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第1节 函数的概念


第1节 函数的概念 同学们从入小学到高中毕业一直要学习数学,在这一阶 段所面对的数学对象的特点是:所讨论的量在研究问题的 过程中保持不变.只是从未知到已知.例如解方程或方程 组,求得的解都是固定不变的.又如讨论三角形,它的边 长也是固定不变的量.这些量叫做常量. 常量——只取固定值的量 这门课程中讨论的量在研究问题的过程中不是保持不变 的.如圆的面积与半径的关系: S ? ? r2 考虑半径 r 可以变化的过程.面积 S 和半径 r 叫做变量. 变量——可取不同值的量 1 函数的定 义 定义:设 x 和 y 是变量,D是一个给定的非空数集,若对于 每一个 x ? D ,按照某一确定的对应法则 f ,变量 y 总有 唯一确定的数值与之对应,则称 y 是 x 的函数,记为: y ? f ( x) 其中 x 称为自变量, y 称为因变量, D 称为函数的定义域 定义域 D 是自变量 x 的允许取值范围,也就是使得函 数y ? f ( x )有意义的实数集。因此,若 x0 ? D时,称函数在 x0 有定义,与 x0 对应的 y 的数值称为函数在 x0 的函数值,记作 f ( x0 ) 或 y x ? x0 即 y x ? x0 ? f ( x0 ) 当 x 遍取D中的所有数值时,对应的函数值全体构成的数集 Z ? ? y y ? f ( x ), x ? D? 称为函数的值域。 若 x0 ? D ,则称该函数在点 x0没有定义。 例1:求下列函数的定义域 1 (1) y ? 2 x ? 3x ? 4 (2) y ? 1 x ?1 ? x ?1 1 1 ? 解: (1) y ? 2 x ? 3 x ? 4 ( x ? 1)( x ? 4) ? x ? ?1 ?x ?1 ? 0 ?? ? ?x ? 4 ? 0 ? x?4 所以定义域为(-∞,-1) ∪(-1,4)∪(4,+ ∞) ?x ?1 ? 0 (2) ? ?x ?1 ? 0 ? x ? ?1 ?? ? x ?1 所以定义域为[-1,1) ∪(1,+∞) (3) y ? ln(5 x ? 2) 5x ? 2 ? 0 2 ?x? 5 2 D ? ( , ?? ) 定义域为 5 例2:求下列函数的定义域 (1) y ? ln( x ? 1) 2 (2) y ? ln( x ? 1) 4 ? x2 9 ? x2 (3) y ? ln( x ? 2) 2 2 (1) x ? 1 ? 0 ? x ?1 ? 解: x ? 1 ? x ? 1或x ? ?1 定义域为 D ? (??, ?1) (1, ??) (2) y ? ln( x ? 1) 4 ? x2 ? x ? ?1 ? x ?1 ? 0 ? x ? ?1 ?? ?? 2 ?? 2 ?4 ? x ? 0 ?x ?4 ? x ?2 ? x ? ?1 ?? ??2 ? x ? 2 定义域为 D ? (?1, 2) ? ?1 ? x ? 2 ? x?2?0 ? x ? ?2 9? x ? ? (3) y ? ? ? 9 ? x2 ? 0 ? ? ?3 ? x ? 3 ln( x ? 2) ? ln( x ? 2) ? 0 ?( x ? 2) ? 1 ? ? ? x ? ?2 ? ?2 ? x ? 3 ? ? ?3 ? x ? 3 ? ? ? ? x ? ?1 ? x ? ?1 ? 定义域为 D ? (?2, ?1) (?1, 3] 2 例3:求下列函数的定义域 ?sin( x

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