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第一章 第四讲 集合习题课


第 3 课时 习题课
知 识 整 合 一、网络构建

二、规律小结 在处理与集合有关的题目时应注意: 1.集合的属性(点集、数集、图形集等). 2.集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性. 3.集合 A={a1,a2,a3,?,an}的子集的个数为 2n. 4.空集优先的原则,如已知 A?B,则首先要考虑 A=?. 5.集合运算中的一些结论: (1

)若 A∩B=A 则 A?B; (2)若 A∪B=B,则 A?B; (3)若 A∩B=A∪B,则 A=B; (4)若 A?B,则?UA??UB; (5)(?UA)∪(?UB)=?U(A∩B);

(6)(?UA)∩(?UB)=?U(A∪B). 6.借助 Venn 图或数轴解题. 题 型 讲 解 1.集合是一个不加定义的概念,只对其作了描述性的说明,把一些确定的对象集在一起就构成 一个集合,应了解集合中的元素是确定的、互不相同的、没有顺序的. [例 1] [分析] [解析] 若集合 A={1,x},B={x2,0},有没有 x 的值,使 A=B? 两集合相等,则其元素完全相同,同一集合内的元素应互不相同. ?x=0 ∵A=B,且 1≠0,∴? 2 无解,故不存在 x 的值使 A=B. ?x =1

2.集合的表示方法有列举法、描述法、图示法,用列举法表示集合,应将元素一一列出,或将 其规律体现出来;描述法是表示集合的重要方法,要对其中的元素有什么共同属性,代表元素是什么 清清楚楚;图示法常用于表达集合之间的关系和抽象集合. [例 2] 已知集合 M={x|x=a+b 2,a,b∈Q}.

(1)判断下列元素与集合间的关系. 1 2 ①3+2 2;② 2-1;③ 3 ;④-1; ⑤(2+ 2)(3- 2);⑥ 1 . 3+ 2

(2)若 x1∈M,x2∈M,求证:x1+x2∈M,x1· x2∈M. [分析] [解析] 本题关键点是求解描述法中,代表元素的性质,即 a,b∈Q. 1 1 (1)①3+2 2显然 a=3,b=2 都属于 Q,所以是集合 M 的元素;

②a=-1,b=1,是集合 M 的元素; 2 1 1 ③ 3 =0+3· 2,a=0,b=3是集合 M 的元素; ④-1=-1+0× 2,a=-1,b=0 是集合 M 中的元素; ⑤(2+ 2)(3- 2)=4+ 2,a=4,b=1 是集合 M 中的元素; ⑥ 3- 2 1 3 1 3 1 = =7-7· 2,a=7,b=-7是集合 M 中的元素. 3+ 2 ?3+ 2??3- 2?

(2)设 x1=a1+b1 2,x2=a2+b2 2,其中 a1,a2,b1,b2∈Q, x1+x2=a1+b1 2+a2+b2 2 =(a1+a2)+(b1+b2) 2, 又 a1+a2,b1+b2∈Q, ∴x1+x2∈M

x1x2=(a1+b1 2)(a2+b2 2)=(a1a2+2b1b2)+(a1b2+a2b1) 2, 又 a1a2+2b1b2, a1b2+a2b1 都属于 Q, ∴x1x2∈M.

3.元素与集合的关系和集合与集合的关系要加以区分,要正确运用“∈”,“?”,“?”,“ ” 等数学符号.准确理解集合之间的关系. x1 [探究] 在上题(2)中,x1-x2,x (x≠0)是否属于 M,同理可证明均属于 M(证明可由学生自己完 2 成). [例 3] 的是( ) B.{0}∈A C.??A D.?∈A (微山一中 2012~2013 高一十月份月考试题)已知集合 A={x|x2-x=0},则下列表示正确

A.1?A [分析]

首先分清是集合与集合之间的关系,还是元素与集合之间的关系,再弄清集合中元素的

属性,然后作出判断.

4.熟练掌握集合的交、并、补运算,这是高考考查的重点. [例 4] 已知集合 U={x∈R|1<x≤7},

A={x∈R|2≤x<5},B={x∈R|3≤x<7},求 (1)(?UA)∩(?UB); (2)?U(A∪B); (3)(?UA)∪(?UB); (4)?U(A∩B). (5)观察上述结果你能得出什么结论. [分析] 利用数形结合的思想,将满足条件的集合在数轴上一一表示出来,从而求集合的交集、

并集、补集,既简单又直观,这是最基本最常用的方法.本题可先在数轴上画出集合 U、A、B,然 后求出 A∩B,A∪B,?UA,?UB,就能逐一写出各小题的结果. [解析] 利用数轴工具,画出集合 U、A、B 的示意图,如下图所示.

可以得到,A∩B={x∈R|3≤x<5}. A∪B={x∈R|2≤x<7}, ?UA={x∈R|1<x<2 或 5≤x≤7},?UB={x∈R|1<x<3 或 x=7}. 规律总结:上述发现是偶然的呢?还是具有普遍的意义呢?如图.

∴?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB) 对于?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB)可由读者仿照上面来证明. 同学们不妨再验证一个上述结论. 已知集合 U={x|x<10,x∈N*},A={2,4,5,8},B={1,3,5,8},求?U(A∪B),?U(A∩B),(?UA)∩(?
UB),(?UA)∪(?UB).

[分析]

可以把 U,A∪B,A∩B,?UA,?UB 的元素分别求出来,再进一步求出所要求的集合,也可

以直接利用 Venn 图来直观地求解. 作出 Venn 图,如图所示,由图形也可以直接观察出来结果.

[点评]

可用 Venn 图研究(?UA)∪(?UB)=?U(A∩B)与(?UA)∩(?UB)=?U(A∪B), 在理解的基础记住

此结论,有助于今后迅速解决这一类集合问题. [解析] ∵A∪B={1,2,3,4,5,8},U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},

∴?U(A∪B)={6,7,9}. ∵A∩B={5,8}, ∴?U(A∩B)={1,2,3,4,6,7,9} ∵?UA={1,3,6,7,9},?UB={2,4,6,7,9}. ∴(?UA)∩(?UB)={6,7,9},(?UA)∪(?UB)={1,2,3,4,6,7,9}.

5.利用文氏图巧解集合题 [例 5] (河南安阳一中分校 2012~2013 学年第一学期阶段性测试)设全集 U={x|x≤8,x∈N+},

若 A?U,B?U,B∩(?UA)={2,6},A∩(?UB)={1,8},(?UA)∩(?UB)={4,7}, ,则( A.A={1,8}B={2,6} C.A={1,8}B={2,3,5,6} B.A={1,3,5,8}B={2,3,5,6} D.A={1,3,8}B={2,5,6}

)

[解析]

作出 Venn 图如图所示.

∵(?UB)∩A={1,8},(?UB)∩(?UA)={4,7}, ∴?UB={1,4,7,8},∴B={2,3,5,6}. 又∵(?UA)∩B={2,6},(?UA)∩(?UB)={4,7} ∴?UA={2,4,6,7}∴A={1,3,5,8}. 故选 B.

规律总结:从本例解法中可以很清楚地看出 Venn 图在解集合题中的价值.在此题中,我们也可以发 现?UB=?UB∩(A∪?UA)=(?UB∩A)∪(?UB∩?UA). 6.解答信息迁移题时,先要准确理解所给条件提供的信息,进行必要的提炼加工,转化为所学 知识,利用已掌握方法,加以解答. [例 6] 对于集合 A,B,我们把集合{(a,b)|a∈A,b∈B}记作 A×B.例如,A={1,2},B={3,4},

则有 A×B={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)},B×A={(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},A×A={(1,1),(1,2), (2,1),(2,2)},B×B={(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)}.据此,试回答下列问题: (1)已知 C={a},D={1,2,3},求 C×D; (2)已知 A×B={(1,2),(2,2)},求集合 A、B; (3)若 A 有 3 个元素,B 有 4 个元素,试确定 A×B 有几个元素. [解析] (1)C×D={(a,1),(a,2),(a,3)}.

(2)∵A×B={(1,2),(2,2)},∴A={1,2},B={2}. (3)集合 A 中的任意一个元素与 B 中的一个元素对应后, 得到 A×B 中的一个新元素. 若 A 中有 m 个元素,B 中有 n 个元素,则 A×B 中的元素应为(m×n)个. 故若 A 中有 3 个元素,B 中有 4 个元素, 则 A×B 中有 3×4=12 个元素. 定义集合 A、B 的一种运算:A*B={x|x=x1+x2,其中 x1∈A,x2∈B},若 A={1,2,3},B={1,2}, 则 A*B 中所有元素之和为( A.9 B.14 ) C.18 D.21

规律总结:新定义、信息迁移类型的题目往往比较新颖,通过读题,一定要弄懂运算的规律. 基础巩固训练 1.(2012~2013 山西太原高三第二次模拟)已知集合 U={0,1,2,3,4},A={1,2,3},B={2,4},则 下图阴影部分表示的集合为( )

A.{0,2}

B.{0,1,3}

C.{1,3,4}

D.{2,3,4}

2. (2012~2013 山东鱼台一中高一年级九月份月考试题)若全集 U={0,1,2,3},?UA={2}则集合 A 的真子集共有( A.3 )个 B.5 C .7 D.8 )

3.已知 U={2,3,4,5,6,7},M={3,4,5,7},N={2,4,5,6},则( A.M∩N={4,6} C.(?UN)∪M=U B.M∪N=U D.(?UM)∩N=N )

4.若集合 A={x|1≤x≤3},B={x|x>2},则 A∩B 等于( A.{x|2<x≤3} B.{x|x≥1} C.{x|2≤x<3}

D.{x|x>2} ) D.{x|1≤x≤2} )

5.集合 A={x|-1≤x≤2},B={x|x<1},则 A∩(?RB)=( A.{x|x>1} B.{x|x≥1} C.{x|1<x≤2}

6.已知全集 U=A∪B={x∈N|x≤8},A∩?UB={1,3,5,7},则集合 B=( A.{0,2,4,6,8} B.{4,6,8} C.{1,2,3,4} D.{2,4,6,8}

7. 已知全集 U=R, 集合 A={x|-2≤x≤3}, B={x|x<-1 或 x>4}, 那么集合 A∩(?UB)等于( A.{x|-2≤x<4} C.{x|-2≤x<-1} B.{x|x≤3 或 x≥4} D.{x|-1≤x≤3}

).

8.设 U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx=0},若?UA={1,2},则实数 m=_______.


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