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几何画板辅助高中数学教学


几何画板辅助高中数学教学
浙江省金华市江南中学 朱胜泉

【摘要】“几何画板”是一个动态讨论和研究数学问题的工具,它可以模拟知识的发生过程,可以设计成一 种实验课。在数学学科中,利用“几何画板”辅助教学往往能起到事半功倍的效果。因此“几何画板”对发展 学生的思维能力,培养学生的创新精神、探索能力起着不可忽视的作用。 【关键词】几何画板 高中数学 辅助教学

几何画板为数学教学提供了现代化的手段。 它能使几何图形产生动态的变化, 以揭示图形内在的联系, 创设情境使学生“看到”某些概念的形成过程, 把抽象概念形象化, 从而有利于学生的理解, 提高教学效果。 几何画板是数形结合方法的有效平台。 它还是一个动态讨论和研究数学问题的工具, 对发展学生的思维能 力, 创新能力有着不可忽视的作用。 越来越多的教师和学生已经感觉到了几何画板给中学数学带来了一些 变化。 1.应用“几何画板”使不容易讲清的数学概念讲清楚 几何画板是一个教学工具, 给数学教学提供了现代化的教学手段。 以往不容易讲清楚的教学概念适当 使用几何画板,可能容易使学生理解,从而提高了教学效果。 解析几何中有些概念容易混淆,需要辨析。 椭圆的离心角(下图以 OA 为终边的角)与旋转角(椭圆的半径与 x 轴的正半轴所成的角)是学生容易混 淆的两个概念。几何画板能动态地显示这两角的关系。如下图,当您缓慢拖动主动点 A 绕着点 O 转动时, 左上角显示出这两个角的大小都在改变。可以十分清楚地看出:在第一象限时,θ >∠XOM;当 A 拖动 到 y 轴的正向时,θ =∠XOM=90o;继续拖动θ <∠XOM(A 在第二象限);当 A 拖动到 y 轴的负向时,θ = ∠XOM=180o;不必继续,一个高二的学生自然知道:θ 与∠XOM 有四次“相等”,其他都不等;可以用 椭圆离心角的范围来表示椭圆弧。

y
θ= 50?度 ∠ X O M = 37?度 A B M

2.用几何画板创设情境,形成概念 数学概念是事物在数量关系和空间形式方面的本质属性, 是通过一定量具体的实际例子, 对所发现的 属性进行抽象概括而成的.利用几何画板提供给学生一些动态的感性材料,呈现事物形成、变化、发展的 全过程,凸现感知对象整体和各个局部以及它们之间的联系,便于学生形成清晰的表象,揭示感知对象的 本质特征。 例 1:教师利用在课前制作好的几何画板画出的

y ? a x 的图象。给学生观察下图:

然后拖动点 A ,改变点 A 的横坐标的大小也就是改变参数 a 的大小,这时图象跟着变化起来。 (适

当请学生注意 a

? 1 时的图像正好是一条直线)

需要时,还可以选中函数图象,单击显示菜单的追踪对象(或者按 Ctrl+T )追踪它,然后再拖动 点 A, 观察随

a 的变化图象分布情况。

( a ? 1, y ? a ) 追踪图像
x

( 0 ? a ? 1, y ? a ) 追踪图像
x

让学生通过动态的变换效果,从中总结出一般性的结论,再通过相关的习题强化训练, 以进一步 在视觉上加深对结论的印象。这样,可以利用“几何画板”制作的课件进行拖拉演示,使学生通 过想象和“几何画板”制作课件的演示,使很难理解的东西形象化、具体化,从而培养学生的想 象能力。 利用几何画板画出函数图象,并利用跟踪功能感知、体会函数图象的形成过程,归纳函数图

象的定义。几何画板动态地展示了函数 实地看到函数的图象实质。

y ? a x ( a ? 0, 且a ? 1)的图象的形成过程,学生可以真

3.用几何画板改善认知环境;激发学生的学习兴趣,提高学习效率 计算机的交互性使学生有参与的机会,能调动学生的积极性和学习兴趣,使其学习起来轻松愉快。

例 2:我们在进行“三角函数线”的教学时这样操作(如图 1): 首先要求学生测算出∠XOP 的正弦、余弦、正切、余切函数值,接着再测算出点 P、M、T、S 的坐 标,并将这些数据动态地展现在屏幕上。 其次拖动点 P(也可拖动点 A),让学生观察。此时学生即可发现:无论怎样改变点 P 的位置,yP、xM、 yT、xS 均分别等于∠XOP 的正弦、余弦、正切、函数值。 这样为培养学生的观察、想象、归纳等能力创设了极好的“情景” ,改善了认知环境,增强了教学的 自主性和学生的参与性。 4.应用几何画板变静态为动态 应用《几何画板》将图形动起来,就可以使图形中各元素之间的位置关系和度量关系惟妙惟肖,使学

生从各个不同的角度去观察图形。这样,不仅可以帮助学生理解和接受立体几何知识,还可以让学生的想 象力和创造力得到充分发挥。 在讲二面角的定义时(如图 2) ,当拖动 面也随之转动, 即改变二面角的大小, 图形的 利于帮助学生建立空间观念和空间想象力。 在讲棱台的概念时,可以演示由棱锥分 3) ,更可以让棱锥和棱台都转动起来,使学
图2

A

A

点 A 时, 点 A 所在的半平 直观地变动有

割成棱台的过程(如图 生在直观掌握棱台的定

义, 并通过棱台与棱锥的 关系由棱锥的性质得出 棱台的性质的同时, 让学 生欣赏到数学的美, 激发
? ?3

? ?4

学生学习数学的兴趣。

在讲锥体的体积时,可以演示将三棱柱分割成三个体积相等的三棱锥的过程(如图 4) ,既避免了学 生空洞的想象而难以理解,又锻炼了学生用分割几何体的方法解决问题的能力。 在用祖暅原理推导球的体积时,运用动画和轨迹功能作图 5,当拖动点 O 时,平行于桌面的平面截球 和柱锥所得截面也相应地变动, 直观美丽的画面在学生学得知识的同时, 给人以美的感受, 创建一个轻松、 乐学的氛围。

5.应用几何画板开展“数形结合” ,变抽象为形象

O

? ?5

数学家华罗庚说过: “数缺少形时少直觉,形缺少数时难入微” 。 “数形结合”是学习数学的重要方法, 用图形解释抽象的数学现象形象、直观。 在数学的学习过程中,有些知识太抽象,使学生只记住一些理论、符号、公式,而对具体事实及事物 的本质特征没有完全感知,使感性与理性脱节。 数学的抽象性往往是困扰学生学习数学的一大障碍, 如何变抽象为形象, 也一直是数学学科与信息技 术整合的主要内容之一。几何画板强大的计算、作图功能以及个人电脑屏幕的的大尺寸、高分辨率为一些 抽象的数学问题提供了直观验证的可能,成为帮助学生克服数学学习抽象性的有力工具。 例 3:2006 年浦东新区高考模拟卷(理)最后一题第(3)题:当 0 ? a ? 1 时,就函数 y ? a x 与 y ? loga x 的图像的交点情况提出你的问题,并加以解决。 (说明:①函数 f ( x) ? x ln x 有如下性质:在区间 (0, ] 上单调递减,在区间 [ ,1) 上单调递增.解题过 程中可以利用;②将根据提出和解决问题的不同层次区别给分。)
1 e 1 e

本题的结论是:当 a ? (0, e?e ) 时,函数 y ? a x 与 y ? loga x 的图像有 3 个交点;当 a ?[e?e ,1) 时,函数 y ? a x 与
y ? loga x 的图像有 1 个交点(具体解答从略)但在课后,虽然学生承认结论的成立,但很多学生还是表现

出难以信服的表情。有的同学虽然借助计算器计算有关数据得到了一定的直观论证,但始终难以将 迫切地吵着要我画出直观图。 究其原 a ? (0, e?e ) 时函数 y ? a x 与 y ? loga x 的图像的 3 个交点直观的画出来, 因,主要是手工画图误差较大,即使 TI 图形计算器,由于分辨率不高也不能达到很好的展示效果。 为此,笔者借助几何画板自制课件: ①先作出点 (e? e , 0) 供参照; ②作连接原点和单位点的线段,在此线段上任取一点 E,计算 E 点横坐标 xE; ③利用“图表”菜单“绘制函数”功能画出函数 f ( x) ? ( xE ) x 和 g ( x) ? log xE x 的图像; ④拖动点 E 控制两个函数的底 xE 在 ? 0,1? 内递减变化。 直观地演示了当

xE ? (e?e ,1) 时的 1 个交点
(如图 6) 、 到当 xE ? e?e 时 的一个切点(如图 7) 、直 到 xE ? (0, e?e ) 时的 3 个交 点(如图 8)的整个过程,
图6 图7 图8

有效地验证了用数学方法 解得的结论,同学们都露

出了恍然大悟的微笑。 6.用几何画板能够揭示知识之间的内在联系

静态的图形、图像使原本相互联系的关系可能割裂开来,不易揭示知识之间的内在联系,可能使学生 只注意事物的局部而忽视整体,通过几何画板的演示可以克服这一缺陷。 例 4:在讲授函数 y=Asin(ωx+φ)+b 的图像时,要用几个课时的时间分别对 A、ω、φ、k 的不同取值 做出图象,然后再“观察”总结,没有动态的演示,没有更多的比较、更多的探索。y=Asin(ω x 十φ )

中的ω 变化时是一个曲线族。 一般的传统教学是取有限的几个ω 值, 在同一坐标系中分别作出它们的图像, 然后进行归纳。现在,利用《几何画板》(如图 2),只要学生用鼠标拖动 A、ω 、φ ,改变其中任意一个 值,就可以看到函数图像连续变化的过程。 7.应用几何画板启发学生思维能力 运用几何画板分辨实质,理解数学概念;突破难点,启发学生思维。对容易混淆的数学概念使用计算 机来认知、辨析就会变得更加清晰,有助于学生区分及正确认识和理解。

推证三棱锥的体积公式是高中立体几何的一个难点,没有实物、没有模型而凭空想象,是空间想象中 最难的一种,是最高的思维境界。在教学的时候,如果给出实物让学生去做实验,效果会好些;但如果仅 有实物,则只可观察外形,对于内部结构,以及如何用图形来表示等问题都不是很容易解决的。 利用几何画板就可以给学生找出解决问题的有效途径(如图 3),只要双击[展开]、[复原]等按扭,或者 拖动控点就能改变三棱柱的外形,以及对图形进行分割、拼凑,既形象又直观。在这一过程中,三棱锥与 三棱柱的关系被几何画板淋漓尽致地动态演示出来了。给学生以非常直观的印象,达到了过目不忘、记忆

深刻的效果,既帮助学生进行正确的理解,也启发了学生的思维。 例 5:已知点 A(-3,4)、B(3,2),过点 P(2,-1)的直线 l 与线段 AB 有公共点。求直线 l 的斜率 k 和倾 斜角α 的范围。 学生知道:直线 l 应当夹在直线 PA 与直线 PB 之间,因而需要先求得直线 PA 与直线 PB 的斜率和倾 斜角分别为 kPA=-1、kPB=3,α
PA=

3? 、α 4

PB=arctan3

然后写出答案:arctan3≤α l≤ 3? ,-1≤kl≤3 4

或者 3≤kl≤-1(这是错误的!)。并且他们总是想不通为什么正确答案是 kl≤-1 或者 kl≥3。 原因是他们总是这样理解的:因为直线 l 是连续运动的,所以它的倾斜角和斜率也都应当是连续变化

的。

为了说明这个问题,我们运用了几何画板: 让学生动手操作并认真观察,就能发现:当直线的倾斜角为 90°时,直线的斜率是不存在的,所以 尽管倾斜角在连续改变, 但其斜率并不是连续变化的。 这样既消除了疑惑, 又加深、 加快了对知识的理解, 提高了学习的效率。 8.应用几何画板参与课堂教学,创新教学模式 “一支粉笔写天下,三尺讲台说春秋”是以教师为中心的传统课堂教学模式。这种教学模式能够充分 地体现出教学中教的特性,有利于系统知识的传授,但它的不足是没有充分发挥学生的主动性,不利于学 生智能的发展和创造性思维能力的培养。学生不能根据自己的兴趣、爱好、能力和程度来选取信息、选择

学习途径、确定学习内容和数量并随时调整自己的学习过程。 另一种是师生合作的学习模式。教师的作用在于组织、引导、点拔;学生要通过自己的活动,通过观 察、实验、归纳、抽象概括等手段,提出假设、检验假设、获取知识。它充分发挥了教师的主导作用,也 体现了学生的主体地位。 运用几何画板进行教学就能充分体现出师与生以及生与生的合作和交流。 同时, 也进一步融洽了师生关系。 利用几何画板进行教学时, 教师与学生之间的关系发生了变化: 在网络上活动的教师和学生一起成了 学习者。 在几何画板中学习的学生把教师看成学习过程的参与者, 而不仅仅是指导者。 学生在这种环境中对教 师的惧怕心理消失了,主观能动性得到了发挥,他们不仅可以与同学进行学习交流,同时也可以同老师探 讨问题,从而形成了交互学习的氛围。 9.应用几何画板给学习困难的学生提供反复学习的机会 在传统的课堂教学中, 教师很难突破时间和空间的限制来组织教学。 由于学生在知识背景、 学习方法、 接受能力等多方面的差异,教师只能针对大多数学生所能理解的水平来讲课,学习好的学生“吃不饱”, 学习差的学生“吃不了”,问题也不能及时地反馈,影响了教学效果,课堂学习的个别化几乎无法实现。 为了改变这种状况,在教学《指数函数的图象与性质》时,利用自制课件在学校多媒体网络教室进行 教学(例 1)。我首先要求学生对照教材进行自学,然后在课堂上让学生自行操作,随意改变底数 a 的取值, 并观察图象的变化情况,最后归纳出指数函数的性质。这样,学生在教师的指导下自行选择学习的方式、 学习顺序和学习进度,真正实现了个别化教学。 10.应用几何画板做“数学实验”,开展数学研究 例 6:直线 GE 是过平面任意一点 G 和椭圆上任意一点 E,求作直线和椭圆的交点 F,在几何画板中, 不能直接找出直线和椭圆的交点,这里通过几何的思路找出直线和椭圆交点的一般方法。

几何构造: (1)思路分析 先请了解一下椭圆弦的几何性质。 如图:EF 是椭圆的弦,其延长线交准线 于 Q,则 F1P 平分∠QF1E。 想一想:如果已知 P、E、F1,你能否作出 点 F? 于 P,FF1 的延长线交准线

如果您注意到点 F 是两条直线的交点,只要作 E 关于直线 QF1 的对称点 E ? ,则直线 PE 和直线 E ?F1 的交 点就是 F。我们就用这样的想法来构造直线与椭圆的交点。 (2)操作步骤: ①画椭圆 ; ②画直线 GE , E 为椭圆上一点; ③画椭圆的准线 ;度量点 A 的横坐标,并把度量结果的标签分别改为 a=5.57;度量点 B 的纵坐标,并把 度量结果的标签分别改为 b=2.78;计算 a 2 ? b 2 并把度量结果的标签分别改为 c=4.82;再计算
a2 ,作出椭圆的左准线; c

④画直线 GE 与椭圆的另一交点 ;画线段 F1P,点 P 是直线 GE 和准线的交点→对点 E 作反射变换(线段 F1P)得到 E ? →画直线( E ? ,F1)→画交点 F(直线 GE,直线 E ? F1)

b = 2.78 a = 5.57 c = 4.82 a2 = 6.43 c

t1 = 0.00

8

6

4

B
2

F

-10

E'

-5

F1 E
-2

F2 5

A

10

P G

-4

-6

(3)拓展研究 利用这个图形,可以研究弦 EF 中点 G 的轨迹,作 E 点的动画并跟踪 D 点,得下图

拓展之二:线段 EF 上任一点的轨迹。 事实证明,《几何画板》在数学教学中的应用,能有效地激发学生的数学学习兴趣,使抽象、枯燥的

数学概念变得直观、形象,使学生从害怕、厌恶数学变成对数学喜爱并乐意学数学,进而通过做“数学实 验”去模拟、验证、探索??。 几何画板学习容易,操作简单,功能强大,是高中数学教育中很有用的辅助教学工具。它能 为数学教学提供一个理想的教学情景和认知环境,具有传统教学方法无法比拟的优势。使用几何 画板演示教学内容,能增强教学的直观性,使课堂教学更加形象和生动。能将抽象的数学定理、空间 图形、变化关系通过具体的感性的信息表现出来,不仅能给学生留下深刻的印象,还可以使学生 更有实感的去把握和理解。几何画板与高中数学教学的结合是可行的,也符合新课改的 要求,是 时代发展的需要。 需要注意的是,几何画板只是教学活动中一种提高教学效率、提高教育质量的辅助工具 , 不是 最终的目的。教师在使用几何画板开展数学教学的过程中,要努力做到 适时、 适度、 适当,使它能 在教学上发挥最大的功能和作用。 【参考文献】 1.陶维林,一次“研究性课题”的实践与思考,《数学通报》2001 年 11 期。 2.《上海市普通中小学课程方案》(试行稿),上海教育出版社,2004 年 10 月第一版。 3.教育部《基础教育课程改革纲要》(试行),《中国教育报》,2001 年 7 月 27 日第 2 版。


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