) , 2 a b a a x1 ? a
2

3x + y ? 2 ? 3x + y ? 2 2 3 y + x ? 2 2 ? x1 = 2 联解①②得 ? . 又 点 Q 在 双 曲 线 C 上 , ∴( ) ?( ) =1 ,化简整理得: ? 2 2 3y + x ? 2 ?y = ? 1 ? 2

x2 y2 化简得 2 + 2 = 1 ,此即点 P 的轨迹方程. 当 a = b 时,点 P 的轨迹是以原点为圆心、 a 为半径的圆;当 a ≠ b a b
时,点 P 的轨迹是椭圆.

2 x 2 ? 2 y 2 ? 2 x + 2 y ? 1 = 0 ,此即动点 P 的轨迹方程.
5、参数法 参数法是指先引入一个中间变量(参数) ,使所求动点的横、纵坐标 x, y 间建立起联系,然后再从所求式子中 消去参数,得到 x, y 间的直接关系式,即得到所求轨迹方程. 例 5 过抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0 )的顶点 O 作两条互相垂直的弦 OA 、 OB ,求弦 AB 的中点 M 的轨迹方 程.

练习: (1)与 y 轴相切且和半圆 x 2 + y 2 = 4(0 ≤ x ≤ 2) 内切的动圆圆心的轨迹方程是 .

(2)线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M(m,0) (m > 0) ,端点 A、B 到 x 轴距离之积为 2m,以 x 轴为对称轴, 过 A、O、B 三点作抛物线,则此抛物线方程为
(3)由动点 P 向圆 x + y = 1 作两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,∠APB=600,则动点 P 的轨迹方程为
2 2

1 解:设 M ( x, y ) ,直线 OA 的斜率为 k ( k ≠ 0) ,则直线 OB 的斜率为 ? .直线 OA 的方程为 y = kx ,由 k

? y = kx 2p 2p ?x = k 2 解得 ? ,即 A( 2 , ) ,同理可得 B(2 pk 2 ,?2 pk ) . ? 2 ? k k 2p ? y = 2 px ?
? ? y= k

?

2p

x (4)点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 l: +5=0的距离小于 1,则点 M 的轨迹方程是_______ )
(5) 一动圆与两圆⊙M: x 2 + y 2 = 1 和⊙N: x 2 + y 2 ? 8 x + 12 = 0 都外切,则动圆圆心的轨迹为 (6)动点 P 是抛物线 y = 2 x 2 + 1 上任一点,定点为 A ( 0, ? 1) ,点 M 分 PA 所成的比为 2,则 M 的轨迹方程为 __________
? ?→

? ?x = 由中点坐标公式,得 ? ? ?y = ? ?

p + pk 2 k2 ,消去 k ,得 y 2 = p ( x ? 2 p ) ,此即点 M 的轨迹方程. p ? pk k

6、交轨法 求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数 来得到轨迹方程,称之交轨法. 例 6 如右图,垂直于 x 轴的直线交双曲线

(7)AB 是圆 O 的直径,且|AB|=2a,M 为圆上一动点,作 MN⊥AB,垂足为 N,在 OM 上取点 P ,使 )

| OP |=| MN | ,求点 P 的轨迹。
(8)若点 P( x1 , y1 ) 在圆 x 2 + y 2 = 1 上运动,则点 Q ( x1 y1 , x1 + y1 ) 的轨迹方程是____ )

x2 y2 ? = 1于 a 2 b2

y P A1 O A2

M x N

B 则弦 AB 的中点 M 的轨迹方程是________ 过抛物线 x 2 = 4 y 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A、 两点, (9) )

8

(10)已知椭圆 )

x2 y2 + = 1( a > b > 0) 的左、右焦点分别是 F1(-c,0) 2(c,0) 是椭圆外的动点, 、F ,Q a2 b2

满足 | F1Q |= 2a. 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点,点 T 在线段 F2Q 上,并且满足 PT ? TF2 = 0, | TF2 |≠ 0. (1)设 x 为点 P 的横坐标,证明 | F1 P |= a +

c x; a

(2)求点 T 的轨迹 C 的方程;

(3)试问:在点 T 的轨迹 C 上,是否存在点 M,使△F1MF2 的面积 S= b 2 . 若存在,求∠F1MF2 的正切值; 若不存在,请说明理由.

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