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第四章 解析几何与向量代数


《 高等数学》练习(下)

高等数学练习题 系 一.选择题

第四章

空间解析几何与向量代数 学号

专业 班 姓名 4.1 向量及其线性运算(1)

1. 定点 A(2,?3,?1) 与 B(2,3,?1) 对称的坐标面为 (A) xOy 坐标面 (B) yOz 坐标面 (C) zOx 坐标面

[ C (D) y 轴对称 [ B

]

2.两点 A(1,2,2) 与 B(?1,0,1) 的距离为 (A)1 (B)3 (C)13 (D)4 3. 非零向量 a 和 b , 若满足| a –b |=| a| + |b| , 则 (A)a , b 方向相同 (B)a , b 互相垂直 (C)a , b 方向相反 (D)a , b 平行 4. 已知向量 a = {3,5,?1} , b ={2 ,2 ,3 },则 2a –3b 为 (A){ 11,12,0 } 二.填空题: 1.求出点 A(4,?3,5) 到坐标 y 轴的距离为 41 (B){ 3,12,16 } (C){ 0,4,?11 } (D){ 4,14,11 }

]

[ C

]

[ C

]

2.一个向量的终点在点 B(2,?1,7) 它在坐标轴上的投影顺次是 4, ? 4 和 7,这个向量的起 点 A 的坐标为 (?2, 3, 0) 三.解下列各题: 1.求向量 a = M 1 M 2 的模、方向余弦和方向角。已知 M1( 4, 2 ,1 ) , M2(3 ,0 ,2 )。 解 :

a ? M 1 M 2 ? OM 2 ? OM1 ? (?1, ? 2 ,1)

? M1 M 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2

cos ? ?

y 2 x 1 z 1 ? ? , cos ? ? ? ?? , cos ? ? a 2 a 2 a 2
2? , 3
?

所以方向角为 ? ?
? ?

??

3? , 4

? ?

?
3

2.求向量 a = 2 i ? 3 j ? 5 k 的模,并用单位向量 ao 表达向量 a 。 解: a ?

22 ? (?3)2 ? 52 ? 38

? a ? 38a 0

3.设向量 r 的模是 4,它与轴 u 的夹角是 60o, 求 r 在轴 u 上的投影。
1

《 高等数学》练习(下)

解:

1 (r )u ? r ? cos ? ? 4 ?? ? 2 2

所以 r 在轴 u 上的投影为 2。 4.证明以三点 A(4 ,1 ,9) , B(10 , ? 1 ,6) ,C(2 ,4 ,3) 为顶点的三角形是等腰直角三角形 解:

AB ? OB ? OA ? (6, ? 2, ? 3) AC ? OC ? OA ? (?2, 3, ? 6) BC ? OC ? OB ? (?8, 5, ? 3)
? AB ? AC ? 36 ? 4 ? 9 ? 7, BC ? 64 ? 25 ? 9 ? 7 2 ? 2 AB
所以以三点 A(4 ,1 ,9) , B(10 , ? 1 ,6) ,C(2 ,4 ,3) 为顶点的三角形是等腰直角三角形 高等数学练习题 系 第四章 空间解析几何与向量代数 学号

专业 班 姓名 4.1 数量积 向量积 (2)
?
?

一.选择题 1. 判断向量 a = 3 i ? 2 j ? k 和 b = 2 i ? 3 j 位置是 (A)平行
? ? ? ?

?

?

?

?

[ B (D)以上都不是。 [ B (D)29

]

(B)垂直
? ? ?

(C) 相交

2.已知 OA ? i ? 3 k ,OB ? j ? 3 k ,则△OAB 的面积为 (A) 19 二.填空题 1.设 a =(5,8,0) , b =(6, ? 3 ,2) ,则 3 a . 5 b =
?

]

(B)

1 19 2

(C)

19

?

?

?

?

90
? ? ?

2.已知向量 a = 2 i ? 3 j ? k , b = i ? j ? 3 k ,则 a ×b = ? 8 i ? 5 j ? k 三.计算下列各题 1.求向量 b = i ? j ? 3 k 与 c = i ? 2 j 夹角的余弦。. 解: 设向量 b 与 c 的夹角为 ? ,则
? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

cos ??
?

b?c b?c
?

?
?

3 55
? ?

所以向量 b = i ? j ? 3 k 与 c = i ? 2 j 夹角的余弦为

?

?

3 55

2

《 高等数学》练习(下)

2、求向量 OA ? 4 i ? 3 j ? 4 k 在向量 OB ? 2 i ? 2 j ? k 上的投影。 解:设 OA 与 OB 的夹角为 ? , 所以

?

?

?

?

?

?

Pr jOB OA ? OA cos ? = OA ?

OA ? OB OA ? OB

=
?

OA ? OB OB

=

6 ?2 3
? ? ?

3.设 a = (x,y,z) 问当 x,y,z 取何值时, a 与 b =(2,0,5)平行;取何值时 a 与
?

c =(3,0,0)平行。
若要 a 与 b 平行,只要 a ? b ? x
? ?

i 2

j y 0

k z ? (5 y , 2 z ? 5 x , ? 2 y ) ? 0 5

解:

所以 当 z ?

? ? 5 x , y ? 0, x ? R 时,向量 a 与 b 平行。 2 ? ?

i 3
? ?

j y 0

k z ? (0, 3 z , ? 3 y ) ? 0 0

同理,若要 a 与 c 平行,只要 a ? c ? x

所以 当 z ? y ? 0, x ? R 时,向量 a 与 c 平行 4.已知 M1 (1, -1, 2 ) , M2 (3, 3, 1 ) 和 M3(3, 1, 3) ,求与 M 1 M 2 、 M 2 M 3 同时垂直的 单位向量。 解一:设该单位向量 a 为(x,y,z)

M1 M 2 ? OM2 ? OM1 ? (2, 4, ? 1)
?a ? M 1 M 2 ? 2 x ? 4 y ? z ? 0 ? ? 由题意知, ?a ? M 2 M 3 ? ?2 y ? 2 z ? 0 ? 2 x ? y2 ? z2 ? 1 ? ?

M 2 M 3 ? OM3 ? OM2 ? (0, ? 2, 2)
? ?x ? ? ? 得?y ? ? ? ? ?z ? ? ? 3 17 2 17 2 17

3

《 高等数学》练习(下)

所以与 M 1 M 2 、 M 2 M 3 同时垂直的单位向量为 ? ( 解二:设 a 与 M 1 M 2 、 M 2 M 3 同时垂直的向量。

?3 17

,

2 17

,

2 17

)

i
则 a ? M1 M 2 ? M 2 M 3 ? 2

j 4

k ?1 ? (6, ? 4, ? 4) , 2

0 ?2


a ? 3 6 ? 1 6? 1 6? 2 1 7
0

单位化: a ?

a 1 ?3 2 2 ? ( ?6,4,4) ? ( , , ) a 2 17 17 17 17
0

故 与 M 1 M 2 、 M 2 M 3 同时垂直的单位向量为 ? a ? ? (

?3 17

,

2 17

,

2 17

)

高等数学练习题 系 一.选择题 1. 方程 y ? z ? 24 x ? 8 ? 0 表示
2 2

第四章

空间解析几何与向量代数 学号

专业 班 姓名 4.2 空间曲面及其方程 (1)

[ D (C)锥面 (D)旋转抛物面 [ B (C)锥面 (C)垂直 y 轴 (D)旋转抛物面 [ D

]

(A)单叶双曲面
2 2 2

(B)双叶双曲面

2.方程 x ? y ? z ? 49 表示的曲面是 (A)单叶双曲面 (A)平行 xOz 坐标面 (B)球面 (B)平行 y 轴

]

3.平面 x ? 2 z 的位置是
(D)通过 y 轴

]

4.两平面 x ? y ? 2 z ? 6 ? 0 和 2 x ? y ? z ? 5 ? 0 的夹角是 (A)π (B)

[ C ]

? 2

(C)

? 3

(D)2π [ C ] (D)共面

5.两平面 2 x ? y ? z ? 0 和 x ? y ? z ? 0 的位置是 (A)平行 二.填空题
2 2

(B)相交
2

(C)垂直

1.方程 x ? y ? z ? 2 x ? 4 y ? 2 z ? 0 表示

球面

曲面。

4

《 高等数学》练习(下)

2. 设有点 A(1, 2, 3 ) 和 B(2,? 1 ,4), 则线段 AB 的垂直平分面的方程为 2 x ? 6 y ? 2z ? 7 。

x2 y2 3.方程 ? ? ? 1 表示的曲面是 4 9
双曲柱面,母线平行于 z 轴,准线为 xOy 面上的双曲线.

x2 y2 ? ? ?1 4 9

4.方程

x2 z2 ? ? 1 表示的曲面是 9 4 x2 z2 ? ?1 9 4

椭圆柱面,其母线平行于 y 轴,准线为 xOz 面上的椭圆
2

5. .将 xoz 坐标面上的抛物线 z ? 5 x 绕 x 轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程为

y2 ? z2 ? 5 x
6.过点(2, ? 5 ,3)且平行于 xOz 面的平面方程 y ? ?5 。 7.写出平面方程 x ? 2 y ? 3z ? 0 的法线向量: n ? (1,?2,3) 8.通过原点,且平行平面 4 x ? 3 y ? z ? 1 .的平面方程为 4 x ? 3 y ? z ? 0

9.求点(1, 2, 1)到平面 x ? 2 y ? 2 z ? 10 ? 0 距离

1



.

三.求下列各题 1. 设平面通过点(2,1,-1)且在 x 轴 y 轴截距分别为 2 和 1,求平面方程。 解:设所求平面为 + +

x 2

y 1

z ? 1 , 代入(2,1,-1)得 k=1 k

故所求平面方程为 x ? 2 y ? 2 z ? 2 ? 0 2.求平面方程过点(2,1,1)且其法矢量垂直于 a =(2,1,1)和 b =(3,-2,3) 。 解一:设所求平面方程为: A( x ? 2) ? B( y ? 1) ? C ( z ? 1) ? 0 ,则其法向量为 n ? ( A, B, C ) 根据题意
? ?

? ?n ? a ? 2 A ? B ? C ? 0 ? ? ? n ? b ? 3 A ? 2 B ? 3C ? 0

从而得 A ? ?

5 7 B, C ? B 3 3

所以所求平面方程为

5( x ? 2) ? 3( y ? 1) ? 7( z ? 1) ? 0

5

《 高等数学》练习(下)

解二:设所求平面的法向量为 n ? ( A, B, C ) ,

i 则 n ? a ?b ? 2

j 1

k 1 ? 5i ? 3 j ? 7 k

由点法式,

3 ?2 3
得所求的平面方程为

5 (x ? 2 ) ? 3y( ? 1? ) z7 ? (

1 ? )即 05 x ? 3 y ? 7 z ? 0

3.求通过点 (?3,1,?2) , (3,0,5) 且平行于 X 轴的平面方程。 解:根据题意可设所求平面方程法向量为 n ? (0, B, C ) 又平面过点 (?3,1,?2) ,所以可设平面方程为 B( y ? 1) ? C ( z ? 2) ? 0 又平面过点 ( 3,0,5) ,所以 ? B ? 7C ? 0 ,即 B ? 7C 所以所求平面方程为 7( y ? 1) ? z ? 2 ? 0 4.求二平面间的夹角: 4 x ? 2 y ? 4 z ? 7 ? 0 与 3x ? 4 y ? 0 . 解:平面 4 x ? 2 y ? 4 z ? 7 ? 0 的法向量为 n1 ? (4,2,4) 平面 3x ? 4 y ? 0 的法向量为 n2 ? ( 3,?4,0) 所以二平面间的夹角 ? 的余弦为 cos ? ? 高等数学练习题 系 一.选择题 1.曲面 x ? y ? z ? 9 与 x ? y ? 1 的交线在 xOz 面上的投影方程
2 2 2

12 ? 8 2 ? 30 15
空间解析几何与向量代数 学号

第四章

专业 班 姓名 4.2 空间直线及其方程(2)

[ B (D)两平行直线 [ A

]

(A) 椭圆柱面 2.直线 L: (A)平行 3.直线 L: (A)平行

(B)椭圆曲线

(C)两平行平面

x?3 y?4 z 与平面 ? : 4 x ? 2 y ? 2 z ? 3 的关系是 ? ? ?2 ?7 3
(B)垂直相交 (C)L 在 ? 上

]

(D)相交但不垂直 [ B (D)相交但不垂直 ]

x y z ? ? 和平面 3x ? 2 y ? 7 z ? 8 的关系是 3 ?2 7
(B)垂直相交 (C)L 在 ? 上

6

《 高等数学》练习(下)

4.设直线

x y z ,则该直线必定 ? ? 0 4 ?3 (A)过原点且垂直于 x 轴 (C)不过原点,但垂直于 x 轴

[ A (B)过原点且平行于 x 轴 (D)不过原点,且不平行于 x 轴

]

二.填空题 1.曲线 ?

?

x2 ? y2 ? 1 2 在 yOz 面上的投影曲线为 ( z ? 1) ? 2 y ? 1 ? 0 . 且 x = 0 2 2 2 (z ? 1) ? 1 ? x ? ( y ? 1) ?

? 3 2 cos t ?x ? 2 ? ? ?x 2 ? y 2 ? z 2 ? 9 3 2 cos t , t ? [0, 2? ] . 2.化曲线 ? 为参数方程 ? y ? 2 y?x ? ? ? z ? 3 sin t ? ?
3.球面 x ? y ? z ? 9 与 x ? y ? 1 的交线在 xOy 面上的投影方程为
2 2 2

?2 x 2 ? 2 x ? y 2 ? 8 ? ?z ? 0
4.过点 P(4、 ? 1 ,3)且平行于直线

x?2 z ?1 的直线方程为 ? 2y ? 3 5

x?4 z?3 ? 2( y ? 1) ? 3 5
5.过点(2,4, ? 1 )且平行于 S =(1,3,4)直线方程:为 x ? 2 ?
?

y?4 z ?1 ? 。 3 4

6 . 通 过 点 M (1,2,3) 且 与 直 线 l : x ? 2 ? 3t , y ? 2t , z ? ?1 ? t 垂 直 的 平 面 方 程 为

3 x ? 2 y ? z ? 10 ? 0 .
三.计算下列各题 1.求过点(1,1,1)且同时平行于平面 x ? y ? 2 z ? 1 ? 0 及 x ? y ? z ? 1 ? 0 的直线方程。 解:设所求直线的方向向量为 s ? ( m, n, p) ,则

? m ? n ? 2p ? 0 ? ?m ? n ? p ? 0



m ? ? n, p ? 0

7

《 高等数学》练习(下)

x ? 1 y ? 1 z-1 ? ? 1 ?1 0 x ?1 y ?1 z ? 3 2.试证直线 在平面 x ? y ? z ? 1 ? 0 上。 ? ? 1 1 ?2
所以所求直线方程为 证:由题意知,直线方向向量为 s ? (1,1, ?2) ,平面的法向量为 n ? (1,1,1) 直线与平面的法向量的夹角 ? 的余弦 cos ? ? 所以直线与平面平行; 又直线上一点(1,1,-3)满足平面方程 x ? y ? z ? 1 ? 0 , 所以直线

1?1? 2 6? 3

? 0,

x ?1 y ?1 z ? 3 在平面 x ? y ? z ? 1 ? 0 上。 ? ? 1 1 ?2

3、化直线方程 ?

? x? y? z?5? 0 为对称式方程。 ?5 x ? 8 y ? 4 z ? 36 ? 0

解 取 y ? 4 ,则 ?

? x ? z ? ?1 ?x ? 0 ,得 ? ,从而得直线上一点(0,4,-1) ? 5 x ? 4 z ? ?4 ? z ? ?1

因为所求直线与两平面的交线平行,也就是直线的方向向量 s 一定同时与两平面的 法向量 n1 , n2 垂直,所以可以取

x z ?1 s ? n1 ? n2 ? 1 ? 1 1 ? 4i ? j ? 3k ,所以所求直线方程为 ? y ? 4 ? 4 ?3 5 ?8 4
4、求直线 L :

i

j

k

x ?1 y z ?1 在平面 ? : x ? y ? 2 z ? 1 ? 0 上的投影直线 L0 的方程。 ? ? 1 1 ?1

解一:设 (t ? 1, t , ?t ? 1) 为直线上的任意一点,代入 x ? y ? 2z ? 1 ? 0 ,得 t ? ?1 从而得直线与平面的交点 A( 0 ? , 1, 0) 又过直线上点 P ( 1 , 0 ?, 而垂直于平面 1) x ? y ? 2z ? 1 ? 0 的直线方程为

L2 :

x ?1 y z?1 ? ? 1 ?1 2

8

《 高等数学》练习(下)

? x ? y ? 2z ? 1 ? 0 4 1 1 ? ?x ?1 y z ? 1 得 x ? , y ? ? ,z ? ? , 3 3 3 ? ? ? ?1 2 ? 1
1 1 ,? ) 为点 P (1,0, ?1) 在平面上的投影。 3 3 4 2 1 而投影直线的方向向量 s // AB ? ( , , ? ) 3 3 3 x y ?1 z 所以投影直线方程为 ? 。 ? 4 2 ?1
则点 B ( ,? 解二:已知直线 L 过点 (1, 0, ?1) ,方向向量 s1 ? (1,1, ? 1) , 平面 Π 的法向量为 n1 ? (1, ?1, 2) , 过直线 L 且垂直平面 Π 的平面的法向量为 n ? s1 ? n1 ? (1, ?3, ?2) 过直线 L 且垂直平面 Π 的平面为 x ? 1 ? 3 y ? 2( z ? 1) ? 0

4 3

所以 直线在平面上的投影直线方程为 ?

? x ? 3 y ? 2z ? 3 ? 0 ? x ? y ? 2z ? 1 ? 0

解三:直线的一般式方程为

? x ? y ?1 ? 0 ? ? y ? z ?1 ? 0
x ? y ?1 ? ?( y ?z ? 1 ) ?0

过直线的平面束为 即

x ? (? ? 1 )y ?? z ?? ?1 ?0

其中 ? 是代定系数,这平面与已知平面 ? 垂直, 所以 1 ? 1 ? ( ?1) ? (? ? 1) ? 2 ? ? ? 0 得 ? ? ?2 则 过直线且与平面垂直的平面方程为

x?3 y?2 z?3 ?0
故 所求的直线在平面上的投影直线方程为

?x?3 y?2 z?3 ? 0 ? ? x ? y ?2 z ?1 ?0

9


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