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导数小题


导数小题

一、选择题(共 74 小题;共 370.0 分)
(第二次月考) 1. 等比数列 an 中, a1 = 2 , a8 = 4 ,函数 f x = x x ? a1 x ? a2 ? x ? a8 ,则 f? 0 = ( A. 26 B. ) 29 C. 212 D. 215

2. 函数 f x 的定义域为开区间 a, b ,导函数 f? x 在 a, b 内的图象如图所示,则函数 f x 在 开区间 a, b 内有极小值点

A.

1个

B.

2个

C.

3个

D.

4个

3. 已知函数 f x = ax 3 ? bx 2 + x a, b ∈ , 且 ab ≠ 0 的图像如图,且 ∣ x1 ∣>∣ x2 ∣,则 有 .

A.

a>0 , b>0

B.

a<0 , b<0
3

C.

a>0 , b<0

D.

a<0 , b>0

4. 若数列 an 是首项为 1,公比为 a ? 2 的无穷等比数列,且 an 各项的和为 a,则 a 的值 是( )

A.

1

B.

2

C.

1 2

D.

5 4

5. 设函数 f x 在 上可导,其导函数为 f? x ,且函数 y = 1 ? x f? x 的图象如图所示,则下 列结论中一定成立的是 .

A. B. C. D. 6. 若 lim A. C.

函数 f x 有极大值 f 2 和极小值 f 1 函数 f x 有极大值 f ?2 和极小值 f 1 函数 f x 有极大值 f 2 和极小值 f ?2 函数 f x 有极大值 f ?2 和极小值 f 2
a

x →1 1?x

?

b 1?x 2

= 1,则常数 a,b 的值为 ( B. D.

) a = 2,b = ?4 a = 2,b = 4

a = ?2,b = 4 a = ?2,b = ?4

7. 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路 程 s 看作时间 t 的函数,其图象可能是 ( )

A.

B.

C.

D. 8. 若 f x = x 2 ? 2x ? 4lnx,则 f? x > 0 的解集为 ( A. C. 0, +∞ 2, +∞ B. D. ) ?1,0 ∪ 2, +∞ ?1,0

9. 设球的半径为时间 t 的函数 R t ,若球的体积以均匀速度 c 增长,则球的表面积的增长速度 与球半径 ( A. C. ) B. D. 成正比,比例系数为 2c 成反比,比例系数为 2c ) D. f? 0 = 0

成正比,比例系数为 c 成反比,比例系数为 c

10. 设 f x = sin ωx + φ ,其中 ω > 0,则 f x 是偶函数的充要条件是 ( A. f 0 =1 B. f 0 =0 C. f? 0 = 1

11. 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称 为衰变.假设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中,其含量 M (单位:太贝克)与时间 t
30 (单位:年)满足函数关系: M t = M02 ,其中 M0 为 t = 0 时铯 137 的含量.已知

?

t

t = 30 时,铯 137 含量的变化率是 ?10ln2 (太贝克/年),则 M 60 = ( A. 5 太贝克 B. 75ln2 太贝克 C. 150ln2 太贝 克 12. 已知 m ∈ ?,a, b ∈ ,若 lim
x →0 1+x x
m +a

) 150 太贝克

D.

= b,则 a ? b = ( C. ?1

) D. 1

A.

?m

B.

m

13. 某生物生长过程中,在三个连续时段内的增长量都相等,在各时段内平均增长速度分别为 v1 , v2 , v3 ,该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为 ( A.
v 1 +v 2 +v 3
3

) D.
3
1 1 1 + + v1 v2 v3

B.

1 1 1 + + v1 v2 v3

C.

3

v1 v2 v3 )

3

14. 已知函数 f(x) 在 x = 1 处的导数为 3 ,则 f(x) 的解析式可能为 ( A. C. f(x) = (x ? 1)2 + 3(x ? 1) f(x) = 2(x ? 1)2
π 2 π 2

B. D.

f(x) = 2(x ? 1) f(x) = x ? 1

15. 函数 y = lncosx ? <x<

的图象是 (

)

A.

B.

C.

D. 16. 设直线 x = t 与函数 f x = x 2 , g x = lnx 的图象分别交于点 M, N,则当 ∣ MN ∣ 达到最小时 t 的值为 ( )

A.

1

B.

1 2

C.

5 2

D.

2 2

17. 已知 f x = x 3 ? 6x 2 + 9x ? abc,a < < ,且 f a = f b = f c = 0.现给出如下结论: ① f 0 f 1 > 0;② f 0 f 1 < 0;③ f 0 f 3 > 0;④ f 0 f 3 < 0.其中正确结论的序号 是( A. ) ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ ) 5

18. 函数 f x = x 3 + ax 2 + 3x ? 9,已知 f x 在 x = ?3 时取得极值,则 a = ( A. 2
x 2x ?1

B.

3 )

C.

4

D.

19. 曲线 y = A. C.

在点 1,1 处的切线方程为 (

x?y?2= 0 x + 4y ? 5 = 0

B. D.

x+y?2= 0 x ? 4y ? 5 = 0

20. 集合 M 由满足以下条件的函数 f x 组成:对任意 x1 , x2 ∈ ?1,1 ,都有 ∣f x1 ? f x2 ∣ ≤ 4∣x1 ? x2 ∣.对于两个函数 f1 x = x 2 ? 2x + 5, f2 x = ∣x∣, 以下关系成立的是 ( A. C. f1 x ∈ M, f2 x ∈ M f1 x ? M, f2 x ∈ M ) B. D. 若 ea + 2a = eb + 3b,则 a < 若 ea ? 2a = eb ? 3b,则 a < B. D. f1 x ? M, f2 x ? M f1 x ∈ M, f2 x ? M )

21. 设 a > 0,b > 0,e 是自然对数的底数 ( A. C. 若 ea + 2a = eb + 3b,则 a > 若 ea ? 2a = eb ? 3b,则 a >

22. 某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工 件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料的利用率 =
新工件的体积 原工件的体积



A.

8 9π

B.

16 9π

C. ) C.

4

2?1 π

3

D.

12

2?1 π

3

23. 若 f x = α2 ? cosx,则 f? α 等于 ( A. sinα B. cosα

2α + sinα

D.

2α ? sinα

24. 某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工 件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料的利用率 =
新工件的体积 原工件的体积



A. C.

8 9π 24 2?1 π
3

B. D.

8 27 π 8 2?1 π
3

25. 函数 y = xcosx ? sinx 在下面哪个区间内是增函数 ( A.
π 3π 2

)
3π 5π 2

,

2

B. )

π, 2 π

C.

,

2

D.

2π, 3π

26. lim x 2 +4x ?5 = (
x →1

x 2 +x ?2

A.

1 2 1

B.

1

C.

2 5

D.

1 4

(1)27. 设点 P 在曲线 y = 2 ex 上,点 Q 在曲线 y = ln 2x 上,则 ∣ PQ ∣ 的最小值为 ( A. C. 1 ? ln2 1 + ln2 B. D. 2 1 ? ln2 2 1 + ln2

)

28. 已知定义在 上的偶函数 g x 满足:当 x ≠ 0 时,xg? x < 0(其中 g? x 为函数 g x 的导 函数);定义在 上的奇函数 f x 满足:f x + 2 = ?f x ,在区间 0,1 上为单调递增函数, 且函数 y = f x 在 x = ?5 处的切线方程为 y = ?6.若关于 x 的不等式 g f x 对 x ∈ 6,10 恒成立,则 a 的取值范围是 ( A. C. ?2 ≤ a ≤ 3 a ≤ ?1 或 a ≥ 2 ) B. D. ?1 ≤ a ≤ 2 a ≤ ?2 或 a ≥ 3 ≥ g a2 ? a + 4

29. f? x 是 f x 的导函数,f? x 的图象如图所示,则 f x 的图象只可能是

A.

B.

C.

D. 30. 已知函数 f x 的导函数 f? x 的图象如图所示,那么函数 f x 的图象最有可能的是

A.

B.

C.

D. 31. 如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记 t 时刻五角星露出 水面部分的图形面积为 S t S 0 = 0 ,则导函数 y = S? t 的图象大致为 .

A.

B.

C.

D. 32. 已知球 O 的直径长为 12,当它的内接正四棱锥的体积最大时,该四棱锥的底面边长为 ( A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 )

(第二次月考)33. 若曲线 y = x ?2 在点 a, a?2 18 ,则 a = ( A. 64 ) B. 32

1

1

处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为

C.

16

D.

8 )

34. 已知 f x = sinx + cosx,且 f1 x = f? x ,fn+1 x = fn ? x A. C. ?sinx ? cosx sinx ? cosx B. D.

n ∈ ? ,则 f2015 x = (

cosx ? sinx sinx + cosx

35. 设函数 y = f x 在 ?∞, +∞ 内有定义,对于给定的正数 K,定义函数 fK x = f x , f x ≤K ,取函数 f x = 2 ? x ? e?x ,若对任意的 x ∈ ?∞, +∞ ,恒有 fK x = f x , K, f x > 则( A. C. ) K 的最大值为 2 K 的最大值为 1 B. D. K 的最小值为 2 K 的最小值为 1 )

36. 若不等式 x + 2 2xy ≤ a x + y 对一切正数 x,y 恒成立,则正数 a 的最小值为 ( A. 1 B. 2 C. 2+2
1

D. ) D.

2 2+1

(2)37. 曲线 y = ex 在点 2, e2 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ( A.
9 2 4

e

B.

2e2 )

C.

e2

e2 2

38. 函数 f x = x ? 3 ex 的单调递增区间是 ( A. ?∞, 2 B. 0,3

C.

1,4 )

D.

2, +∞

39. 设 a ∈ ,若函数 y = ex + ax x ∈ 有大于零的极值点,则 ( A. a < ?1 B. a > ?1 C. a < ?e
1

D.

a > ?e

1

40. 如图,在半径为 r 的圆内作内接正六边形,再作正六边形的内切圆,又在此内切圆内作内 接正六边形,如此无限继续下去,设 Sn 为前 n 个圆的面积之和,则 lim Sn =
n →∞

A.

2 πr 2

B.

8 3

πr 2

C.

4 πr 2

D.

6 πr 2

41. 函数 f x = 1 ? cosx sinx 在 ?π, π 的图象大致为 (

)

A.

B.

C.

D. 42. 已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为 y = ? 3 x 3 + 81x ? 234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ( A. 13 万件
1 1

) D. 7 万件 )

B.

11 万件

C.

9 万件

43. 若 f x = ? 2 x 2 + bln x + 2 在 ?1, +∞ 上是减函数,则 b 的取值范围是 ( A. C. ?1, +∞ ?∞, ?1 B. D. ?1, +∞ ?∞, ?1

44. 若 a > 0,b > 0,且函数 f x = 4x 3 ? ax 2 ? 2bx + 2 在 x = 1 处有极值,则 ab 的最大值等 于( A. ) 2 B. 3 C. 6 D. 9 ) 0

45. 函数 f x = x 3 ? 3x ? 1,x ∈ ?3,2 ,则 f x 的最大值与最小值的差为 ( A. 20 B. 18 C. 4 D.

46. lim 1 + 3 + 32 + ? + 3n = (
n →∞

1

1

1

) C. 2 D. 不存在 )

A.

5 3

B.

3 2

47. 曲线 y = e?2x + 1 在点 0,2 处的切线与直线 y = 0 和 y = x 围成的三角形的面积为 ( A.
1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

1

48. 已知函数 y = f x ,y = g x 的导函数的图象如下图,那么 y = f x ,y = g x 的图象可能 是

A.

B.

C.

D. 49. 已知对任意实数 x,有 f ?x = ?f x ,g ?x = g x ,且 x > 0 时,f? x > 0,g? x > 0, 则x<0时( A. C. ) B. D. ) B. D. 当x≥2时 当x<2时 B. 3 极小值 ?2,极大值 3 极小值 ?1,极大值 3 f? x > 0, ? x < 0 f? x < 0, ? x > 0

f? x < 0, ? x < 0 f? x > 0, ? x > 0

50. 函数 y = 1 + 3x ? x 3 有 ( A. C. 极小值 ?1,极大值 1 极小值 ?2,极大值 2 a + log2 x
x 2 ?4 x ?2

51. 已知函数 f x = A. 2

在点 x = 2 处连续,则常数 a 的值是 ( C. 4 ) D. 4 D. 5

)

52. 函数 f x = x 3 ? 3x 2 + 2 在区间 ?1,1 上的最大值是 ( A. ?2 B. 0 C. 2

(3)53. 若偶函数 f x 定义域为 ?∞, 0 ∪ 0, +∞ ,f x 在 0, +∞ 上的图象如图所示,则不 等式 f x f? x > 0 的解集是

A. B. C. D.

?∞, ?1 ∪ 0,1 ?1,0 ∪ 1, +∞ ?∞, ?1 ∪ 1, +∞ ?1,0 ∪ 0,1
1 4

54. 曲线 y = 3 x 3 + x 在点 1, 3 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 (

)

A.

1 9

B.

2 9 n

C.

1 3

D.

2 3

55. 设 Pn xn , yn 是直线 2x ? y = n+1 n ∈ ? 与圆 x 2 + y 2 = 2 在第一象限的交点,则极限
n →∞ x n ?1

lim

y n ?1

= ( ?1

) B. ?2
1

A.

C.

1 )

D.

2

56. 若存在正数 x 使 2x x ? a < 1 成立,则 a 的取值范围是 ( A. C. ?∞, +∞ 0, +∞ B. D.

?2, +∞ ?1, +∞

57. 如图,某飞行器在 4 千米高空水平飞行,从距着陆点 A 的水平距离 10 千米处下降,已知 下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则函数的解析式为

A. C.

y=

1 125 3

x3 ? x
5 3

3

B. D.

y=

2 125

x3 ? x
5 3 3 1

4

y = 125 x ? x

y = ? 125 x + 5 x 处

58. 已知函数 f x 在 上满足 f x = 2f 2 ? x ? x 2 + 8x ? 8,则曲线 y = f x 在点 1, f 1 的切线方程是 ( A. ) B. ) y=x C. y = 3x ? 2 D. y = ?2x + 3

y = 2x ? 1

59. 设函数 f x = xex ,则 ( A. B. C. D.

x = 1 为 f x 的极大值点 x = 1 为 f x 的极小值点 x = ?1 为 f x 的极大值点 x = ?1 为 f x 的极小值点
2

60. 已知 lim A.

x →∞ x ?1

+

ax ?1 3x

= 2,则 a = ( B. 2

) C. 3 D. 6

?6

61. 函数 f x = ax 3 + bx 2 + cx + d 的图象如图所示,则下列结论成立的是

A. C.

a > 0,b < 0,c > 0,d > 0 a < 0,b < 0,c > 0,d > 0

B. D.

a > 0,b < 0,c < 0,d > 0 a > 0,b > 0,c > 0,d < 0

62. 已知函数 f x = ax 3 ? bx 2 + x a、b ∈ 且 ab ≠ 0 的图像如图所示,且 ∣ x1 ∣>∣ x2 ∣,则 有

A.

a > 0, > 0
2

B.

a < 0, < 0

C.

a > 0, < 0 ) 3

D.

a < 0, > 0

63. 函数 f x = x + 1 A. 1

x ? 1 在 x = 1 处的导数等于 ( B. 2 C.

D.

4 )

64. 设 p: f x = ex + lnx + 2x 2 + mx + 1 在 0, +∞ 内单调递增,q: m ≥ ?5,则 p 是 q 的 ( A. C. 充分不必要条件 充分必要条件 B. D. 必要不充分条件 既不充分也不必要条件

65. 设函数 f x = ax 2 + bx + c a, b, c ∈ ,若 x = ?1 为函数 f x ex 的一个极值点,则下列图 象不可能为 y = f x 图象的是 ( )

A.

B.

C.

D. 66. 已知函数 y = x 3 ? 3x + c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 c = ( A. ?2 或 2 B.
π

) D. ?3 或 1

?9 或 3

C. ) C.

?1 或 1

67. 函数 f x = x + 2cosx 在 0, 2 上的最大值为 ( A.
π 2

B.

2

π 6

+ 3

D.

π 3

+1 )

68. 设曲线 y = ax 2 在点 1, a 处的切线与直线 2x ? y ? 6 = 0 平行,则 a = ( A. 1
x

B.

1 2

C. )

?2

1

D.

?1

69. 函数 y = 2 ? 2sinx 的图象大致是 (

A.

B.

C.

D. 70. 设 a ∈ ,若函数 y = eax + 3x,x ∈ 有大于零的极值点,则 ( A. a > ?3 B. a < ?3 C. a > ?3
1

) D. a < ?3
1

(2)71. 设函数 f x 在 上的导函数为 f? x ,且 2f x + xf? x > x 2 .下面的不等式在 上恒成 立的是 ( A. ) f x >0 B. f x <0 C. f x > D. f x <

72. 若函数 f x = x 3 + ax 2 + bx + c 有极值点 x1 , x2 ,且 f x1 = x1 ,则关于 x 的方程 3 f x A.
2

+ 2af x + b = 0 的不同实根个数是 ( 3 B. 4

) C. 5 D. 6

73. 设 f? x 是函数 f x 的导函数, y = f? x 的图象如右图所示,则 y = f x 的图象最有可能的 是 .

A.

B.

C.

D. 74. 已知函数 f x = x 3 + ax 2 + bx + c,下列结论中错误的是 ( A. B. C. D. ?x0 ∈ ,f x0 = 0 函数 y = f x 的图象是中心对称图形 若 x0 是 f x 的极小值点,则 f x 在区间 ?∞, x0 单调递减 若 x0 是 f x 的极值点,则 f? x0 = 0 )

二、填空题(共 18 小题;共 90.0 分)
75. 函数 f x = xlnx x > 0 的单调递增区间是 . .

76. 已知函数 f x = ex ? 2x + a 有零点,则 a 的取值范围是

77. 函数 y = x 2 + 1 0 ≤ x ≤ 1 图象上点 P 处的切线与直线 y = 0,x = 0,x = 1 围成的梯形 面积等于 S,则 S 的最大值等于 ,此时点 P 的坐标是 .

78. 某日中午 12 时整,甲船自 A 处以 16km/h 的速度向正东行驶,乙船自 A 的正北 18km 处 以 24km/h 的速度向正南行驶,则当日 12 时 30 分时两船之间距离对时间的变化率 是 79. lim km/h.
x x ?x

x →1 x ?1

=

. .

80. 函数 f x = x 3 ? 15x2 ? 33x + 6 的单调减区间为

81. 如图,函数 f x 的图象是折线段 ABC ,其中 A, B, C 的坐标分别为 0,4 , 2,0 , 6,4 , 则f f 0 = ; lim
f 1+Δ x ?f 1 Δx

Δ x →0

=

.(用数字作答)

82. 已知函数 f x = 2x ,g x = x 2 + ax(其中 a ∈ ).对于不相等的实数 x1 ,x2 ,设 m=
f x 1 ?f x 2 x 1 ?x 2

,n =

g x 1 ?g x 2 x 1 ?x 2

,现有如下命题:

①对于任意不相等的实数 x1 ,x2 ,都有 m > 0; ②对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1 ,x2 ,都有 n > 0; ③对于任意的 a,存在不相等的实数 x1 ,x2 ,使得 m = n; ④对于任意的 a,存在不相等的实数 x1 ,x2 ,使得 m = ?n. 其中的真命题有 83. 设函数 f x =
1

(写出所有真命题的序号). x+x,
2 1 1

x > 0,

?x ? 4x, x < 0.

则 f f ?1

=

;函数 f x 的极小值是 .(用弧度数作答)



84. 曲线 y = 2 ? 2 x 2 与 y = 4 x 3 ? 2 在交点处切线的夹角是

85. 已知函数 f x = f? 86. 有下列命题:

π 4

cosx + sinx,则 f

π 4

的值为



① x = 0 是函数 y = x 3 的极值点; ②三次函数 f x = ax 3 + bx 2 + cx + d 有极值点的充要条件是 b2 ? 3ac > 0; ③奇函数 f x = mx 3 + m ? 1 x2 + 48 m ? 2 x + n 在区间 ?4,4 上是单调减函数. 其中假命题的序号是 . .

87. 函数 y = x ? x ( x ≥ 0 )的最大值为

88. 如图,函数 f x 的图象是折线段 ABC ,其中 A, B, C 的坐标分别为 0,4 , 2,0 , 6,4 , 则f f 0 = ;函数 f x 在 x = 1 处的导数 f? 1 = .

89. 图 1 ,将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做 成一个无盖的正六棱柱容器(图 2 ).当这个正六棱柱容器的底面边长为 大. 时,其容积最

图1

90. 在数列 an 中, an = 4n ? 2 , a1 + a2 + ? + an = an2 + bn , n ∈ ? ,其中 a, b 为常数, 则 lim
a n ?b n n →∞ a n +b n

5

的值是



91. 如图,将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做 成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为 大. 时,其容积最

92. 设 x 3 + ax + b = 0,其中 a,b 均为实数,下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的 是 .(写出所有正确条件的编号)

① a = ?3,b = ?3;② a = ?3,b = 2;③ a = ?3,b > 2;④ a = 0,b = 2;⑤ a = 1, b = 2.

答案
第一部分 1. C 6. C 2. A 7. A 3. D 8. C 4. B 9. D 5. D 10. D

11. D 12. A 13. D 14. A 15. A 16. D 17. C 18. D 19. B 20. D 21. A 22. A 23. A 24. A 25. B 26. A 27. B 28. C 29. D 30. A 31. A 32. C 33. A 34. C 35. D 36. B 37. D 38. D 39. A 40. C 41. C 42. C 43. C 44. D 45. A 46. B 47. A 48. D 49. B 50. D 51. B 52. C 53. B 54. A 55. A

56. D 57. A 58. A 59. D 60. D 61. A 62. D 63. D 64. B 65. D 66. A 67. C 68. A 69. C 70. B 71. A 72. A 73. C 74. C 第二部分 75. 76. 77.
5 4 1 e

, +∞

?∞, 2ln2 ? 2 ;
1 5 2 4

,

78. ?1.6 79. 80.
1 2

?1,11

81. 2 ; ?2 82. ①④ 83. 84.
10 3 π 4

;2

85. 1 86. ① 87. 89. 91.
1 4 2 3 2 3

88. 2 ; ?2 90. 1 92. ①③④⑤


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