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北京市2013届高三数学理试题分类汇编(含9区一模及上学期期末试题)专题:选修部分(含答案)


北京 2013 届高三最新模拟试题分类汇编(含 9 区一模及上学期期末试题精选)专题:选修部 分
一、选择题 1 . (2013 届北京海滨一模理科)在极坐标系中, 曲线 ? ? 4cos ? 围成的图形面积为

A. π

B. 4

C. 4π

D. 16
2

r />2 . (2013 届北京市延庆县一模数学理)在极坐标系下,圆 C : ?

? 4 ? sin ? ? 3 ? 0 的圆心坐标为 (
D. (2,?



A. (2,0)

B. ( 2,

?
2

)

C. (2, ? )

?
2

)

3 . (2013 届房山区一模理科数学)在极坐标系中,圆 ? ? 2sin ? 的圆心到直线 ? cos? ? 2? sin ? ? 1 ? 0 的距离为

( A. 5 5 B. 2 5 5 C. 3 5 5 D. 4 5 5



4 . (2013 届门头沟区一模理科)下列直线中,平行于极轴且与圆 ? ? 2cos ? 相切的是

( A. ? cos ? ? 1 B. ? sin ? ? 1 C. ? cos ? ? 2 D. ? sin ? ? 2



5 . (2013 届门头沟区一模理科)如图:圆 O 的割线 PAB 经过圆心 O,C 是圆上一点,PA=AC=

1 AB,则以下 2

结论不正确的是 ... A . CB = CP B.PC ? AC=PA ? BC C. 是圆 O 的切线 PC D.BC =BA ? BP
2

C

P

A

O

B

6 . (北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考综合练习 (二) (理) 数学 试题 ) 在极坐标系中, 过点 (3,

?
3

)

且垂直于极轴的直线方程 A. ? ?





3 sin ? 2

B. ? ?

3 cos ? 2

C. ? sin ? ?

3 2

D. ? cos ? ?

3 2

7 . (北京市东城区普通校 2013 届高三 3 月联考数学(理)试题 )极坐标方程 ? ? 4 cos ? 化为直角坐标方程是

( A. ( x ? 2) ? y ? 4
2 2



B. x ? y ? 4
2 2

C. x ? ( y ? 2) ? 4
2 2

D. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 4
2 2

B P O C

8 . (北京市东城区普通校 2013 届高三 3 月联考数学(理)试题 )

A

如图,已知 AB 是⊙ O 的一条弦, )

点 P 为 AB 上一点, PC ? OP , PC 交⊙ O 于 C ,若 AP ? 4 , PB ? 2 ,则 PC 的长是 ( A. 3 B. 2 2 C. 2 D. 2

9 . (北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题)在极坐标系中,已知点 P (2, ) ,则过点 P 且平行

? 6

于极轴的直线的方程是 A. ? sin ? ? 1 B. ? sin ? ? 3 C. ? cos ? ? 1 D. ? cos? ? 3





10. (北京市顺义区 2013 届高三第一次统练数学理科试卷(解析) 参数方程 ? )

?x ? 2 ? t, (为参数)与极坐标方程 ? y ? ?1 ? 2t
( )

? ? sin ? 所表示的图形分别是
A.直线、直线 B.直线、圆 C.圆、圆 D.圆、直线

11. (北京市顺义区 2013 届高三第一次统练数学理科试卷(解析) 如图, AB, AC 分别与圆 O 相切于点 B, C , ADE )

是⊙ O 的割线,连接 CD, BD, BE , CE .则

( A. AB ? AD ? DE
2



B. CD ? DE ? AC ? CE C. BE ? CD ? BD ? CE D. AD ? AE ? BD ? CD
12. (北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试理科数学试题 )已知圆的直角坐标方程为 x
2

? y 2 ? 2 x ? 0 .在以
( )

原点为极点, x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中,该圆的方程为 A. ? ? 2cos ? B. ? ? 2sin ? C. ? ? ?2cos ? D. ? ? ?2sin ?

? x ? 2 ? t, l:? y ? ?2 ? t t 13. 【解析】北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )已知直线 ? ( ( 为参数)与圆 ? x ? 2cos? ? 1, C:? ? y ? 2sin ? ( ? 为参数) ,则直线 l 的倾斜角及圆心 C 的直角坐标分别是





π ,(1,0) A. 4

π ,( ?1,0) B. 4

3π ,(1,0) C. 4

3π ,( ?1,0) D. 4

14.【解析】北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )如图, PC 与圆 O 相切于点 C ,直线 PO 交 ( 圆 O 于 A, B 两点,弦 CD 垂直 AB 于 E . 则下面结论中,错误的结论是

..

C P

B

O

E D

A

A. ?BEC ∽ ?DEA B. ?ACE ? ?ACP
2 C. DE ? OE ? EP

2 D. PC ? PA ? AB

二、填空题 15. (2013 届北京大兴区一模理科) 已知直线 y = kx 与曲线 ? í

ì x = 4 + 2cos q ? (q为参数) 有且仅有一个公共点, k = 则 ? y = 2sin q ? ?

16. (2013 届北京大兴区一模理科)如图,在圆 O 中,直径 AB 与弦 CD 垂直,垂足为 E

(E 在 A,O 之间) EF ^ BC ,垂足为 F.若 AB = 6 , CF ?CB ,

5 ,则 AE =



17 . 2013 届 北 京 丰 台 区 一 模 理 科 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 直 线 C 1 : (

?x ? t ( t 是参数)被圆 ? ? y ? 1? t

C2 :?

? x ? cos ? (? 是参数) 截得的弦长为 ? y ? sin ?



F

E O D

P

18. (2013 届北京丰台区一模理科)

如图,已知直线 PD 切⊙O 于点 D,直线 PO 交⊙O ; ?EFD ? .

于点 E,F.若 PF ? 2 ? 3, PD ? 1 ,则⊙O 的半径为
A C P

19. (2013 届北京海滨一模理科)
D

O B

如图, AP 与 ? O 切于点 A ,交弦 DB 的延长线于点 P ,过

点 B 作圆 O 的切线交 AP 于点 C . 若 ?ACB ? 90? , BC ? 3, CP ? 4 ,则弦 DB 的长为_______.

20. (2013 届北京市延庆县一模数学理)

(13 题图)

如图所示,以直角三角形 ABC 的直角边 AC 为直径

作⊙ O ,交斜边 AB 于点 D ,过点 D 作⊙ O 的切线,交 BC 边于点 E .则

BE ? BC

.

21. (2013 届北京西城区一模理科)已知曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) ,则曲线 C 的直角坐标 ? y ? 1 ? 2sin ?

方程为



22. (2013 届北京西城区一模理科)

如图, 已知 AB 是圆 O 的直径,P 在 AB 的延长线上,PC

切圆 O 于点 C , CD ? OP 于 D .若 CD ? 6 , CP ? 10 ,则圆 O 的半径长为______; BP ? ______.
A

O

B

P

23. (2013 届东城区一模理科)

C

如图,已知 PA 与圆 O 相切于 A ,半径 OC ? OP , AC 交 , PB ? .

PO 于 B ,若 OC ? 1 , OP ? 2 ,则 PA ?

24. (2013 届房山区一模理科数学)如图,从圆 O 外一点 P 引圆 O 的切线 PA 和割线 PBC ,

已知 ?BPA ? 30? , BC ? 11 , PB ?1, 则 PA ?

,

O B P A

C

圆 O 的半径等于

.
A D O C B

25. (北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考综合练习(二)数学(理)试题 )



图,是圆 O 的切线,切点为 A , D 点在圆内, DB 与圆相交于 C ,若 BC ? DC ? 3 , OD ? 2 , AB ? 6 ,则 圆 O 的半径为 .

BC 26. 北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考理科数学) ( 如图, 是半径为 2 的圆 O 的直径, P 在 BC 点
的延长线上, PA 是圆 O 的切线,点 A 在直径 BC 上的射影是 OC 的中点,则 ?ABP = ;

PB ? PC ?
A



B

O

C

P

27. (北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题)如图, Rt △ ABC 中, ?ACB ? 90 , AC ? 3 ,

?

BC ? 4 .以 AC 为直径的圆交 AB 于点 D ,则 BD ?

; CD ? ______.

28. (北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试理科数学试题 )如图,已知 AD ? 5 , DB ? 8 , AO ? 3

10 ,则

圆 O 的半径 OC 的长为



C O

E A D

B

29.【解析】北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )如图, AB , CD 是半径为 a 的圆 O 的两条 (

弦,它们相交于 AB 的中点 P .

O P C

A D

2a 若 PD ? , ?OAP ? 30? ,则 AB = 3

, CP ?

(用 a 表示).

B

30.【解析】北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )在极坐标系中,过圆 ? ? 4cos ? 的圆心,且 (

垂直于极轴的直线的极坐标方程为



31. ( 【解析】 北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ) 如右图, 从圆 O 外一点 P 引圆 O 的割线 PAB

和 PCD , PCD 过圆心 O ,已知 PA ? 1, AB ? 2, PO ? 3 ,则圆 O 的半径等于



三、解答题

北京 2013 届高三最新模拟试题分类汇编(含 9 区一模及上学期期末试题精选)专题:选修部分参考答案 一、选择题 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

C D A B D D A B 【答案】A

































? P(2, ) 6









x ? ? cos ? ? 2 cos

?
6

? 3, y ? ? sin ? ? 2sin

?
6

? 1 , 即 ( 3,1), 过 点 ( 3,1) 且 平 行 于 x 轴 的 直 线 为

y ? 1 ,在化为极坐标 为 ? sin ? ? 1 ,选 A.
10. 答 案 B 将 参 数 方 程

?x ? 2 ? t, 消 去 参 数 t 得 2 x ? y ? 5 ? 0 , 所 以 对 应 图 形 为 直 线 . 由 ? ? sin ? 得 ? ? y ? ?1 ? 2t

1 1 ? 2 ? ? sin ? ,即 x2 ? y 2 ? y ,即 x 2 ? ( y ? ) 2 ? ,对应图形为圆,所以选 B. 2 4
11.答案 C 由切线长定理知 AB ? AD ? AE ,所以 A 错误.选 C.
2

12. 【答案】A

【 解析】因为在极坐标系中, x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,代入方程 x ? y ? 2 x ? 0 得 ? ? 2? cos? ,即
2 2 2

? ? 2cos? ,选 A.
13. 【答案】C

解 : 直 线 消 去 参 数 得 直 线 方 程 为 y ? ? x , 所 以 斜 率 k ? ?1 , 即 倾 斜 角 为

3? 。圆的标准方程为 4

( x ?1)2 ? y 2 ? 4 ,圆心坐标为 (1, 0) ,所以选 C.
14. 【答案】D

解:由切割线定理可知 PC 2 ? PA ? PB ,所以 D 错误,所以选 D.
二、填空题 15. ? 16. 1

3 3

17. 18.

2

3 ,15°

24 19. 5
20. 21. 22. 23.

1 2

x2 ? y 2 ? 2 y ? 3 ? 0 ;
15 ,5 ; 2

3

3

24. 2 3 , 7 25.

22

26. 【答案】 ?

6

,12
? ?

【解析】点 A 在直径 BC 上的射影 E 是 OC 的中点,可得 ?AOP ? 60 ,所以 ?ABP ? 30 ,在 Rt ?AOP 中,

AP ? 2 3 ,所以由切割线定理可得 PB?PC ? AP2 ? (2 3)2 ? 12 。
27. 【答案】

16 12 , 5 5

? ? 解:因为 ?ACB ? 90 ,所以 AB ? 5 ,又 AC 为直径,所以 ?ADC ? 90 。所以 CD?AB ? AC ?BC ,即

CD ?

AC ?BC 3 ? 4 12 BC 2 42 16 ? ? 。 BC 2 ? BD?AB ,所以 BD ? ? ? 。 AB 5 5 AB 5 5

28. 【答案】 5

【 解析】取 BD 的中点,连结 OM,则 OM ? BD ,因为 BD ? 8 ,所以 DM ? MB ? 4, AM ? 5 ? 4 ? 9 ,
2 2 所 以 O M ? A O? 2 A M? 0 ?8 1 ? , 所 以 半 径 OB ? OM 2 ? BM 2 ? 9 ?16 ? 25 ? 5 , 即 9 9

OC ? 5 。

29. 【答案】

3a ;

9a 8

解:因为点 P 是 AB 的中点,由垂径定理知 OP ? AB ,在直角三角形 OPA 中, BP ? AP ?

3a ,所以 2

AB ? 2 AP ? 3a ,由相交弦定理知, BP?AP ? CP ?DP ,即
30. 【答案】 ? cos ? ? 2 ,

9a 3a 3a 2a ? ? CP? ,解得 CP ? 8 2 2 3

2 2 解:圆的标准方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 ,圆心为 (2, 0) ,半径为 2,所以所求直线方程为 x ? 2 ,即垂直于极

轴的直线的极坐标方程为 ? cos ? ? 2 。
31. 【答案】

6
? r?3
2

O ? 解: 设半径为 r , P ? P 则 C P C

, PD ? PO ? OD ? 3 ? r .根据割线定理可得 PA ? PB ? PC ? PD ,
2

即 1? (1 ? 2) ? (3 ? r )(3 ? r ) ,所以 9 ? r ? 3, r ? 6 ,所以 r ?

6。


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