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高考一轮复习专题:导数及其应用


导数及其应用
考点一:导数概念与运算
(一)知识清单
1.导数的概念 函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0 处有增量 ?x , 那么函数 y 相应地有增量 ?y =f (x 0 + ?x ) -f(x 0 ) ,比值

?y 叫 做 函 数 y=f ( x ) 在 x 0 到 x 0 + ?x 之 间 的 平 均 变 化 率 , 即 ?x

? y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y = 。如果当 ?x ? 0 时, 有极限,我们就说函数 y=f(x)在点 x 0 ?x ?x ?x
处可导,并把这个极限叫做 f(x)在点 x 0 处的导数,记作 f’(x 0 )或 y’| x ? x0 。 即 f(x 0 )= lim 说明: (1)函数 f(x)在点 x 0 处可导,是指 ?x ? 0 时, 就说函数在点 x 0 处不可导,或说无导数。 (2) ?x 是自变量 x 在 x 0 处的改变量, ?x ? 0 时,而 ?y 是函数值的改变量,可以是零。 由导数的定义可知,求函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的步骤: (1)求函数的增量 ?y =f(x 0 + ?x )-f(x 0 ) ; (2)求平均变化率

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y = lim 。 ? x ? 0 ?x ?x
?y ?y 有极限。如果 不存在极限, ?x ?x

? y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) = ; ?x ?x

(3)取极限,得导数 f’(x 0 )= lim 2.导数的几何意义

?y 。 ?x ?0 ?x

函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f(x)在点 p(x 0 ,f(x 0 ) )处的切线 的斜率。也就是说,曲线 y=f(x)在点 p(x 0 ,f(x 0 ) )处的切线的斜率是 f’(x 0 ) 。相 应地,切线方程为 y-y 0 =f (x 0 ) (x-x 0 ) 。 3.几种常见函数的导数: ① C ? ? 0;
x x
/

② xn

? ?? ? nx
x

n ?1

;

③ (sin x)? ? cos x ; ⑦ ? ln x ?? ?

④ (cos x)? ? ? sin x ; ⑧ ? l o g a x ?? ?

⑤ (e )? ? e ; ⑥ (a )? ? a ln a ;
x

1 ; x

1 log a e . x

1

4.两个函数的和、差、积的求导法则 法则 1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差), 即: ( u ? v) ' ? u ' ? v ' . 法则 2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数,即: (uv) ' ? u ' v ? uv' . 若 C 为常数,则 (Cu) ' ? C ' u ? Cu ' ? 0 ? Cu ' ? Cu ' .即常数与函数的积的导数等于常数乘以 函数的导数: (Cu ) ' ? Cu ' . 法则 3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积, 再除以分母的平方: ? ? ‘=

?u? ?v?

u ' v ? uv ' (v ? 0) 。 v2

形如 y=f ?? ( x ) ? 的函数称为复合函数。 复合函数求导步骤: 分解——求导——回代。 法则: y'| X = y'| U ·u'| X

(二)典型例题分析 题型一:导数的概念及其运算 例1.
如果质点 A 按规律 s ? 2t 运动,则在 t=3 s 时的瞬时速度为(
3



A. 6m/s

B. 18m/s

C. 54m/s

D. 81m/s

变式:定义在 D 上的函数 f ( x) ,如果满足: ? x ? D , ? 常数 M ? 0 , 都有 | f ( x) | ≤M 成立,则称 f ( x) 是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数的上界. 【文】 (1)若已知质点的运动方程为 S (t ) ?

1 ? at ,要使在 t ? [0 , ? ?) 上的每一时刻 t ?1

的瞬时速度是以 M=1 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围. 【理】 (2)若已知质点的运动方程为 S (t ) ?

2t ? 1 ? at ,要使在 t ? [0 , ? ?) 上的每一时

刻的瞬时速度是以 M=1 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围.

例2.

已知 f ( x) ?

A. ?

1 4

1 f (2 ? ?x) ? f (2) , 则 lim 的值是( ) ? x ? 0 x ?x 1 B. 2 C. D. -2 4
h ?0

变式 1: 设f ??3? ? 4, 则 lim A.-1

f ?3 ? h ? ? f ?3? 为( 2h

) D.1 ) D. 4 f ??x0 ?

B.-2 C.-3 f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? 3?x ? 变式 2: 设f ? x ? 在x0可导, 则 lim 等于 ( ?x ?0 ?x A. 2 f ??x0 ? B. f ??x0 ?
2

C. 3 f ??x0 ?

例3. 求所给函数的导数:

(文科)y ? x3 ? log 2 x; y ? x ne x ; y ? (理科)y ? ( x ? 1)99 ; y ? 2e? x ;

x3 ? 1 sin x y ? 2 x sin ? 2 x ? 5?
) B.(-3,0)∪(0, 3) D.(-∞,- 3)∪(0, 3)

变式:设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) > 0.且 g(3)=0.则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是( A.(-3,0)∪(3,+∞) C.(-∞,- 3)∪(3,+∞)

1. (高考)如图,函数 f ( x) 的图象是折线段 ABC ,其中 A,B,C 的坐标分别
4) (2 0) (6 4) , lim 为 (0,,,,,

?x ?0

f ?1 ? ?x ? ? f ?1? ? _________. ?x
y 4 3 2 1 O A C

0? x?2 ?? 2 x ? 4   解:由图可知 f ?x ? ? ? ,根据导数的定义 2? x?3 ? x ? 2   
知 lim
f ?1 ? ?x ? ? f ?1? ? f ??1? ? ?2 . ?x

?x ?0

B 1 2 3 4 5 6

x

2.( 高 考 ) 已 知 函 数 f ?x ? ? x 2 ? bx ? c e x , 其 中 b, c ? R , (Ⅰ)略, (Ⅱ)若

?

?

b 2 ? 4?c ? 1?, 且 lim
x ?0

f ?x ? ? c ? 4 ,试证: ? 6 ? b ? 2 . x

解: f ??x? ? x 2 ? ?b ? 2?x ? b ? c e x ,易知 f ?0? ? c .故
lim
x ?0

?

?

f ?x ? ? c f ?x ? ? f ?0? ? lim ? f ??0? ? b ? c , x ?0 x x?0

?b ? c ? 4, 所以 ? 2 解得 ? 6 ? b ? 2 . ?b ? 4?c ? 1?,
题型二:导数的几何意义
① 已知切点,求曲线的切线方程; 注:此类题较为简单,只须求出曲线的导数 f ?( x) ,并代入点斜式方程即可.

例4.

? 1) 处的切线方程为( 曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 1 在点 (1,

) D. y ? 4 x ? 5

A. y ? 3 x ? 4

B. y ? ?3x ? 2

C. y ? ?4 x ? 3

② 已知斜率,求曲线的切线方程; 注:此类题可利用斜率求出切点,再用点斜式方程加以解决.

例5.

与直线 2 x ? y ? 4 ? 0 的平行的抛物线 y ? x 2 的切线方程是( B. 2 x ? y ? 3 ? 0
3

) D. 2 x ? y ? 1 ? 0

A. 2 x ? y ? 3 ? 0

C. 2 x ? y ? 1 ? 0

③ 已知过曲线外一点,求切线方程; 此类题可先设切点,再求切点,即用待定切点法来求解. 1 0) 且与曲线 y ? 相切的直线方程. 例6. 求过点 (2, x 变 式 1 、已 知 函 数 y ? f ( x) 的 图象 在 点 M (1 ,f (1)) 处 的 切 线 方程 是 y ?

1 x ? 2 ,则 2

f (1)? f ? (1) ?
变式 2、



1.求抛物线 2.已知函数 的解析式;

y ? x 2 上一点到直线 x ? y ? 2 ? 0 的最短距离
的图象在点 M(-1,f(-1))处的切线方程为 x+2y+5=0.求函数 y=f(x)

3.过原点作曲线

y ? ex 的切线,则切线方程为
15 x ? 9 都相切,则 a 4

2 3 y ? ax ? (1,0) y ? x 4.若存在过点 的直线与曲线 和

等于

考点二:导数应用
(一)知识清单
1. 单调区间:一般地,设函数 y ? f ( x) 在某个区间可导,
' 如果 f ( x ) ? 0 ,则 f ( x ) 为增函数; ' 如果 f ( x) ? 0 ,则 f ( x ) 为减函数; ' 如果在某区间内恒有 f ( x) ? 0 ,则 f ( x ) 为常数;

2.极点与极值: 曲线在极值点处切线的斜率为 0,极值点处的导数为 0;曲线在极大值点左侧切线的斜 率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正; 3.最值: 一般地,在区间[a,b]上连续的函数 f ( x ) 在[a,b]上必有最大值与最小值。
4

①求函数? ( x ) 在(a,b)内的极值; ②求函数? ( x ) 在区间端点的值?(a)、?(b); ③将函数? ( x ) 的各极值与?(a)、?(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。 4.定积分 (1)概念:设函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…xn=b 把区间 [a,b]等分成 n 个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上取任一点ξ i(i=1,2,…n)作和式

In=

? f (ξ
i=1

n

i

)△x(其中△x 为小区间长度) ,把 n→∞即△x→0 时,和式 In 的极限叫做函

数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作:

?

b

a

f ( x)dx ,即 ? f ( x)dx = lim ? f (ξ i)△x。
b a
n ?? i ?1

n

这里,a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数 f(x)叫做 被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积式。 基本的积分公式:

? 0dx =C;
?x
1
m

dx =

1 x m ?1 +C(m∈Q, m≠-1) ; m ?1

? x dx=ln x +C;
?e
x

dx = e x +C;

x ? a dx =

ax +C; ln a

? cos xdx =sinx+C;
。 ? sin xdx =-cosx+C(表中 C 均为常数) (2)定积分的性质 ① ② ③

? kf ( x)dx ? k ?
a

b

b

a

; f ( x)dx (k 为常数)
b b

? ?

b

a b

f ( x) ? g ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx ;
a a

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx (其中 a<c<b ) 。
a c

c

b

(3)定积分求曲边梯形面积
由三条直线 x=a,x=b(a<b) ,x 轴及一条曲线 y=f(x)(f(x)≥0)围成的曲 边梯的面积 S ?

?

b

a

f ( x)dx 。

如果图形由曲线 y1=f1(x),y2=f2(x)(不妨设 f1(x)≥f2(x)≥0) ,及直线 x=a,

5

x=b (a<b) 围成, 那么所求图形的面积 S=S 曲边梯形 AMNB-S 曲边梯形 DMNC=

?

b

a

f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx 。
a

b

(二)典型例题分析
题型一:利用导数研究函数的图像

1.(高考)设 a <b,函数 y ? ( x ? a)2 ( x ? b) 的图像可能是

解: y / ? ( x ? a)(3x ? 2a ? b) ,由 y / ? 0 得 x ? a, x ? 大值 0,当 x ?

2a ? b ,∴当 x ? a 时, y 取极 3

2a ? b 时 y 取极小值且极小值为负.故选 C.或当 x ? b 时 y ? 0 , 3

当 x ? b 时, y ? 0 选 C. 2.(湖南卷)若函数 y ? f ( x) 的导函数 在区间 [a, b] 上是增函数, ... 则函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象可能是
y y y y

o

a

b x

o

a B.

b x

o

a

b x C.

o

a

b x

A .
题型二:单调性

D.

例7.

判断下列函数的单调性,并求出单调区间:

(1) f ( x) ? x 3 ? 3x;

(2) f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3;

(3) f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? ); (4) f ( x) ? 2 x 3 ? 3x 2 ? 24 x ? 1.
变式 1:函数 f ( x) ? x ? e A. ?? 1,0? B. ?2,8?
?x

的一个单调递增区间是( D. ?0,2?



C. ?1,2?

变式 2:已知函数 y ?

1 3 x ? x 2 ? ax ? 5 3
.

(1)若函数的单调递减区间是(-3,1) ,则 a 的是

6

(2)若函数在 [1,??) 上是单调增函数,则 a 的取值范围是

.

变式 3: 设 t ? 0 ,点 P( t ,0)是函数 f ( x) ? x 3 ? ax与g ( x) ? bx2 ? c 的图象的一个公 共点,两函数的图象在点 P 处有相同的切线. (Ⅰ)用 t 表示 a,b,c; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在(-1,3)上单调递减,求 t 的取值范围.

例8.

设函数 f ( x) ? x ? ax ? 9 x ? 1(a ? 0) 若曲线 y ? f ( x) 的斜率最小的切线与直
3 2

线 12x ? y ? 6 平行,求: (Ⅰ)a 的值;(Ⅱ)函数 f(x)的单调区间.

例9.

3 2 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 1( x ? R) , 函数 y ? f ( x ) 的图像在点 P(1, f (1)) 的

切线方程是 y ? x ? 4 . (Ⅰ)求函数

f ( x) 的解析式;

2? ? k, k ? ? ? f ( x) 在区间 ? 3 ? 上是单调函数,求实数 k 的取值范围. (Ⅱ)若函数
练习 1.已知函数 f(x)=x2+2aln x. (1)若函数 f(x)的图象在(2,f(2))处的切线斜率为 1,求实数 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间; a 2.已知函数 f(x)=x+ +ln x(a∈R),求函数 f(x)的单调区间; x 1 1 3.已知函数 f(x)=aln x- x2+ (a∈R 且 a≠0),求 f(x)的单调区间; 2 2 4、 (含参数)已知函数 f(x)=(x-k)ex, (1)求 f(x)的单调区间;(2)求 f(x)在区间[0,1]上的最小值。 5、设函数 f(x)=ex-ax-2. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时,(x-k)f′(x)+x+1>0,求 k 的最大值. 6、)已知函数 f(x)=x2+2aln x. (1)若函数 f(x)的图象在(2,f(2))处的切线斜率为 1,求实数 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间; a 7、已知函数 f(x)=x+ +ln x(a∈R),求函数 f(x)的单调区间; x

7

1 1 8、已知函数 f(x)=aln x- x2+ (a∈R 且 a≠0),求 f(x)的单调区间; 2 2

9.(高考)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 , a ? R .
? 2 1? (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)设函数 f ( x) 在区间 ? ? , ? ? 内是减函 ? 3 3?

数,求 a 的取值范围. 解: (1) f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 求导得 f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? 1 当 a 2 ? 3 时, ? ? 0 , f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 R 上递增;

?a ? a 2 ? 3 当 a ? 3 , f ?( x) ? 0 求得两根为 x ? , 3
2

? ? ?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ? ?a ? a 2 ? 3 ? , 即 f ( x) 在 ? ??, ? 递 增 , ? ? 递 减 , ? ? ? ? 3 3 3 ? ? ? ? ? ?a ? a 2 ? 3 ? , ? ? ? 递增。 ? ? ? 3 ? ?

? 2 1? ? 2 1? ( 2 ) 因 为 函 数 f ( x) 在 区 间 ? ? , ? ? 内是减函数,所以当 x ?? ? , ? ?时 ? 3 3? ? 3 3?

? ? 2? ? f ?? ? 3 ? ? 0 ? ? ? 解得 a ? 2 . f ? ? x ? ? 0 恒成立,结合二次函数的图像可知 ? ? f ?? ? 1 ? ? 0 ? ? ? ? ? 3?
点评:函数在某区间上单调转化为导函数 f ? ? x ? ? 0 或 f ? ? x ? ? 0 在区间上恒成立
? ?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ? , 问题, 是解决这类问题的通法. 本题也可以由函数在 ? ? ? ? 3 3 ? ?
? ?a ? ? ? 上递减,所以 ? ? ?a ? ? ? a2 ? 3 2 ?? 3 3

求解. a2 ? 3 1 ?? 3 3 1 1 【变式 1】 (高考)若函数 f ?x ? ? x 3 ? ax 2 ? ?a ? 1?x ? 1 在区间 ?1,4? 上是减函数, 3 2 在区间 ?6,??? 上是增函数,求实数 a 的取值范围. 解 : f ?x? ? x 2 ? ax ? ?a ? 1? , 令 f ??x? ? 0 得 x ? 1 或 x ? a ? 1 , 结 合 图 像 知
4 ? a ? 1 ? 6 ,故 a ? ?5,7?.
8

点评: 本题也可转化为 f ??x ? ? 0,x ? ?1,4?恒成立且 f ??x? ? 0,x ? ?6,??? 恒成立来 解.
1 【变式 2】(高考)已知函数 f ?x ? ? ln x ? ax 2 ? 2 x?a ? 0? 存在单调递减区间,求 a 2 的取值范围;

解: f ??x ?( x) ?

1 ax2 ? 2 x ? 1 ? ax ? 2 ? ? . 因为函数 f ?? x ? 存在单调递减区间,所以 x x

f ??x? ? 0 在 ?0,??? 上解,从而 ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 有正解.
①当 a ? 0 时, y ? ax2 ? 2 x ? 1为开口向上的抛物线, ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 总有 正解; ②当 a ? 0 时, y ? ax2 ? 2 x ? 1为开口向下的抛物线,要使 ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 总有正解,则 ? ? 4 ? 4a ? 0 ,解得 ? 1 ? a ? 0 . 综上所述,a 的取值范围为 ?? 1,0? ? ?0,??? . 【变式 3】 (高考)已知函数 f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x2 ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) .若函 数 f ( x) 在区间 (?1,1) 上不单调 ,求 a 的取值范围. ... 解:函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 不单调,等价于 f ??x? ? 0 在区间 (?1,1) 上有实数解, 且无重根. 又 f ??x? ? 3x 2 ? 2?1 ? a?x ? a?a ? 2? ,由 f ??x? ? 0 ,得 x1 ? a, x 2 ? ?
a?2 ? ?1 ? ? ? 1, ?? 1 ? a ? 1, ?? 1 ? a ? 1, ?? 5 ? a ? 1, ? ? ? ? ? 3 解得 ? 或? a ? 2 或? ? 1 1 a?2 a?? , ? a?? , a?? , ? ? ? a ? ? . 3 2 2 ? ? ? ? 3 ?
a?2 。从而 3

1? ? 1 ? ? 所以 a 的取值范围是 ? ? 5,? ? ? ? ? ,1?. 2? ? 2 ? ?
题型三:极值与最值

例10. 求函数 f ( x) ? x3 ? 4 x ? 4 的极值.
求函数 f ( x) ?

1 3

1 3 x ? 4 x ? 4 在 ?0,3? 上的最大值与最小值.. 3

变式 1: 函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示,则 函数 f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有极小值点( )

9

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 变式 2: 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在点 x0 处取得极大值

y

y ? f ?( x)

b

a

O

x

5 ,其导函数 y ? f '( x) 的图象经过点 (1, 0) , (2, 0) ,如图所
示.求: (Ⅰ) x0 的值; (Ⅱ) a, b, c 的值.

3 变式 3:若函数 f ( x) ? ax ? bx ? 4 ,当 x ? 2 时,函数 f ( x) 极值 ?

4 , 3

(1)求函数的解析式; (2)若函数 f ( x) ? k 有 3 个解,求实数 k 的取值范围. 练习、 (不含参数)1、设函数 f , x ? ?? c e 2 . 7 1 8 2 8 . . . 是 自 然 对 数 的 底 数 , c ? R ? ? 2 x 求f

x ? e

?

? x ? 的单调区间、最大值。
x

e 4 2、设 f(x)= 2,其中 a 为正实数,当 a= 时,求 f(x)的极值点。 1+ax 3

例11.

设函数 f ( x) ? x ? 3ax ? b(a ? 0) .
3

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2) ) 处与直线 y ? 8 相切,求 a , b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的极值点以及极值.
3 2 例12. 已知三次函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 在 x ? 1 和 x ? ?1 时取极值,且 f (?2) ? ?4 .

(1) 求函数 y ? f ( x) 的表达式; (2) 求函数 y ? f ( x) 的单调区间和极值;

3 2 例13. 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c, 过曲线y ? f ( x)上的点P(1, f (1)) 的切线方

程为 y=3x+1 (Ⅰ)若函数 f ( x)在x ? ?2 处有极值,求 f ( x) 的表达式; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求函数 y ? f ( x) 在[-3,1]上的最大值;

10

(Ⅲ)若函数 y ? f ( x) 在区间[-2,1]上单调递增,求实数 b 的取值范围 题型四:利用导数解决实际问题 例. 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架, 要求长方体的长与宽之比为 2: 1, 问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少? 18 ? 12x 3? ? ? 4.5 ? 3x(m) 解: 设长方体的宽为 x(m) , 则长为 2 x (m), 高为 h ? ? 0<x< ? . 4 2? ? 故长方体的体积为 V ?x ? ? 2 x 2 ?4.5 ? 3x ? ? 9 x 2 ? 6 x 3 m 3

? ?

3? ? ?0 ? x ? ? 2? ?

从而 V ?( x) ? 18x ? 18x 2 (4.5 ? 3x) ? 18x(1 ? x). 令 V ' ?x ? ? 0 , 解得 x ? 0(舍去) 或 x ? 1, 因此 x ? 1 . 当 0 ? x ? 1 时, V ' ?x ? ? 0 ;当 1 ? x ?

3 时, V ' ?x ? ? 0 ,故在 x ? 1 处 V ?x ? 取得极大值, 2

并且这个极大值就是 V ?x ? 的最大值,从而最大体积 V ? V ' ?x? ? 9 ?12 ? 6 ?13 m3 ,此时 长方体的长为 2 m,高为 1.5 m 例 10(2009 年湖南高考)某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只 需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米 的相邻两墩之间的桥面工程费用为 (2 ? x ) x 万元。假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为 点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为 y 万元 (Ⅰ)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (Ⅱ)当 m =640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? 解 (Ⅰ)设需要新建 n 个桥墩, (n ? 1) x ? m,即n= 所以

? ?

m ?1 x m m y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x )x=256( -1)+ (2 ? x ) x x x 256 m ? m x ? 2m ? 256 . = x

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知 f ??x ? ? ?
3 2

256m 1 ? 2 ? mx , 2 x2

1

令 f '( x) ? 0 ,得 x ? 512 ,所以 x =64 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当 0< x <64 时 f '( x) <0,

f ( x) 在区间(0,64)内为减函数;

当 64 ? x ? 640 时, f '( x) >0. f ( x ) 在区间(64,640)内为增函数, 所以 f ( x ) 在 x =64 处取得最小值,此时, n ? 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小 题型六:导数综合运用
11

m 640 ?1 ? ? 1 ? 9. x 64

① 导数单调区间、极值、最值在选择题中的应用

例14.

? (1)已知函数 y ? f ( x) 的导函数 y ? f ( x) 的图像如下,则
y





A.函数 f ( x) 有 1 个极大值点,1 个极小值点 B.函数 f ( x) 有 2 个极大值点,2 个极小值点 C.函数 f ( x) 有 3 个极大值点,1 个极小值点 D.函数 f ( x) 有 1 个极大值点,3 个极小值点 o

? x 1

? x2

? x3 O

? x4

x

? ? ( x) 的导函数) (2)已知函数 y ? xf ( x) 的图象如图1所示(其中 f ( x ) 是函数 f O ,下面四
个图象中 y ? f ( x) 的图象大致是( )

(3)若函数 y ? f ( x) 的导函数 在区间 [ a, b] 上是增函数,则函数 y ? f ( x) 在区间 [ a, b] 上 ... 的图象可能是 ( )

y

y y

y

o

a

b x

o

a

b x

o

a

b x

o

a

b x

12

3 2 (4)右图为函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d 的图象, f ( x) 为函数 f ( x) 的
'

导函数,则不等式 x. f ( x) ? 0 的解集是
'
3 2 (5)设 a 为实数,函数 f ( x) ? x ? ax ? (a ? 2) x 的

? 导函数是 f ( x ) 是偶函数,则 a =
② 导数与不等式、函数等的综合问题 利用单调性、极值求参数的取值范围

.

例15.

已知 f ?x? ? ax3 ? 3x 2 ? x ? 1 在 R 上是减函数,求 a 的取值范围。

变式:1、设函数 f(x)?2x3?3(a?1)x2?6ax?8,其中 a?R。 (1) 若 f(x)在 x?3 处取得极值,求常数 a 的值; (2) 若 f(x)在(??,0)上为增函数,求 a 的取值范围。 ex ,其中 a 为正实数,若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围. 1+ax2

2、设 f(x)=

3、已知函数 f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R),要使 f(x)在(0,2)上单调递增,试求 a 的取值范围。 a 4、已知函数 f(x)=x+ +ln x(a∈R).若函数 f(x)在(1,+∞)上单调递增,求 a 的取值范围. x 5、已知函数 f(x)=x3-ax2-x+a,其中 a 为实数,若 f(x)在(-∞,-2]和[3,+∞)上都是 递增的,求 a 的取值范围. 2 6、 已知函数 f(x)=x2+2aln x, 若函数 g(x)= +f(x)在[1,2]上是减函数, 求实数 a 的取值范围. x
3 2 变式: 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 1( x ? R) , 函数 y ? f ( x ) 的图像在点 P(1, f (1)) 的切

f ( x) 的解析式; 线方程是 y ? x ? 4 . (Ⅰ)求函数
2? ? k, k ? ? ? f ( x) 在区间 ? 3 ? 上是单调函数,求实数 k 的取值范围. (Ⅱ)若函数

例16.

设 a ? R ,函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 .

(Ⅰ)若 x ? 2 是函数 y ? f ( x) 的极值点,求 a 的值;
2],在 x ? 0 处取得最大值,求 a 的取值 (Ⅱ)若函数 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x),x ? [0,

范围.
13

③导数中的一些恒成立问题

1 f ( x) ? ? x 3 ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? b,0 ? a ? 1. 3 例17. 设函数
(1)求函数 f ( x) 的单调区间、极值.

? (2)若当 x ? [a ? 1, a ? 2] 时,恒有 | f ( x) |? a ,试确定 a 的取值范围.
2 例18. 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? ? 与 x ? 1 时都取得极值 3 (1)求 a , b 的值与函数 f ( x) 的单调区间
(2)若对 x ? [?1, 2] ,不等式 f ( x) ? c 恒成立,求 c 的取值范围
2

变式:1、设函数 f ( x) ? (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性;

1 3 x ? (1 ? a) x 2 ? 4ax ? 24a ,其中常数 a>1 3
(Ⅱ)若当 x≥0 时,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围。
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

2、设函数 f(x)=ex-ax-2,若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时,(x-k)f′(x)+x+1>0,求 k 的最大值.

1 1 3、已知函数 f(x)=aln x- x2+ (a∈R 且 a≠0),是否存在实数 a,使得对任意的 x∈[1,+ 2 2 ∞),都有 f(x)≤0?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由

课后作业
, ? 3) 处的切线方程是 1、曲线 y ? x3 ? 2x2 ? 4x ? 2 在点 (1


2 、 . 已知 曲 线 C : y ? x 3 ? 3x 2 ? 2 x ,直线 l : y ? kx ,且 直线 l 与曲 线 C 相切于 点

?x0 , y0 ? x0 ? 0 ,求直线 l 的方程及切点坐标。
3 3 、设函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) 为奇函数,其图象在点 (1, f (1)) 处的切线与直线

x ? 6 y ? 7 ? 0 垂直,导函数 f '( x) 的最小值为 ?12 。 (1)求 a , b , c 的值;
(2)求函数 f ( x) 的单调递增区间,并求函数 f ( x) 在 [?1,3] 上的最大值和最小值。
3 2 4、设函数 f ? x ? ? x ? bx ? cx( x ? R) ,已知 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 是奇函数。

(1)求 b 、 c 的值。 (2)求 g ( x) 的单调区间与极值。
14

5、已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 , a ? R . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)设函数 f ( x ) 在区间 ? ? , ? ? 内是减函数,求 a 的取值范围. 6、已知函数 f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x2 ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) . (I)若函数 f ( x ) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a , b 的值; (II)若函 数 f ( x ) 在区间 (?1,1) 上不单调 ,求 a 的取值范围. ... 7、已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 9a2 x ? a3 . (1) 设 a ? 1 ,求函数 f ? x ? 的极值; (2) 若 a ?

? 2 ? 3

1? 3?

1 ' ,且当 x ??1, 4a? 时, f ( x ) ? 12a 恒成立,试确定 a 的取值范围. 4

1 3 1 2 x ? ax ? ?a ? 1?x ? 1 在区间 ?1,4? 上是减函数, 在区间 ?6,??? 上 3 2 是增函数,求实数 a 的取值范围.
8、 若函数 f ?x ? ? 附加:

, ) g (? x) ? g ( x ) 且 x ? 0 时, 1. ( 福 建 ) 已 知 对 任 意 实 数 x , 有 f (? x) ? ? f ( x , ? (x ? f ?( x) ? 0 ,g ) ,则 0 x ? 0 时(
A. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 C. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0
1 x



B. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 D. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0
2

2. (海南)曲线 y ? e 2 在点 (4,e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( A.



9 2 e 2

B. 4e
x

2

C. 2e
2

2

D. e

2

3. (海南)曲线 y ? e 在点 (2,e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(



A.

9 2 e 4

B. 2e

2

C. e

2

D.

e2 2

2 4. (江苏)已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的导数为 f '( x) , f '(0) ? 0 ,对于任意实数 x

都有 f ( x) ? 0 ,则

f (1) 的最小值为( f '(0)



15

A. 3 5.若 0 ? x ?

B.

5 2

C. 2

D.

3 2

π ,则下列命题中正确的是( ) 2 3 3 4 2 4 2 A. sin x ? x B. sin x ? x C. sin x ? 2 x D. sin x ? 2 x π π π π π 6. (江西)若 0 ? x ? ,则下列命题正确的是( ) 2 2 2 3 3 A. sin x ? x B. sin x ? x C. sin x ? x D. sin x ? x π π π π
7. (辽宁)已知 f ( x ) 与 g ( x) 是定义在 R 上的连续函数,如果 f ( x ) 与 g ( x) 仅当 x ? 0 时的 函数值为 0,且 f ( x) ≥ g ( x) ,那么下列情形不可能 出现的是( ... A.0 是 f ( x ) 的极大值,也是 g ( x) 的极大值 B.0 是 f ( x ) 的极小值,也是 g ( x) 的极小值 C.0 是 f ( x ) 的极大值,但不是 g ( x) 的极值 D.0 是 f ( x ) 的极小值,但不是 g ( x) 的极值 8. (全国一)曲线 y ? )

1 3 ? 4? x ? x 在点 ?1, ? 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( 3 ? 3?
C.



A.

1 9

B.

2 9

1 3

D.

2 3


9. (全国二)已知曲线 y ? A.1 B.2

1 x2 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( 2 4
C.3 D.4

10. (浙江)设 f ?( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数,将 y ? f ( x) 和 y ? f ?( x) 的图象画在同一个直 角坐标系中,不可能正确的是( )

11. (北京) f ?( x ) 是 f ( x ) ?

1 3 x ? 2 x ? 1 的导函数,则 f ?(?1) 的值是 3

12. (广东)函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调递增区间是

16

13. (江苏)已知函数 f ( x) ? x3 ?12 x ? 8 在区间 [?3,3] 上的最大值与最小值分别为 M , m , 则M ?m ? 14. (福建)设函数 f ( x) ? tx2 ? 2t 2 x ? t ?1( x ? R,t ? 0) . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小值 h(t ) ;

2) 恒成立,求实数 m 的取值范围. (Ⅱ)若 h(t ) ? ?2t ? m 对 t ? (0,

15. (广东)已知 a 是实数, 函数 f ( x) ? 2ax2 ? 2 x ? 3 ? a . 如果函数 y ? f ( x) 在区间 [?1,1] 上有零点,求 a 的取值范围.

走进高考
(22) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 1nx ? ax ? (Ⅰ)当 a ?

1? a ? 1(a ? R) . x

1 时,讨论 f ( x) 的单调性; 2 1 2 (Ⅱ)设 g ( x) ? x ? 2bx ? 4.当a ? 时,若对任意 x1 ? (0,2) ,存在 x2 ? [1,2] ,使 4

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 的取值范围。
(22)(本小题满分 13 分)

ln x ? k (k 为常数, e=2.71828…是自然对数的底数) , 曲线 y ? f ( x) 在 ex 点(1,f(1))处的切线与 x 轴平行. (Ⅰ)求 k 的值.
已知函数 f ( x ) ? (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间. (Ⅲ)设 g(x)=(x +x)f '(x),其中 f '(x)为 f(x)的导函数.证明:对任意
2

x>0, g ( x)< 1 ? e ?2 .

21、 (本小题满分 13 分) 设函数 f . x ? ?? c e 2 . 7 1 8 2 8 . . . 是 自 然 对 数 的 底 数 , c ? R ? ? 2 x (Ⅰ)求 f

x ? e

?

? x ? 的单调区间、最大值;

(Ⅱ)讨论关于 x 的方程 lnx ? f ?x?根的个数

17

ex : 例 1 已知函数 f(x)=ex-x,求 f(x)的单调区间与最小值 变式(1)f(x)=ex-ax,求 f(x)的单调区间与最小值 变式(2)f(x)=ex-ax(x≥1),求 f(x)的单调区间与最小值


例 2 f(x)=xe ,求 f(x)的单调区间与最小值 -x 变式(1)求 f(x)=xe 的单调区间与极值 2 x 变式(2)求 f(x)=x e 的单调区间与极值 例 3 f(x)=x(e -1)-ax ,当 x≥0 时,f(x)≥0,求 a 的取值范围 变式:f(x)=
x 2

x

ex e ? 2 1 ? x 1 ? x2
x

求证:当 x>0 且 x≠1 时 f(x)<0 恒成立

作业: (1)f(x)=(x-k)e ,①求 f(x)的单调区间 ②求 f(x)在[0,1]上的最小值

(2)求函数 f(x)=x(e -1)-

x

1 2 x 的单调性 2

Lnx: 例 1 已知函数 f(x)=lnx-x 求 f(x)的单调区间与最大值 变式(1)f(x)=xlnx-x 求 f(x)的单调区间与最小值 变式(2)f(x)=

ln x x

求 f(x)的单调区间与最值

例 2 f(x)=x2lnx-a(x2-1),a∈R,当 x≥1 时 f(x)≥0 成立,求 a 的取值范围 变式(1)f(x)=xlnx,设实数 a>0,求 F(x)=

f ( x) 在[a,2a]上的最小值 a

变式(2)f(x)=-ax+2+axlnx(a≠0),求 f(x)的单调区间 引申………………………………(x≥1)…………………呢?

例 3 f(x)=2lnx+k(x<0 成立 变式:f(x)=

1 1 )(k∈R) 证明:当 k≤-1 时,对所有 x>0 且 x≠1,都有 2 f(x) x x ?1

ln x 1 ln x + 证明:当 x>0 且 x≠1 时总有 f(x)> 成立 x ?1 x x ?1

作业: (1)已知函数 f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f '(x),求 g(x)的单调区间与最小值

(2)已知函数 f(x)=lnx+

a - a ( a ∈R)?求 f ? x ? 的单调区间 x 1 1 1 ?求证:不等式 - < 对一切 x∈(1,2)恒成立 ln x x ? 1 2

18


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