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江苏省南京外国语学校仙林分校2013-2014学年高二上学期期中测试数学


中学部 2013—2014 学年度第一学期高二年级期中测试
数学学科试题 命题人: 第一卷
一、填空题: (本大题共 8 小题,每题 5 分,共 40 分。请将答案填在答卷上) .........
1.抛物线 y ? 4 x 的焦点坐标为
2

审题人:




r />2.“ x ? 2 ”是“ x ? 1 ”的 ▲ 条件. (填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的某一个) 3.在平面直角坐标系中,若点 (a , ? 1) 在直线 2 x ? y ? 1 ? 0 的上方(不含边界) , 则实数 a 的取值范围是 ▲ . ▲ .

4.已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ,则 f ( x) 在区间 [0 , 2] 上的平均变化率为

5.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为 4 16





?x ? y ? 3 ? 6.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则目标函数 z=2x+y 的最大值为 ? y ?1 ?
2





7.一物体做加速直线运动,假设 t s 时的速度为 v(t ) ? t ? 3 ,则 t ? 2 时物体的加速度 为 ▲ .
2

8.不等式 1 ? x ? x ? a 在区间 [?1,1] 上恒成立,则实数 a 的取值范围是





二、解答题: (本大题共 4 道题,满分 60 分。答题应有必要的步骤和推理过程) ..............
9. (本题满分 14 分) 已知 p : ?x ? R ,不等式 x ? mx ?
2

x2 y2 3 ? ? 1 的焦 ? 0 恒成立, q :椭圆 m ?1 3 ? m 2

点在 x 轴上.若命题 p ? q 为真命题,求实数 m 的取值范围.

第 1 页 共 7 页

10. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x .
2

(1)若曲线 f ( x) 的一条切线的斜率是 2,求切点坐标; (2)求 f ( x) 在点 (?1, f (?1)) 处的切线方程.

11. (本题满分 16 分) 已知一个圆经过直线 l: 2 x ? y ? 4 ? 0 与圆 C: x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 的两个
2 2

交点,并且面积有最小值,求此圆的方程.

12. (本题满分 16 分) 如图,F 是中心在原点、焦点在 x 轴上的椭圆 C 的右焦点,直线 l:x=4 是椭圆 C 的 右准线,F 到直线 l 的距离等于 3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)点 P 是椭圆 C 上动点,PM⊥l,垂足为 M.是否存在点 P,使得△ FPM 为等腰 三角形?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.
y

l

O

F

x

第 2 页 共 7 页

第二卷
一、填空题: (本大题共 6 小题,每题 5 分,共 30 分。请将答案填在答卷上) .........
13.直线 l:y=x-1 被圆(x-3)2+y2=4 截得的弦长为 14.若直线 y=kx+1(k∈R)与焦点在 x 轴上的椭圆 围是 ▲ . ▲ .

x2 y2 ? ? 1 恒有公共点,则 t 的取值范 5 t

?x ? y ?1 ? 0 ? 15. 在平面直角坐标系中, 若不等式组 ? x ? 1 ? 0 (a 为常数)所表示的平面区域的面积 ? ax ? y ? 1 ? 0 ?
等于 2,则实数 a 的值为 ▲ .

16.抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,经过 F 且斜率为 3的直线与抛物线在 x 轴上方 部分相交于点 A,则 AF= ▲ .

17.对任意实数 λ,直线 l1:x+λy-m-λn=0 与圆 C:x2+y2=r2 总相交于两不同点,则 直线 l2:mx+ny=r2 与圆 C 的位置关系是 ▲ .

18.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0 , b ? 0) 的两顶点为 A1,A2,虚轴两端点为 B1,B2,两焦点 a 2 b2

为 F1,F2.若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2,切点分别为 A,B,C,D,则 该双曲线的离心率 e= ▲ .

第 3 页 共 7 页

二、解答题: (本大题共 2 道题,满分 30 分。答题应有必要的步骤和推理过程) ..............
19. (本题满分 14 分) 已知圆 M 的圆心在直线 2 x ? y ? 6 ? 0 上,且过点 (1, 2) 、 (4 , ? 1) . (1)求圆 M 的方程; (2)设 P 为圆 M 上任一点,过点 P 向圆 O: x ? y ? 1引切线,切点为 Q.试探究:
2 2

平面内是否存在一定点 R,使得 明理由.

PQ 为定值?若存在,求出点 R 的坐标;若不存在,请说 PR

20. (本题满分 16 分)

x2 y 2 已知椭圆G: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 过点 A(0 , 5) , B(?8 , ? 3) ,C、D在该椭圆上, a b
直线CD过原点O,且在线段AB的右下侧. (1)求椭圆G的方程; (2)求四边形ABCD 的面积的最大值.

第 4 页 共 7 页

中学部 2013—2014 学年度第一学期高二年级期中测试
数学学科试题答案 第一卷
一、填空题:1. (1,0) ;2.充分不必要;3. (??, ?1) ;4.2;5. y ? ?2 x ;6.5;
7.4;8. ( 2 , ? ?) .

二、解答题:
9. (本题满分 14 分)解: p : ? 6 ? m ? 皆为真,解得 2 ? m ?

6 ; q : 2 ? m ? 3 ,由 p ? q 为真知, p , q

6.

10. (本题满分 14 分)解: (1)切点坐标为 (1 , 1) ; (2)切线方程为 2 x ? y ? 1 ? 0

11 ? ? x2 ? ? 5 ? x1 ? ?3 ? ?2x ? y ? 4 ? 0 11. (本题满分 16 分) 解法一: ? 2 由 解得 ? 或? , 2 ?x ? y ? 2x ? 4 y ?1 ? 0 ? y1 ? 2 ?y ? 2 ? 2 5 ?
过该两点的圆的面积最小,可求得其方程为 ( x ?

13 2 6 4 ) ? ( y ? )2 ? 5 5 5

13 ? x?? ? 2x ? y ? 4 ? 0 ? ? ? 5 解法二:所求圆的圆心为 ? 的交点,可求得 ? , 1 6 y ? ( x ? 1) ? 2 ? ?y ? ? 2 ? 5 ?

13 2 6 4 ) ? ( y ? )2 ? 5 5 5 13 2 6 2 4 解法三:圆系方程可求得其方程为 ( x ? ) ? ( y ? ) ? 5 5 5
可求得其方程为 ( x ? 12. (本题满分 16 分)
第 5 页 共 7 页 O F x y l

x2 y2 解: (1)设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b a2 =4, ?a=2, c x2 y2 由已知,得 a2 ∴? ∴b= 3.所以椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 ?c=1. -c=3. c

? ? ?

PF 1 1 (2)由 =e= ,得 PF= PM.∴PF≠PM. PM 2 2 ①若 PF=FM,则 PF+FM=PM,与“三角形两边之和大于第三边”矛盾, ∴PF 不可能与 PM 相等. ②若 FM=PM,设 P(x,y)(x≠±2),则 M(4,y).∴ 32+y2=4-x, x2 y2 3 3 2 2 ∴9+y =16-8x+x ,又由 + =1,得 y2=3- x2.∴9+3- x2=16-8x+x2, 4 3 4 4 7 4 4 ∴ x2-8x+4=0.∴7x2-32x+16=0.∴x= 或 x=4.∵x∈(-2,2),∴x= . 4 7 7 4 3 15 4 3 15 ∴P( ,± ).综上,存在点 P( ,± ),使得△ PFM 为等腰三角形. 7 7 7 7

第二卷
一、填空题:13.2 2;14.[1,5);15.3;16.4;17.相离;18. 二、解答题:
19. (本题满分 14 分)解: (1)圆 M: ( x ? 4) ? ( y ? 2) ? 9 ;
2 2

5 ?1 . 2

(2)设 P( x , y ) , R(a , b) ,则 ( x ? 4) ? ( y ? 2) ? 9 ,即 x ? y ? 8 x ? 4 y ? 11 ,
2 2 2 2

又 PQ ? x ? y ? 1 , PR ? ( x ? a) ? ( y ? b) ? x ? y ? 2ax ? 2by ? a ? b ,
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2

故 PQ ? 8 x ? 4 y ? 12 , PR ? (8 ? 2a) x ? (4 ? 2b) y ? a ? b ? 11 ,
2 2 2 2

又设

PQ ? t 为定值,故 8 x ? 4 y ? 12 ? t 2 [(8 ? 2a) x ? (4 ? 2b) y ? a 2 ? b2 ? 11] , PR

第 6 页 共 7 页

? 2 ? a2 ? 5 ? a1 ? 2 ?8 ? (8 ? 2a)t 2 ? ? 1 ? ? 2 可得 ?4 ? (4 ? 2b)t ,解得 ?b1 ? 1 或 ?b2 ? , 5 2 2 2 ? ? ??12 ? (a ? b ? 11)t ? ?t1 ? 2 ? 10 ? t2 ? 3 ?
综上,存在点 R(2 , 1) 或 ( , ) 满足题意.

2 1 5 5

20. 本题满分 16 分) (1) ( 解: 将点 A (0, , 5) B (-8, 代入椭圆 G 的方程解得 -3) (2)连结OB, 则 S四边形ABCD =S?OAB ? S?AOD ? S?BOC ?

x2 y 2 ? ?1 100 25

1 1 1 |xB | ? AO ? d A ? OD ? d B ? OC , 2 2 2

其中 d A , d B 分别表示点A,点B 到直线CD 的距离.

设直线CD方程为y = kx,代入椭圆方程

x2 y 2 ? ? 1 得 x 2 ? 4k 2 x 2 ? 100 ? 0 , 100 25
10 1 ? k 2 1 ? 4k 2


解得: D(

10 1 ? 4k 2
5

,

10k 1 ? 4k 2

) ,? OC ? OD ?

又 dA ?

1? k

2

, dB ?

8k ? 3

3 (k ? ) 8 1? k
2

则 S四边形ABCD =

1 1 5 10 1+k 2 1 8k ? 3 10 1+k 2 ? 8 ? 5+ ? ? ? ? ? 2 2 1+k 2 1+4k 2 2 1+k 2 1+4k 2

=20+10 ?

16k 2 +8k ? 1 16k 2 +4(k 2 ? 1) ? 1 ? 20 ? 10 ? 20 ? 10 5 . 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

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