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2011高中数学总复习课件:直线与方程


? (1)理解直线的倾斜角和斜率的概念, 掌握过两点的直线斜率的计算公式;能根 据两条直线的斜率判定这两条直线平行或 垂直;

? (2)掌握确定直线位置的几何要素, 掌握直线方程的几种形式(点斜式、两 点式及一般式),了解斜截式与一次函 数的关系; ? (3)能用解方程组的方法求两直线的 交点坐标;掌握两点间的距离公式、点 到直线的距离公式,会求两条平行

直线 间的距离;

? (4)掌握确定圆的几何要素,掌握圆的 标准方程与一般方程; ? (5)能根据给定直线、圆的方程,判断 直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆 的方程判断两圆的位置关系; ? (6)能用直线和圆的方程解决一些简单 的问题; ? (7)初步了解用代数方法处理几何问题 的思想.

? 直线和圆是平面解析几何的核心内容之一, 考查时,常与其他知识结合,题型主要以 选择,填空题形式出现.有时在大题中也考 查直线与圆的位置关系,直线与圆锥曲线 的综合问题,同时,突出考查化归与转化 思想,函数与方程思想,数形结合思想等 数学思想和待定系数法,换元法等数学基 本方法.总体难度中偏易.

? 预计2011年高考在本章的考查以小题为 主,考查重点是与直线的倾斜角,斜率 和截距相关的问题;直线的平行与垂直 的条件;与距离有关的问题;利用待定 系数法求圆的方程,以及直线与圆的位 置关系问题.直线与圆的位置关系,圆与 圆的位置关系也可能以解答题形式出现, 考查解析几何的基本思想和方法.

? 1.直线

x-y+1=0的倾斜角等于( 3

) B

? A.
? C.

?

2π 3 5π 6

B.
D.

斜率k= ,倾斜 3

π ? ? 角选B. , 3

π 3 π 6

? 2.已知α∈R,直线xsinα-y+1=0的斜率的 取值范围是( ) C ? A.(-∞,+∞) B.(0,1] ? C.[-1,1] D.(0,+∞) ? 直线xsinα-y+1=0的斜率是k=sinα, 又因为-1≤sinα≤1,所以-1≤k≤1,选C.

? 3.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相 交于同一点,则点(m,n)可能是( ) A ? A.(1,-3) B.(3,-1) ? C.(-3,1) D.(-1,3) ? y=2x x=1 ? x+y=3 由 ,得 y=2. ? 所以m+2n+5=0,所以点(m,n)可能是 (1,-3),选A.

? 4.直线ax+y-1=0与直线y=-2x+1互相垂直
1 ,则a= ? . 2

? ?
2

由题知(-a)×(-2)=-1,所以a=1 ,填- . 1 2

易错点:两直线互相垂直,若斜率都

存在,可得到斜率之积为-1.

? 5.若直线ax+2y-6=0与x+(a-1)y-(a2-1) =0平行,则点P(-1,0)到直线ax+2y-6=0 的距离等于 5 . ? 因为两直线平行,所以有a(a-1)=2, 即a2-a-2=0, ? 解得a=2或a=-1,但当a=2时,两直线重合, 不合题意,故只有a=-1,所以点P到直线 ax+2y-6=0的距离等于5,填5. ? 易错点:判断两直线平行时要检验是否 重合.

? 1.直线的倾斜角:理解直线的倾斜角 的概念要注意三点: ? (1)直线向上的方向; ? (2)与x轴的正方向; ? (3)所成的最小正角,其范围是[ 0,π).

? 2.直线的斜率: ? (1)定义:倾斜角不是90°的直线它的 倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率, 常用k表示,即k=tanα.α=90°的直线斜率 不存在; ? (2)经过两点P(x1,y1),Q(x2,y2)的直 线的斜率公式 (其中x1≠x2).
y2 ? y1 k? x2 ? x1

? 3.直线的方程:由直线的几何要素确定 ? (1)点斜式:y-y0=k(x-x0),直线的斜率 为k且过点(x0,y0); ? (2)斜截式:y=kx+b,直线的斜率为k,在y 轴上的截距为b;

? (3)两点式:

y ? y1 x ? x1 ? , 直线过两点 y2 ? y1 x2 ? x1
x y ? ?直线在x轴上的 1, a b

(x1,y1),(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2;

? (4)截距式:

截距为a,在y轴上的截距为b; ? (5)一般式Ax+By+C=0(A,B不全为 零).

?

4.两条直线的平行与垂直:已知直 线l1:y=k1x+b1;l2:y=k2x+b2,则直线 l1∥l2?k1=k2且b1≠b2;直线l1⊥l2? k1·2=-1. k ? 5.求两条相交直线的交点坐标,一 般通过联立方程组求解. ? 6.点到直线的距离: ? 点P(x0,y0)到直线l: Ax+By+C=0的 ? 距离
d? Ax0 ? By0 ? C A ?B
2 2



?

特别地,点P(x0,y0)到直线x=a的距 离d=x0-a; ? 点P(x0,y0)到直线y=b的距离d=y0-b; ? 两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2: ? Ax+By+C2=0的距离 ?
d? C 2 ? C1 .

7.若P(x1,y1),Q(x2? B),则 A2 ,y2 2

?
(x1 ? x2 2 ? y1 ? y2 2 ) ( ); x1 ? x2 y1 ? y2 ( , ) . 2 2

线段PQ的中点是

PQ ?

? ?

重点突破:直线的倾斜角与斜率 已知点A(-3,4),B(3,2),过点P 例1 (2,-1)的直线l与线段AB有公共点,求直 线l的斜率k的取值范围. ? 从直线l的极端位置PA,PB入手,分 别求出其斜率,再考虑变化过程斜率的变化 情况.

?

直线PA的斜率k1=-1,直线PB的斜 率k2=3,所以要使l与线段AB有公共点, 直线l的斜率k的取值范围应是k≤-1或k≥3. ? 直线的倾斜角和斜率的对应关系 是一个比较难的知识点,建议通过正切函 数y=tanx在[0, )∪( ,π)上的图象 π π 变化来理解它.
2 2

?

已知点A(-3,4),B 变式练习1

(3,2),过点P(2,-1)的直线l 与线段AB没有公共点,则直线l的斜 率k的取值范围为 . -1<k<3 ? 可用补集思想求得-1<k<3.

? ?

重点突破:直线方程的求法 (Ⅰ)求经过点A(-5,2)且在x轴上的截距 例2 等于在y轴上的截距的2倍的直线方程; ? (Ⅱ)若一直线被直线4x+y+6=0和3x-5y-6=0 截得的线段的中点恰好在坐标原点,求这条 直线方程. ? (Ⅰ)讨论截距为零和不为零两种情 况,分别设出直线方程,代入求解.(Ⅱ)设所 求直线与已知一直线的交点坐标A(a,b),与 另一直线的交点B,因为原点为AB的中点, 所以点B(-a,-b)在相应的直线上,联立方程

?

(Ⅰ)①当横截距、纵截距均为零时,
设所求的直线方程为y=kx,将(-5,2)代入
2 2 得k=- ,此时直线方程y=- x,即2x+5y=0; 5 5

? ②当横截距、纵截距都不是零时,设所求的 直线方程为
1 ,此时直线方程为x+2y+1=0. 2
x y 将(-5,2)代入得a=? ? 1, 2a a

? 综上所述,所求直线方程为2x+5y=0或

x+2y+1=0.

? ? ?

(Ⅱ)设所求直线与直线
4x+y+6=0,3x-5y-6=0分别相交于A,B.

设A(a,-4a-6),则由中点坐标公式知
B(-a,4a+6),

将B(-a,4a+6)代入3x-5y-6=0,得3

36 (-a)-5(4a+6)-6=0,解得a= ? . 23 36 6 36 6 A ( , ( , ? ), ? 从而求得 ? , )B 所以所 23 23 23 23 1 ? 求直线方程为 ? - x . y 6

?

应用直线方程的几种形式假 设直线方程时须注意其应用的适用 条件;选用恰当的参变量,可简化 运算量.

? 求适合下列条件的直线方程. 变式练习2 ? (Ⅰ)过点P(3,2),且在两坐标轴上 的截距相等; ? (Ⅱ)过点Q(0,-4),且倾斜角为直线 x+y+3=0的倾斜角的一半.
3

?

(Ⅰ)当直线在两坐标轴上的截距不为零

x y 时,设其方程为 ? ? 1, a a 3 2 ? 所以 ? ? 解得a=5, 1, a a

? 此时直线方程为x+y-5=0;

? 当直线在两坐标轴上的截距均为零时,

? 设其方程为y=kx,
? 所以2=3k,则k=
2 x. 3 2 ,此时直线方程为 3

y=

? 综上所述,所求的直线方程为x+y-5=0或
2 y= x. 3

? (Ⅱ)易得直线

x+y+3=0的斜率为3

,则 3

2 π , 倾斜角为 π,所以所求直线的倾斜角为 3 3 故斜率为 3 ,

? 由点斜式得所求的直线方程为y=

x-4. 3

? ?

重点突破:有关距离 已知直线l1:2x-y+a=0(a>0),直线l2: 例3 -4x+2y+1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1与l2的 距离是 7 5. ? (Ⅰ)求a的值; 10 ? (Ⅱ)能否找到一点P,使得P点同时满足 下列三个条件:①P是第一象限的点;②P 点到l1的距离是P点到l2的距离的 ;③点P 到l1的距离与点P到l3的距离的比为 若 1 能,求出P点坐标;若不能,说明理由. 2
2∶ 5.

? ? 可求得a的值.(Ⅱ)先假设P点坐标为P (x0,y0),然后借助题设中的3个条件列 方程组,可求得P点坐标,解题时不可忽 视“P是第一象限的点”这一条件.

7 (Ⅰ)利用l1与l2的距离是 5. 10

?

(Ⅰ)直线l2:2x-yl2的距离 d ?
1 a? ? ) ( 2

1 =0所以l1与 2

7 ? 5, 22 ? ? 1 2 10 ( )

? 所以

1 a? 7 因为a>0,所以a=3. 2 ? 5, 10 5

? (Ⅱ)假设存在点P,设点P(x0,y0), 若P点满足条件②,则P点在与l1,l2平行的
C?3 5

直线l′:2x-y+C=0上,且
1 C? 11 13 2 解得C= ?? 1 ? 或 . , 6 2 2 5 13 11 ? 所以2x0-y0+ =0,或2x0-y0+ =0. 2 6

? 离

若P点满足条件③,则由点到直线距
2 x 0 ? y0 ? 3

2 x 0 ? y0 ? 1 ? , ? 公式,有 5 5 2 2 x0 ? y0 ? 3 ? x0 ? y0 ? 1 ,

? ? ?

即 所以x0-2y0+4=0或3x0+2=0, 由于P点在第一象限,所以3x0+2=0 是不可能的.

? 联立方程2x0-y0+

13 =0和x0-2y0+4=0, 2

?
?

1 11 x0 ? ? 2x0-y0+ =0 9 6 由 ,解得 37 y0 ? , ? x0-2y0+4=0 18 1 37 ? 所以存在点P( , )同时满足三个条件. 9 18

x0=3 1 解得 y 0= 2 (不合,舍去)

?

利用两平行线间的距离公式时, x,y项对应的系数必须相同;解决存在 性问题,先假设存在,再加以推证.

?

已知点P(2,-1),过P点作 变式练习3

直线l. ? (Ⅰ)若原点O到直线l的距离为2,求l的 方程; ? (Ⅱ)求原点O到直线l的距离取最大值 时l的方程,并求原点O到l的最大距离.

?

(Ⅰ)①当l⊥x轴时,满足题意,所 以所求直线方程为x=2; ? ②当l不与x轴垂直时,直线方程可设 为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0. ? 求
3 ? 2, 解得k= 由已知得 4 1? k2

1 ? 2k

.所以所

? 直线方程为3x-4y-10=0. ? 综上,所求直线方程为x=2或3x-4y10=0. ? (Ⅱ)结合几何图形,可知当l⊥直线OP 时,距离最大为5,

?

经过点P(2,1)的直线l分别与两坐 例4

标轴的正半轴交于A,B两点. ? (Ⅰ)求当△ABO(O为坐标原点)的面积 最小时直线l的方程; ? (Ⅱ)求当OA+OB最小时直线l的方程; ? (Ⅲ)求当PA· PB最小时直线l的方程;

?

引入参数表示直线方程,建立相 应的目标函数,确定当目标函数取最值时 的参数,从而求得直线方程. ? 设直线方程为y-1=k(x-2),显然 k<0. ? 令x=0,得y=1-2k;令y=0,得 1 ? 所以A(0,1-2k),B(2- ,0).x ? 2 ? ,
1 k k

? (Ⅰ)△ABO的面积

1 (? )(? 4k) ? 1 1 k S ? ( ? 2k)(2 ? ) 2 ? 1 ? 2 k 2

1 ? 2 ? (? )(? 4k)? 2 ? 2 ? 4, k 1 1 ? 当且仅当- =-4k,即k=- 时等号成立,此 k 2 1

时直线方程为y-1=- (x-2),
2

? 所以当△ABO的面积最小时直线l的方程为 x+2y-4=0.

1 ? (Ⅱ)OA+OB=(1-2k)+(2- ) k 1 1 ? =3+(- )+(-2k)≥3+2 (- )(- 2k) k k ? 3 ? 2 2, 1 2 ? 当且仅当- =-2k,即k=- 时等号成立, k 2 2 此时直线方程为y-1=- (x-2), 2 OA ? OB ? 所以当 最小时直线l的方程为

x ? 2 y ? 2 ? 2 ? 0.

? (Ⅲ)PA· PB
1 2 2 2 ? (2 ? ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2k ? 1 ) ( ) k 1 1 2 2 ? 2 ( ? 2 )( ? k )? 2 2 ? 2 ? k 1 1 k k
1 2 ? 2 2 ? 2 2 ? k ? 4, k ? 当且仅当 即k=-1时等号成立,此时 1 直线方程为y-1=-(x-2), ? k 2, k2

? 所以当 PA · 最小时直线l的方程为 PB x+y-3=0. ? 解决与最值相关的问题,一般 有两种思路,一种是用函数的思想, 建立目标函数求解;另一种是用几何 性质求解.

? 1.求斜率一般有两种方法,其一,已知直
y ? y1 线上两点,根据 k ? 求斜率;其二, x2 ? x1
2

已知倾斜角α或α的三角函数值,根据
π π 化,要结合y=tanx在[0,)和( 2 2

k=tanα求斜率.斜率范围与倾斜角范围的转 ,π)

上的变化规律,借助数形结合解题.

? 2.直线方程的各种形式之间存在内在的联系, 它是直线在不同条件下的不同表现形式,要 掌握好它们之间的变化;在解具体问题时, 要根据问题的条件,结论灵活的选用公式, 以便简化运算.一般地,确定直线方程基本可 分为两个类型;一是根据题目条件确定点和 斜率或确定两点,进而利用直线方程的几种 形式,写出直线方程.二是利用直线在题目中 具有的某些性质,先设出方程(含参数或待 定系数法),在确定参数值.切记讨论斜率k 的存在与否.

? 3.求点到直线的距离问题时,直线方程要化 成一般式;利用两平行线间的距离公式时, 要注意x,y项的对应系数必须相同. ? 4.判断两条直线平行或垂直时,不要忘记考 虑两条直线中一条或两条直线均无斜率的情 况. ? 5.注意截距不是距离,是一个数值,它可取 正数,负数或零.

? 1.(2009· 安徽卷)直线l过点(-1,2)且与 直线2x-3y+4=0垂直,则l的方程是( A ) ? A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0 ? C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0

?

3 可得l的斜率k=- ,所以l:y2

3 2

2=- (x+1),即3x+2y-1=0,选A.

?

单独考查本章知识的高考试题
难度一般不大,本小题考查直线的斜率 和直线方程的确定方法,考查数形结合 的思想.

? 2.(2008· 江苏卷)如图,在 平面直角坐标系xOy中, 设三角形ABC的顶点分别 为A(0,a),B(b,0),C(c,0), 点P(0,p)是线段AO上的 (异于端点),这里的a,b,c,p均为非零实数,设直 一点 线BP,CP分别与边AC,AB交于点E,F,某同学已
1 1 1 1 ( ( ? )y ? 0, 正确求得直线OE的方程 ? )x ? b c p a 1 1 1 1 ( x ( 请你完成直线OF的方程: c ? b). ? p ? a)y ? 0.

1 1 ? 画草图,由对称性可猜想 c ? b x y AB: ? 填 .事实上,由截距式可得直线 ? 1, b a x y 1 1 1 1 ? ? 1, 直线CP: 两式相减得)x ? ( ? ( ? )y c p c b p a

? ? 0, 显然直线AB与CP的交点F的坐标满足此
方程,又原点O也满足此方程,故为所求直
1 1 线OF的方程.填 ) ( ? . c b

?

本小题考查直线方程的求法, 关注直线的几何要素,合理引用“设而 不求”,“整体代换”等,将计算简化, 讲求运算的合理性.


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