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1.1 集合的概念与运算 练出高分(含答案解析)


§1.1 集合的概念与运算

A 组 专项基础训练

(时间:35 分钟,满分:57 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. (2012· 广东)设集合 U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则?UM 等于 A.U B.{1,3,5} C.{3,5,6} D.{2,4,6} 答案 C 解析

∵U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},∴?UM={3,5,6}. 2. (2011· 课标全国)已知集合 M={0,1,2,3,4}, N={1,3,5}, P=M∩N, 则 P 的子集共有( A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个 答案 B 解析 ∵M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},∴M∩N={1,3}. ∴M∩N 的子集共有 22=4 个. 3. (2012· 山东)已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4},则(?UA)∪B 为 ( A.{1,2,4} C.{0,2,4} 答案 C 解析 ∵?UA={0,4},B={2,4},∴(?UA)∪B={0,2,4}. 4. 已知集合 M={x| A.? C.{x|x>1} 答案 C x ≥0,x∈R},N={y|y=3x2+1,x∈R},则 M∩N 等于 x-1 B.{x|x≥1} D.{x|x≥1 或 x<0} ( ) B.{2,3,4} D.{0,2,3,4} ) ) ( )

? ?x≠1, x 解析 由 ≥0,得? x-1 ?x?x-1?≥0, ?

∴x>1 或 x≤0,∴M={x|x>1 或 x≤0},N={y|y≥1}, M∩N={x|x>1}. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. 已知集合 A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且 B?A,则 a=__________. 答案 -1 或 2 解析 由 a2-a+1=3,得 a=-1 或 a=2,经检验符合.由 a2-a+1=a,得 a=1,由 于集合中不能有相同元素,所以舍去.故 a=-1 或 2. 6. 已知集合 A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈Z},则 A∩B= _________. 答案 {(0,1),(-1,2)}

解析 A、B 都表示点集,A∩B 即是由 A 中在直线 x+y-1=0 上的所有点组成的集合, 代入验证即可. 7. (2012· 天津)已知集合 A={x∈R||x+2|<3},集合 B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且 A∩B= (-1,n),则 m=________,n=________. 答案 -1 1 解析 A={x|-5<x<1},因为 A∩B={x|-1<x<n}, B={x|(x-m)(x-2)<0},所以 m=-1,n=1. 三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)已知集合 A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}. (1)若 A∩B=[0,3],求实数 m 的值; (2)若 A??RB,求实数 m 的取值范围. 解 由已知得 A={x|-1≤x≤3},

B={x|m-2≤x≤m+2}.
?m-2=0, ? (1)∵A∩B=[0,3],∴? ?m+2≥3. ?

∴m=2.

(2)?RB={x|x<m-2 或 x>m+2},∵A??RB, ∴m-2>3 或 m+2<-1,即 m>5 或 m<-3. 9. (12 分)设符号@是数集 A 中的一种运算:如果对于任意的 x,y∈A,都有 x@y=xy∈A, 则称运算@对集合 A 是封闭的.设 A={x|x=m+ 2n,m、n∈Z},判断 A 对通常的实数 的乘法运算是否封闭? 解 设 x=m1+ 2n1, y=m2+ 2n2, 那么 xy=(m1+ 2n1)×(m2+ 2n2)=(m1n2+m2n1) 2 +m1m2+2n1n2.

令 m=m1m2+2n1n2,n=m1n2+m2n1,则 xy=m+ 2n, 由于 m1,n1,m2,n2∈R,所以 m,n∈R. 故 A 对通常的实数的乘法运算是封闭的.

B 组 专项能力提升

(时间:25 分钟,满分:43 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. (2012· 湖北)已知集合 A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件 A?C?B 的集合 C 的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 答案 D 解析 用列举法表示集合 A,B,根据集合关系求出集合 C 的个数. 由 x2-3x+2=0 得 x=1 或 x=2,∴A={1,2}. 由题意知 B={1,2,3,4},∴满足条件的 C 可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}. 2. (2011· 安徽)设集合 A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8},则满足 S?A 且 S∩B≠?的集合 S 的个数是 A.57 B.56 C.49 D.8 答案 B 解析 由 S?A 知 S 是 A 的子集,又∵A={1,2,3,4,5,6},∴满足条件 S?A 的 S 共有 26 =64(种)可能.又∵S∩B≠?,B={4,5,6,7,8},∴S 中必含 4,5,6 中至少一个元素,而在 满足 S?A 的所有子集 S 中,不含 4,5,6 的子集共有 23=8(种),∴满足题意的集合 S 的可 能个数为 64-8=56. 1 3. (2011· 湖北)已知 U={y|y=log2x,x>1},P={y|y= ,x>2},则?UP 等于 x 1 ? A.? ?2,+∞? C.(0,+∞) 答案 A 解析 ∵U={y|y=log2x,x>1}={y|y>0}, 1 1 P={y|y= ,x>2}={y|0<y< }, x 2 1 1 ,+∞?. ∴?UP={y|y≥ }=? ? 2 ?2 1? B.? ?0,2? 1 ? D.(-∞,0]∪? ?2,+∞? ( ) ( ) ( )

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4. (2012· 陕西改编)集合 M={x|lg x>0},N={x|x2≤4},则 M∩N=____________. 答案 (1,2]

解析 M={x|lg x>0}={x|x>1}, N={x|x2≤4}={x|-2≤x≤2}, ∴M∩N={x|x>1}∩{x|-2≤x≤2}={x|1<x≤2}. y-3 5. 已知 M={(x,y)| =a+1},N={(x,y)|(a2-1)x+(a-1)y=15},若 M∩N=?,则 a x-2 的值为____________. 5 答案 1,-1, ,-4 2 解析 集合 M 表示挖去点(2,3)的直线, 集合 N 表示一条直线, 因此由 M∩N=?知, 点(2,3) 5 在集合 N 所表示的直线上或两直线平行,由此求得 a 的值为 1,-1, ,-4. 2 6. 设 A={x||x|≤3},B={y|y=-x2+t},若 A∩B=?,则实数 t 的取值范围是__________. 答案 (-∞,-3)

解析 A={x|-3≤x≤3},B={y|y≤t}, 由 A∩B=?知,t<-3. 三、解答题 1 5 7. (13 分)已知集合 A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y= x2-x+ ,0≤x≤3}. 2 2 (1)若 A∩B=?,求 a 的取值范围; (2)当 a 取使不等式 x2+1≥ax 恒成立的 a 的最小值时,求(?RA)∩B. 解 A={y|y<a 或 y>a2+1},B={y|2≤y≤4}.
?a2+1≥4, ? (1)当 A∩B=?时,? ? ?a≤2,

∴ 3≤a≤2 或 a≤- 3. (2)由 x2+1≥ax,得 x2-ax+1≥0, 依题意 Δ=a2-4≤0,∴-2≤a≤2. ∴a 的最小值为-2. 当 a=-2 时,A={y|y<-2 或 y>5}. ∴?RA={y|-2≤y≤5},∴(?RA)∩B={y|2≤y≤4}.


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