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初升高衔接课讲义学生版



学数学的几个建议:



1、 记数学笔记, 特别是对概念理解的不同侧面和数学规律, 教师为备战高考而加的课外知识。 记 录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题,以及你还存在的未解决的问题,以便今后将其补 上。 2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再犯。争取做到:找 错、析错、改错、防错。达到:

能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个 水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 3、熟记一些数学规律和数学小结论,使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的 熟练程度。 4、经常对知识结构进行梳理,形成板块结构,实行“整体集装”,如表格化,使知识结构 一目了然;经常对习题进行类化,由一例到一类,由一类到多类,由多类到统一;使几类问题 归纳于同一知识方法。 5、多做数学课外题,在学校基础上适当加量,拓展自己的知识面。 6、及时复习,强化对基本概念知识体系的理解与记忆,进行适当的反复巩固,消灭前学后忘。 7、学会从多角度、多层次地进行总结归类。如:①从数学思想分类②从解题方法归类③ 从知识应用上分类等,使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。 8、经常在做题后进行一定的“反思”,思考一下本题所用的基础知识,数学思想方法是什 么,为什么要这样想,是否还有别的想法和解法,本题的分析方法与解法,在解其它问题时, 是否也用到过。 9、无论是作业还是测验,都应把准确性放在第一位,通法放在第一位,而不是一味地去 追求速度或技巧,这是学好数学的重要问题。

初高中数学衔接教材
现有初高中数学知识存在以下“脱节” 1.立方和与差的公式初中已删去不讲,而高中的运算还在用。 2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解,对系数不为“1”的涉及不多, 而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要 求,但高中教材许多化简求值都要用到,如解方 程、不等式等。 3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中函数、不 等式常用的解题技巧。 4.初中教材对二次函数要求较低,学生处于了解水平,但二次函数却是高中贯穿始终的 重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值,研究闭
1

区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系,根与系数的关系(韦达定理)在初中不作 要求,此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型,而在高中二次函数、二次不等式 与二次方程相互转化被视为重要内容, 6.图像的对称、平移变换,初中只作简单介绍,而在高中讲授函数后,对其图像的上、 下;左、右平移,两个函数关于原点,轴、直线的对称问题必须掌握。 7.含有参数的函数、方程、不等式,初中不作要求,只作定量研究,而高中这部分内容视 为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8.几何部分很多概念(如重心、垂心等)和定理(如平行线分线段比例定理,射影定理, 相交弦定理等)初中生大都没有学习,而高中都要涉及。 另外,像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化,不利于高中知识的讲授。

目 1.1 数与式的运算 1.1.1 绝对值 1.1.2. 乘法公式 1.1.3.二次根式 1.1.4.分式 1 .2 2.1 2.1.2 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 分解因式 一元二次方程 根与系数的关系(韦达定理) 二次函数 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质 二次函数的三种表示方式 二次函数的简单应用



2.1.1 根的判别式

2.3 方程与不等式 2.3.1 2.3.2 二元二次方程组解法 一元二次不等式解法

3.1

相似形

3.1.1.平行线分线段成比例定理
2

3.1.2 相似形 3.2 3.2.2 3.3 圆 3.3.1 直线与圆,圆与圆的位置关系 三角形 几种特殊的三角形 3.2.1 三角形的“四心”

1.1 数与式的运算 1.1.1.绝对值 一、概念:绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的 ?a, a ? 0, ? 绝对值仍是零.即 | a |? ?0, a ? 0, ??a, a ? 0. ? 绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义: a ? b 表示在数轴上,数 a 和数 b 之间的距离. 二、典型例题: 例 1 解不等式: | x ? 1 |? 4

练 习A 1.填空: (1)若 x ? 5 ,则 x=_________;若 x ? ? 4 ,则 x=_________. (2)如果 a ? b ? 5 ,且 a ? ?1 ,则 b=________;若 1 ? c ? 2 ,则 c=________. 2.选择题: 下列叙述正确的是 (A)若 a ? b ,则 a ? b (C)若 a ? b ,则 a ? b ( (B)若 a ? b ,则 a ? b (D)若 a ? b ,则 a ? ?b )

练习 B
3

3.解不等式: | x ? 2 |? 3

4、化简:|x-5|-|2x-13|(x>5) .

1.1.2. 乘法公式 一、复习:我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: (1)平方差公式 (a ? b)(a ? b) ? a2 ? b2 ; 2 2 2 (2)完全平方公式 (a ? b) ? a ? 2 a b? . b 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: 2 3 (1)立方和公式 (a ? b) (a ? ab ? 2 b) ? 3 a?; b 2 2 3 3 (a ? b) (a ? a b ? b) ? a?;b 建 (2)立方差公式 议 2 2 2 ; (a ? b ? c ) ? a ?b ?2 c 2 ? ( a b? b c ? )ac 记 (3)三数和平方公式 3 3 2 2 3 住 (4)两数和立方公式 (a ? b) ? a ? 3 a b? 3 a b?;b 3 3 2 3 (5)两数差立方公式 (a ? b) ? a ?3 a b? 3 a2b?. b 对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明. 二、典型例题 例 1 计算: ( x ? 1)( x ?1)( x2 ? x ? 1)( x2 ? x ? 1) .

例2

已知 a ? b ? c ? 4 , ab ? bc ? ac ? 4 ,求 a 2 ? b2 ? c2 的值.

练 习A 1.填空: 1 1 1 1 (1) a 2 ? b 2 ? ( b ? a) ( 9 4 2 3 2 2 (2) (4m ? ) ? 16m ? 4m ? ( ) ; (3 ) (a ? 2b ? c)2 ? a2 ? 4b2 ? c2 ? ( ) . 2.选择题:
4

) ;

1 (1)若 x 2 ? mx ? k 是一个完全平方式,则 k 等于 ( 2 1 1 1 (A) m 2 (B) m 2 (C) m 2 (D) m 2 4 16 3 2 2 (2)不论 a , b 为何实数, a ? b ? 2a ? 4b ? 8 的值 ( (A)总是正数 (B)总是负数 (C)可以是零 (D)可以是正数也可以是负数





1.1.3.二次根式 一、概念:一般地,形如 a (a ? 0) 的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得 尽方的式子称为无理式 . 例如 3a ? a2 ? b ? 2b , a2 ? b2 等是无理式,而 2 x 2 ?
2 x ?1, 2

x2 ? 2xy ? y2 , a2 等是有理式.
1.分母(子)有理化:把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化. 有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们就说 这两个代数式互为有理化因式,例如 2 与 2 , 3 a 与 a , 3 ? 6 与 3 ? 6 , 2 3 ? 3 2 与 2 3 ? 3 2 ,等等. 一般地, a x 与 x , a x ? b y 与 a x ? b y , a x ? b 与 a x ? b 互 为有理化因式. 分母有理化:分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程; 分子有理化:分母和分子都乘以分子的有理化因式,化去分子中的根号的过程。 在二次根式的化简与运算过程中, 二次根式的乘法可参照多项式乘法进行,运算中要运用 公式 a b ? ab (a ? 0, b ? 0) ;而对于二次根式的除法,通常先写成分式的形式,然后通过分 母有理化进行运算; 二次根式的加减法与多项式的加减法类似,应在化简的基础上去括号与合 并同类二次根式. 2.二次根式 a2 的意义 a 2 ? a ? ?
?a, a ? 0, ??a, a ? 0.

二、典型例题 例1 将下列式子化为最简二次根式: (1) 12b ; (2) a 2b (a ? 0) ; (3) 4 x 6 y ( x ? 0) .

例2

计算: 3 ? (3 ? 3) .

5

例3

试比较下列各组数的大小: (1) 12 ? 11 和 11 ? 10 ; (2)
2 和 2 2- 6 . 6?4

例4

化简: ( 3 ? 2)2004 ? ( 3 ? 2)2005 .

例 5

化简: (1) 9 ? 4 5 ;

(2) x 2 ?

1 ? 2(0 ? x ? 1) . x2

练 习A 1.填空:
6

(1)

1? 3 =__ 1? 3

___; ___;

(2)若 (5 ? x)( x ? 3) 2 ? ( x ? 3) 5 ? x ,则 x 的取值范围是_ _ (3) 4 24 ? 6 54 ? 3 96 ? 2 150 ? __ (4)若 x ? ___;

5 x ? 1 ? x ?1 x ? 1 ? x ?1 ,则 __. ? ? ______ 2 x ? 1 ? x ?1 x ? 1 ? x ?1 (提示先简化后代入)

2.选择题:

x x 成立的条件是 ? x?2 x?2 (A) x ? 2 (B) x ? 0
等式

( (C) x ? 2



(D) 0 ? x ? 2

练习 B 3.若 b ?

a2 ?1 ? 1 ? a2 ,求 a ? b 的值. a ?1

4.比较大小:2- 3 5- 4(填“>”,或“<”) .

1.1.4.分式 一、概念:1.分式的意义
A A A 的式子,若 B 中含有字母,且 B ? 0 ,则称 为分式.当 M≠0 时,分式 具有下 B B B A A? M A A? M ? 列性质: ? ; . 上述性质被称为分式的基本性质. B B?M B B? M

形如

a m?n? p 2.繁分式:像 b , 这样,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式. 2m c?d n? p
二、典型例题:

7

例1



5x ? 4 A B ,求常数 A, B 的值. ? ? x( x ? 2) x x ? 2

1 1 1 ? ? (其中 n 是正整数) ; n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 ? ?? ? (2)计算: ; 1? 2 2 ? 3 9 ?10 1 1 1 1 (3)证明:对任意大于 1 的正整数 n, 有 ? ?? ? ? . 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) 2

例2

(1)试证:

例3

设e ?

c ,且 e>1,2c2-5ac+2a2=0,求 e 的值. a

练习 A 1.填空题: 对任意的正整数 n,
1 1 1 ?( ? ); n n?2 n(n ? 2)

2.选择题: 2x ? y 2 x ? ,则 = 若 x? y 3 y (A)1 (B)
5 4

( (C)


4 5

(D)

6 5

8

3.正数 x , y 满足 x 2 ? y 2 ? 2 xy ,求

x? y 的值. x? y

4.计算

1 1 1 1 ? ? ? ... ? . 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 99 ?100

习题 1.1 A 组 1.解不等式: x ?1 ? 3

2.已知 x ? y ? 1 ,求 x3 ? y3 ? 3xy 的值.

3.填空: (1) (2 ? 3)18 (2 ? 3)19 =________; (2)若 (1 ? a ) 2 ? (1 ? a) 2 ? 2 ,则 a 的取值范围是________; 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ________. (3) 1? 2 2? 3 3? 4 4? 5 5? 6 1 1 3a 2 ? ab ? ____ ____; 4.填空: a ? , b ? ,则 2 2 3 3a ? 5ab ? 2b 2 y y 1 1 5.已知: x ? , y ? ,求 的值. ? 2 3 x? y x? y

9

B 组 1.选择题: (1)若 ? a ? b ? 2 ab ? ?b ? ? a ,则 ( (A) a ? b (B) a ? b (C) a ? b ? 0 (2)计算 a ? ) (D) b ? a ? 0

1 等于 a



) (D) ? a

(A) ?a (B) a 1 1 1 1 ? ? ?? ? 2.计算: . 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 9 ?11

(C) ? ?a

1.2 分解因式 一、复习引申:因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法, 另外还应了解求根法及待定系数法. 1.十字相乘法 例1 分解因式: (1)x2-3x+2; (3) x2 ? (a ? b) xy ? aby 2 ; (2)x2+4x-12; (4) xy ? 1 ? x ? y .

2.提取公因式法与分组分解法 例2 分解因式: (1) x3 ? 9 ? 3x2 ? 3x ; (2) 2x2 ? xy ? y 2 ? 4x ? 5 y ? 6 .

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3.关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a≠0)的因式分解. 若关于 x 的方程 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两个实数根是 x1 、 x2 ,则二次三项式 ax2 ? bx ? c(a ? 0) 就可分解为 a( x ? x1 )( x ? x2 ) . 例 3 把下列关于 x 的二次多项式分解因式: (1 ) x 2 ? 2 x ? 1 ; (2) x2 ? 4 xy ? 4 y 2 .

二、练习 A 1.选择题: 多项式 2x2 ? xy ?15 y 2 的一个因式为 ( ) (A) 2 x ? 5 y (B) x ? 3 y (C) x ? 3 y (D) x ? 5 y 2.分解因式: (1)x2+6x+8; (2)8a3-b3;

(3)x2-2x-1;

(4) 4( x ? y ? 1) ? y( y ? 2 x) .

练习 B 组 1.分解因式: (1) a 3 ? 1 ; (2) 4 x 4 ? 13x 2 ? 9 ;

(3) b2 ? c2 ? 2ab ? 2ac ? 2bc ;

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2.在实数范围内因式分解: (1 ) x 2 ? 5 x ? 3 ; (2) x2 ? 2 2 x ? 3 ;

(3) 3x2 ? 4 xy ? y 2 ;

3.分解因式:x2+x-(a2-a).

2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式 一、概念:我们知道,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,用配方法可以将其变形为 2 b b ? 4ac ( x ? )2 ? . ① 2a 4a 2 因为 a≠0,所以,4a2>0.于是 (1) 当 b2-4ac>0 时, 方程①的右端是一个正数, 因此, 原方程有两个不相等的实数根 x1,

?b ? b2 ? 4ac ; 2= 2a (2)当 b2-4ac=0 时,方程①的右端为零,因此,原方程有两个相等的实数根 b x1=x2=- ; 2a b (3)当 b2-4ac<0 时,方程①的右端是一个负数,而方程①的左边 ( x ? ) 2 一定大于或 2a 等于零,因此,原方程没有实数根. 由此可知,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可以由 b2-4ac 来判定,我们 把 b2-4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用符号“Δ”来表示. 综上所述,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,有 ?b ? b2 ? 4ac ; 2a b (2)当 Δ=0 时,方程有两个相等的实数根 x1=x2=- ; 2a (3)当 Δ<0 时,方程没有实数根.
(1) 当 Δ>0 时,方程有两个不相等的实数根 x1,2=

12

二、典型例题: 例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况(其中 a 为常数) ,如果方程有实数根,写出方 程的实数根. (1)x2-3x+3=0; (2)x2-ax-1=0;

(3) x2-ax+(a-1)=0;

(4)x2-2x+a=0.

2.1.2

根与系数的关系(韦达定理)

一、概念:1、若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac , x2 ? ,则有 x1 ? 2a 2a ?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac ?2b b x1 ? x2 ? ? ? ?? ; 2a 2a 2a a 2 2 2 2 ?b ? b ? 4ac ?b ? b ? 4ac b ? (b ? 4ac) 4ac c x1 x2 ? ? ? ? 2? . 2a 2a 4a 2 4a a 所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:
b c 如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是 x1,x2,那么 x1+x2= ? ,x1· x2= .这一关系 a a

也被称为韦达定理. 2、特别地,对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2+px+q=0,若 x1,x2 是其两根,由 韦达定理可知 x1+x2=-p,x1· x2=q, 即 p=-(x1+x2),q=x1· x2, 所以,方程 x2+px+q=0 可化为 x2-(x1+x2)x+x1· x2=0,由于 x1,x2 是一元二次方程 x2 +px+q=0 的两根,所以,x1,x2 也是一元二次方程 x2-(x1+x2)x+x1· x2=0 的两根,因此有 以两个数 x1,x2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是 x2-(x1+x2)x+x1· x2=0. 二、典型例题: 例 2 已知方程 5 x ? kx ? 6 ? 0 的一个根是 2,求它的另一个根及 k 的值.
2

13

例3 已知关于 x 的方程 x2+2(m-2)x+m2+4=0 有两个实数根,并且这两个实数根的平方 和比两个根的积大 21,求 m 的值.

例4

已知两个数的和为 4,积为-12,求这两个数.

若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x2+5x-3=0 的两根. 1 1 (1)求| x1-x2|的值; (2)求 2 ? 2 的值; (3)x13+x23. x1 x2 例5

说明: 一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量,今后我们经常会遇到求这一个量的 问题,为了解题简便,我们可以探讨出其一般规律: 设 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,则

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac , x2 ? , x1 ? 2a 2a
?b ? b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac 2 b 2 ? 4ac ? ? ∴| x1-x2|= 2a 2a 2a

b2 ? 4ac ? . ? |a| |a| 于是有下面的结论: ?
? (其中 Δ=b2-4ac) . |a| 今后,在求一元二次方程的两根之差的绝对值时,可以直接利用上面的结论.
若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) , 则| x1-x2|=
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例 6 若关于 x 的一元二次方程 x2-x+a-4=0 的一根大于零、另一根小于零,求实数 a 的取 值范围.

练习 A 1.选择题: (1)方程 x2 ? 2 3kx ? 3k 2 ? 0 的根的情况是 ( ) (A)有一个实数根 (B)有两个不相等的实数根 (C)有两个相等的实数根 (D)没有实数根 (2)若关于 x 的方程 mx2+ (2m+1)x+m=0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范 围是 ( ) 1 1 1 1 (A)m< (B)m>- (C)m< ,且 m≠0 (D)m>- ,且 m≠0 4 4 4 4 2 (3)已知关于 x 的方程 x +kx-2=0 的一个根是 1,则它的另一个根是( ) (A)-3 (B)3 (C)-2 (D)2 (4)下列四个说法: ①方程 x2+2x-7=0 的两根之和为-2,两根之积为-7; ②方程 x2-2x+7=0 的两根之和为-2,两根之积为 7; 7 ③方程 3 x2-7=0 的两根之和为 0,两根之积为 ? ; 3 2 ④方程 3 x +2x=0 的两根之和为-2,两根之积为 0. 其中正确说法的个数是 ( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 2 2 (5)关于 x 的一元二次方程 ax -5x+a +a=0 的一个根是 0,则 a 的值是( ) (A)0 (B)1 (C)-1 (D)0,或-1 2.填空: 1 1 (1)若方程 x2-3x-1=0 的两根分别是 x1 和 x2,则 ? =. x1 x2 2 (2)方程 mx +x-2m=0(m≠0)的根的情况是. (3)以-3 和 1 为根的一元二次方程是. (4)方程 kx2+4x-1=0 的两根之和为-2,则 k=. (5)方程 2x2-x-4=0 的两根为 α,β,则 α2+β2=. (6)已知关于 x 的方程 x2-ax-3a=0 的一个根是-2,则它的另一个根是 . (7)方程 2x2+2x-1=0 的两根为 x1 和 x2,则| x1-x2|=.

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3.已知 a 2 ? 8a ? 16 ? | b ? 1|? 0 ,当 k 取何值时,方程 kx2+ax+b=0 有两个不相等的实数根?

4.已知方程 x2-3x-1=0 的两根为 x1 和 x2,求(x1-3)( x2-3)的值.

5. 试判定当 m 取何值时, 关于 x 的一元二次方程 m2x2-(2m+1) x+1=0 有两个不相等的实数 根?有两个相等的实数根?没有实数根?

6.求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程 x2-7x-1=0 各根的相反数.

练习 B 组 1.选择题: 若关于 x 的方程 x2+(k2-1) x+k+1=0 的两实根互为相反数,则 k 的值为 ( ) (A)1,或-1 (B)1 (C)-1 (D)0 2.填空: (1)若 m,n 是方程 x2+2005x-1=0 的两个实数根,则 m2n+mn2-mn 的值等于. (2)如果 a,b 是方程 x2+x-1=0 的两个实数根,那么代数式 a3+a2b+ab2+b3 的值是. 3.已知关于 x 的方程 x2-kx-2=0. (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)设方程的两根为 x1 和 x2,如果 2(x1+x2)>x1x2,求实数 k 的取值范围.

4.一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为 x1 和 x2.求:
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(1)| x1-x2|和

x1 ? x2 ; (2)x13+x23. 2

5.关于 x 的方程 x2+4x+m=0 的两根为 x1,x2 满足| x1-x2|=2,求实数 m 的值.

2.2.1

2.2 二次函数 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质

二、典型例题: 例 1 求二次函数 y=-3x2-6x+1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最 小值) ,并指出当 x 取何值时,y 随 x 的增大而增大(或减小)?并画出该函数的图象.

例 2 某种产品的成本是 120 元/件,试销阶段每件产品的售价 x(元)与产品的日销售量
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y(件)之间关系如下表所示: 130 150 165 x /元 70 50 35 y/件 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数,那么,要使每天所获得最大的利润,每件产品的销 售价应定为多少元?此时每天的销售利润是多少?

例 3 把二次函数 y=x2+bx+c 的图像向上平移 2 个单位,再向左平移 4 个单位,得到函数 y =x2 的图像,求 b,c 的值.

三、练习 A
18

1.选择题: (1)下列函数图象中,顶点不在坐标轴上的是 (A)y=2x2 (B)y=2x2-4x+2 (C)y=2x2-1 (D)y=2x2-4x (2)函数 y=2(x-1)2+2 是将函数 y=2x2 (A)向左平移 1 个单位、再向上平移 2 个单位得到的 (B)向右平移 2 个单位、再向上平移 1 个单位得到的 (C)向下平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 (D)向上平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的









2.填空题 (1)二次函数 y=2x2-mx+n 图象的顶点坐标为(1,-2),则 m=,n=. (2)已知二次函数 y=x2+(m-2)x-2m,当 m=时,函数图象的顶点在 y 轴上;当 m=时, 函数图象的顶点在 x 轴上;当 m=时,函数图象经过原点. (3)函数 y=-3(x+2)2+5 的图象的开口向,对称轴为,顶点坐标为;当 x=时,函数取最 值 y=;当 x 时,y 随着 x 的增大而减小. 3.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及 y 随 x 的变化情况, 并画出其图象. (1)y=x2-2x-3; (2)y=1+6 x-x2.

2.2.2 二次函数的三种表示方式
当抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴相交时,其函数值为零,于是有 ax2+bx+c=0. ①
2

并且方程①的解就是抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交点的横坐标 (纵坐标为零) , 于是, 不难发现,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交点个数与方程①的解的个数有关,而方程①的 解的个数又与方程①的根的判别式 Δ=b2-4ac 有关,由此可知,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0) 与 x 轴交点个数与根的判别式 Δ=b2-4ac 存在下列关系: (1)当 Δ>0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点;反过来,若抛物线 y=ax2 +bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点,则 Δ>0 也成立.
19

(2) 当 Δ=0 时, 抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有一个交点 (抛物线的顶点) ; 反过来, 若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有一个交点,则 Δ=0 也成立. (3)当 Δ<0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴没有交点;反过来,若抛物线 y=ax2 +bx+c(a≠0)与 x 轴没有交点,则 Δ<0 也成立. 于是,若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点 A(x1,0),B(x2,0),则 x1,x2 是方 b c 程 ax2+bx+c=0 的两根,所以 x1+x2= ? ,x1x2= , a a b c 即 =-(x1+x2), =x1x2. a a b c 所以,y=ax2+bx+c=a( x 2 ? x ? ) a a 2 = a[x -(x1+x2)x+x1x2] =a(x-x1) (x-x2). 由上面的推导过程可以得到下面结论: 若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交于 A(x1,0),B(x2,0)两点,则其函数关系式可以表 示为 y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0). 这样,也就得到了表示二次函数的第三种方法: 3.交点式:y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0),其中 x1,x2 是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标. 今后, 在求二次函数的表达式时, 我们可以根据题目所提供的条件, 选用一般式、 顶点式、 交点式这三种表达形式中的某一形式来解题.

二、典型例题: 例 1 已知某二次函数的最大值为 2, 图像的顶点在直线 y=x+1 上, 并且图象经过点 (3, -1 ) ,求二次函数的解析式.

例 2 已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到 x 轴的距离等于 2,求此二次 函数的表达式.

20

例 3 已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式.

三、练习 A 1.选择题: (1)函数 y=-x2+x-1 图象与 x 轴的交点个数是 ( ) (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)无法确定 1 (2)函数 y=-2 (x+1)2+2 的顶点坐标是 ( ) (A)(1,2) (B)(1,-2) (C)(-1,2) (D)(-1,-2) 2.填空: (1)已知二次函数的图象经过与 x 轴交于点(-1,0)和(2,0),则该二次函数的解析式可设 为 y=a(a≠0) . (2)二次函数 y=-x2+2 3x+1 的函数图象与 x 轴两交点之间的距离为. 3.根据下列条件,求二次函数的解析式. (1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6); (2)当 x=3 时,函数有最小值 5,且经过点(1,11);

21

(3)函数图象与 x 轴交于两点(1- 2,0)和(1+ 2,0),并与 y 轴交于(0,-2).

2.2.3

二次函数的简单应用

一、函数图象的平移变换与对称变换 1.平移变换 例 1 求把二次函数 y=x2-4x+3 的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解 析式: (1)向右平移 2 个单位,向下平移 1 个单位; (2)向上平移 3 个单位,向左平移 2 个单位.

2.对称变换 例 2 求把二次函数 y=2x2-4x+1 的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式: (1)直线 x=-1; (2)直线 y=1.

二、分段函数:一般地,如果自变量在不同取值范围内时,函数由不同的解析式给出,这种函 数,叫作分段函数. 例 3 在国内投递外埠平信, 每封信不超过 20g 付邮资 80 分,超过 20g 不超过 40g 付邮资 160
22

分,超过 40g 不超过 60g 付邮资 240 分,依此类推,每封 xg(0<x≤100)的信应付多少邮资(单 位:分)?写出函数表达式,作出函数图象.

三、配方法及其应用 用配方来解决最大(小)值等问题的方法叫作配方法,这是高中数学最重要的方法之一。 例 1、将下列二次函数式配方: (1 ) y ? x 2 ? 2 x ? 3 (3) y ? ?3x 2 ? 6 x ? 1

(2) 2 x 2 ? 5 x ? 1 (4) y ? 1 ? 4 x ? 5x 2

例 2、求下列二次函数的最大(或最小)值: (1) y ? 2x 2 ? 3x (2) y ? 1 ? 6x ? x 2 1 1 (3 ) y ? x 2 ? 2 x ? 1 (4) y ? ? x 2 ? x ? 4 2 4

思考:1、二次函数式的配方和分解因式的区别是什么? 2、你是否已概括出了配方的几个步骤?(注:最好不要用公式去套)
23

四、练习 A 组 将下列二次函数配方 (1) y ? x 2 ? 3x

(2 ) y ? 2 x 2 ? 4 x ? 1

(3) y ? ?2 x 2 ? 6 x ? 1

(4 ) y ?

1 2 2 x ? x ?1 3 3

(5) y ? x( x ? 4)

(6) y ? ( x ? 2)(x ? 4)

(7) y ? ?( x ? 2)(x ? 1)

(8 ) y ?

1 ( x ? 3)( x ? 5) 2

(9) y ? ( x ? 1) 2 ? 2( x ? 1)

(10) y ? ( x ? 1) 2 ? 4x ? 3

(11) y ? 1 ? 3x ?

1 2 x 2

(12) y ? 0.1x 2 ? 0.4x ? 0.6

(13) y ?

3 2 6 x ? x 5 5

(14) y ? x 4 ? 2x 2 ? 3

(15) y ? 2 x 4 ? 2 x 2 ? 1

2.3 方程与不等式 2.3.1 二元二次方程组解法
24

一、概念:是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是 2 的整式方程,这样的方 程叫做二元二次方程.其中 x 2 , 2 xy , y 2 叫做这个方程的二次项, x , y 叫做一次项,6 叫做常数项. 我们看下面的两个方程组: ? x 2 ? 4 y 2 ? x ? 3 y ? 1 ? 0, ? ? 2 x ? y ? 1 ? 0;
? x 2 ? y 2 ? 20, ? ? 2 2 ? ? x ? 5 xy ? 6 y ? 0.

第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的, 第二个方程组是由两个二元 二次方程组成的,像这样的方程组叫做二元二次方程组. 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解. 二、典型例题: 例 1 解方程组 ? x2 ? 4 y 2 ? 4 ? 0, ? ? x ? 2 y ? 2 ? 0.

① ②

例2

解方程组 ? x ? y ? 7, ? ? xy ? 12.

① ②

三、练习 A

? x 2 ? y 2 ? 13, 1.下列各组中的值是不是方程组 ? 的解? ?x ? y ? 5
25





? x ? 2, ? x ? 3, (1) ? (2) ? ? y ? 3; ? y ? 2; 2.解下列方程组: ? y ? x ? 5, (1) ? 2 2 ? x ? y ? 625;

? x ? 1, (3) ? ? y ? 4;

? x ? ?2, (4) ? ? y ? ?3;

? x ? y ? 3, (2) ? ? xy ? ?10;

(3)

? x2 y 2 ? 1, ? ? 4 ?5 ? y ? x ? 3; ?

2 ? ? y ? 2x , (4) ? 2 2 ? ? x ? y ? 8.

2.3.2

一元二次不等式解法

一、引入:二次函数 y=x2-x-6 的对应值表与图象如下:

x y

-3 6

-2 0

-1 -4

0 -6

1 -6

2 -4

3 0

4 6

由对应值表及函数图象(如图 2.3-1)可知 当 x=-2,或 x=3 时,y=0, 即 x2-x-6=0; 当 x<-2,或 x>3 时,y>0, 即 x2-x-6>0; 当-2<x<3 时,y<0, 即 x2-x-6<0. 这就是说,如果抛物线 y= x2-x-6 与 x 轴的交点是(-2,0)与(3,0),那么 一元二次方程 x2-x-6=0 的解就是 x1=-2,x2=3;
26

同样,结合抛物线与 x 轴的相关位置,可以得到一元二次不等式 x2-x-6>0 的解是 <-2,或 x>3; 一元二次不等式 x2-x-6<0 的解是 -2<x<3.

x

上例表明: 由抛物线与 x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不 等式的解集. 那么,怎样解一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)呢? 我们可以用类似于上面例子的方法,借助于二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象来解一元 二次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0). 为了方便起见,我们先来研究二次项系数 a>0 时的一元二次不等式的解. 我们知道, 对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0), 设△=b2-4ac, 它的解的情形按照△>0, △=0,△<0 分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实 数解,相应地,抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)与 x 轴分别有两个公共点、一个公共点和没有 公共点(如图 2.3-2 所示),因此,我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式 ax2+ bx+c>0(a>0)与 ax2+bx+c<0(a>0)的解. (1)当 Δ>0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)与 x 轴有两个公共点(x1,0)和(x2,0),方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根 x1 和 x2(x1<x2),由图 2.3-2①可知
y y y

x1

O x2

x x1= x2

O ①

x

O ③

x

② 图 2.3-2

不等式 ax2+bx+c>0 的解为 不等式 ax2+bx+c<0 的解为

x<x1,或 x>x2; x1<x<x2.

(2)当 Δ=0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)与 x 轴有且仅有一个公共点,方程 ax2+bx+ b c=0 有两个相等的实数根 x1=x2=-2a ,由图 2.3-2②可知 b 不等式 ax2+bx+c>0 的解为 x≠-2a ; 不等式 ax2+bx+c<0 无解. (3)如果△<0,抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)与 x 轴没有公共点,方程 ax2+bx+c=0 没有 实数根,由图 2.3-2③可知不等式 ax2+bx+c>0 的解为一切实数; 不等式 ax2+bx+c<0 无解.

27

今后,我们在解一元二次不等式时,如果二次项系数大于零,可以利用上面的结论直接求解; 如果二次项系数小于零,则可以先在不等式两边同乘以-1,将不等式变成二次项系数大于零 的形式,再利用上面的结论去解不等式. 二、典型例题: 例 3 解不等式: (1)x2+2x-3<0; (3)4x2+4x+1≥0; (5)-4+x-x2<0.

(2)x-x2+6<0; (4)x2-6x+9≤0;

三、练习 A 1.解下列不等式: (1)3x2-x-4>0; (2)x2-x-12<0;

(3)x2+3x-4>0;

(4)16-8x+x2≤0.

2.解下列方程组: ? x2 ? ? y 2 ? 1, (1) ? 4 ? x ? y ? 2 ? 0; ?

?( x ? 3)2 ? y 2 ? 9, (2) ? ? x ? 2 y ? 0;

2 2 ? ? x ? y ? 4, (3) ? 2 2 ? ? x ? y ? 2.

28

3.解下列不等式: (1)3x2-2x+1<0;

(2)3x2-4<0;

(3)2x-x2≥-1;

练习 B 组

? y ? 4 x, 1. m 取什么值时,方程组 ? 有一个实数解?并求出这时方程组的解. ? y ? 2x ? m
2

2.已知关于 x 不等式 2x2+bx-c>0 的解为 x<-1,或 x>3.试解关于 x 的不等式 bx2+cx+4≥0.

29

3.1 相似形
3.1.1.平行线分线段成比例定理
一、引入 在解决几何问题时, 我们常涉及到一些线段的长度、 长度比的问题.在数学学习与研究中, 我们发现平行线常能产生一些重要的长度比. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例 .
AB DE AB DE = ? .当然,也可以得出 .在运用该定理解决问题 BC EF AC DF 的过程中,我们一定要注意线段之间的对应关系,是“对应”线段成比例. 二、典例

如图 3.1-2, l1 // l2 // l3 ,有

例1

如图 3.1-2, l1 // l2 // l3 ,且 AB = 2, BC = 3, DF = 4, 求 DE, EF .
图 3.1-2

例 2 在△ABC 中, D, E 为边 AB, AC 上的点, DE // BC , 求证:
AD AE DE ? ? . AB AC BC

图 3.1-3

从上例可以得出如下结论: 1.平行于三角形的一边的直线截其它两边(或两边的延长线) ,所得的对应线段成比例 . 2.平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形 的三边对应成比例. AB BD = 例3 在△ABC 中, AD 为∠BAC 的平分线,求证: . AC DC

图 3.1-5
30

例 3 的结论也称为角平分线性质定理,可叙述为角平分线分对边成比例(等于该角的两边之 比). 练习 A 1.如图 3.1-6, l1 // l2 // l3 ,下列比例式正确的是()
AD = DF CE = C. DF

A.

CE BC AD BC

B.

AD = BE AF = D. DF

BC AF BE CE

图 3.1-6

2.如图 3.1-7, DE // BC, EF // AB, AD = 5cm, DB = 3cm, FC = 2cm, 求 BF .

图 3.1-7

3.如图,在△ABC 中,AD 是角 BAC 的平分线,AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求 BD 的长.

图 3.1.8

4.如图,在△ABC 中,∠BAC 的外角平分线 AD 交 BC 的延长线于点 D ,求证:

AB BD = . AC DC

31

图 3.1.9

3.1.2 相似形 我们学过三角形相似的判定方法, 想一想,有哪些方法可以判定两个三角形相似?有哪些 方法可以判定两个直角三角形相似? 例 4 如图 3.1-12,在直角三角形 ABC 中,∠BAC 为直角, AD ? BC 于 D. 求证: (1)AB2=BD·BC, AC2=CD·CB; (2)AD2=BD·CD

我们把这个例题的结论称为射影定理,该定理对直角三角形的运算很有用.

例 5、在△ABC 中,AD⊥BC 于 D,DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F, 求证:AE·AB=AF·AC 图 3.1—13

练习 2(A 组) 1. 如图 3.1-15, D 是△ABC 的边 AB 上的一点, 过 D 点作 DE//BC 交 AC 于 E.已知 AD: DB=2: 3,
32

则 S ?ADE : S四边形BCDE 等于() A. 2 : 3 B. 4 : 9 C. 4 : 5 D. 4 : 21 2.若一个梯形的中位线长为 15,一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是 3: 2 , 则梯形的上、下底长分别是__________. 3.已知:△ABC 的三边长分别是 3,4,5,与其相似的△ A' B ' C ' 的最大边长是 15,求△ A' B ' C ' 的面积 S ?A'B 'C ' .

4.已知:如图 3.1-16,在四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点. (1) 请判断四边形 EFGH 是什么四边形,试说明理由; (2) 若四边形 ABCD 是平行四边形,对角线 AC、BD 满足什么条件时,EFGH 是菱形?是正方 形?

3.1-16

5.如图 3.1-17,点 C、D 在线段 AB 上, ?PCD 是等边三角形, (1) 当 AC、CD、DB 满足怎样的关系时, ?ACP ∽ ?PDB ? (2) 当 ?ACP ∽ ?PDB 时,求 ?APB 的度数.

3.1-17

33

习题 3.1 A组 1. 如图 3.1-18,中,AD=DF=FB,AE=EG=GC,FG=4,则() A.DE=1,BC=7 B.DE=2,BC=6 C.DE=3,BC=5 D.DE=2,BC=8 2. 如图 3.1-19,BD、CE 是 ?ABC 的中线,P、Q 分别是 BD、CE 的中点, 则 PQ : BC 等于() A.1:3 C.1:5 B.1:4 D.1:6

3.1-18

3. 如图 3.1-20,ABCD 中,E 是 AB 延长线上一点,DE 交 BC 于点 F,已知 BE:AB=2:3, S?BEF ? 4 ,求 S ?CDF .

3.1-19

3.1-20

4. 如图 3.1-21,在矩形 ABCD 中,E 是 CD 的中点, BE ? AC 交 AC 于 F,过 F 作 FG//AB 交 AE 于 G,求证: AG2 ? AF ? FC. .

3.1-21

34

3.2 三角形 3.2.1 三角形的“四心” 二、典例 结论 1:三角形的三条中线交于一点,且被该交点分成的两段长度之比为 2:1. 已知:D、E、F 分别为Δ ABC 三边 BC、CA、AB 的中点, 求证:AD、BE、CF 交于一点,且都被该点分成 2:1.

结论:2: 三角形的三条角平分线相交于一点, 是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部, 它到三角形的三边的距离相等. 例2 已知Δ ABC 的三边长分别为 BC = a, AC = b, AB = c ,I 为Δ ABC 的内心,且 I 在Δ ABC 的
b+ c- a . 2

边 BC、AC、AB 上的射影分别为 D、E、F ,求证: AE = AF =

图 3.2-6

结论 3:三角形的三条高所在直线相交于一点,该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一 定在三角形的内部,直角三角形的垂心为他的直角顶点,钝角三角形的垂心在三角形的外部.

35

例 4 求证:三角形的三条高交于一点. 已知Δ ABC 中,AD⊥BC 于 D,BE⊥AC 于 E,AD 与 BE 交于 H 点. 求证:CH⊥AB 证明 以 CH 为直径作圆, ∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠HDC=∠HEC=90° ∴D、E 在以 CH 为直径的圆上, ∴∠FCB=∠DEH 同理,E、D 在以 AB 为直径的圆上,可得 ∠BED=∠BAD ∴∠BCH=∠BAD, 又Δ ABD 与Δ CBF 有公共角∠B,∠CFB=∠ADB=90°,即 CH⊥AB。

图 3.2-9

结论 4:过不共线的三点 A、B、C 有且只有一个圆,该圆是三角形 ABC 的外接圆,圆心 O 为 三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等,是各边的垂直平分线的交点.

练习 1(A 组) 1. (1) 若三角形 ABC 的面积为 S,且三边长分别为 a、b、c ,则三角形的内切圆的半径 是___________; (2)若直角三角形的三边长分别为 a、b、c (其中 c 为斜边长) ,则三角形的内切圆的半 径是___________. 并请说明理由. 3.2.2 几种特殊的三角形

等腰三角形:底边上三线(角平分线、中线、高线)合一。 内心 I、重心 G、垂心 H 必然在一条直线上。 例 5 在Δ ABC 中, AB ? AC ? 3, BC ? 2. 求(1)Δ ABC 的面积 S ?ABC 及 AC 边

上的高 BE ; (2)Δ ABC 的内切圆的半径 r ; (3)Δ ABC 的外接圆的半径 R .

图 3.2-10

36

结论 4:在直角三角形 ABC 中,∠A 为直角,垂心为直角顶点 A, 外心 O 为斜 b+ c- a 边 BC 的中点,内心 I 在三角形的内部,且内切圆的半径为 (其中 a, b, c 2 分别为三角形的三边 BC,CA,AB 的长) 练习 2(A 组) 1. 直角三角形的三边长为 3,4, x ,则 x = ________. 2. 等腰三角形有两个内角的和是 100°,则它的顶角的大小是_________. 3. 满足下列条件的Δ ABC,不是直角三角形的是( ) A. b 2 = a 2 - c 2 B.∠C=∠A+∠B

图 3.2-13

C.∠A:∠B:∠C=3:4:5D. a : b : c = 12 :13: 5 4. 已知直角三角形的周长为 3 ? 3 ,斜边上的中线的长为 1,求这个三角形的面积.

习题 3.2 A组 1. 已知:在Δ ABC 中,AB=AC, ?BAC ? 120o , AD 为 BC 边上的高,则下列结论中,正确的是 () A. AD ?
3 AB 2

B. AD ?

1 AB 2

C. AD ? BD

D. AD ?

2 BD 2

2. 三角形三边长分别是 6、8、10,那么它最短边上的高为( ) A.6 B.4.5 C.2.4 D.8 3. 如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半,那么这个等腰三角形的顶角等于_________. 4. 已知: a, b, c 是Δ ABC 的三条边, a ? 7, b ? 10 ,那么 c 的取值范围是_________。
8 ,且 a 是整数,则 a 的值是_________。 5. 若三角形的三边长分别为 1、a、

37

6、 如图 3.2-19, 等边Δ ABC 的周长为 12, CD 是边 AB 上的中线, E 是 CB 延长线上一点,且 BD=BE,则Δ CDE 的周长为() A. 6 ? 4 3 C. 6 ? 2 3 B. 18 ? 12 3 D. 18 ? 4 3
图 3.2-19

7、如图 3.2-20,在Δ ABC 中, ?C ? ?ABC ? 2?A ,BD 是边 AC 上的高,求 ?DBC 的度数。

图 3.2-20

3.3 圆 3.3.1 直线与圆,圆与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系 d > r 时,直线和圆相离; d = r 时,直线和圆相切; d < r 时,直线和圆相交。

图 3.3-1

2、在直线与圆相交时,如图 3.3-2 有 r 2 - d 2 = (

AB 2 ) . 2

3、当直线与圆相切时,如图 3.3-3 在 RtΔ POA 中, PO2 ? PA2 ? OA2 .

图 3.3-2

图 3.3-3

38

4、切割线定理:如图 3.3-4, PT 为圆 O 的切线, PAB 为圆 O 的割线,我们可以证得 ?PAT ~ Δ PTB,因而 PT 2 ? PA ? PB .

二、典型例题 例1 如图 3.3-5,已知⊙O 的半径 OB=5cm,弦 AB=6cm,D 是⌒ AB 的中点,求弦 BD 的长度。

图 3.3-4



练习 A 1.如图 3.3-9,⊙O 的半径为 17cm,弦 AB=30cm,AB 所对的劣弧和优弧的中点 分别为 D、C,求弦 AC 和 BD 的长。

图 3.3-5

图 3.3-9

2.已知四边形 ABCD 是⊙O 的内接梯形,AB//CD,AB=8cm,CD=6cm, ⊙O 的半径等于 5cm,求梯 形 ABCD 的面积。

3.如图 3.3-10,⊙O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E, AE ? 1cm, EB ? 5cm, ?DEB ? 60o , 求 CD 的 长。

39

图 3.3-10

习题 3.3 A组 1. 已知弓形弦长为 4,弓形高为 1,则弓形所在圆的半径为( ) 5 A. 3 B. C.3 D.4 2 2. 在半径等于 4 的圆中,弦心距为 2,垂直平分半径的弦长为( ) A. 4 3 B. 3 3 C. 2 3 D. 3

3. AB 为⊙O 的直径,弦 CD ? AB ,E 为垂足,若 BE=6,AE=4,则 CD 等于( ) A. 2 21 B. 4 6 C. 8 2 D. 2 6

4. 如图 3.3-12, 在⊙O 中, E 是弦 AB 延长线上的一点, 已知 OB=10cm,OE=12cm,?OEB ? 30o , 求 AB。

图 3.3-12

B组 1. 如图 3.3-13,已知在 RtΔ ABC 中, ?C ? 90o , AC ? 5cm, BC ? 12cm, 以 C 为圆心,CA 为半径 的圆交斜边于 D,求 AD。

图 3.3-13

2. 如图 3.3-14,在直径为 100mm 的半圆铁片上切去一块高为 20mm 的弓形铁片,求弓形的
40

图 3.3-14

弦 AB 的长。

1.1.1.绝对值(答案) 练习 A 1. (1) ?5 ; ?4 (2) ?4 ; ?1 或 3 2.D 3. ? 5 x ? x ? 1 13 ? 8 ? x(5 ? x ? ) ? ? 2 练习 B 4、 ? ?3 x ? 18( x ? 13 ) ? 2 ? 1.1.2.乘法公式 1 1 1 1 1. (1 ) a ? b (2) , (3) 4ab ? 2ac ? 4bc 3 2 2 4 2. (1)D (2)A 1.1.3.二次根式 练习 A 1. (1) 3 ? 2 (2) 3 ? x ? 5 (3) ?8 6 (4) 5 .2.C 练习 B 3.1 4.> 1.1.4.分式 1 99 练习 A 1.2 2.B 3.0 4. 100 习题 1.1 A组 1. x ? ?2 或 x ? 4 2.1 3. (1) 2 ? 3 (2) ?1 ? a ? 1 (3) 6 ? 1 3 4. (1) 5.4. 7 36 B 组 1. (1)D (2)C 2. 55 1.2 分解因式(答案) A 组 1. B 2. (1)(x+2)(x+4) (2) (2a ? b)(4a2 ? 2ab ? b2 ) (3) ( x ?1 ? 2)( x ?1 ? 2) 1. (1) ? a ? 1? ? a 2 ? a ? 1? (3) ?b ? c ??b ? c ? 2a ?
? 5 ? 13 ?? 5 ? 13 ? x? 2. (1 ) ? ?? ? ; (2) x ? 2 ? 5 x ? 2 ? 5 ; ?x? ?? 2 ?? 2 ? ? ? ? 2 ? 7 ?? 2? 7 ? (3) 3 ? ? x ? 3 y? ?? ? x ? 3 y? ?; ? ?? ?

(4) (2 ? y)(2 x ? y ? 2) . B组 (2) ? 2x ? 3?? 2x ? 3?? x ? 1?? x ? 1?

?

??

?

41

3. ( x ? a ? 1)( x ? a) 一元二次方程(答案) 练习 A 1. (1)C (2)D (3)C (4)B 提示:②和④是错的,对于②,由于方程的根 2 的判别式 Δ<0,所以方程没有实数根;对于④,其两根之和应为- . 3 (5)C 2. (1)-3 (2)有两个不相等的实数根 (3)x2+2x-3=0 (4)2 17 (5) (6)6 (7) 3 4 3.k<4,且 k≠0 4.-1 提示:(x1-3)( x2-3)=x1 x2-3(x1+x2)+9 2.1
1 1 5.当 m>- ,且 m≠0 时,方程有两个不相等的实数根;当 m=- 时,方程有两个相等的 4 4 1 实数根;当 m<- 时,方程没有实数根. 4 6.设已知方程的两根分别是 x1 和 x2,则所求的方程的两根分别是-x1 和-x2,∵x1+x2=7, x1x2=-1,∴(-x1)+(-x2)=-7,(-x1)×(-x2)=x1x2=-1,∴所求的方程为 y2+7y-1= 0.

练习 B 组 1.C 提示:由于 k=1 时,方程为 x +2=0,没有实数根,所以 k=-1. 2. (1)2006 提示:∵m+n=-2005,mn=-1,∴m2n+mn2-mn=mn(m+n-1)=-1×(- 2005-1)=2006. (2)-3 提示;∵a+b=-1,ab=-1,∴a3+a2b+ab2+b3=a2(a+b)+b2(a+b)=(a+ b)( a2+b2)=(a+b)[( a+b) 2-2ab]=(-1)×[(-1)2-2×(-1)]=-3. 3. (1)∵Δ=(-k)2-4×1×(-2)=k2+8>0,∴方程一定有两个不相等的实数根. (2)∵x1+x2=k,x1x2=-2,∴2k>-2,即 k>-1.
2

4. (1)| x1-x2|=

x ?x b 3abc ? b3 b 2 ? 4ac , 1 2 =? ; (2)x13+x23= . 2 2a a3 |a|

5.∵| x1-x2|= 16 ? 4m ? 2 4 ? m ? 2 ,∴m=3.把 m=3 代入方程,Δ>0,满足题意,∴m =3. 2.2.1 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质(答案) 练习 A 1、 (1)D (2)A 2、 (1)4 0 (2)2 -2 0 ? ?2 x ? ?2 (3)下 (-2,5) -2 大 5 3、 (1) y ? ( x ? 1) 2 ? 4 最小值-4。 (2) y ? ?( x ? 3) 2 ? 10 最大值 10。
42

开口向上,对称轴为 x=1 ,顶点坐标为(1,-4) ,当 x=1 时,y 取

开口向下,对称轴为 x=3,顶点坐标为(3,10) ,当 x=3 时,y 取

2.2.2 二次函数的三种表示方式(答案) 1(1)A (2)C 2、 (1) ( x ? 1)(x ? 2) (2)4 3 3 37 3、 (1) y ? ? x 2 ? 2x ? 3 (2) y ? ( x ? 3) 2 ? 5 = x 2 ? 9 x ? 2 2 2 2 (3) y ? 2( x ? 1 ? 2 )(x ? 1 ? 2 ) ? 2x ? 4x ? 2 2.2.3
3 9 (1 ) y ? ( x ? ) 2 ? 2 4 3 7 (3 ) y ? ? 2 ( x ? ) 2 ? 2 2

二次函数的简单应用

(2) y ? 2( x ? 1) 2 ? 1
1 4 (4) y ? ( x ? 1) 2 ? 3 3

(5) y ? ( x ? 2) 2 ? 4
1 9 (7 ) y ? ? ( x ? ) 2 ? 2 4

(6) y ? ( x ? 3) 2 ? 1 (8) y ?
1 ( x ? 1) 2 ? 8 2

(9 ) y ? x 2 ? 1
1 11 (11) y ? ? ( x ? 3) 2 ? 2 2 3 3 (13) y ? ( x ? 1) 2 ? 5 5 1 3 (15) y ? 2( x 2 ? ) 2 ? 2 2

(10) y ? ( x ? 3) 2 ? 11 (12) y ? 0.1( x ? 2) 2 ? 1 (14) y ? ( x 2 ? 1) 2 ? 2

2.3 方程与不等式 2.3.1 二元二次方程组解法

练习 A 组 1.(1) (2)是方程的组解; (3) (4)不是方程组的解. ? x ? 15, ? x2 ? ?20, ? x ? 5, ? x2 ? ?2, 2. (1) ? 1 (2) ? 1 ? ? ? y1 ? 20, ? y2 ? ?15; ? y1 ? ?2, ? y2 ? 5;
5 ? x? , ? ? x1 ? 2, ? x2 ? 2, ? 3 (3) ? (4) ? ? ? y1 ? 2, ? y2 ? ?2. ?y ? ? 4. ? 3 ?

2.3.2

一元二次不等式解法 练习 A组

4 1. (1)x<-1,或 x>3 ; (2) ? 3 ? x ? 4 ; (3)x<-4,或 x>1; (4)x=4.
43

10 24 ? ? x2 ? , x2 ? , ? x ? 0, ? x1 ? 2, ? ? ? ? 3 5 1 2. (1) ? (2) ? ? ? ? y1 ? 0, ? y ? 4 . ? y1 ? 0, ? y ? ? 12 . 2 2 ? ? 5 3 ? ? ? x3 ? ? 3, ? ? ? x ? 3, ? ? x2 ? 3, ? ? x4 ? ? 3, (3) ? 1 ? ? ? ? y1 ? 1, ? ? y2 ? ?1, ? ? y4 ? ?1. ? y3 ? 1, ? ?

3. (1)无解(2) ?

2 3 2 3 (3) 1 ? 2 ? x ? 1 ? 2 ?x? 3 3

B 组 1.消去 y ,得 4 x ? 4(m ? 1) x ? m ? 0 . 1 当 ? ? 16(m ? 1)2 ? 16m2 ? 0 ,即 m ? 时,方程有一个实数解. 2 1 ? 1 ?x ? , 将 m ? 代入原方程组,得方程组的解为 ? 4 2 ? ? y ? 1.
2 2

2.由题意,得-1 和 3 是方程 2x2+bx-c=0 的两根, b c ∴-1+3=-2 ,-1× 3=-2 ,即 b=-4,c=6. ∴不等式 bx2+cx+4≥0 就为-4 x2+6x+4≥0,即 2 x2-3x-2≤0, ∴?
1 ? x ? 2. 2

3.1 练习 A 1 .D

相似形(答案)

10 DE AD x 5 10 ? ,? ? , x ? ,即 BF ? . 3 BC AB x?2 8 3 AB BD 5 35 ? ? ,? BD ? cm. 3.? AC DC 4 9 AB BD AB BD ? ? 4.作 CF // AB 交 AD 于 F ,则 ,又 ?AFC ? ?FAE ? ?FAC 得 AC ? CF , ? . CF DC AC DC 练习 2(A 组) 1 .D 2.12,18 1 15 3.? S ?ABC ? ? 3 ? 4 ? 6,? S ?A?B?C ? ? ( ) 2 ? 6 ? 54. 2 5

2.设 BF ? x,?

44

1 4. (1)因为 EH // BD //FG, 所以 EFGH 是平行四边形; (2)当 AC ? BD 时, EFGH 为菱形; 2

当 AC ? BD, AC ? BD 时, EFGH 为正方形. 5. (1)当 CD2 ? AC ? BD 时, ?ACP ∽ ?PDB ; (2) ?APB ? 120o . 习题 3.1 A组 3、 S ?CDF ? 9

1、B 2、B

4、BF 为直角三角形 ABC 斜边上的高,故 BF2=AF?FC 又可证 AG=BF, 所以 AG2=AF?FC 3.2 三角形 练习 1(A 组) 2S a?b?c 1、 (1) ; (2) . a?b?c 2 练习 2(A 组) 1 .5 或 7 2. 20 o 或 80 o 3.C

4.设两直角边长为 a , b ,斜边长为 2,则 a ? b ? 1 ? 3 ,且 a 2 ? b2 ? 4 ,解得 ab ? 3 , ∴S ?
1 1 ab ? 3. 2 2

习题 3.2 A组 1 .B 2. D 3. 120o 4. 3 ? c ? 17 3.3 练习 A
, DM ? 1 . 取 AB 中 点 M , 连 CM , MD , 则 C M ? A B A, B 且 C,O,M,D 共线,

5.8 圆

6、A

7、18o

OM ? 17 2 ? 152 ? 8, CM ? 25, DM ? 9, AC ? 5 34cm, BD ? 3 34cm .

2.O 到 AB,CD 的距离分别为 3cm,4cm,梯形的高为 1cm 或 7cm,梯形的面积为 7 或 49 cm2 . 3. 半径为 3cm,OE=2cm.,OF= 3, CD ? 2 6cm . 习题 3.3 A组 1 .B B组 2.A 3.B 4.AB=16cm.

45

1.作 CM ? AD 于 M,AB=13cm, CM ?

60 10 , AD ? 133cm .2、AB=80 ㎜ 13 13

46


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