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1.2.3空间几何体的直观图


斜二测画法
观察正方体的平面图

问:正方体的每个面都是正方形,但在 平面图中有几个面画成正方形?平行四边形?

一、几何体的直观图:

直观图: 表示空间图形的平面图形, 叫做空间图形的直观图.

画一个正方形的直观图。

思 考

怎样才能画

好物体的直观图呢?

斜二测画法
y . . . . .

①在直角坐标 系中画出正方 形;
x

. .

. . o.

②建立∠x’o’y’=45°的坐标系 ③平行于x、y轴的线段在斜二测坐标系中 仍平行于x’、y’轴,但横向长度不变,纵向 长度减半
y
. . .

y’ . . . . . o’ x’

. .

. . o.

. .

x

1、平面图形的直观图画法
(1)建系

y

y’

o
(2)确定平行线段.

x

o’

( 450或1350 )

x’

平行x轴的线段平行于x’ 轴 平行y轴的线段平行于y’ 轴 (3)确定线段长度. 平行x轴的线段的长度保持不变. 平行y轴的线段的长度变为原来的一半. (4) 成图

常用的一些空间图形的平面画法

水平直观图
用斜二测直角梯形的水平直观图
y

D

C D′

y′ C′ B′ x′

A

B x
0

A′

1 ?x?o?y? ? 45 , A?D? ? AD , A?B? ? AB 2

二、平面图形的直观图的画法:
例1:画水平放置的正六边形的直观图.
F
y M 0 B N C E y1

F1
A D x A1 B1

M1 E1

N1 C 1

01

x D1 1

四个步骤:取轴、画轴、平行性、长度.

斜二测画法的基本步骤: (1)建坐标系,定水平面; (2)与坐标轴平行的线段保持平行;

(3)水平线段等长,纵坐标线段减半.

水平放置的平面图形的直观图的画法 ? 练习 画出上底DC为1,下底AB为3,高 为2的等腰梯形ABCD的直观图,并求直 观图的面积.

1、水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示,已 知A'C'=3,B'C'=2,则AB边上的中线的实际长度 为 2.5 。 y B
x' B' D (C') O' A' y' O C A

x

知识探究(二):空间几何体的直观图的画法

思考1:对于柱、锥、台等几何体的直观 图,可用斜二测画法或椭圆模板画出一 个底面,我们能否再用一个坐标确定底 面外的点的位置?
z y

o

x

思考2:怎样画长、宽、高分别为4cm、 3cm、2cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的 直观图?
D′ A′ D z y B′ Q o A P B

C′
A′ C x A

D′
B′ D B

C′

C

思考3:怎样画底面是正三角形,且顶点 在底面上的投影是底面中心的三棱锥?
z C C A
M

S y B x

B

A

o

S

C A B

思考4:画棱柱、棱锥的直观图大致可分 几个步骤进行? 画轴 → 画底面 → 画侧棱 → 成图 思考5:已知一个几何体的三视图如下, 这个几何体的结构特征如何?试用斜二 测画法画出它的直观图.

思考4:画棱柱、棱锥的直观图大致可分 几个步骤进行? 画轴 → 画底面 → 画侧棱 → 成图 思考5:已知一个几何体的三视图如下, 这个几何体的结构特征如何?试用斜二 测画法画出它的直观图.

z

y′
正视图

侧视图

A′ o′

B′ y B x′

俯视图

A

o

x

【练习】画水平放置的一个直角三 角形的直观图;

A
A`

B

C

B`

C`

? 画空间几何体的直观图 ? 例 3 有一个正六棱锥(底面为正六边形, 侧面为全等的等腰三角形的棱锥),底面 边长为3 cm,高为5 cm,画出这个正六 棱锥的直观图. ? 【思路探索】 按照斜二测画法画空间图 形的规则来画,首先要画水平放置的底面 的直观图,再确定棱锥的顶点即可.

画出底面是正方形,侧棱均相等的四棱 锥的直观图. ? 解:画法:(1)画轴.画Ox轴、Oy轴、Oz 轴,∠xOy=45°(或135°),∠xOz= 90°,如图.

?

直观图中的计算问题
(1)已知一个等腰梯形的上底和腰均为 2,且一个

底角为 45° ,求这个图形的直观图的面积; (2)已知一个四边形的直观图是一个底角为 45° ,腰和上 底均为 2的等腰梯形,求原四边形的面积.

? 【思路探索】 对于(1),只需画出原图 形的直观图再求解;对于(2),只需将直 观图还原,再求面积.

【解】 (1)如图 ABCD 为等腰梯形, 其中 AD=DC= 2, ∠DAB=45° ,过 D 做 DH⊥AB,交 AB 于 H 点,则 DH =AH=1, ∴AB= 2+2,建立如图所示的直角坐标系,及对应的 坐 标 系 x′O′y′. 使 ∠ x′O′y′ = 45°, 画 其 直 观 图 A′B′C′D′,

则 A′B′=AB= 2+2,C′D′= 2, 1 2 D′H′=2,h′=D′H′sin45° =4, 2 ?2+ 2+ 2?× 4 ∴SA′B′C′D′= 2 2?1+ 2? = . 4

(2)如图是四边形的直观图, 则 A′B′= 2+ 2cos45° ×2 =2+ 2, A′D′= 2,D′C′= 2, 则其对应的原四边形为直角梯形,如右图所示, ∴AB=A′B′=2+ 2, DC= 2,AD=2A′D′=2 2, ?2+ 2+ 2?2 2 ∴SABCD= 2 =4+2 2.

练习1:下列说法是否正确?
(1)水平放置的正方形的直观图可能是梯形. (×) (2)两条相交直线的直观图可能平行. (×) (3)互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直. (4)等腰三角形的水平放置的直观图仍是等腰 三角形. (× )

(× )

(5)水平放置的正三角形的直观图是一个底边长 不变,高为原三角形高的一半的三角形. (×)

练习2:如图,直观图所示的平面图形是(C ) A.任意三角形 C.直角三角形 B.锐角三角形 D.钝角三角形
A?
B?

y?

45°

C?

o?

x?

练习3:如图,直观图所示的平面图形是( B ) A.任意四边形 C.任意梯形 B.直角梯形 D.等腰梯形

y?
A ? D?
B?

C?

o?

x?

练习4:已知一四边形ABCD的水平放 置的直观图是一个边长为2的正方形, 请画出这个图形的真实图形。

练习5:如图ΔA/B/C/是水平放置的 ΔABC的直观图,则在ΔABC的三边 及中线AD中,最长的线段是( AC)


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