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2015秋高中数学 1.2函数的概念课件 (11)


2.2.1 对数与对数运算
(第 二 课 时)

1. 对数的定义

loga N ? b
其中 a ? (0,1) ? (1,??) 与 N ? (0,??)
王新敞
奎屯 新疆

2.指数式与对数式的互化

王新敞
奎屯



3.重要公式:
(1)负数与零没有对数; (2) loga 1 ? 0 , loga a ? 1 (3)对数恒等式 a
loga N
王新敞
奎屯 新疆

?N

王新敞
奎屯

新疆

4.指数运算法则
(1) am ? an ? am?n (m, n ? R) (2) (am )n ? amn (m, n ? R) (3) (ab) ? a ? b (n ? R)
n n n

问题 1:请同学判断以下几组数是否相等?

1 1 , lg(100 ? ) ; 10 10 1 1 (2) log 2 4 ? log 2 , log 2 ; 2 8
(1) lg100 ? lg

问题 2:由问题 1 中的(1) (2)结果出发,同学们能看出他们具有一个 怎样的共同点?(请同学们交流讨论,观察出来的同学得出结论)

结论:当底数相同的时候,两个正数的对数之和等于两个正数积的对数。

如果 a > 0 , a ? 1, M > 0 ,N > 0,证明: loga (MN ) ? loga M ? loga N
证明: (性质 1)设 loga M ? p , log a N ? q , 由对数的定义可得

M ? a p , N ? aq ,

∴ MN ? a p ? a q ? a p ? q , ∴ log a ( MN ) ? p ? q , 即证得 loga MN ? loga M ? loga N .

结论总结:
如果 a > 0 , a ? 1, M > 0 ,N > 0,那么 loga (MN ) ? loga M ? loga N

M ? log a M - log a N ) 性质 2: ( log a N
方法一: (仿照性质(1)同理可证) 方法二:由性质(1)的结论出发:
M M M log a ? log a N ? log a ? N ? log a M ? log a M ? log a N ? log a N N N

方法三:由性质(1)的结论出发:

性质 3: ( loga M n ? n loga M (n ? R) )
设 loga M ? p , 由对数的定义可得 ∴ M n ? a np , ∴ loga M n ? np , 又? loga M ? p ,即 p ? log a M ∴ loga M n ? np ? n loga M 即证得 loga M n ? n log a M

M ? ap ,

∴ loga M n ? loga anp ? np ,

对数的运算性质:
如果 a ? 0 且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 那么 (1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ; 积的对数 = 对数的和 商的对数=对数的差 一个数 n 次方的对数=这个数对数

M ? log a M - log a N ; (2) log a N
(3) loga M n ? n loga M (n ? R) .

例 1. 用 log a x , log a y , log a z 表示下列各式。

xy (1) log a z

(2) log a

x2 y
3

z

xy ? log a xy ? log a z ? log a x ? log a y ? log a z 解: (1) log a z
(2) log a

x2 y
3

z

? log a ( x2 y ) ? log a 3 z ? log a x 2 ? log a y ? log a 3 z
1 1 ? 2 log a x ? log a y ? log a z 2 3

例 2.求下列各式的值。 (1) log2 (47 ? 25 ) (2) lg 5 100

解: (1) log2 (47 ? 25 ) ? log2 47 ? log2 25 ? 7log2 4 ? 5log2 2 ? 7 ? 2 ? 5 ? 19

1 2 2 2 5 lg 100 ? lg100 ? lg10 ? lg10 ? (2) 5 5 5

1 5

1.计算下列各式的值 (1) log3 (27 ? 92 ) (3) lg14 ? 2 lg (2) log7 (4)
3

49

7 ? lg 7 ? lg18 3

lg 243 lg 9

(5)

(lg 5) 2 ? lg 25 ? 1

解: (1) log3 (27 ? 92 ) ? log3 27 ? log3 92 ? log3 33 ? 2log3 9 ? 3 ? 4 ? 7 (2) log 7
3

49 ?

1 1 2 log 7 49 ? log 7 7 2 ? 3 3 3

(3) lg14 ? 2 lg

7 ? lg 7 ? lg18 3

? lg 2 ? lg 7 ? 2lg 7 ? 2lg 3 ? lg 7 ? 2lg 3 ? lg 2

?0

lg 243 lg 35 5lg 3 5 (4) ? ? ? 2 lg 9 lg 3 2lg 3 2
(5) (lg 5) ? lg 25 ? 1 ?
2

(lg 5) 2 ? 2lg 5 ? 1 ? lg 5 ? 1 ? 1 ? lg 5

lg12 2.已知 lg 2 ? a , 10 ? 3 ,求 。 lg 5
b

解:依题意得: b ? lg3 ∴ lg12 ? lg 3 ? 2lg 2 ? b ? 2a

lg 5 ? lg

10 ? lg10 ? lg 2 ? 1 ? a 2

lg12 2a ? b ? ∴ lg 5 1? a

18 问题 3:对于本小节开始的问题中,可否利用计算器求解 log 1.01 的值? 13
我们知道,利用科学计算器只能直接求常用对数和自然对数的值。那么, 问题 3 中的既不是常用对数,也不是自然对数的问题又怎么解决呢?为此我们 必须引入一个特别的对数运算公式,即换底公式:

证明:

logc b loga b ? ( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ) . logc a
p

在设 log a b ? p ,即 a ? b ∴ logc a p ? logc b ∴ p logc a ? logc b

logc b log c b ∴ p? ,即 loga b ? 。 log c a logc a

另外,利用换底公式推导下面的结论 (1) log a m

n b ? log a b ; m
n

1 (2) loga b ? logb a

例 3.问题 3 中, 求解 log 1.01

18 的值。 13

18 18 lg18 ? lg13 1.2553 ? 1.1139 13 ? ? ? ? 32.8837 ? 33 解: log1.01 13 lg1.01 lg1.01 0.0043 lg

例 4. 设 log3 4? log4 8? log8 m ? log4 16 ,求 m 的值.
log 4 m log 4 m 1 解: log3 4? ?log 4 8? ? ? log3 m = log 4 16 =2 log4 8? log8 m ? log 4 3 log 4 8 log 4 3



m?9.

小结:
1.本节课学习了对数的运算性质及其运用,要注意指数运算性质与对数运算性质的对照。
式子 名称

ab ? N

a ——幂的底数
b ——幂的指数 N ——幂值

loga N ? b a ——对数的底数 b ——以 a 为底的 N 的对数 N ——真数 loga (MN ) ? loga M ? loga N ;
M ? log a M - log a N ; N loga M n ? n loga M (n ? R) . ( a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ) log a

运算性质

a m · a n ? a m? n

am m?n ? a an

(a m ) n ? a mn (a ? 0, 且 a ? 1 ,m, n ? R )

2.对数的运算法则(积、商、幂、方根的对数)及其成立的前提条件;

3. 对数的换底公式及其推论;

4.运算法则的逆用,应引起足够的重视;

5.对数运算性质的综合运用,应注意掌握变形技巧。

作业 :

1.计算: (1)lg14-2lg
lg 243 (2) ; lg 9

7 +lg7-lg18; 3

lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 (3) . lg1.2
1 32 4 (4) lg ? lg 8 ? lg 245 ; 2 49 3

(5) lg 5 2 ?

2 lg 8 ? lg 5 ? lg 20 ? (lg 2) 2 . 3

2. 教材第 68 页练习题 1、2、3、4 题. 3.跟踪练习册,作业活页。


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