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知识点:数列极限概念w


第二节
1.背景知识

数列的极限

在数学教学中,概念教学是重要的,也是困难的。让学生理解某一数学概念 有时要比教他们学会一个具体的解题技巧不知困难多少倍。例如数列极限的概 念,一直是数学教学中传统的难点。而极限又是建立微积分学的基础,深刻理解 极限定义是学生学好微积分的必经之路。这就要求我们在教学方法上探索,寻找 一种使学生乐

于接受的方法。 数学概念离不开抽象思维及严谨的数学语言表述, 而抽象与严谨正是学生感 到学习数学困难的原因。 作为微积分学的基础的极限的思想,可以追溯到古代。在古代,人们早已有 了关于极限的朴素思想,但极限定义的严格形式化语言表述直到 19 世纪才最后 形成。 公元前 5 世纪希腊人已有了无限小的概念;2500 年前,古希腊数学家安蒂丰 (Antiphon,约公元前 480—前 411)首创了“穷竭法”[1],就有了极限思想的雏 形;我国《庄子》 (公元前 389—286)有“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的论 述,也包含了朴素的极限思想;我国魏晋时代著名的数学家刘徽(公元 263 年) 对极限思想有深刻的理解,创造性的运用极限思想证明了圆面积公式,不仅如此, 刘徽还给出了研究极限的方法,并且利用割圆术计算出圆周率为 3.14,奠定了此 后千余年中国圆周率计算在世界上的领先地位,开创了“中国数学发展中圆周率
[2] 研究的新纪元” 。 但是, 直到 19 世纪中叶, 德国数学家魏尔斯特拉斯 (Weierstrass,

Karl Theodor Wilhelm,1815—1897)才给出了极限的分析定义( ? ? ? ”定义或 “ “ ? ? N ”定义) ,极限概念才有了精确的描述。 ? ? ? ”定义的严谨性使微积分 “ 有了坚固的基础,其历史功绩不可磨灭。同时极限的“ ? ? ? ”定义描述缺乏直观, 其模糊性也给这个定义蒙上了一层神秘的面纱,使得初学极限的大学生感到困惑。 因此,用定义证明数列极限的存在,是教学上的难点。熟练掌握用定义证明极限 的方法,有助于深刻理解极限含义。 极限思想和方法是从有限中认识无限、从近似中认识精确、从量变中认识质 变的一种辩证唯物主义的思想。培养学生观察、分析、类比以及正确运用数学语 言概括出数学概念的能力,加深对由具体到抽象、由特殊到一般再回到特殊的认 识规律的理解,发展学生的逻辑思维能力。 本文提出一些对数列极限教学的具体建议,供教师参考。

2.该知识点讲解方法
我们的具体做法分以下几步: (1)通过一些实例让学生感受极限的存在; (2)给出极限的分析定义并进行解剖; (3)给学生一个明白无误的操作程序, 使学生从证明中掌握一种逻辑思维方法。
1

(1) 、通过一些实例让学生感受极限的存在 以实例引出数列极限的直观定义。 例 1:考虑如何用极限思想化循环小数为分数,如 0.16 如何化为分数。
?

? ? 解:构造一个数列 ? xn ? ? ?0.1,0.16,0.166,? ,0.16? 6 ,?? ? n ?1个 ? ?
很显然, xn 可以构成一个等比数列:

xn ? 0.16?6 ? ?
n ?1个

1 6 6 1 6 ? 1 1 ? ? 2 ? ? ? n ? ? 2 ?1 ? ? ? ? n ? 2 ? 10 10 10 10 10 ? 10 10 ?

1 1 ? ? n ?1 n ?1 ? ? 1 1 6 1 6 1 1 1 ? ? 2 ? 10 ? ? 2 ? ? ? 10 ? ? ? ? n?1 1 1 1 ? 6 15 10 10 10 10 10 ? 1 ? 1? 1? ? ? 10 10 ? ? 10 ? 1 1 当 n 无限增大时, n?1 无限趋近于 0,因此 0.16 ? 。 6 10 注释: 1?
事实上,这个式子很容易通过对右端实施除法而得到验证。并且,循环小数 与分数之间的关系, 确实直观体现了数列与极限之间的关系(更好说明极限过程 的是 0.9 ? 1 , 0 . 9 表示的是一个过程,而 1 却表示它的极限) 。在学生学完数列极 限后,还可以让学生进一步深刻体会其内在含义。
n ?1 1 ? ? n ? ? n ? 1? ? 例 2:给出五个数列:(1) ? ? ;(2) ? ? ;(3) ?? ?1? ? ;(4) n? ? n ? 1? ? n ? ?
? ?

?n? 和(5)

?? ?1? ? ,让学生通过观察当项数 n 无限增大时,数列的项有什么变化趋势?
n?1

? n ? 解:(1) ? ? :当项数 n 无限增大时,数列逐项递增,并且越来越趋近于常数 ? n ?1?

1;
? n ? 1? (2) ? ? :当项数 n 无限增大时,数列逐项递减,并且越来越趋近于常数 ? n ?

1;

1? ? (3) ?(?1) n ?1 ? :当项数 n 无限增大时,数列的项左右摆动,并且越来越趋 n? ?
近于 0; (4)

?n? :当项数 n 无限增大时,数列逐项递增,不趋近于任何常数;
2

(5) 数。

?? ?1? ? :当项数 n 无限增大时,数列的项左右摆动,不趋近于任何常
n?1

从这几个给出的具体数列,使学生观察后发现:有的数列中的项随着项数 n 的增大并不趋于一个常数(如(4)和(5)) ,而有的数列中的项随着项数 n 的增大尽 管有的呈递增变化(如(1)) ;有的呈递减变化(如(2)) ;有的呈摆动变化(如(3)) , 然而它们却都有一个共同的特点即:随着 n 的增大,数列的项可以无限地趋近于 一个常数,我们把这个常数叫作这个数列的极限,从而得出: 数列极限的直观定义:对一个无穷数列{ x n },如果存在一个常数 A ,当项 数 n 无限地增大时,数列{ x n }的项 x n 都无限趋于这个常数 A ,则称常数 A 为这 个数列的极限。 对这个直观定义的进一步分析: 如何理解“无限趋近”?重新观察数列(1)~(3) ,引导学生更准确地描述 “当 n 无限增大时, x n 无限趋向于某一个常数 A ”的含义,特别是“ x n 无限趋 向于某一个常数 A ”的意义,使学生意识到“ x n 无限趋向于某一个常数 A ”实 际上也就是“ x n 与 A 距离要多近有多近” 数学上距离是通过绝对值来表示, 。 因此有“ x n 与 A 的差的绝对值要多小有多小” ,即“ xn ? A 要多小有多小” 但 。 是,这种“要多小有多小”是有条件的,即“ n 无限增大” ,而“ n 无限增大” 表示 n “很大” 。因此有, xn ? A 要多小(这需要预先提出) ,只需 n 增大到一定 程度之后,对其后的所有 n ,都有 xn ? A 满足你提出的那么小的条件。因此,结 合实例,可以得出对上述直观定义的改进: 数列极限直观定义的改进: 若当数列{ x n }的项数 n 无限地增大时,xn ? A 要 多小有多小,则称 A 为这个数列的极限。 (2) 、给出极限的分析定义并进行解剖 将数列的极限定义严格化,使学生在原有的基础上进一步产生认识上的飞 跃,欣然接受用逻辑语言去描述极限问题从而达到认识上从感性到理性的飞跃。 因此,为了明确起见,我们要进一步揭示“无限趋于零的真实含义” ,并把这种 描叙数量化。 所谓 xn ? A “要多小有多小”的实质就是:随着 n 的增大 xn ? A 必须小于

3

n ?1 1 ? ? 任意给定的正数(注意:任意给定) 。以数列 ? xn ? ? ?1? ? 为例,请学生进而 n? ?

思考: (1) x n ? 0 是否对所有的 n 都会小于任意给定的正数? (2) 否则, x n ? 0 在何种情况下会小于任意给定的正数?看下表: 预先提出的 xn ? A 要小的程度
1 10 1 100

项数 n 增大的程度
n ? 10

解释 从第 11 项以后,所有项都 满足 ? ?1?
n ?1

1 1 ?0 ? n 10 1 1 ?0 ? n 100

从第 101 项以后, 所有项都
n ? 100

满足 ? ?1?

n ?1

?

?
1 ?

?

? ?0

n?

?1? 从第 ? ? ? 1 项以后, 所有项 ?? ?
都满足 ? ?1?
n ?1

1 ?0 ?? n

于是,得出了数列极限的严格定义即: 对于任意给定的正数 ? >0,总存在正整数 N ,当 n ? N 时, xn ? A ? ? 恒成 立,则称 A 为数列{ x n }的极限。 用符号表示就是:

?? ? 0, ?N , 当n ? N时,总有 xn ? A ? ? 恒成立,则称 n ? ? 时 ?xn ? 的极限
为 A 。记作 lim xn ? A 或 xn ? A, n ? ? 。
n ??

(3) 、一些注释 ①、如何判断一个常数 A 是否是数列 x n 的极限?关键是什么?就是要看对 于任意取定的小正数 ? ,是否能找到一项 x N ,使得它后面的所有项 x n 与常数 A 的差的绝对值比 ? 还小,若能找到,则 A 就是该数列{ x n }的极限。而问题的关 键是找 N 。并且,一旦找到 N ,则比 N 大的所有自然数 N ' 都可以作为 N (因 为一旦对 n ? N 的 n 都有 xn ? A ? ? 成立,当然对 n ? N ' 的 n , xn ? A ? ? 也成 立) ,即得到的 N 是不唯一的(这为我们以后求解 N 提供了便利) 。

4

②、 ? 具有绝对的任意性,正因为 ? 具有任意性,不等式 xn ? A ? ? 才能表 明数列{ x n }无限趋近于 A 。 ③、正整数 N 表示数列{ x n }无限趋近于 A 是有条件的:即一般只有当 n 很 大时数列{ x n }才会无限趋近于 A 。正整数 N 正是表示“ n 很大”的条件。 ④、数列{ x n }的极限是 A ,表示{ x n }无限趋近于 A , x n 可能比 A 小, x n 也 可能比 A 大,当然, x n 也可能等于 A 。 ⑤、 数列极限的精确定义只给出了 A 是否为数列 xn 的极限, 并没有给出求 A 的方法。 ⑥、 初等数学仅涉及有限运算, 而极限运算是无限运算。 极限部分之所以难, 1 其难点主要在于要用无限的思想,而这点正是学生所难以理解的。例如数列{ } n 1 的极限等于零,但人们在有限的时间里无法完成无限的过程,如数列{ },从第 n 1 一项开始逐项数下去, 永远数不完, 不论 n 多大, 永不为零, 只是零的近似值, n 但其极限却是零(精确值,如前面讲过的 0. 9 ? 1 ) 。因此,极限运算是事物运动 变化由量变到质变这个辩证规律在数学中的反映。 ⑦、正如通过对无界函数下定义可以深刻理解有界函数一样,在适当的情况 下引入数列{ x n }不以 A 为的极限的严格定义有助于进一步深刻理解极限的思 想:存在正数 ? >0,总能找到 n0 ,使得 x n0 ? A ? ? 成立,则 A 就不是数列{ x n } 的极限。 ⑧、从两个方面进一步论述引入分析定义的必要性: (1)用符号化的数学语 言,不仅简明,而且排除了一般自然语言容易发生“模棱两可” “似是而非” 、 、 “表达不清”等歧义现象,使得思维能够准确清楚地进行; (2)为一些无法明显 得到极限的数列(例如 lim n n )提供一种解决方案。
n??
?

⑨、数列极限的几何解释 如果无穷数列 x n 以 A 为极限, 从数轴上看, 即对于任意开区间 ? A ? ? , A ? ? ? , 其中 ? ? 0 , 都能找到某一项 x N , 满足在这一项之后的所有项 x n 都落在这个开区 间内,而这个开区间之外最多只能有有限项(至多 N 项) 。图示如下:
5

0

A - ???????? A

A+?

x

上面的论述表明,在较抽象的数学概念和方法的教学中,必须以遵循学生的 认识规律为原则,使学生对问题有一个循序渐进的过程,达到完善思维的目的。 (4) 、给学生一个明白无误的操作程序 在学生初步理解极限定义、懂得使用逻辑语言表达极限的准确的基础上,使 学生通过对一些例题的求解,加深对极限的进一步深刻理解。 通过一些简单题目的证明,学生会逐渐发现,用极限的分析定义证明问题的 过程,实际上就是从目的 xn ? A ? ? 中求解 N 的过程。简单例子可以直接通过 化简 xn ? A ? ? 得到,但对于一些复杂点的题目,需要通过适当的“放大”过程 来得到,这是用极限的分析定义证明问题的难点所在。

3.例题
例 1:用极限定义证明 lim
n ? ?? 1? n?? n
n ?1

?1。
n ?1

n ? ? ?1? 分析:对于任意给定的正数 ? ? 0 ,要使结论 n

?1 ? ? 成 立 , 即

? ?1?
n

n ?1

?

1 1 1 ? ? ? 成立,只需 n ? 成立即可。由于定义中要求寻找的 N 为自 ? n n

?1? ?1? 然数,因此可取 N ? ? ? , (当然,也可取 N ? ? ? ? m ,其中 m 为自然数。由于 ?? ? ?? ?

题目只需要找到一个 N ,所以,一般取式子简单的作为 N ) 。 解:
n ? ? ?1? ?1? ?? ? 0, ?N ? ? ? , 当n ? N时,总有 n ?? ?
n ?1

? 1 ? ? 成立 , 因 此 ,

lim

n ? ?? 1? n?? n

n ?1

?1。
n

? ?1? 例 2:用极限定义证明 lim
n??

1 ? n2

?0。
n 2

? ?1? 分析:对于任意给定的正数 ? ? 0 ,要使结论

1? n

?0 ?

1 1 ? ? ? 成立, 2 1? n 1 ? n2

6

只需 n ? 解:

? 1 ? ? 1? 。 ? 1 成立即可。因此可取 N ? ? ? ? ? ?

1

? 1 ? ? ?1? ? 0 ? ? 成立 ,则 ?? ? 0, ?N ? ? ? 1? , 当n ? N时,总有 1 ? n2 ? ? ?
n

n??

? ?1? lim

n

1 ? n2

? 0。

注释: ?
? 1 ? ? ?1? ? 0 ? ? 对所有 ? 1 ? 有意义,必须 0 ? ? ? 1 ;当 ? ? 1 , 要使 N ? ? 1 ? n2 ? ? ?
n

自然数都成立。 ? 正如上面注释(1)中所述: N 不唯一。因此,我们没有必要求出恰好 满足条件的最小的 N 。 可以通过对 xn ? A ? ? 的左面绝对值适当放大而 简洁求出 N 。例如,对于本题就有:

? ?1? 由于定义要求对于任意给定的正数 ? ? 0 ,要使结论
立,可以通过适当放大不等式而求出 N 。由于

n 2

1? n

?0 ?

1 ?? 成 1 ? n2

1 1 1 ? ,因此只要 ? ? 成立, 2 1? n n n

? ?1? 就有

n 2

1? n

?0 ?

1 1 ?1? ? ? ,所以只需 n ? 成立,即可取 N ? ? ? 。 2 ? 1? n ?? ?

因此,证明可改写为:

? ?1? ? 0 ? 1 ? ? 成立 ,因此, ?1? ?? ? 0, ?N ? ? ? , 当n ? N时,总有 1 ? n2 n ?? ?
n

n??

lim

? ?1?

n

1 ? n2

? 0。

例 3:用极限定义证明 lim n a ? 1 ( a ? 1 )。
n ??

分 析 :对于任意给定的正数 ? ? 0 ,要使结论

n

a ? 1 ? n a ? 1 ? ? 成立,只需

n ? log ? a
解:

1?? ?

1?? 成立即可。因此可取 N ? ?loga ? ? ? 。 ? ?

?? ? 0, ?N ? ?loga ?1?? ? ? , 当n ? N时,总有 n a ? 1 ? ? 成立 ,则 lim n a ? 1 。 ? ? n ??
7

注释: 当然,我们也可以采用适当“放大”的方法求 N 。 由于 a ? 1 ,因此 n a ? 1 ? n a ? 1 ? ? 等价于 a ? ?1 ? ? ? ,而
n

?1 ? ? ?

n

? 1 ? n? ?

n ? n ? 1? 2 ? ? ? ? ? n ? 1 ? n? ,因此,只要 1 ? n? ? a 即可,由 2

? a ? 1? 此求得 N ? ? 。 ? ? ? ?

因此,证明可改写为:

? a ? 1? n lim n ?? ? 0, ?N ? ? ? , 当n ? N时,总有 a ? 1 ? ? 成立 ,因此, n?? a ? 1 。 ? ? ?
? 采用这种适当放大不等式的方法是用定义证明极限的一个技巧。

4.难点问题及解决方法
本知识点的难点问题是对数列极限分析定义的理解,以及一些用定义证明极 限的技巧(如不等式适当的“放大”。 )

5.常见错误分析
问题 1:数列 an ? n 有极限吗? 针对问题 1,学生可能会出现的错误是:忽视直观定义中数列极限是一个常 数的要求,只从数列的变化趋势看,误认为数列 an ? n 有极限,并且极限是+∞。 问题 2:数列
?1 ?n , ? xn ? ? ? n ?1 , ? n ? n是偶数, n是奇数

有极限吗? 针对问题 2,学生可能会出现的错误是:忽视直观定义中数列极限必须是唯 一的一个常数的要求,而误认为数列
?1 ?n , ? xn ? ? ? n ?1 , ? n ? n是偶数, n是奇数

有极限,并且极限是 0 和 1。 问题 3:数列
8

?0 , ? xn ? ? 1 ?n , ?
有极限吗?

n是偶数, n是奇数

针对问题 3,学生可能会出现的错误是:认为数列的极限值是数列“无限趋 向”的值,不能“达到” ,从而误认为数列

?0 , ? xn ? ? 1 ?n , ?
没有极限。

n是偶数, n是奇数

1 的极限,这种观点是否正确? n 针对问题 4,学生可能会出现的错误是:将“无限趋向于”理解为“越来越 1 近” ,由于,当 n 无限增大时,数列的项 a n ? 与 ?1 确实是“越来越近” (由于 n 1 a n ? 是递减的) ,因而, ?1 是这个数列的极限。 n 通过这 4 个问题,一方面,纠正学生在数列极限直观定义理解上出现的常见

问题 4:有人认为, ?1 是数列 a n ?

错误,逐步建立正确的数列极限概念;另一方面,也力图使学生意识到数列极限 直观定义自身存在的不足,要准确把握数列极限的概念,需要对数列极限的分析 定义进行更深入的理解。 数列极限部分的错误,一般都是由于初学者判断极限主要是通过数列极限的 直观定义来进行的, 由于数列极限直观定义的不严谨性(直观定义主要依赖于自 然语言描述,在语义上不够严谨和准确) ,从而造成了理解上的困难。

6. 参考文献:
[1] 李心灿,微积分的创立者及其先驱,北京:航空工业出版社,1991。 [2] 钱宝宗,中国数学史,北京:科学出版社,1992。

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