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江苏省宿迁市沭阳县2015-2016学年高二上学期期中数学试卷


2015-2016 学年江苏省宿迁市沭阳县高二(上)期中数学试卷

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分,请把答案填写在答题卡相应位置 上. 1.若命题? x∈{2,3},x ﹣4>0,则命题¬p 为__________.
2

2.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有 30 名,高二年级有 40 名.现用分层抽样的方 法在这 70 名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了 9 名,则在高二年级的学 生中应抽取的人数为__________.

3.图中的伪代码运行后输出的结果是__________.

4.下列事件是随机事件的是__________(填序号) . ①连续两次掷一枚硬币,两次都出现正面向上; ②异性电荷相互吸引; ③在标准大气压下,水在 1℃时结冰; ④任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数.

5. 某企业共有职工 627 人, 总裁为了了解下属某部门对本企业职工的服务情况, 决定抽取 10% 的职工进行问卷调查,如果采用系统抽样方法抽取这一样本,则应分成__________段抽取.

6.下表是一个容量为 60 的样本(60 名学生的数学考试成绩,成绩为 0﹣100 的整数)的频率 分布表,则表中频率 a 的值为__________.

分组 频数 频率

0.5~20.5 3

20.5~40.5 6

40.5~60.5 12

60.5~80.5

80.5~100.5

a

0.3

7.以下四个命题中是真命题的有__________(填序号) . ①命题“若 xy=1,则 x,y 互为倒数”的逆命题; ②命题“面积相等的两个三角形全等”的否命题; ③命题“若 m≤1,则 0.005×20×2+0.0025×20=0.25 有实根”的逆否命题; ④命题“若 A∩B=B,则 A? B”的逆否命题.

8.如图是某校高二年级举办的歌咏比赛上,七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去 掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的方差为__________.

9.在 1L 高产小麦种子中混入 1 粒带麦锈病的种子,从中随机取出 20mL,则不含有麦锈病种 子的概率为__________.

10.有分别写着数字 1~12 的 12 张卡片,若从中随机取出一张,则这张卡片上的数字是 2 或 3 的倍数的概率为__________.

11.如图是一个算法的伪代码,运行后输出的 n 值为__________.

12.定义运算?,a?b=S 的运算原理如伪代码所示,则式子 5?3+2?4=__________.

13.根据流程图,若函数 g(x)=f(x)﹣m 在 R 上有且只有两个零点,则实数 m 的取值范围

是__________.

14.已知函数 f(x)=( ) ﹣m,g(x)=x .若对? x1∈,? x2∈,使 f(x1)=g(x2)成立, 则实数 m 的取值范围为__________.

x

2

二、解答题:本大题共 6 小题,15-17 每小题 14 分,18-20 每小题 14 分,共计 90 分.请在 答题卡指定的区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (14 分)我县某中学为了配备高一新生中寄宿生的用品,招生前随机抽取部分准高一学生 调查其上学路上所需时间(单位:分钟) ,并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图) ,其 中上学路上所需时间的范围是,样本数据分组为. (1)求直方图中 x 的值;

(2)如果上学路上所需时间不少于 40 分钟的学生应寄宿,且该校计划招生 1800 名,请估计 新生中应有多少名学生寄宿; (3) 若不安排寄宿的话, 请估计所有学生上学的平均耗时 (用组中值代替各组数据的平均值) .

16. (14 分) 已知数列{an}中, a1=2, 如图 1 的伪代码的功能是求数列{an}的第 m 项 am 的值 (m≥2) , 现给出此算法流程图的一部分. (1)直接写出流程图(图 2)中的空格①、②处应填上的内容,并写出 an 与 an+1 之间的关系; (2)若输入的 m 值为 2015,求输出的 a 值(写明过程) .

17. (14 分)用计算机随机产生的有序二元数组(x,y)满足﹣1<x<1,﹣1<y<1. (1)求事件 x≤ 的概率; (2)求事件“x +y >1”的概率.
2 2

18. (16 分)抽取某种型号的车床生产的 10 个零件,编号为 A1,A2,?,A10,测量其直径(单 位:cm) ,得到下面数据: 编号 直径 A1 1.51 A2 1.49 A3 1.49 A4 1.51 A5 1.49 A6 1.48 A7 1.47 A8 1.53 A9 1.52 A10 1.47

其中直径在区间内的零件为一等品. (1)从上述 10 个零件中,随机抽取一个,求这个零件为一等品的概率; (2)从一等品零件中,随机抽取 2 个. ①用零件的编号列出所有可能的抽取结果; ②求这 2 个零件直径相等的概率; (3)若甲、乙分别从一等品中各取一个,求甲取到零件的直径大于乙取到零件的直径的概率.

19. (16 分)已知,命题 p:? x∈R,x +ax+2≥0,命题 q:? x∈,x ﹣ax+1=0. (1)若命题 p 为真命题,求实数 a 的取值范围; (2)若命题 q 为真命题,求实数 a 的取值范围; (3)若命题“p∨q”为真命题,且命题“p∧q”为假命题,求实数 a 的取值范围.

2

2

20. (16 分)已知集合 A={x|log5(ax+1)<1}(a≠0) ,B={x|2x ﹣3x﹣2<0}. (1)求集合 B; (2)求证:A=B 的充要条件为 a=2; (3)若命题 p:x∈A,命题 q:x∈B 且 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

2

2015-2016 学年江苏省宿迁市沭阳县高二(上)期中数学试卷

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分,请把答案填写在答题卡相应位置 上. 1.若命题? x∈{2,3},x ﹣4>0,则命题¬p 为? x∈{2,3},x ﹣4≤0. 【考点】命题的否定. 【专题】计算题;规律型;转化思想;简易逻辑. 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可. 【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以命题? x∈{2,3},x ﹣4>0,则命题¬p 为:? x∈{2,3},x ﹣4≤0. 故答案为:? x∈{2,3},x ﹣4≤0. 【点评】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,是基础题.
2 2 2 2 2

2.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有 30 名,高二年级有 40 名.现用分层抽样的方 法在这 70 名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了 9 名,则在高二年级的学 生中应抽取的人数为 12. 【考点】分层抽样方法. 【专题】方程思想;做商法;概率与统计. 【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系进行求解即可. 【解答】解:∵在高一年级的学生中抽取了 9 名, ∴在高二年级的学生中应抽取的人数为 故答案为:12; 【点评】本题主要考查分层抽样的应用,根据条件建立比例关系是解决本题的关键.比较基 础. 人,

3.图中的伪代码运行后输出的结果是 3.

【考点】伪代码. 【专题】计算题;阅读型;函数思想;试验法;算法和程序框图. 【分析】通过分析伪代码,按照代码进行执行,根据赋值语句的功能求解即可得解. 【解答】解:根据已知伪代码,可得: a=3 b=﹣5 c=3 a=﹣5 b=3 输出 b 的值为 3. 故答案为:3. 【点评】本题考查伪代码,理解赋值语句的功能是解题的关键,属于基础题.

4.下列事件是随机事件的是①④(填序号) . ①连续两次掷一枚硬币,两次都出现正面向上; ②异性电荷相互吸引; ③在标准大气压下,水在 1℃时结冰; ④任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数. 【考点】随机事件. 【专题】阅读型;试验法;概率与统计. 【分析】根据随机事件的定义,逐一分析四个事件是否是随机事件,可得答案. 【解答】解:①连续两次掷一枚硬币,两次都出现正面向上,是随机事件; ②异性电荷相互吸引,是不可能事件; ③在标准大气压下,水在 1℃时结冰,是不可能事件;

④任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数,是随机事件. 故答案为:①④; 【点评】本题考查的知识点是随机事件,正确理解随机事件的概念,是解答的关键.

5. 某企业共有职工 627 人, 总裁为了了解下属某部门对本企业职工的服务情况, 决定抽取 10% 的职工进行问卷调查,如果采用系统抽样方法抽取这一样本,则应分成 62 段抽取. 【考点】系统抽样方法. 【专题】集合思想;做商法;概率与统计. 【分析】根据系统抽样的定义进行求解即可. 【解答】解:由于抽取 10%,即抽取比例为 10:1, 则每 10 人一组, ∵627÷10=62+7, ∴应该分成 62 段, 故答案为:62; 【点评】本题主要考查系统抽样的应用,比较基础.

6.下表是一个容量为 60 的样本(60 名学生的数学考试成绩,成绩为 0﹣100 的整数)的频率 分布表,则表中频率 a 的值为 0.35. 分组 频数 频率 【考点】频率分布表. 【专题】对应思想;分析法;概率与统计. 0.5~20.5 3 20.5~40.5 6 40.5~60.5 12 a 0.3 60.5~80.5 80.5~100.5

【分析】根据频率=

以及频率和为 1,即可求出 a 的值.

【解答】解:根据题意,填写表中数据,如下; 成绩在 0.5~20.5 内的频率是 成绩在 20.5~40.5 内的频率是 =0.05, =0.10,

成绩在 40.5~60.5 内的频率是 ∴成绩在 60.5~80.5 内的频率是

=0.20,

1﹣(0.05+0.10+0.20+0.30)=0.35; ∴a 的值是 0.35. 故答案为:0.35. 【点评】本题考查了频率、频数与样本容量的计算问题,是基础题目.

7.以下四个命题中是真命题的有①②(填序号) . ①命题“若 xy=1,则 x,y 互为倒数”的逆命题; ②命题“面积相等的两个三角形全等”的否命题; ③命题“若 m≤1,则 0.005×20×2+0.0025×20=0.25 有实根”的逆否命题; ④命题“若 A∩B=B,则 A? B”的逆否命题. 【考点】四种命题的真假关系. 【专题】转化思想;分析法;简易逻辑. 【分析】①写出该命题的逆命题,再判断它的真假性; ②写出该命题的否命题,再判断它的真假性; ③和④,根据原命题与它的逆否命题真假性相同,判断原命题的真假性即可. 【解答】解:对于①,命题“若 xy=1,则 x,y 互为倒数”的逆命题是“若 x,y 互为倒数, 则 xy=1”,它是真命题; 对于②,命题“面积相等的两个三角形全等”的否命题是“面积不相等的两个三角形不全 等”,它是真命题; 对于③,命题“若 m≤1,则 0.005×20×2+0.0025×20=0.25 有实根”是假命题,∴它的逆否 命题也是假命题; 对于④,命题“若 A∩B=B,则 A? B”是假命题,∴它的逆否命题也是假命题; 综上,正确的命题是①②. 故答案为:①②. 【点评】本题考查了四种命题之间关系的应用问题,也考查了命题真假的判断问题,是基础 题目.

8.如图是某校高二年级举办的歌咏比赛上,七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去 掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的方差为 3.2.

【考点】极差、方差与标准差. 【专题】对应思想;数学模型法;概率与统计. 【分析】去掉一个最高分和一个最低分后,确定所剩数据,从而可求数据的平均数和方差. 【解答】解:去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据为 83,84,84,86,88, 平均数为 (83+84+84+86+88)=85, 方差为 (4+1+1+1+9)=3.2, 故答案为:3.2. 【点评】本题考查了茎叶图的读法,属于基础题.正确理解茎叶图和准确的计算,是解决本 题的关键.

9.在 1L 高产小麦种子中混入 1 粒带麦锈病的种子,从中随机取出 20mL,则不含有麦锈病种 子的概率为 .

【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】计算题;转化思想;概率与统计. 【分析】先计算出在 1L 高产小麦种子中随机取出 20mL,恰好含有麦锈病种子的概率,进而根 据对立事件概率减法公式,得到答案. 【解答】解:在 1L 高产小麦种子中随机取出 20mL, 恰好含有麦锈病种子的概率 P= = , = ;

故从中随机取出 20mL,不含有麦锈病种子的概率 P=1﹣ 故答案为:

【点评】本题考查的知识点是几何概型,对立事件概率减法公式,难度中档.

10.有分别写着数字 1~12 的 12 张卡片,若从中随机取出一张,则这张卡片上的数字是 2 或 3 的倍数的概率为 . 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【专题】计算题;分类讨论;概率与统计. 【分析】从 12 张卡片中随机取出一张,共有 12 种情况,其中卡片上的数字是 2 或 3 的倍数 的情况有 8 种,代入概率公式,可得答案. 【解答】解:从 12 张卡片中随机取出一张,共有 12 种情况, 其中卡片上的数字是 2 倍数有:2,4,6,8,10,12, 其中卡片上的数字是 3 数有:3,6,9,12, 故卡片上的数字是 2 或 3 的倍数的情况有 2,3,4,6,8,9,10,12,共 8 种, 故这张卡片上的数字是 2 或 3 的倍数的概率 P= 故答案为: 【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式,难度不大,属于基础题. = ;

11.如图是一个算法的伪代码,运行后输出的 n 值为 2.

【考点】伪代码. 【专题】计算题;函数思想;试验法;算法和程序框图. 【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件,然后执行循环语句,一旦不满足条件 就退出循环,执行语句 S←S+n,从而到结论. 【解答】解:模拟执行伪代码,可得 n=5,S=0 满足条件 S<10,S=5,n=4

满足条件 S<10,S=9,n=3 满足条件 S<10,S=12,n=2 不满足条件 S<10,退出循环,输出 n 的值为 2. 故答案为:2. 【点评】本题主要考查了循环结构的伪代码,当满足条件,执行循环,属于基础题.

12.定义运算?,a?b=S 的运算原理如伪代码所示,则式子 5?3+2?4=32.

【考点】伪代码. 【专题】计算题;新定义;分类讨论;试验法;算法和程序框图. 【分析】通过程序框图判断出 S=a?b 的解析式,求出 5?3+2?4 的值.

【解答】解:有程序可知 S=a?b= ∴5?3+2?4=5×(3+1)+4×(2+1)=32. 故答案为:32.



【点评】新定义题是近几年常考的题型,要重视.解决新定义题关键是理解题中给的新定义.

13.根据流程图,若函数 g(x)=f(x)﹣m 在 R 上有且只有两个零点,则实数 m 的取值范围

是(﹣∞,0)∪(1,4) . 【考点】程序框图. 【专题】计算题;图表型;分类讨论;函数的性质及应用. 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作

用是计算分段函数 f(x)=

的函数值;函数 g(x)=f(x)﹣m 在 R 上有且

只有两个零点,则我们可以在同一平面直角坐标系中画出 y=f(x)与 y=m 的图象进行分析. 【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知:

该程序的作用是计算分段函数 f(x)= 其函数图象如图所示: 又∵函数 g(x)=f(x)﹣m 在 R 上有且只有两个零点, 则由图可得 m<0 或 1<m<4, 故答案为: (﹣∞,0)∪(1,4) .

的函数值;

【点评】本题考查程序框图以及函数的零点,通过对程序框图的理解,转化为函数图象,然 后把函数零点转化为交点个数问题,属于基础题.

14.已知函数 f(x)=( ) ﹣m,g(x)=x .若对? x1∈,? x2∈,使 f(x1)=g(x2)成立, 则实数 m 的取值范围为﹣2≤m≤ . 【考点】函数恒成立问题. 【专题】分析法;函数的性质及应用. 【分析】根据自变量的范围,分别求出函数的值域;f(x)∈,g(x)∈, 由题意可得 ﹣m≥0,2﹣m≤4,进而求出 m 的范围. 【解答】解:f(x)=( ) ﹣m,? x1∈, ∴f(x)∈, g(x)=x ,x2∈, ∴g(x)∈, ∴ ﹣m≥0,2﹣m≤4, ∴﹣2≤m≤ . 故答案为∴﹣2≤m≤ . 【点评】考查了指数函数和二次函数值域的求法和利用值域解决实际问题.
2 x

x

2

二、解答题:本大题共 6 小题,15-17 每小题 14 分,18-20 每小题 14 分,共计 90 分.请在 答题卡指定的区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. (14 分)我县某中学为了配备高一新生中寄宿生的用品,招生前随机抽取部分准高一学生 调查其上学路上所需时间(单位:分钟) ,并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图) ,其 中上学路上所需时间的范围是,样本数据分组为. (1)求直方图中 x 的值; (2)如果上学路上所需时间不少于 40 分钟的学生应寄宿,且该校计划招生 1800 名,请估计 新生中应有多少名学生寄宿; (3) 若不安排寄宿的话, 请估计所有学生上学的平均耗时 (用组中值代替各组数据的平均值) .

【考点】频率分布直方图. 【专题】计算题;函数思想;综合法;概率与统计. 【分析】 (1)由直方图概率的和为 1,求解即可. (2)求出新生上学所需时间不少于 40 分钟的频率,然后求出 1800 名新生中学生寄宿人数. (3)用组中值代替各组数据的平均值求解即可. 【解答】解: (1)由直方图可得:20x+0.025×20+0.005×20×2+0.0025×20=1. 所以 x=0.0125.? (2)新生上学所需时间不少于 40 分钟的频率为:0.005×20×2+0.0025×20=0.25? 因为 1800×0.25=450 所以 1800 名新生中有 450 名学生寄宿. ? (3)0.0125×20×10+0.025×20×30+0.005×20×50+0.005×20×70+0.0025×20×90=34. 所以所有学生上学的平均耗时为 34 分钟.?(14 分) 【点评】本题考查频率分布直方图的应用,考查计算能力.

16. (14 分) 已知数列{an}中, a1=2, 如图 1 的伪代码的功能是求数列{an}的第 m 项 am 的值 (m≥2) , 现给出此算法流程图的一部分. (1)直接写出流程图(图 2)中的空格①、②处应填上的内容,并写出 an 与 an+1 之间的关系;

(2)若输入的 m 值为 2015,求输出的 a 值(写明过程) .

【考点】程序框图;伪代码. 【专题】计算题;阅读型;转化思想;分析法;算法和程序框图. 【分析】 (1)由图 1 可得,i 的初值是 2,终值为 m,步长值为 1,从而可得①2;又求这个数 列的第 m 项 am 的值,所以循环结束的条件是 i≥m+1,即可得解. (2)模拟执行程序,输入的 m 值为 2015,依次写出每次循环得到的 i,a 的值,由等差数列 的性质即可求值得解. 【解答】解: (1)①2; ②m+1; an+1=an+2 (2)模拟执行程序,可得: m=2015,a=2 i=2,a=2+2(2﹣1)=4 i=3,a=2+(3﹣1)×2=6 ? i=2015,a=2+×2=4030. 故若输入的 m 值为 2015,输出的 a 值为 4030? ? ? ?

【点评】本题的考点是循环结构,考查了根据程序框图和算法功能,填写条件和写出算法语 句,并由此程序进行计算求值,属于基础题.

17. (14 分)用计算机随机产生的有序二元数组(x,y)满足﹣1<x<1,﹣1<y<1. (1)求事件 x≤ 的概率; (2)求事件“x +y >1”的概率. 【考点】几何概型. 【专题】计算题;数形结合;综合法;概率与统计. 【分析】 (1)求出事件“x≤ ”为事件 A 的测度为 2,事件 A 的表示的区域 d 为数轴上﹣1 到 的线段,测度为 ,然后求解 P(A) . (2) 记事件“x +y >1”事件为 B, 求出 B 测度为 4, 事件 B 表示的平面区域 d'为圆 O 的外部, 则其测度,然后求解事件“x +y >1”的概率. 【解答】解: (1)记事件“x≤ ”为事件 A,? x 可以看成数轴上的点, 则所有试验结果形成的区域 D 为数轴上﹣1 到 1 的线段, 其测度为 2, ? 事件 A 的表示的区域 d 为数轴上﹣1 到 的线段,测度为 ,?
2 2 2 2 2 2

P(A)=

= = .

答:事件 x≤ 的概率为 .? (2)记事件“x +y >1”事件为 B,? 由于 x,y 的随机性, (x,y)可以看成坐标平面中的点, 所有试验的全部结果 D'为{(x,y)|﹣1<x<1,﹣1<y<1}表示的平面区域,是边长为 2 正 方形,测度为 4,? 事件 B 表示的平面区域 d'为圆 O 的外部,则其测度为(4﹣π )?
2 2

则:



答:事件“x +y >1”的概率为

2

2

.?(14 分)

【点评】本题考查几何概型的概率的求法,考查计算能力.

18. (16 分)抽取某种型号的车床生产的 10 个零件,编号为 A1,A2,?,A10,测量其直径(单 位:cm) ,得到下面数据: 编号 直径 A1 1.51 A2 1.49 A3 1.49 A4 1.51 A5 1.49 A6 1.48 A7 1.47 A8 1.53 A9 1.52 A10 1.47

其中直径在区间内的零件为一等品. (1)从上述 10 个零件中,随机抽取一个,求这个零件为一等品的概率; (2)从一等品零件中,随机抽取 2 个. ①用零件的编号列出所有可能的抽取结果; ②求这 2 个零件直径相等的概率; (3)若甲、乙分别从一等品中各取一个,求甲取到零件的直径大于乙取到零件的直径的概率. 【考点】等可能事件的概率;列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【专题】分类讨论;综合法;概率与统计. 【分析】 (1)由条件利用古典概率及其计算公式,求得从 10 个零件中,随机抽取一个为一等 品的概率. (2)①设一等品零件的编号为 A1、A2、A3、A4、A5,从这 5 个一等品零件中随机抽取 2 个,所 有可能的结果用列举法求得共有 10 个. ②设“从一等品零件中,随机抽取的 2 个零件直径相等”(记为事件 B)的所有可能结果用列 举法求得共有 4 个,可得从一等品零件中,随机抽取的 2 个零件直径相等概率. (3)由(2)知甲、乙分别从一等品中各取一个,共有 20 种可能(有序) ,而甲取到零件的 直径大于乙取到零件的直径的有 6 种可能.由此求得甲取到零件的直径大于乙取到零件的直 径的概率.

【解答】解: (1)由所给数据可知,一等品零件共有 5 个,设“从 10 个零件中,随机抽取一 个为一等品”为事件 A, 则 p(A)= = .

所以,从 10 个零件中,随机抽取一个为一等品的概率为 . (2)①解:一等品零件的编号为 A1、A2、A3、A4、A5,从这 5 个一等品零件中随机抽取 2 个, 所有可能的结果有: A1、A2; A1、A3; A1、A4; A1、A5; A2、A3; A2、A4; A2、A5; A3、A4; A3、A5;A4、A5,共 计 10 个. ②解“从一等品零件中,随机抽取的 2 个零件直径相等”(记为事件 B)的所有可能结果有: A1、A4; A2、A3; A2、A5;A3、A5,共有 4 种. 故从一等品零件中,随机抽取的 2 个零件直径相等概率为 = .

(3)由(2)知甲、乙分别从一等品中各取一个,共有 20 种可能(有序) , 甲取到零件的直径大于乙取到零件的直径的有 6 种可能. 记“甲取到零件的直径大于乙取到零件的直径”为事件 C, 则甲取到零件的直径大于乙取到零 件的直径的概率为 = .

【点评】本题主要考查古典概率及其计算公式,等可能事件的概率,属于中档题.

19. (16 分)已知,命题 p:? x∈R,x +ax+2≥0,命题 q:? x∈,x ﹣ax+1=0. (1)若命题 p 为真命题,求实数 a 的取值范围; (2)若命题 q 为真命题,求实数 a 的取值范围; (3)若命题“p∨q”为真命题,且命题“p∧q”为假命题,求实数 a 的取值范围. 【考点】复合命题的真假. 【专题】计算题;分类讨论;分析法;简易逻辑. 【分析】 (1)根据二次函数的性质求出 a 的范围即可; (2)问题掌握求 在区间上的单调性、最值问题,求出即可;

2

2

(3)分别求出“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题时的 a 的范围,取交集即可. 【解答】解: (1)若命题 p: :? x∈R,x +ax+2≥0,为真命题,
2

则方程 x +ax+2=0 的判别式△=a ﹣8≤0,? 所以实数 a 的取值范围为 (2)若命题 q 为真命题,x ﹣ax+1=0, 因为 因为 又 ,所以 x≠0,所以 ,所以 在上单调增, ,f(﹣ )=﹣ , 所以 f(x)值域为, 所以实数 a 的取值范围? (3)命题“p∨q”为真命题,则 a∈∪=;? 命题“p∧q”为真命题, 则 所以命题 B﹣FC1﹣C 为假命题,则 ,?(14 分) , ?
2

2

2

; ?

,当且仅当 x=﹣1 时取等号,? 上单调减,

所以若命题 则

为真命题,命题 B﹣FC1﹣C 为假命题,

=

所以实数 a 的取值范围

?(16 分) .

【点评】本题考查了复合命题的判断,考查二次函数的性质,考查转化思想,是一道中档题.

20. (16 分)已知集合 A={x|log5(ax+1)<1}(a≠0) ,B={x|2x ﹣3x﹣2<0}. (1)求集合 B; (2)求证:A=B 的充要条件为 a=2; (3)若命题 p:x∈A,命题 q:x∈B 且 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

2

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】集合思想;综合法;简易逻辑. 【分析】 (1)解不等式求出集合 B 即可; (2)分别判断充分性和必要性即可; (3)问题转化 为 A?B,通过讨论 a 的范围,得到关于 a 的不等式组,解出即可. 【解答】解: (1)2x ﹣3x﹣2<0, (2x+1) (x﹣2)<0, 所以 所以 , ?
2

(2)证明:充分性:当 a=2 时, , 所以当 a=2 时:A=B.? 必要性: A={x|log5(ax+1)<1}={x|0<ax+1<5}={x|﹣1<ax<4} 当 a>0 时 又 A=B, ,

∴ 当 a<0 时,

,? ,

∴ 故 A=B 时,a=2.

,无解,A≠B,

∴A=B 的充要条件为:a=2? (3)∵p 是 q 的充分不必要条件, ∴A?B,? 由(2)知 当 a>0 时, ,

则 当 a<0 时,

,解得 a>2?(14 分) ,

则 综上 p 是 q 的充分不必要条件,实



数 a 的取值范围是 a>2,或 a≤﹣8.?(16 分) 【点评】本题考查了充分必要条件,考查解不等式问题,考查分类讨论,是一道中档题.


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