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1.6三角函数模型的简单应用


1.6三角函数模型的简单应用

姓名:李娜 单位:102中学

例1.如图,某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数

y ? A sin(? x ? ? ) ? b.

(1)求这一天的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式. 解:(1)观察图象可知,这段时间的 最大温差是2

0? C。 (2)从图中可以看出,从6时到14时的 图象是函数y=Asin(ωx+φ) +b的半个周 期的图象,所以 A ? 1 (30 ? 10) ? 10, b ? 1 (30 ? 10) ? 20,

1 2? ? ? ? 14 ? 6 2 ?

2

?? ?

?

2

8

因为点(6,10)是五点法作图中的第四点,故

3? 3? ?6 ?? ? , 解得? ? 2 4 8 ? x ? 3? ) ? 20,x ? [6,14] 故,所求函数解析式为 y ? 10sin( 8 4

?

例2.海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮,一 般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航 道,靠近船坞;卸货后,在落潮时返回海洋,下面是某港口在某 季节每天的时间与水深的关系表:

时刻

水深(米)

时刻

水深(米)

时刻

水深(米)

0:00 3:00 6:00

5.0 7.5 5.0

9:00 12:00 15:00

2.5 5.0 7.5

18:00 21:00 24:00

5.0 2.5 5.0

(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关
系,并给出整点时的水深的近似数值。(精确到0. 1)

(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为 4米,安全 条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该

船何时能进入港口?在港口能呆多久?
(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00

开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什
么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?

课堂练习;如图是某简谐运动的图象.试根据图象回答下列问题: (1)这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少?

(2)从O点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一次往复
运动?如从A点算起呢? (3)写出这个简谐运动的函数表达式. 解:(1) 振幅为2 cm;周期为0.8 s;频率为 (2)如果从O点算起,到曲线上的D点,表示 完成了一次往复运动;如果从A点算起,则 到曲线上的E点,表示完成了一次往复运 动. (3)设这个简谐运动的函数表达式为 y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞), ? 那么A=2;由=0.8,得ω= 52 ;由图象知初相φ=0. 于是所求函数表达式是y=2sinx,x∈[0,+∞).

5 4

作业;
1. 电视台的不同栏目播出的时间周期是不同的, 有的每天播出,有的隔天播出,有的一个星 期播出一次。请查阅当地的电视节目预告, 统计不同栏目的播出周期。
2. 请调查你所在区的每天的用电情况,制定一 项合理的电价方案。 3. 一个城市所在的经度和纬度是如何影响日出 和日落的时间的?收集其他有关数据,并提 供理论证据支持你的结论。

圣米切尔山的涨潮

圣米切尔山的落潮

解: (1)以时间为横坐标,水深为纵坐标, 在直角坐标系中画出散点图,根据图象, 可以考虑用函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? h 来刻画水深与时间之间的对应关系. 从数据和图象可以得出: A=2.5,h=5,T=12, ? =0; ? 由 T ? 2? ? 12 ,得 ? ? . 6 ? 所以,这个港口的水深与时间的关系可以近似描述为:

y ? 2.5sin

?

由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值:

6

x?5

解: (2)货船需要的安全水深 为 4+1.5=5.5 (米),所以 当y≥5.5时就可以进港. 令 2.5sin ? x ? 5 ? 5.5 6 化简得 sin ? x ? 0.2 6 由计算器计算可得 ? x ? 0.2014, 或? ? ? x ? 0.2014 6 6 解得 xA ? 0.3848, xB ? 5.6152
因为 x ?[0, 24],所以有函数周期性易得 xC ? 12 ? 0.3848 ? 12.3848,
xD ? 12 ? 5.6152 ? 17.6152.

因此,货船可以在凌晨零时30分左右进港,早晨5时30分左右出 港;或在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港,每次 可以在港口停留5小时左右。

解:
(3)设在时刻x船舶的安全水深为y, 那么y=5.5-0.3(x-2) (x≥2),在同一坐标 系内作出这两个函数的图象,可以看 到在6时到7时之间两个函数图象有一 个交点. 通过计算可得在6时的水深约为5米,此时船舶的安全水深约为 4.3米;6.5时的水深约为4.2米,此时船舶的安全水深约为4.1米; 7时的水深约为3.8米,而船舶的安全水深约为4米,因此为了安 全,船舶最好在6.5时之前停止卸货,将船舶驶向较深的水域。


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