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菏泽一中2017届高三第一次月考试题数学理


高三数学第一次检测题(理) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知全集为 R,集合 A={x|( )x≤1},B={x|x2﹣6x+8≤0}, 则 A∩( CR B )=( ) B.{x|2≤x≤4} D.{x|0<x≤2 或 x≥4} )

A.{x|x≤0} C.{x

|0≤x<2 或 x>4}

2.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( (A)y=tanx (B)y=3
x

(C)y= x )

1 3

(D)y=lg|x|

3.下列四种说法中,错误的个数是( ①A={0,1}的子集有 3 个; ②“若 am2<bm2,则 a<b”的逆命题为真;

③“命题 p∨q 为真”是“命题 p∧q 为真”的必要不充分条件; ④命题“? x∈R,均有 x2-3x-2≥0”的否定是:“? x0∈R,使得 x02 错误!未找到引用 源。-3x0-2≤0”. (A)0 (B)1 (C)2 (D)3

?log 2 x, x ? 0, f ?x? ? ? x 4.已知函数错误! 未找到引用源。 则 f(f(错误! 未找到引用源。 )) ?3 , x ? 0,

的值是( (A)9

)
1 (B) 错误!未找到引用源。 9

(C)-9

(D)-

1 9

错误!未找到引用源。
1 ? 1 1 5.若 a=log20.9, b ? 3 3 , c ? ( ) 2 , 则( 3

) (C)c<a<b (D)b<c<a

(A)a<b<c

(B)a<c<b

6.若函数 y=错误!未找到引用源。 为α ,则α 的最小值是( )

x3 2 -x +1(0<x<2)的图象上任意点处切线的倾斜角 3

?A?

? 4

? B?

? 6

?C?

5? 6

? D?

3? 4

7.已知命题 p:函数 f(x)=2ax2-x-1(a≠0)在(0,1)内恰有一个零点;命题 q:函数 y=x2-a 在(0,+∞)上是减函数.若 p 且﹁q 为真命题,则实数 a 的取值范围是 ( )

(A)a>1

(B)a≤2

(C)1<a≤2

(D)a≤1 或 a>2 )

8.函数 f(x)=错误!未找到引用源。的大致图象为(

9.设函数 f(x)=x +xsinx,对任意 x1,x2∈(﹣π ,π ) , 若 f(x1)>f(x2) ,则下列式子成立的是( ) A.x1>x2 B. x12 ? x22 C.x1>|x2| D.|x1|<|x2|

2

10 函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+1)=-f(x),且 x∈[-1,1]时 f(x)=1-x2,函数
?lg x, x ? 0, ? g?x? ? ? 1 则函数 h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,4]内的零点的个数为( ? , x ? 0, ? ? x

)

(A)7

(B)8

(C)9

(D)10

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把正确答案填在题中横线上) 11.已知集合 M={y|y=x2﹣1,x∈R}, ,则 M∩N=_____

12.已知函数 f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是 [﹣1,0],则 a+b= . 13.已知 p:错误!未找到引用源。≤x≤1,q:(x-a)(x-a-1)>0,若 p 是﹁q 的充分不必 要条件,则实数 a 的取值范围是 14. 若f (x)= . .

是 R 上的单调函数,则实数 a 的取值范围为

1 1 15.若方程 ( ) x ? ( ) x ? a ? 0 有正数解,则实数 a 的取值范围是_______ 4 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤)山东中学联盟 16. (12 分)已知 p:? x∈R,2x>m(x2+1) ,q:? x0∈R, x 0 2 +2x0﹣m﹣1=0,且 p∧q 为真,求实数 m 的取值范围.

17、 (12 分)已知函数 (1)求 f(x)的定义域; (2)讨论 f(x)的奇偶性; (3)证明 f(x)在(0,1)内单调递减.



18. (12 分)已知函数 f(x)=x3﹣ax2﹣3x (1)若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x=﹣ 是 f(x)的极值点,求 f(x)在[1,4]上的最大值.

19.(12 分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况 下,大桥上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函 数,当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流 密度不超过 20 辆/千米时, 车流速度为 60 千米/小时, 研究表明: 当 20≤x≤200 时, 车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数, 单位:辆/小时)f(x)=x?v(x)可以达到最大,并求出最大值. (精确到 1 辆/小 时) .

1 20. (13 分)已知函数 f(x)满足 f ? x ? ? f ? ?1? e x ?1 ? f ? 0 ? x ? x 2 . 2 (1)求 f(x)的解析式及单调区间. 1 (2)若 f(x)≥ x2+ax+b,求(a+1)b 的最大值. 2

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2 ln x(a ? R) . 2 (Ⅰ)若曲线 y=f(x)在 x=1 和 x=3 处的切线互相平行,求 a 的值; (Ⅱ)求 f(x)的单调区间; (Ⅲ)设 g(x)=x2﹣2x,若对任意 x1∈(0,2],均存在 x2∈(0,2],使得 f(x1)<g(x2) ,求 a 的取值范围.

21、 (14 分)已知函数 f ( x) ?

高三数学第一次检测题答案解析 1. C.2.C. 3.D.4.B. 5.B.6.D.7.C 8、D.9.【解析】∵f(﹣x)=(﹣x)2﹣xsin (﹣x) =x2+xsinx=f (x) , ∴函数 f (x) =x2+xsinx 为偶函数, 又 f′ (x) =2x+sinx+xcosx, ∴当 x>0 时,f′(x)>0,∴f(x)=xsinx 在[0,π ]上单调递增,∴f(﹣x) =f(|x|) ;∵f(x1)>f(x2) ,∴结合偶函数的性质得 f(|x1|)>f(|x2|) ,∴|x1| 2 2 >|x2|,∴x1 >x2 .故选 B. 10.选 A.由 f(x+1)=-f(x) ,可得 f(x+2)=-f(x+1)=f(x) ,

所以函数 f(x)的周期为 2,求 h(x)=f(x)-g(x)的零点,即求 f(x)=g (x)在区间[-5,4]的解的个数.画出函数 f(x)与 g(x)的图象,如图,由图 可知两图象在 [-5,4]之间有 7 个交点,所以所求函数有 7 个零点,选 A. 11、解:∵集合 M={y|y=x2﹣1,x∈R}={y|y≥﹣1}, ={x|﹣ ∴M∩N= 故答案为: . . },

12、解:当 a>1 时,函数 f(x)=ax+b 在定义域上是增函数, 所以 ,解得 b=﹣1, =0 不符合题意舍去;

当 0<a<1 时,函数 f(x)=ax+b 在定义域上是减函数, 所以 ,解得 b=﹣2,a= ,综上 a+b= ,故答案为:

13.q:x>a+1 或 x<a,从而﹁q:a≤x≤a+1.
1 ? 1, ?a+ ? 由于 p 是﹁q 的充分不必要条件,故错误!未找到引用源。 ? 即 0≤a≤错误! 1 a? , ? ? 2

未找到引用源。.答案:[0,错误!未找到引用源。] 14、解:∵f(x)= 是 R 上的单调函数,∴ ,

解得:a≥ ,故实数 a 的取值范围为[ ,+∞) ,故答案为:[ ,+∞)

15. (??,?2] 16、解:不等式 2x>m(x2+1) ,等价为 mx2﹣2x+m<0, 若 m=0,则﹣2x<0,即 x>0,不满足条件. 若 m≠0,要使不等式恒成立,则 ,即 ,解得 m<﹣1.

即 p:m<﹣1.———————————————————————4 分 若? x0∈R,x +2x0﹣m﹣1=0,则△=4+4(m+1)≥0,解得 m≥﹣2,

即 q:m≥﹣2.———————————————————————8 分 若 p∧q 为真,则 p 与 q 同时为真,则 ,即﹣2≤m<﹣1————12 分

17、解: (1)

?﹣1<x<0 或 0<x<1,

故 f(x)的定义域为(﹣1,0)∪(0,1) ;————————————4 分 (2)∵ ,∴f(x)是奇函数;

————————————————————————————6 分 (3)设 0<x1<x2<1,则

∵0<x1<x2<1,∴x2﹣x1>0,x1x2>0, (1﹣x1) (1+x2)=1﹣x1x2+(x2﹣x1)>1﹣x1x2﹣(x2﹣x1)=(1+x1) (1﹣x2)>0 ∴ ,

∴f(x1)﹣f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2)∴f(x)在(0,1)内递减———— ——————————————12 分 另解: ∴当 x∈(0,1)时,f′(x)<0

故 f(x)在(0,1)内是减函数.—————————————————12 分 18、解: (1)求导函数,可得 f′(x)=3x2﹣2ax﹣3, ∵f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,∴f′(x)≥0 在区间[1,+∞)上恒成立 ∴3x2﹣2ax﹣3≥0 在区间[1,+∞)上恒成立∴ ——4 分 (2)∵x=﹣ 是 f(x)的极值点,∴ ∴ ∴a=4——6 分 且 f′(1)=﹣2a≥0∴a≤0—

∴f(x)=x3﹣4x2﹣3x,f′(x)=3x2﹣8x﹣3,∴x1=﹣ ,x2=3 令 f′(x)>0,1<x<4,可得 3<x<4;令 f′(x)<0,1<x<4,可得 1<x <3; ∴x=3 时,函数取得最小值﹣18 ∵f(1)=﹣6,f(4)=﹣12 ∴f(x)在[1,4]上的最大值为﹣6.————————————————12 分 19、解: (Ⅰ) 由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)=60;当 20<x≤200 时,设 v(x) =ax+b 再由已知得 ,解得

故函数 v(x)的表达式为

.——————4 分

(Ⅱ)依题并由(Ⅰ)可得 当 0≤x<20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1200 当 20≤x≤200 时, 当且仅当 x=200﹣x,即 x=100 时,等号成立. 所以,当 x=100 时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值 综上所述,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值为 . ,

即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大值,最大值约为 3333 辆/小 时.—————————————————————————10 分 答: (Ⅰ) 函数 v(x)的表达式 (Ⅱ) 当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大值,最大值约为 3333 辆 /小时.——————————————————————————12 分

1 2 x ,∴f′(x)=f′(1)ex-1-f(0)+x, 2 1 令 x=1 得:f(0)=1,∴f(x)=f′(1)ex-1-x+ x2,∴f(0)=f′(1)e-1=1, 2 1 ∴f′(1)=e 得:f(x)=ex-x+ x2.—————————4 分 2 设 g(x)=f′(x)=ex-1+x,g′(x)=ex+1>0,∴y=g(x)在 R 上单调递增. 令 f′(x)>0=f′(0),得 x>0,令 f′(x)<0=f′(0)得 x<0,

20.(1)∵f(x)=f′(1)ex-1-f(0)x+

1 2 x 且单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(2 ∞,0).————————————-4 分 1 (2)由 f(x)≥ x2+ax+b 得 ex-(a+1)x-b≥0,令 h(x)=ex-(a+1)x-b, 2 x 则 h′(x)=e -(a+1). ①当 a+1≤0 时,h′(x)>0?y=h(x)在 x∈R 上单调递增. x→-∞时,h(x)→-∞与 h(x)≥0 矛盾.——————————6 分 ②当 a+1>0 时,由 h′(x)>0 得 x>ln(a+1), 由 h′(x)<0 得 x<ln(a+1) 得当 x=ln(a+1)时,h(x)min=(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b≥0.———8 分 (a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1) (a+1>0). 2 2 令 F(x)=x -x ln x(x>0),则 F′(x)=x(1-2ln x),——————10 分

∴f(x)的解析式为 f(x)=ex-x+

由 F′(x)>0 得 0<x< e ,由 F′(x)<0 得 x> e ,
e e e 当 x= e 时,F(x)max= ,∴当 a= e -1,b= 时, (a+1)b 的最大值为 .————— 2 2 2

—————————————————13 分 21、解: (Ⅰ)∵函数 ∴ (x>0) . 山东省中学联盟 ,

∵曲线 y=f(x)在 x=1 和 x=3 处的切线互相平行, ∴f'(1)=f'(3) , 即 解得 (Ⅱ) , .————————————4 分 (x>0) .

①当 a≤0 时,x>0,ax﹣1<0, 在区间(0,2)上,f'(x)>0; 在区间(2,+∞)上 f'(x)<0, 故 f(x)的单调递增区间是(0,2) , 单调递减区间是(2,+∞) . ②当 时, , 上,f'(x)>0;

在区间(0,2)和 在区间

上 f'(x)<0, ,单调递减区间是

故 f(x)的单调递增区间是(0,2)和 ③当 时,

,故 f(x)的单调递增区间是(0,+∞) .

④当 在区间

时,

,在区间

和(2,+∞)上,f'(x)>0; 和(2,+∞) ,

上 f'(x)<0,故 f(x)的单调递增区间是 .————————————8 分

单调递减区间是

(Ⅲ)由已知,在(0,2]上有 f(x)max<g(x)max. 由已知,g(x)max=0,由(Ⅱ)可知, ①当 时,f(x)在(0,2]上单调递增,

故 f(x)max=f(2)=2a﹣2(2a+1)+2ln2=﹣2a﹣2+2ln2, 所以,﹣2a﹣2+2ln2<0,解得 a>ln2﹣1, 故 ②当 在 故 由 可知 , .——————————————————12 分 时,f(x)在 上单调递减, . 中学联盟提供 上单调递增,

2lna>﹣2,﹣2lna<2, 所以,﹣2﹣2lna<0,f(x)max<0, 综上所述,a>ln2﹣1.————————————————14 分


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