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南海区2012届高三摸底考试(文科数学)


南海区2012届高三摸底考试
高三(文科)数学试卷

2011年8月

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 2 1.已知全集U ? Z , 集合A ? { x | x ? x}, B ? { ?1,0,1, 2}, 则图中阴影部分表示的集合等于( A )

A.{?1, 2} B.{?1,0} C .{0,1} D.{1, 2}

A ? { x | x ? x} ? {0,1}
2

A

B

U

1 ? 2i 2.已知i是虚数单位,则在复平面内,复数 对应 1? i 的点位于( A ) A.第一象限 B.第二象限 C .第三象限 D.第四象限

1 ? 2i (1 ? 2i )(1 ? i ) 3 ? i ? ? 1? i (1 ? i )(1 ? i ) 2

? ? ? ? ? ? 3.设 a , b是单位向量,且a与b的夹角为60?,则 | a ? b |? ( B ) A.3 B. 3 C .2 D. 2

? ?2 ? ? 2 ?2 ? ? ?2 方法一 |a ? b| ? (a ? b ) ? a ? 2a ? b ? b ? 2 ? ? ? ? ? 2 ?| a | ?2 | a | ? | b | cos ? a , b ? ? | b | ? 1 ? 2cos 60? ? 1 ? 3 ? ? ?| a ? b |? 3
方法二

? b

? ? a?b

? a

4.学校为了调查高三年级的200名文科学生完成课 后作业所需时间,采取了一下两种抽样调查的方 式:第一种是由级长随机抽取20名学生进行调查; 第二种是由教务处对高三级文科学生进行编号, 从001到200,抽取学号最后一位为2的同学进行调 查。则这两种抽样方法依次为( ) A.分层抽样,简单随机抽样 B.简单随机抽样,分层抽样

C.分层抽样,系统抽样
D.简单随机抽样,系统抽样

x y 5.椭圆 ? ? 1的离心率为( D ) 16 8 1 A. 3
2 2

2

2

1 B. 2
2 2

3 C. 3
2

2 D. 2

a ? 16, b ? 8, c ? a ? b ? 8

c 2 ? a ? 4, c ? 2 2, e ? ? a 2

6.已知直线l , m , , 平面?,?,且l ? ? , m ? ? , 给出下列 四个命题:①若? // ? , 则l ? m ②若l ? m , 则? // ? ③若? ? ? , 则l // m ④l//m , 则? ? ?, 其中正确命题是( ) A.①② B .①③ C .①④ D.②④

?

m

?

m

?
l

?
A
l

B

6.已知直线l , m , , 平面?,?,且l ? ? , m ? ? , 给出下列 四个命题:①若? // ? , 则l ? m ②若l ? m , 则? // ? ③若? ? ? , 则l // m ④l//m , 则? ? ?, 其中正确命题是( C ) A.①② B .①③ C .①④ D.②④

?

?

m

m

?
l

?
C
l

D

7.给出下列命题: ①命题“若m ? 0, 则方程x 2 +x ? m ? 0有实数根”的逆 否命题为:“若方程x 2 +x ? m ? 0无实数根,则m ? 0”. ②“x ? 1”是“x 2 ? 3 x ? 2 ? 0”的充分不必要条件. ③若“p且q”为假命题,则p、q均为假命题. 至少有一个是假命题. ④对于命题p : ?x ? R, 使得x 2 ? x ? 1 ? 0, 则?p : ?x ? R, 均有x 2 ? x ? 1 ? 0.其中错误的命题为( C ) A.① B .② C .③ D.④

8.等差数列{an }的前n项和为Sn , 若a3 ? a7 ? a10 ? 5, a11 ? a4 ? 7, 则S13 =( C ) A.152 B.154 C .156 D.158

a3 ? a7 ? a10 ? a1 ? 2d ? a1 ? 6d ? (a1 ? 9d ) ? a1 ? d ? 5

a11 ? a4 ? 7d ? 7

? d ? 1, a1 ? 6
13 ? 12 S13 ? 13a1 ? d ? 13 ? 6 ? 13 ? 6 ? 156 2

9.设一个正方体三个面的的对角线截得的几何体如图 所示,则该几何体的左视图为( B )

A

B

C

D

10.如图,质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动,其初 始位臵为P0 ( 2, ? 2), 角速度为1,那么点P 带x轴的距 离d关于时间t的函数图像大致为( C ) y P
2

y

(A)
O y 2

?

t

d ?| 2sin( x ?
(B)
y 2

?
4

x
)|
P

2
O y 2 2
3? 4

t

? 4

(C)
t

O ? 4

t

(D)

二、填空题:本大题共5小题,考生作答4题,每 小题5分,满分20分
11.在△ABC中,角A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c,且 b 2 ? c 2 ? bc ? a 2 , 则角A的大小为

? 3

.

b ?c ?a 1 cos A ? ? , 2bc 2
2 2 2

又∵0 ? A ? ? ,? A ?

?
3

12.已知函数f ( x )的图像如图所示,则函数g( x ) ? (1, 4] log 2 f ( x )的定义域是 .
f ( x) ? 0

?1 ? x ? 4

y

f ( x)

O

1

4

?1

x

?y ? x ? 13.已知点P ( x , y )在所给不等式组 ? y ? ? x 表示的平面 ?x ? 2 ? 区域内,则z ? 2 x ? y的最大值为

6

y ? ?x

.

y
(2, 2)

y? x

O

x?2

x

(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一 题)
14.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,与圆? =2cos ? 相切,且与极轴平行的直线的极坐标方程是 ? sin ? ? ?1 .

? sin ? ? 1

?

?
O

1

2

x

? sin ? ? ?1

15.(几何证明选讲)如图,AB为⊙O的直径,弦AC , BD 相交于点P , 若AB ? 3, CD ? 1, 则 sin ?APD ?

2 2 3

.

△ABP∽△DCP
D P

C

DP CD 1 ? ? ? AP AB 3
1 即 cos ?APD ? 3
A

O

B

2 2 ? sin ?APD ? 3

三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须 写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.已知函数f ( x) ? sin x cos ? ?cos xsin ?( 其中x ? R,

4 () Ⅰ求函数f ( x)的最小正周期、最大值和最小值

0?? ?

?

).

解: f ( x) ? sin xcos ? ?cos xsin ? ?sin( x ? ?) (1)

? 最小正周期T ? 2?,最大值为1,最小值为? 1.

16.已知函数f ( x ) ? sin x cos ? ? cos x sin ? (其中x ? R, ? ? 4 0 ? ? ? ).(Ⅱ)若f ( ) ? , 求f (0)的值. 4 4 5 ? ? 4 ? 0 ? ? ? ? ,? ? ? ? ? ? ? ? f ( ) ? sin( ? ? ) ? , 4 4 4 2 4 4 5 ? 3 ? cos( ? ? ) ? 4 5 ? ? f (0) ? sin ? ? sin[( ? ? ) ? ] 4 4 ? ? ? ? ? sin( ? ? )cos ? cos( ? ? )sin 4 4 4 4
4 2 3 2 2 ? ? ? ? ? 5 2 5 2 10

17.某校文科班有t名学生,在2011年普通高考中,数 学成绩全部介于60分与110分之间,将考试结果按如 下方式分成五组:第一组[60,70);第二组[70,80);第三 组[80,90);第四组[90,100);第五组[100,110],下表是 按照上述分组方法得到的频率分布表:
分组 频数 [60,70) u [70,80) 9 [80,90) z [90,100) 17 [100,110] 3 频率 0.04 w 0.38 0.34 0.36

z ? 50 ? 0.38 ? 19 (1)求t 及分布表中u, w, z的值.

平均分 平均每天用时(小时) 17 t? ? 50 0.5 65 0.34 75 0.7 u ? 50 ? 0.04 ? 2 85 0.9 9 w 95 ? 0.18 1.1 ? 50 105

设第5组的3名学生分别为A1 , A2 , A3 , 第1组的2名学生 分别为B1 , B2 , 则从5名学生的抽取两名学生有: ( A1 , A2 ),( A1 , A3 ),( A1 , B1 ),( A1 , B2 ),( A2 , A3 ),( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ),( A3 , B1 ),( A3 , B2 ),( B1 , B2 )共10种可能.
其中第一组2为学生B1 , B2至少有1位入选的有: ( A1 , B1 ),( A1 , B2 ),( A2 , B1 ),( A2 , B2 ),( A3 , B1 ),( A3 , B2 ), ( B1 , B2 )共7种可能,

分组 频数 (Ⅱ)老师决定从第一组和第五组 的学生中随机抽取2名进行交流,求 T1.[60,70) 2 第一组至少有一名学生被抽到的概 T5.[100,110] 3 率.

7 ?第一组至少有一位学生被抽到的概率为 10

(Ⅲ)某兴趣小组欲研究各组平均分y与平均每天学习数 学的时间x之间的关系,试利用前4组数据,求线性回 ? 归方程y ? bx ? a; 并估计第五组学生的平均学习时间.
平均分 每天用时
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

65 0.5

75 0.7
i i

85 0.9

95 1.1
i

105

(参考公式:b ?
平均分

?x y
i ?1 n

n

? nx y ? ? nx
2

?(x
i ?1 n

n

? x )( yi ? y )
i

?x
i ?1
0.2

2 i

?(x
i ?1

? x)

2
平均分

,a ? y ? bx 参考数据: ? 65 ? 0.7 ? 75 ? 0.9 ? 85 ? 1.1 ? 95 ? 266, 0.5 0.52 ? 0.7 2 ? 0.92 ? 1.12 ? 2.76)
0 0.4 0.6 0.8 平均每天用时 1 1.2

平均分 每天用时

65 0.5

75 0.7

85 0.9

95 1.1

105

x ? 0.8, y ? 80
b?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

?x
i ?1

2 i

266 ? 4 ? 0.8 ? 80 = ? 50 2.76 ? 4 ? 0.64

? a ? y ? bx ? 80 ? 50 ? 0.8 ? 40 ? y ? 50 x ? 40
? ? 估计当y ? 105时,由y ? 50 x ? 40解得 105 ? 40 x? ? 1.3(小时 ) 50

18.如图所示圆柱中,BD为直径,O, M 分别为BD, AD的 中点,AB为圆柱的母线,点C为底面圆上与B、D不 重合的动点,BE垂直AC 于E . ( ) Ⅰ求证:OM // 平面ABC ?O, M分别为BD, AD的中点
A M

? OM 是△ABD的中位线

? OM // AB

又 ? OM ? 平面ABC AB ? 平面ABC
? OM // 平面ABC
B

O
C

D

18.如图所示圆柱中,BD为直径,O, M 分别为BD, AD的 中点,AB为圆柱的母线,点C为底面圆上与B、D不 重合的动点,BE垂直AC 于E . A (Ⅱ)求证:BE ? 平面ACD
M E B

? AB为圆柱的母线,CD在底面内, ? ? CD ? AB BD为直径, CD ? BC

又 ? AB ? BC ? B, AB, BC ? 平面ABC , ? CD ? 平面ABC

O
C

D

BE ? 平面ABC ? BE ? CD

BE ? CD ? ? BE ? AC ? ? ? BE ? 平面ACD CD ? AC ? C ? CD, AC ? 平面ACD ? ?

18.如图所示圆柱中,BD为直径,O , M 分别为BD, AD的 中点,AB为圆柱的母线,点C为底面圆上与B、D不 重合的动点,BE垂直AC 于E .(Ⅲ)若AB ? BD ? 2, 试计算三棱锥A ? BCD的体积的最大值.

设C到BD的距离为h, 则0 ? h ? 1 1 A S△BCD ? ? BD ? h ? h 2 1 2 VA? BCD ? ? S△BCD ? AB ? h 3 3

M

?当h ? 1即CO ? BD时,三棱锥A ? BCD B 2 的体积有最大值,最大值为 3

D

C

18.如图所示圆柱中,BD为直径,O , M 分别为BD, AD的 中点,AB为圆柱的母线,点C为底面圆上与B、D不 重合的动点,BE垂直AC 于E .(Ⅲ)若AB ? BD ? 2, 试计算三棱锥A ? BCD的体积的最大值. 方法二

设∠CBD ? ? , 0 ? ? ?

?

则BC ? 2cos? , CD ? 2sin?
S△BCD 1 ? BC ? CD ? 2sin ? cos ? ? sin 2? 2

2

A M

?VA? BCD

1 2 ? AB ? S△BCD ? sin 2? B 3 3

?
3

D

?当sin 2? ? 1即? ?

?
4

2 C 时,A ? BCD的体积有最大值

18.如图所示圆柱中,BD为直径,O , M 分别为BD, AD的 中点,AB为圆柱的母线,点C为底面圆上与B、D不 重合的动点,BE垂直AC 于E .(Ⅲ)若AB ? BD ? 2, 试计算三棱锥A ? BCD的体积的最大值. 方法三
设BC ? x , CD ? y , 则x 2 ? y 2 ? 4 S△BCD 1 1 2 2 ? xy ? ( x ? y ) ? 1 2 4

A M

(当且仅当x ? y时等号成立) 1 2 ?VA? BCD ? S△BCD ? AB ? 3 3

B

D

2 ?当BC ? CD时,A ? BCD的体积有最大值 C 3

19.在平面直角坐标系xOy中,直线l : x ? ?1, 点F (1, 0), 点P为l上一动点,M 是线段FP的垂直平分线上的一 点,且MP ? y轴. ( ) Ⅰ当点P 在l上运动时,求点M的轨迹E的方程. 2

连接MF

y y ? 4x

P ?点M 在线段FP的垂直平分线上,
故动点M的轨迹是以F 为焦点, l为准线的抛物线.

M

?| PM |?| MF |

O

F

x

其方程为y ? 4 x
2

l : x ? ?1

(Ⅱ)若以M 为圆心的圆过定点C (2, 0),圆M 截y轴所得的 弦为AB,当M 在轨迹E上运动时,AB | 是否有变化, | 证明你的结论. ?点M 在抛物线y2 ? 4 x上, 可设M点坐标为(t 2 , 2t ) ? y 设圆M的半径为r,则 y2 ? 4 x 2 2 2 2 2 A r ? MC ? ( t ? 2) ? 4t

? t ?4
4

r

点M到y轴的距离d ? t
2 2 4 4

2

d

M B O
C (2, 0)

?| AB |? 2 r ? d

? 2 t ?4?t ? 4 ?点M 运动时,弦长 | AB | 为定值.

x

1 2 20.已知函数f ( x ) ? ln x ? ax ? x , a ? R. 2 ( ) a ? 1时,求f ( x )在点(1, f (1))处的切线方程; Ⅰ当 1 2 解: a ? 1时,f ( x ) ? ln x ? x ? x (1) 2
1 1 f ?( x ) ? ? 1 ? x ? f (1) ? ? , f ?(1) ? 1 x 2

1 ? 切线方程为:y ? ? x ? 1,即2 x ? 2 y ? 3 ? 0 2

1 2 20.已知函数f ( x ) ? ln x ? ax ? x , a ? R. 2 (Ⅱ)讨论f ( x )的单调性 .
解: 函数f ( x )的定义域是(0, ?? ) (1) 1 a x ? ax ? 1 f ?( x ) ? 1 ? 2 ? ? 2 x x x
2

令g( x) ? x 2 ? ax ? 1, 其判别式?=a 2 ? 4

①当 ? 2 ? a ? 2时,? ? 0,f ?( x ) ? 0恒成立, 故f ( x )在(0, ??)上单调递增.

②当a ? ?2时,? ? 0, g( x ) ? 0的两根都小于0. 在(0, ??)上,f ?( x ) ? 0, 故f ( x )在(0, ??)上单调递增.

a ? a2 ? 4 ③当a ? 2时,? ? 0, g( x ) ? 0的两根为x1 ? , 2 a? a ?4 x2 O x1 x2 ? . 2 故当0 ? x ? x1时,f ?( x ) ? 0, 当x1 ? x ? x2时,f ?( x ) ? 0, 当x ? x2时,f ?( x ) ? 0
2

x1

x2

O

? f ( x )的单调递增区间是(0, x1 ),( x2 , ?? ), 单调递减区间 是( x1 , x2 )

21.在xOy平面上有一系列的点P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )…, Pn ( xn , yn )…,,对于正整数n, 点Pn 位于函数y ? x ( x ? 0)
2

的图像上,以点Pn为圆心的⊙Pn与x轴相切,且⊙Pn与 ⊙Pn +1 又彼此外切,若x1 ? 1, 且xn?1 ? xn ,( ) Ⅰ求证:数列 2 2 ⊙Pn的半径为yn ? xy ,? x 1 n { }是等差数列; 2 xn ⊙Pn ?1的半径为yn ? xn +1 ,

⊙Pn与⊙Pn+1外切, | Pn Pn?1 |? x ? x ?
2 n
2 n

2 n?1
2 n ?1

即 ( xn ? 1 ? xn ) ? ( x
2
2

2 n ?1

?x )?x ?x
2 n
2

P1

?( xn ? xn?1 ) ? (2 xn xn?1 )

? 0 ? xn?1 ? xn ,

2 1 1 1 即 ? ? 2, 故数列{ }为等差数列. xn?1 xn xn

? xn ? xn?1 ? 2 xn xn?1 P

(Ⅱ)设⊙Pn的面积为S n , Tn ? S1 ? S 2 ? …+ S n , 求证:

1 1 1 3 n ? ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1,? xn ? Tn ? . xn x1 2n ? 1 2

1 Sn ? ? y ? ? x ,? Sn ? ? ? 2 (2n ? 1)
2 n 4 n

1 1 1 1 Tn ? S1 ? S2 ? …+ Sn ? ? ( 2 ? 2 ? 2 ? …+ ) 2 1 3 5 (2n ? 1)

? ? 1 1 1 放缩法 ? ? ?1 ? ? ? …+ ? (2n ? 1)(2n ? 3) ? ? 3?1 5? 3 裂项 ? ? ?1 ? 1 ?(1 ? 1 ) ? ( 1 ? 1 ) ? …+( 1 ? 1 )? ? ? ? ?? 3 3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? ? ? 2? 消元法
? 1 ? 3 ? 1 ? ? ?1 ? ? ?? 2 ? 2 2(2n ? 1) ?

(Ⅱ)设⊙Pn的面积为S n , Tn ? S1 ? S 2 ? …+ S n , 求证: 3 n 解法二 Tn ? . 2 1 1 1 1 Tn ? S1 ? S2 ? …+ Sn ? ? ( 2 ? 2 ? 2 ? …+ ) 2 1 3 5 (2n ? 1)

放缩法

裂项 消元法

? ? 1 1 1 ? ? ?1 ? ? ? …+ 4? 2 6? 4 2n ? (2n ? 2) ? ? ? ? 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? ? 1 ? ? ?1 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? …+ ? ? ?? ? ? 2n-2 2n ? ? ? ? 2 ?? 2 4 ? ? 4 6 ?
? 1 1? 5 ? 6 ? 3 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? 4 2 4 ? 4 4n ?

? ? 1 1 1 ? ? ?1 ? 2 ? 2 ? …+ ? 2 (2n ? 1) ? 1 ? ? 3 ?1 5 ?1


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