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平面向量高三复习课


平面向量

知识点一:平面向量的概念
1.定义:既有大小又有方向的量叫向量.(如力、速度、位移等)
平面上带有指向的线段叫做平面向量,线段的指向就是平面向量的方 向, 线段的长度表示平面向量的大小,有向线段的起点叫做平面向量的起点,有向线 段的终点叫做平面向量的终点,例如:记为AB,或用小写的黑体英文字母表示, 手写时在字母上边加箭头,a

2、向量的模:向量的大小叫做向量的模,记为(

? a

? |a |



模为零的向量叫做零向量,记做
单位向量:模为一的向量。

,注意:零向量的方向是不确定的。

共线向量:方向相同或相反的两个非零向量又叫互相平行的向量,记做



)规定:零向量与任何一个向量平行。

相等向量:模相等并且方向相同。 负向量:模相等方向相反的向量。

知识点二:平面向量的线性运算
平面向量的加法:三角形法则

平行四边形法则
向量的加法性质 平面向量的减法:起点相同的两个向量

平面向量的数乘运算:定义
方向 非零向量平行的条件

注意:0a=0

向量数乘运算法则:(1) (2) (3) (4)

向量的线性表示:画平行四边形引出(线性组合)

知识点三、平面向量的坐标表示
1、平面向量的坐标表示:起点在原点和不在原点

? ? ? a ? xi ? yj

2、向量线性运算的坐标表示:加法、减法和数乘运算

3、共线向量的坐标表示:对于非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则

a∥b

知识点四:平面向量的内积(数量积)
1、平面向量的内积:

2、内积的坐标表示:

T F T F F F

数量积

1.向量夹角概念
?

已知两个非零向量a 与b, 作OA ? a ,OB ? b, 则?AOB ? θ ?0 ? θ ? π ?叫a 与b 的夹角。
B
? ? ? ? ? ?

?

(1) 当a 与b同向时, θ ? 0;
(2) 当a 与b 反向时, θ ? π; ? ? ? ? π (3) 当a与b 垂直时,θ ? , 记a ? b ; 2 (4)研究两向量夹角,必须同一起点。
? ?

?

?

?

O

A

2.数量积的定义:
? ? ? ? ?

已知两个非零向量a 与b,其夹角θ,则数量 a ? b ? cos θ叫a 与b 的数量积,记作a ? b,
? ? ? ?
? ?

?

即 a ? b ? a ? b ? cos θ( 0 ? θ ? π))
规定:零向量与任一向量的数量积为0,即0· a=0

a?b ? b?a

a ? b ? a ? b ? cos θ

b ? a ? b ? a cos θ

说明:
1.两向量数量积是数量,而不是向量. 2.此处“· ”非乘号,不可省,也不可用“×”代 替

3 . a ? 0 时,a ? b ? 0 ? b ? 0
? ? ? ? 4.a ? b ? 0 ? a ? 0或b ? 0

2.数量积的几何意义:
数量积 a ? b等于 : a的长度 a 与b在a的方向上的射影 b cos θ的乘积.

三.数量积的主要性质:
设a , b是两个非零向量, e是与 b相同方向的单位向量, θ是a与e的夹角,则

(1) e ? a ? a ? e ?| a | cosθ

(2) a ? b ? a ? b ? 0
(向量垂直的充要条件)

( 3 ).当 a与b 同向时,a ? b ? a ? b ; 当 a与b 反向时,a ? b ? ? a ? b
特别: a ? a ? a 或a ? a ? a
2

?4?.cosθ ?

a?b a?b

.

?5?. a ? b ? a ? b

数量积的坐标公式:

? ? ? ? ? ? 推导: ? a ? x1i ? y1 j , b ? x2 i ? y2 j

? ? i ?i ?

1

? ? j? j ? 1

? ? ? ? i ? j ? j ?i ? 0

? ? ? ? ? ? ? a ? b ? ( x1i ? y1 j ) ? ( x2 i ? y2 j ) ?2 ? ? ? ? ?2 ? x1 x2 i ? x1 y2 i ? j ? x2 y1i ? j ? y1 y2 j ? x1 x2 ? y1 y2

两个向量的数量积等于 它们对应坐标的乘积的和

a ? b ? x1 x2 ? y1 y2

两个向量的数量积等于 它们对应坐标的乘积的和

a ? b ? x1 x2 ? y1 y2

角度、垂直的坐标表示

计算向量的夹角

(1)设a ? ? x1 , y1 ?, b ? ? x2 , y2 ?, 则cos ? ? x1 x 2 ? y1 y2 x ?y ? x ?y
2 1 2 1 2 2 2 2

判定两向量垂直
( 2)设非零向量a ? ? x1 , y1 ?, b ? ? x2 , y2 ?, 则a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

1.判断下列命题是否正确 ? ? ? ? (1) | a ? b |?| a | ? | b | ( 2)若a ? b ? 0,则a ? 0 或 b ? 0 ;
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

( 3)若| a ? b |? 0,则| a | ? 0 或| b | ? 0 ; (4) a // b ? a ? b ? | a |? | b |

(5)若e1 和 e2 都是单位向量, 则e1 ? e2 ? 1; (6)(a ? b ) ? c ? a ? ( b ? c ) ? ? ? ? ? ? (7)a ? b ? b ? c ? a ? c
? ? ? ? ? ? ? ?

?

?

? ? a?b 9. 向量的数量积 ? ? ? ? (1)形:a ? b ?| a | ? | b | cos? ? ? (?是a与b 的夹角, 0?? ??)

几何意义:一个向量的 长度乘以另一个向量 在其上的射影

? b
? | b | cos?

?

? a

? ? ( 2)数:设a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ? ? 则a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

? ? ? ? ? ? ? a ? (b ? c ) 注意: 1) (a ? b ) ? c ? ? ? ? ? ? ? ? a?c 2) a ? b ? b ? c ? ? ? ? ? ?a ? 0且b ? 0 ?? ? ? ? ? ? ? ? ?b ? 0且a ? 0 3) a ? b ? 0 ? ? ? ? ? ? ?a ? 0且b ? 0 ?? ? ? ?a ? b

? ? 规定: 0?a ? 0 运算律: ? ? ? ? ? ? (?a ) ? b ? a ? (?b ) ? ? (a ? b ) ? ? ? ? ? ? ? (a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c

运算

线段的定比分点 P1 P P2 内分点 ? >0

P1

P2

P

P

P1

P2

? 外分点 ? ? ? ?<0 ? ? ?

P1

P

P2

l

设P1 P ? ? PP2 ,且点P1、P、P2的坐标 分别为 ( x1 , y1 )、 ( x , y )、 ( x2 , y2 ) P1 P ? ( x ? x1 , y ? y1 ),PP2 ? ( x 2 ? x , y2 ? y ) ? P1 P ? ? PP2 ? ( x ? x1 , y ? y1 ) ? ? ( x 2 ? x , y2 ? y ) ? x ? x1 ? ? ( x 2 ? x ) ?? ? y ? y1 ? ? ( y2 ? y )

定比分点坐标公式 ? x ? ? ? ? ? y ? ? ? x1 ? ? x 2 1? ? y1 ? ? y2 1? ?

x ? x1 y ? y1 且? ? ? x2 ? x y2 ? y

设中点P ( x , y ),

P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )

中点坐标公式 x1 ? x2 ? x ? ? 2 ? ? ? y ? y1 ? y2 ? 2 ?

P1

P

P2

l

O

若P分有向线段 P1 P2所成的比为 ? OP1 ? ? OP2 则OP ? 1? ?

P1

P

P2

l

O

若P1、P、P2共线 则有OP ? ? OP1 ? ? OP2 且? ? ? ? 1

设P ( x , y ), P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y2 ) 定比分点坐标公式 ? x ? ? ? ? ?y ? ? ? x1 ? ?x 2 1? ? y1 ? ?y2 1? ?

设中点P ( x , y ),

P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )

中点坐标公式 x1 ? x2 ? x ? ? 2 ? ? ? y ? y1 ? y2 ? 2 ?

11. 两点间距离公式: 设A( x1 , y1 ), B( x 2 , y2 ) 则AB ? ( x 2 ? x1 , y2 ? y1 ) | AB |? ( x 2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )
2 2

12.平移

P P ? ? ( h, k ) OP ? ? ( x ? , y ? ) OP ? ( x , y )

? a
P(x,y) P'(x',y')

OP ? ? OP ? PP ?? ( x?, y?) ? ( x, y ) ? (h, k )

? x ? x ? h ? ? ?? ? ? y? ? y ? k

三角形内角平分线定理

A

?BAD ? ?CAD
B D C

?

| BD | | CD |

?

| AB | | AC |

得 为





的 能

x1 x2


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