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2.4.1 向量在平面几何中的应用


复习旧知:

(1)向量共线的条件:

a 与 b 共线 ? a ? ? b ? ? R, b ? 0

?

?

a ? ( x1 , y1 )b ? ( x2 , y2 )a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0
(2)向量垂直的条件:
a ?

b ? a ? b ? 0 a ? 0, b ? 0

?

?

a ? ( x1 , y1 )b ? ( x2 , y2 )a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0
(3)两向量相等的条件:

a ? b ? a ? b , 且方向相同。

a ? ( x1 , y1 )b ? ( x2 , y2 )a ? b ? x1 ? x2 , y1 ? y2

1.( 13

??? ? OB ? (2, 2) ,若 ?ABO ? 90o ,则实数 t 的值为____ 5

??? ? 年山东文)在平面直角坐标系中, OA ? (?1, t ) ,

2.(13 年课标文)已知正方形 ABCD 的边长为 2, ??? ? ??? ? 2 E 为 CD 的 中点,则 AE ? BD ? ______.
3.(13 年天津文)在平行四边形 ABCD 中, AD = 1, ?BAD ? 60 , 1 ???? ??? ? BE ? 1 , 则 AB 的长为______. E 为 CD 的中点. 若 AC· 2
?

1 ? ? ? 3 则 a, b 夹角的余弦值为_______.

? ? ? ? ? ? 4.(13 年安徽文)若非零向量 a, b 满足 a ? 3 b ? a ? 2b ,

2.4.1 向量在平面几何中的应用

平面几何中的向量方法
向量的概念和运算,都有明确的物理背景和几 何背景。当向量与平面坐标系结合以后,向量的 运算就可以完全转化为“代数”的计算,这就为 我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便. 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明 的几何背景,平面几何的许多性质,如平移、全 等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算 及数量积表示出来,因此,利用向量方法可以解 决平面几何中的一些问题.

例1.如图,已知平行四边形ABCD中,E、F在
对角线BD上,并且BE=FD,求证AECF是平

行四边形.
a

A F b B E C b a

D

问题1 证明AECF是平行四边形的方法有什么? 问题2 选择合适的方法,问如何转化为向量条件表示?

例1.如图,已知平行四边形ABCD中,E、F在
对角线BD上,并且BE=FD,求证AECF是平

行四边形.

??? ? ???? ? 证明:由已知设 AB ? DC ? a,
? ??? ? ? ? ??? ? ??? AE ? AB ? BE ? a ? b ? ???? ? ? ??? ? ??? FC ? FD ? DC ? b ? a
A a b B

? ? ??? ? ??? BE ? FD ? b
F E C D b a

? ??? ? ??? ? AE ? FC

体悟: 本题的关键选择适当的基底,把四边形AECF的一组对边表示出来

即边AE、FC平行且相等,AECF是平行四边形

用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表 示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题 转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关 系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何元素. 简述:形到向量 向量的运算 向量和数到形

例2. 求证平行四边形对角线互相平分.
? ???? ? ???? ? ???? ? ???? 分析 : 可证 AM ? MC , BM ? MD

? 1 ??? ? ???? ? 1 ???? ???? 或 AM ? AC , BM ? BD 2 2

例2. 求证平行四边形对角线互相平分.
证明:如图,已知平行四边形ABCD的两条 ???? ???? ???? ? ??? ? ? 对角线相交于M,设 AM ? x AC , BM ? yBD ? ???? ???? ? ???? ??? 则 AM ? xAC ? xAB ? xAD, ? ???? ? ???? ? ??? AM ? AB ? BM ??? ? ??? ? ? AB ? yBD ??? ? ???? ??? ? ? AB ? y ( AD ? AB) ??? ? ???? ? (1 ? y ) AB ? y AD

根据平面向量基本定理知,这两个分解
式是相同的,所以
1 ? x? ? ? 2 ?x ? 1 ? y ? ? 解得 ? 1 y? ? x? y ? 2 ? 所以点M是AC、BD的中点,即两条对

角线互相平分.
体悟:法一注重向量的坐标运算和解析法的运用: 法二选取基底 和 ,设未知数,列向量方程, 解方程组的待定系数得结论,体现了方程思想的运用.

例3. 已知正方形ABCD中,如图点P为对角线AC上任一 点,PE⊥AB于点E,PF ⊥BC于点F,连接DP、EF, C 求证: DP⊥EF. D ??? ? ? ??? ? ? 证明: 设 AB ? a , AD ? b, P F ? A, P , C 三点共线, ??? ? ??? ? ? ? 则设 AP ? ? AC ? ? a ? b

?

?

?

??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ? AE ? ? AB ? ? a , PF ? EB ? ? 1 ? ? ? a , EP ? ? AD ? ? b ??? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? DP ? AP ? AD ? ? a ? b ? b ? ? a ? ? ? ? 1? b ???? ??? ? ??? ? ? ? EF ? EP ? PF ? ? b ? ? 1 ? ? ? a ??? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? b ? ? 1 ? ? ? a ? ? DP ?EF ? ? ? a ? ? ? 1 b ? ? ? ? ? ?2 ? ?2 ?? ? ?1? ? ? ? a ? ? ? ? ? 1? b ? 0 基向量法 ? ? ??? ? ??? ? ? a?b ? 0, a ? b ? DP ? EF即DP ? EF .

A

B E ??? ? ?

?

?

?

y
如图以AB , AD分别为x轴, 证明二: y轴建立平面直角坐标系,

D P

C

F

不妨令正方形边长为1, 则A ? 0, 0 ? ,B ? 1, 0 ? ,C ?1, 1? , D ? 0, 1? A B x E 设P ? ? , ? ? ,则E ? ?, 0 ? ,F ?1, ? ? , 小结: ??? ? ???? 结合图形特点,选定正交基底, ? DP = ? ? , ? ? 1? ,EF = ? 1 ? ? , ? , ? ???? ? ???? 用坐标表示向量进行运算解决 ? DP ?EF = ? ? , ? ? 1??? 1 ? ? , ? ?几何问题,体现几何问题代数 =? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 1? ? 化的特点,数形结合的数学思 ?0 ??? ? ??? ? 想体现的淋漓尽致。向量作为 ? DP ? EF即DP ? EF . 桥梁工具使得运算简练标致,

建系坐标法

又体现了数学的美. 有关长方形、 正方形、直角三角形等平行、 垂直等问题常用此法.

??? ? ??? ? ??? ? ???? OA ? BC , OB ? AC. 练习1 已知:

???? ??? ? 当 OC , AB 为非零向量时 ??? ? ??? ? 求证: OC ? AB ??? ? ??? ? ??? ? ???? 证: 因为 OA ? BC , OB ? AC. ??? ? ??? ? ??? ? ???? 所以 OA?BC ? 0, OB?AC ? 0; ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? 即 OA?(OC ? OB) ? 0, OB?(OC ? OA) ? 0;
??? ? ??? ? ???? 两式相减有: (OA ? OB)? OC ? 0
? OC ? AB

???? ? ??? ? ? ??? ? ???? 又 OC ? 0, AB ? 0 即 AB? OC ? 0 ???? ??? ?

练习2、证明直径所对的圆周角是直角 如图所示,已知⊙O,AB为直径,C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°
分析:要证∠ACB=90°,只须证向 A 量 AC ? CB ,即 AC ? CB ? 0 。

C

???? ? ???? ? 解:设 AO ? a, OC ? b 则

? a

? b
O

B

???? ??? ? ? ? ? ? AC ? CB ? a ? b a ? b

???? ? ? ??? ? ? ? AC ? a ? b, CB ? a ? b

??? ? ??? ? 即 AC ? CB ? 0 ,∠ACB=90°

? 2 ?2 ? 2 ? 2 2 2 ? a ?b ? a ? b ? r ? r ? 0

?

??

?

思考:能否用向量 坐标形式证明?

本节主要研究了用向量知识解决平面几何 问题;掌握向量法和坐标法,以及用向量解决 平面几何问题的步骤.

作业

黄本152页12,13

选作154页11

练习黄本:152页小题, 153-154页 2,4,7,9

4、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和 已知:平行四边形ABCD。 D AB 2 ? BC 2 ? CD2 ? DA2 ? AC 2 ? BD2 求证: 分析:因为平行四边形对边平行且相 等,故设 AB ? a, AD ? b 其它线段对应向 A 量用它们表示。
2 2

C B

解:设 AB ? a, AD ? b ,则 BC ? b, DA ? a, AC ? a ? b; DB ? a ? b

AB ? BC ? CD ? DA ? 2( a ? b )
2 2 2 2

AC ? BD ? a ? b ? a ? b
2 2

?

? ?
2

?

2

2 2 2 2 ? ? ? ? a ? 2ab ? b ? a ? 2ab ? b ? 2? a ? b ? ? 2? a ? b ? ? ? ? ? ? ∴ AB 2 ? BC 2 ? CD2 ? DA2 ? AC 2 ? BD2 2 2 2 2

练习: 已知直角三角形的两直角边长为4和6,试用

向量方法求两直角边中线所成钝角的余弦值.
解法一: 如图以AB , AC 分别为x轴,

y轴建立平面直角坐标系, 则A ? 0, 0 ? ,B ? 4, 0 ? ,C ? 0, 6? ,

C

y

易知两中点为E ? 0, 3 ? ,F ? 2, 0? , ??? ? ??? ? A B ? BE ? ? ?4, 3 ? , CF ? ? 2, ?6 ? F4 O x ??? ? ??? ? ? BE ?CF ? ? ?4 ? ? 2 ? 3 ? ? ?6 ? ? ?26 ??? ? ??? ? 2 2 2 2 BE ? ? ?4? ? 3 ? 5, CF ? 2 ? ? ?6? ? 2 10 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ?26 13 BE ?CF ?? 10 ? cos ? BE , CF ?? ??? ? ??? ? ? 50 5 ? 2 10 BE ? CF

6 E

练习: 已知直角三角形的两直角边长为4和6,试用

向量方法求两直角边中线所成钝角的余弦值. ??? ? ? ???? ? ??? ? ? 1 ? ??? ? ? 1? 法二 设 AB ? a , AC ? b, 则BE ? ?a ? b, CF ? ?b ? a 2 2 C ??? ? ??? ? ? ? 1?? ? ? 1 ?? ? BE ?CF ? ? ? a ? b ??? ? b ? a ? 2 ?? 2 ? 6 ? E 1 ?2 1 ?2 ? ? a ? b ? ?8 ? 18 ? ?26 2 2 A B ??? ? ??? ? BE ? 5, CF ? 2 10 F4 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BE ?CF ?26 13 ? cos ? BE , CF ?? ??? ? ??? ? ? ?? 10 50 BE ? CF 5 ? 2 10

例4.已知:如图AD、BE、CF是△ABC三条高 求证:AD、BE、CF交于一点
A

分析:思路一:设AD与BE交于H,只要证 CH⊥AB,即高CF与CH重合,即CF 过点H ??? ? ???? 只须证明BA ? CH B 由此可设 BC ? a CA ? b
CH ? p

F

H
D

E C

? ? ??? ? 如何证 p ? BA ? 0? 利用AD⊥BC,BE⊥CA,对应向量垂直。

HA ? BC ? (b ? p) ? a ? 0 ? b ? a ? p ? a ? 0 BH ? CA ? (a ? p) ? b ? 0 ? b ? a ? p ? b ? 0
? p ? a ? p ? b ? 0 ? p ? (a ? b) ? 0 ? CH ? BA ? 0 ? CH ? BA


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