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导数和定积分的应用检测题


第一章综合检测
时间 120 分钟,满分 150 分。
一、 选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.(2010· 全国Ⅱ文,7)若曲线 y=x2+ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x-y+1=0,则 A.a=1,b=1 [答案] A 3.曲线 y=x2+3x 在点 A(

2,10)处的切线的斜率是( A.4 B.5C.6 D.7 [答案] D *5.(2009· 安徽理,9)已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线 y= f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是( ) ) B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1

A.y=2x-1 B.y=xC.y=3x-2 D.y=-2x+3 [答案] A 6.函数 f(x)=x3+ax2+3x-9,已知 f(x)在 x=-3 时取得极值,则 a 等于( A.2 B.3C.4 D.5 [答案] D 1 9.(2010· 湖南理,5)?4 dx 等于( ?x
2

)

)

A.-2ln2 B.2ln2C.-ln2 D.ln2 [答案] D 1 10.已知三次函数 f(x)= x3-(4m-1)x2+(15m2-2m-7)x+2 在 x∈(-∞,+∞)是增 3 函数,则 m 的取值范围是( )

A.m<2 或 m>4 B.-4<m<-2C.2<m<4 D.以上皆不正确 [答案] D 11.已知 f(x)=x3+bx2+cx+d 在区间[-1,2]上是减函数,那么 b+c( 15 A.有最大值 2 [答案] B 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.将正确答案填在题中横线上) 14.若函数 f(x)= ax2-1 的单调增区间为(0,+∞),则实数 a 的取值范围是________. x 15 15 B.有最大值- C.有最小值 2 2 15 D.有最小值- 2 )

[答案] a≥0 1 2 16. 如图阴影部分是由曲线 y= , y =x 与直线 x=2, y=0 围成, 则其面积为________. x

[答案]

2 +ln2 3

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)(2010· 江西理,19)设函数 f(x)=lnx+ln(2-x)+ax(a>0). (1)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间; 1 (2)若 f(x)在(0,1]上的最大值为 ,求 a 的值. 2 [解析] 函数 f(x)的定义域为(0,2), 1 1 f′(x)= - +a, x 2-x -x2+2 (1)当 a=1 时,f′(x)= ,所以 f(x)的单调递增区间为(0, 2),单调递减区间为 x(2-x) ( 2,2); 2-2x (2)当 x∈(0,1]时,f′(x)= +a>0, x(2-x) 1 即 f(x)在(0,1]上单调递增,故 f(x)在(0,1]上的最大值为 f(1)=a,因此 a= . 2 18.(本题满分 12 分)求曲线 y=2x-x2,y=2x2-4x 所围成图形的面积. [解析]
2 ? ?y=2x-x , ? 由 得 x1=0,x2=2. 2 ?y=2x -4x ?

由图可知,所求图形的面积为 S=?2(2x-x2)dx+|?2(2x2-4x)dx|=?2(2x-x2)dx-?2(2x2

?0

?0

?0

?0

-4x)dx.
2 1 3? 2 因为? ?x -3x ?′=2x-x ,

?2x3-2x2?′=2x2-4x, ?3 ?
1 3?? 2 3 2 x -2x2?? 所以 S=? -? =4. 3 ?x -3x ?? ? ?? ?0 ?0 19.(本题满分 12 分)设函数 f(x)=x3-3ax+b(a≠0). (1)若曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处与直线 y=8 相切,求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值点. [分析] 考查利用导数研究函数的单调性,极值点的性质,以及分类讨论思想. [解析] (1)f′(x)=3x2-3a. 因为曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处与直线 y=8 相切,
? ? ?f′(2)=0, ?3(4-a)=0, 所以? 即? ?f(2)=8. ? ? ?8-6a+b=8.
2 2

解得 a=4,b=24. (2)f′(x)=3(x2-a)(a≠0). 当 a<0 时,f′(x)>0,函数 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,此时函数 f(x)没有极值点. 当 a>0 时,由 f′(x)=0 得 x=± a. 当 x∈(-∞,- a)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(- a, a)时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈( a,+∞)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 此时 x=- a是 f(x)的极大值点,x= a是 f(x)的极小值点. 1 20.(本题满分 12 分)已知函数 f(x)= x2+lnx. 2 (1)求函数 f(x)的单调区间; 1 2 (2)求证:当 x>1 时, x2+lnx< x3. 2 3 [解析] (1)依题意知函数的定义域为{x|x>0}, 1 ∵f′(x)=x+ ,故 f′(x)>0, x ∴f(x)的单调增区间为(0,+∞). 2 1 (2)设 g(x)= x3- x2-lnx, 3 2

1 ∴g′(x)=2x2-x- , x (x-1)(2x2+x+1) ∵当 x>1 时,g′(x)= >0, x ∴g(x)在(1,+∞)上为增函数, 1 ∴g(x)>g(1)= >0, 6 1 2 ∴当 x>1 时, x2+lnx< x3. 2 3 9 21.(本题满分 12 分)设函数 f(x)=x3- x2+6x-a. 2 (1)对于任意实数 x, f′(x)≥m 恒成立,求 m 的最大值; (2)若方程 f(x)=0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围. [分析] 本题主要考查导数的应用及转化思想,以及求参数的范围问题. [解析] (1)f′(x)=3x2-9x+6=3(x-1)(x-2). 因为 x∈(-∞,+∞).f′(x)≥m,即 3x2-9x+(6-m)≥0 恒成立. 3 3 所以 Δ=81-12(6-m)≤0,得 m≤- ,即 m 的最大值为- . 4 4 (2)因为当 x<1 时,f′(x)>0;当 1<x<2 时,f′(x)<0;当 x>2 时 f′(x)>0. 5 所以当 x=1 时,f(x)取极大值 f(1)= -a, 2 当 x=2 时,f(x)取极小值 f(2)=2-a. 5 故当 f(2)>0 或 f(1)<0 时,方程 f(x)=0 仅有一个实根,解得 a<2 或 a> . 2 22.(本题满分 14 分)已知函数 f(x)=-x3+ax2+1(a∈R). 2? ?2 ? (1)若函数 y=f(x)在区间? ?0,3?上递增,在区间?3,+∞?上递减,求 a 的值; (2)当 x∈[0,1]时,设函数 y=f(x)图象上任意一点处的切线的倾斜角为 θ,若给定常数 3 ? a∈? ?2,+∞?,求 θ 的取值范围; (3)在(1)的条件下,是否存在实数 m,使得函数 g(x)=x4-5x3+(2-m)x2+1(m∈R)的图 象与函数 y=f(x)的图象恰有三个交点.若存在,请求出实数 m 的值;若不存在,试说明理 由. 2? [解析] (1)依题意 f′? ?3?=0, 2?2 2 由 f′(x)=-3x2+2ax,得-3? =0,即 a=1. ?3? +2a· 3 a a2 x- ?2+ . (2)当 x∈[0,1]时,tanθ=f′(x)=-3x2+2ax=-3? ? 3? 3

3 a ?1 ? ? 由 a∈? ?2,+∞?,得3∈?2,+∞?. 3 a 1 ? a2 ,1 ,即 a∈? ,3?时,f′(x)max= , ①当 ∈? ?2 ? 3 ?2 ? 3 f(x)min=f′(0)=0. a2 此时 0≤tanθ≤ . 3 a ②当 ∈(1,+∞),即 a∈(3,+∞)时,f′(x)max=f′(1)=2a-3,f′(x)min=f′(0)=0, 3 此时,0≤tanθ≤2a-3. a2 3 0,arctan ?, 又∵θ∈[0,π),∴当 <a≤3 时,θ∈? 3? ? 2 当 a>3 时,θ∈[0,arctan(2a-3)]. (3)函数 y=f(x)与 g(x)=x4-5x3+(2-m)x2+1(m∈R)的图象恰有 3 个交点,等价于方程 -x3+x2+1=x4-5x3+(2-m)x2+1 恰有 3 个不等实根, ∴x4-4x3+(1-m)x2=0, 显然 x=0 是其中一个根(二重根), 方程 x2-4x+(1-m)=0 有两个非零不等实根,则
?Δ=16-4(1-m)>0 ? ? ?1-m≠0 ?

∴m>-3 且 m≠1 故当 m>-3 且 m≠1 时,函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象恰有 3 个交点.


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