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稳恒磁场3-对载流导线作用力


3.3 安培环路定律的应用 1、长直通电螺线管
l
ab

r r ∫ B ? d l = μ 0 ∑ I i内
L i
bc cd da

v v v v v v v v v v ∫ B ? dl = ∫ B ? dl + ∫ B ? dl + ∫ B ? dl + ∫ B ? dl

= ∫ Bdl + 0 + 0 + 0
ab

...............B
+++++++++++++++

= B ∫ dl = B ? ab
ab

由安培环路定理:

a

b

B ? ab = μ 0 ∑ i I i

= μ 0 nabI

B = μ 0 nI

d

c
1

2、环形螺线管

v v ∫ B ? dl = ∫ Bdl

= B 2πr = μ 0 ∑ I i i μ 0 NI B= 2πr

r >> 管截面直径 μ 0 nI

. . . . .

. . . .. . .. . B . . +++ +++ .
+ ++ + + + + r + + + + R1 + + + + R2 + + +++ ++ +

.

B

..

.. . . . ... I

. .

.

. . . . .

0

R1

R2

rI

2

[例1]无穷长载流圆筒内外磁场分布 电流俯视图如图示 解: 将载流筒分割成无数平行于轴线的载 流直导线,对空间任一点,对称选取一对 载流直导线 dI=dI’ I 其磁场如图示: 故:圆筒内外磁力线为以轴为心的圆环线 作半径为r 的闭合圆环为安培环路 v

R r

r
dI

r? R

v ∫ B内 ? d l = ∫ B内dl = B内 ? 2πr
= μ 0 ∑ I i内 =0 ∴ B内 = 0

v i v r? R ∫ B外 ? dl = B外 ? 2πr = μ 0 ∑ I i内 i μ0I ∴ B外 = 2π r

dB’ dB

v dB合

dI’
3

[例2]求无限大载流平面的磁场分布 由俯视图: 解:无限大载流平面的磁场分布如图示

I

v v ∫ B ?b dvl v c v v d v v a v v = ∫ B ? dl + ∫ B ? dl + ∫ B ? dl + ∫ B ? dl

作闭合环路abcd如图

= ∫ Bdl + 0 + ∫ Bdl + 0
d a c

a b

b

c

d

= 2 B ab由安培环路定理 μ 0 j ab 1 ∴ B = μ0 j 2
方向:平行于通电平面、 与电流成右手螺旋

dB

b

v dB′

a dI’ d
4

dI c

3、均匀通电直长圆柱体的磁场 设电流 I 均匀分布在整个横截面上 v v 1 r < R ∫ B ? dl = ∫ Bdl = B dl )

I R
0 μμ

∑ I =∫
i i

2)r > R

= B ? 2πr = μ 0 ∑ i I i v v πr 2 I 2 j ? dS = ∫ jdS = 2 πr πR 0 μ 0 Ir B内 = 2π R 2 B
μIr 2πR 2



dS n I r B r
μ0I 2π R

B ? 2π r = μ 0 ∑ i I i = μ 0 I

μI 2π R

μ0I B外 = 2π r
考虑导线导体磁导率为μ 0

R

r

5

[例3] 无限长载流圆柱体(R, I), 电流均匀分布, 在O’处挖 去小圆柱体 (半径为b, 且oo’=a, a+b<R), 点p在o’o的延长线上, op=oo’=a b o’ 求:Bp=? a o 解: 挖补法(迭加原理)

R

电流均匀分布的无限长载流柱 体的磁场分布为:

p

μ Ir B= 2π R 2

r r r BP总 = BP挖 + BP剩
Iπb 2 I′ =

0≤r<R

μ0I B= 2π r

R ≤ r <∞

μ0I ′ μ Ia ∴B = ? 2 2π R 2π 2 a

μ 0b 2 I πR ( μa ? ) 2 6 a 2πR 2
2

§4 磁场对载流导线的作用 4.1 安培力 叠加原理

d F = I dl × B

F=



dF

L

计算各种载流回路 在外磁场作用下所 受的力

4.2 平行无限长直导线间的相互作用

μ0 I1 对I 的作用 μ0 I1I 2 I1 ?? → B1 = ? ??? → dF12 = ? dl2 2πa 2πa
产生
2

μ 0 I1 I 2 单位长度受力 :f12 = 2πa
2

I1 = I2 = I

μ0 I 2πaf af = 或I = 安 f = ?7 μ0 2 × 10 2πa
7

电流强度的单位“安培”的定义
? 一恒定电流,若保持在处于真空中相距1m的 两无限长、而圆截面可忽略的平行直导线内 ,若在此两导线之间产生的力在每米长度上 等于2×10-7 N,则导线中的电流强度定义为 1A(p388) ? 与P344的定义等价,但注意两个定义表述上 的区别

8

4.3 矩形载流线圈在均匀磁场中所受的力矩 ? 在均匀磁场中 ? 刚性矩形线圈——不发生形变; ? 合力=0,合力矩=?

l1 l1 L = FBC sinθ + FDA sinθ 2 2 = Il 2 l1 B sin θ = ISB sin θ ↑

L = IS n × B =

大小 方向

IS sinθ n × B 的方向

磁矩 m
9

4.4 载流线圈的磁矩 ? 在均匀磁场中 ? 任意形状线圈 ? 小线圈所受力矩 dL

dl 1 sin θ 1 = dl 2 sin θ 2
= dh

? 将线圈分割成若干个小窄条

力矩 : dL = IBdh ( x1 + x2 ) = IBdS
总力矩

dF1 = dF2 = IBdh
r r F1 + F2 = 0

L = ∑ dL = ∑ IBdS = IBS

若线圈平面与磁场成任意角度,则可将B分解成

B = B⊥ + B||

L = IS (n × B) = m × B B⊥ : 垂直于线圈平面 B|| : 平行于线圈平面

10

结论:
? 线圈的磁矩 ? 所受的力矩

磁矩的方向:

m = IS n
L = m× B

11

[例1] 无限长载流直导线近旁 I1 放一半圆形载流导线, 求半圆形 载流导线所受的磁场力 解:在半圆形载流导线上任取 r 电流元 I2d l ,其所受力的x分量 为: dFx = I 2 dl ? B1 ? cosα

x B1

r dF
?

o μ 0 I1 I 2 = dl cos α 2π x dl cos α = dl cos(90 0 ? β ) = ? dy μ 0 I1 I 2 dF x = ? dy 2π x


d

r I2dl
x

r β dy dl
12

α

r dF

dx

r 电流元 I2 d l 所受力的y分量为:I

μ 0 I1 I 2 dF y = dl sin α 2π x
μ 0 I1 I 2 = dx 2πx
2

1

x B1

r dF
?

圆形方程为:( x ? d ) 两边微分, 得到:

+y =R
2

2

o d



r I2dl
x

x?d dy = ? dx y
=? x?d R ? (x ? d )
2 2

dx

r β dy dl

α

r dF
13

dx

半圆形载流导线所受力的x分量 I

μ 0 I1 I 2 Fx = ∫ dF x = ? ∫ dy 2π x d +R μ 0 I1 I 2 ( x ? d ) dx = ∫ 2 2 2πx R ? (x ? d ) d ?R

1

x B1

r dF
?

半圆形载流导线所受力的y分量: o


d

r I2dl
x

Fy =

∫ dF

d+R y

=

d ?R



μ 0 I1 I 2 dx 2π x

μ 0 I1 I 2 d +R = ln d ?R 2π
14

[例2] 载流直导线对矩形载流线圈的作用力 如图:无限长载流直线, 近旁放一矩形载流线圈 I1 求:线圈所受的力 解:上下两边所受的力大小 相等,方向相反 I1在AB边处产生的磁感 应强度为:

B

I2

C

r μ 0 I1 B1 = ? 2π d

b

d A

a D
15

AB边受力:

r r I1 μ 0 I1 I 2 b F1 = I 2bB1 = ( ?i ) 2πd

B

I2

C

CD边受力:

r μ0 I1I 2b r i F2 = I 2bB2 = 2π (d + a)
F1 d A a

线圈所受的合力:

b F 2

r μ0 I1I2b ? 1 1 ? r F1 = ? ? ?(?i ) 2π ? d d + a ?

D x
16

[例3]

关于磁感应强度和电流分布 ——

? 若一条闭合曲线内部包围的电流代数和为零, 则该曲线上每一点的磁感应强度均为零;



?若一条闭合曲线内部包围的电流不具有对称性, 则在该曲线上安培环路定理不再成立;



? 若一条闭合曲线上每一点的磁感应强度均不为零, 则该曲线内部包围的电流代数和不为零;



? 若一条闭合曲线上每一点的磁感应强度均为零, 则该曲线内部所包围的电流代数和为零。



17

§5 带电粒子在磁场中的运动 5.1 洛仑兹力

? 实验证明:运动电荷在 磁场中受力

F

∝ q, v, B, (v与B )的夹角θ v × B的方向

F = qv × B
F ⊥ v, F ⊥ B
洛仑兹力做功吗? 洛仑兹力与安培力的关系?
18

5.2 洛仑兹力与安培力的关系

? 电子数密度为n,漂移速度u ? dl内总电子数为 N=nSdl,

r r ? 每个电子受洛仑兹力f= ? eu × B
? N个电子所受合力总和是安培力吗?
洛伦兹力f 作用在金属内的电子上 安培力 作用在导体金属上 作用在不同 的对象上

自由电子受力后,不会越出金属导线,而是将获得 的冲量传递给金属晶格骨架,使骨架受到力
19

电子受洛仑兹力的合力

证明:

∑ f =∑ f '

骨架受到的冲力

先说明导线中自由电子与宏观电流I 的关系 自由电子做定向运动,漂移速度u,电子数密度为n 电流强度I:单位时间内通过截面的电量 则在 t 时间内, 通过导体内任一面元 ΔS 迁移的电 量为:
电流

Δ q = ( u Δ t Δ S cos θ ) ne
Δ q dq = = neuds cos θ dI = lim Δt ? ?→ 0 Δ t dt

r r dI = ?neu ? ds

j: 电流密度
20

N个电子所受合力总和大小

N=nSΔl

dF = ∑ f = euBN = (eunS ) BΔl = IBΔl
传递机制可以有多种,但最终达到稳恒 状态时,如图导体内将建立起一个大小 相等方向相反的横向电场E(霍尔场) 电子受力:洛伦兹力f , E的作用力f ' 带正电的晶格在电场中受到 f " 结论:安培力 f "——与电子所受洛伦兹力f 方向相同 是 电 子 所 受 安培力是晶格所带电荷受力 f "的总和 洛 伦 兹 力 的 宏观表现
21

I

带电粒子在电磁场中的运动
? 涉及到的学科: – 等离子体物理、空间物理、天体物理、粒子物 理等带电粒子在电磁场中受力

r B(r , t )
可能是非 线性项

是耦合在一起的

r E (r , t )

库仑力

F = qv × B + q E

通常是多粒子体系

可能是高速运动

方程式,看似形式简单,其实相当复杂。 一般情况下难于严格求解
22

[例4] 带电粒子在均匀磁场中运动,忽略重力作用 —— ? 因为磁场力的方向总与带电粒子的速度方向垂直, ╋ 所以带电粒子的运动轨迹必定是圆; ? 粒子的回旋周期和该粒子的运动速度大小成反比; ╋ ? 速率相同、带电量分别为 +q 和 –q 的两个粒子, 受到的磁场力大小相等、方向相反; ╋ √ ? 在运动过程中,带电粒子的动能保持不变。 [例5]一个带电量为+q的粒子以初速度 υ r r r 入射到均匀磁场 B 中, υ 与 B 的夹 为 α ,如图所示。要想使这个粒子做 匀速直线运动,需要在空间中再加入一 个均匀电场,那么该电场的大小应 为 ,方向 υB sin α 垂直纸面向外
23

r

[例6] 如图所示,在竖直放置的无 限长直导线附近,有一水平放置的 长度为 b 的直导线AB 。已知A 端 到长直导线的距离为 a 。若在无限 长直导线中通以电流I1 ,AB中通以 电流 I2 ,则导线AB受到的安培力的 大小为 方向

μ 0 I1 I 2 a + b ln a 2π

纸面内竖直向上 纸面内垂直AB向上 沿着纸面竖直向上 与I1方向相同

24

[例7] 如图所示,一个正方形刚性线 圈放在均匀磁场中,线圈平面与磁场 平行(线圈的法线方向垂直于磁感应 强度的方向)。当在这个线圈中通以 如图所示方向的电流时,线圈将 ( ) 发生旋转 [例8] 半径为a1的载流圆形线圈与边长为a2的方形载流 线圈通有相同大小的电流,如图所示。若两线圈中心O1 和O2的磁感应强度大小相同,则半径a1与边长a2之比为 ( ) 2π : 8 a1 . a2 O1 O2

25

[例9] 无限长导体圆柱半径为 R ,沿轴向通有电流, 已知圆柱截面上的电流密度与半径之间满足如下 μ 0 ka 2 关系:j = kr (0 ≤ r ≤ R) ,式中k为大于零的常数。 3 则圆柱内部半径为 a 处的磁感应强度的大小为

[例10] 如图所示,用一条很细的线把 一根未经磁化的顺磁质针在其中心处 悬挂起来。当加上与该磁针成锐角的 磁场后,磁针将发生旋转,这一旋转 将使得磁针与磁场的夹角(增大、减小)

减小

26

作 业
教科书 p386 习题

4. 6
教科书 p398 习题

3.

4.

6.

13.
27


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