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数学(理科)卷·2015届福建省泉州第一中学高三上学期期中考试(2014.11)


泉州一中 2014—2015 学年度第一学期期中能力测试试题高三数学(理科)
一、选择题(请把选项代号填入 Ⅱ 卷相应位置上 ,每题 5 分。本题满分 50 分) ........ . ...... 1.已知集合 A ? y y ? x ? 1, x ? R , B ? x x ? 2 ,则下列结论正确的是( A. ?3 ? A B. 3 ? B C. A ? B ? B D. A ? B ? B )

?

?

?

?



2.已知命题 p : ?x ? R, x ? 2 ? lg x ,命题 q : ?x ? R, x 2 ? 0 ,则( A.命题 p ? q 是假命题 B.命题 p ? q 是真命题

C.命题 p ? (?q ) 是真命题 D.命题 p ? (?q ) 是假命题 3.已知函数 f ? x ? ? A cos ?? x ? ? ?? A ? 0, ? ? 0, ? ? R ? ,则“ f ? x ? 是奇函数”是“ ? ? A.充分不必要条件 C.充分必要条件 4.计算: ?
2015 ?2015

?
2

”的

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) C.4030 D.-4030

(sin x ? 1)dx ? (

A.-2015

B.2015

5 .给出四个函数,分别满足① f(x + y) = f(x) + f(y),② g(x+ y) =g(x)· g(y) ,③ h(x· y) =h(x) + h(y),④m(x· y)= m(x)· m(y).又给出四个函数的图象,那么正确的匹配方案可以是( )

A.①甲,②乙,③丙,④丁 C.①丙,②甲,③乙,④丁 6. △ ABC 的三个内角为 A , B , C ,若
3 2

B.①乙,②丙,③甲,④丁 D.①丁,②甲,③乙,④丙

sin A ? 3 cos A cos A ? 3 sin A
C.
1 2

? tan

5π ,则 sin( B ? C ) =( 6
D.
2 2



A.

B.1

7.设函数 f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ,以下关于 f ( x) 的说法正确的是( ) 2 2 ? ? A.其图像可由 y ? sin 2 x 向右平移 得到; B.其图像关于直线 x ? 对称; 6 12

?? ? ? ? ? C.其图像关于点 ? , 0 ? 对称; D.在区间 ? ? , 0 ? 上是增函数. 3 ? ? ? 6 ? 8.设 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数,如图表示该函数在区间(-2,1]

上的图像,则 f(2 014)+f(2 015)=( A.3 B.2 C.1

) D.0

第 1 页 共 8 页

9.设 f ( x) 与 g ( x) 是定义在同一区间 ? a, b ? 上的两个函数,若对任意的 x ? ? a, b ? ,都有 | f ( x) ? g ( x) |? 1 , 则称 f ( x) 和 g ( x) 在 ? a, b ? 上是“密切函数” ,? a, b ? 称为“密切区间” ,设 f ( x) ? x 2 ? 3 x ? 4 与 g ( x) ? 2 x ? 3 在 ? a, b ? 上是“密切函数” ,则它的“密切区间”可以是( A. [1, 4] B. [2, 4] ) D. [2, 3]

C. [3, 4] )
2 ; 4

10.给出下列四个命题:其中所有正确命题的序号为( ①. ?ABC 中, A ? B 是 sin A ? sin B 成立的充要条件;

②.已知锐角 A, B 满足 tan( A ? B ) ? 2 tan A ,则 tan B 的最大值是

③.将 y ? ln x 的图象绕坐标原点 O 逆时针旋转角 ? 后第一次与 y 轴相切,则 e sin ? ? cos ? ;
3 3 ④.若函数 y ? f ( x ? ) 为 R 上的奇函数,则函数 y ? f ( x ) 的图象一定关于点 F ( , 0) 成中心对称. 2 2

A.①②③

B.②④

C.①③④

D.①②④

二、填空题:(每小题 4 分,共 20 分,请把答案填入 Ⅱ 卷相应位置上 )。 ...... . ...... 11.曲线 y ? x ln x 在 x ? e 处的切线的斜率 k ? . .

12.在锐角 ?ABC 中,角 A, B 所对的边长分别为 a, b .若 2a sin B ? 3b, 则角A=

? ? 13.已知 f ( x) ? 2cos(? x ? ? ) ? b ,对于任意实数 x 都有 f ( x ? ) ? f (? x) 成立,且 f ( ) ? ?1 ,则 b = 4 8

?1? 14.已知函数 f (x ) ? x ? m , g (x ) ? ? ? ? m ,若对 ?x 1 ? ?? 1,3?, ?x 2 ? ?0,2? , f (x 1 ) ? g (x 2 ) ,则实数 m 的 ?2?
2

x

取值范围是_____________. 15.定义在 R 上的函数 f ( x) ,其图象是连续不断的,如果存在非零常数 ?

?? ? R ? ,使得对任意的 x ? R ,
(写

都有 f ( x ? ? ) ? ? f ( x) ,则称 y ? f ( x) 为“倍增函数” , ? 为“倍增系数” ,下列命题为真命题的是 出所有真命题对应的序号) . ①若函数 y ? f ( x) 是倍增系数 ? ? ?2 的倍增函数,则 y ? f ( x) 至少有 1 个零点; ②函数 f ( x) ? 2 x ? 1 是倍增函数,且倍增系数 ? ? 1 ; ③函数 f ( x) ? e ? x 是倍增函数,且倍增系数 ? ? (0,1) .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或或演算步骤
2 16.已知 f ( x) ? 2 cos x ? 3 sin 2 x ? a.(a ? R, a 为常数)

(1)若 x ? R ,求 f ( x) 的最小正周期; (2)若 f ( x) 在[ ?

? ?

, ] 上最大值与最小值之和为 3,求 a 的值. 6 6

第 2 页 共 8 页

17.已知命题 p:?x∈[1,2],x2-a≥0,命题 q:?x0∈R,x2 0+2ax0+2-a=0,若“p 且 q”为真命题,求 实数 a 的取值范围.

18. 已知向量 a ? ? sin ? x, cos ? x ? , b ? cos ? x, 3 cos ? x ?? ? 0 ? , 函数 f ? x ? ? a ? b ? (1)求函数 f ? x ? 的单调增区间;

r

r

?

?

r r

3 的最小正周期为 ? . 2

(2)如果△ABC 的三边 a、b、c 所对的角分别为 A, B, C ,且满足 b ? c ? a ? 3bc,求f ? A ? 的值.
2 2 2

19.某公司生产一种产品,每年需投入固定成本 0.5 万元,此外每生产 100 件这样的产品,还需增加投 入 0.25 万元,经市场调查知这种产品年需求量为 500 件,产品销售数量为 t 件时,销售所得的收入为

?0.05t- 1 t2?万元. 20 000 ? ?
(1)该公司这种产品的年生产量为 x 件, 生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量 x 的函数为 f(x), 求 f(x); (2)当该公司的年产量为多少件时,当年所获得的利润最大?

第 3 页 共 8 页

20.已知函数 f ( x) ? ln( ? (1)若 x ?

1 2

1 ax) ? x 2 ? ax ( a 为常数, a ? 0 ) 2

1 是函数 f ( x) 的一个极值点,求 a 的值; 2 1 (2)求证:当 0 ? a ? 2 时, f ( x) 在 [ ,??) 上是增函数; 2 1 (3)若对任意的 a ? (1,2) ,总存在 x 0 ? [ ,1] ,使不等式 f ( x 0 ) ? m(1 ? a 2 ) 成立,求正实数 m 的取值范围. 2

21. (1) (本小题满分 7 分) 选修 4—4:极坐标与参数方程 在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线 C 的极坐标方程

? ? x ? 1 ? t cos ? 6 为 ? ? 4 cos ? ,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) . ? ? y ? ? 3 ? t sin ? ? 6 ?
(Ⅰ)分别求出曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)若点 P 在曲线 C 上,且 P 到直线 l 的距离为 1,求满足这样条件的点 P 的个数.

( 2) (本小题满分 7 分) 选修 4—5:不等式选讲 已知 a ? b ? 0 ,且 m ? a ?

1 . (a ? b)b

(Ⅰ)试利用基本不等式求 m 的最小值 t ;
2 2 2 (Ⅱ)若实数 x, y, z 满足 x ? 4 y ? z ? t ,求证: x ? 2 y ? z ? 3 .

第 4 页 共 8 页

13、

-3 或 1

14、

1 [ , ??) 8

15、 ①③ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或或演算步骤

17.解:由“p 且 q”为真命题,则 p,q 都是真命题. p:x2≥a 在[1,2]上恒成立,只需 a≤(x2)min=1,所以命题 p:a≤1; q:设 f(x)=x2+2ax+2-a,存在 x0∈R 使 f(x0)=0,只需 Δ=4a2-4(2-a)≥0, 即 a2+a-2≥0?a≥1 或 a≤-2,所以命题 q:a≥1 或 a≤-2.
?a≤1, ? 由? 得 a=1 或 a≤-2 ? ?a≥1或a≤-2

故实数 a 的取值范围是 a=1 或 a≤-2. 18.解: (1) f ? x ? ? a ? b ?

3 3 ? sin ?x cos ?x ? 3 cos 2 ?x ? 2 2
3分

1 3 ?? ? ? sin 2?x ? cos 2?x ? sin ? 2?x ? ? 2 2 3? ?

第 5 页 共 8 页

∵ f ? x ? 的最小正周期为 ? ,且 ? >0 ∴

2? ? ? , ∴ ? ? 1, 2?

4分

∴ f ? x ? ? sin ? 2 x ? 由?

? ?

??

?. 3?

?
2

? 2k? ≤ 2 x ?

?
3



?
2

? 2k? , k ? Z

5分

得 f ? x ? 的增区间为 ??

? ? 5 ? ? ? k? , ? k? ? ?k ? Z ? 12 ? 12 ?

6分

(2)由 b 2 ? c 2 ? a 2 ? 3bc, ∴ b 2 ? c 2 ? a 2 ? 3bc, 又由 cos A ?

b2 ? c2 ? a2 3bc 3 ? ? 2bc 2bc 2

8分 9分

∴在 ?ABC 中, A ? ∴ f ? A? ? sin ? 2 ?

?
6

? ?

?
6

?

??

3 2? ? ? ? sin 2 3? 3

12 分

x 1 x2 19 1 0.25× +0.5?=- 19.解:(1)当 0<x≤500 时,f(x)=0.05x- x2-? + x - , 100 ? ? 20 000 20 000 400 2 x 1 1 0.25× +0.5?=12- x, 当 x>500 时,f(x)=0.05× 500- × 5002-? 100 ? ? 20 000 400

?-20 000x +400x-2,0<x≤500, 故 f(x)=? 1 ?12-400x,x>500.
2

1

19

1

x2 19 1 1 345 (2)当 0<x≤500 时,f(x)=- + x- =- (x-475)2+ , 20 000 400 2 20 000 32 故当 x=475 时,f(x)max= 当 x>500 时,f(x)=12- 345 . 32

1 5 344 345 x<12- = < , 400 4 32 32

故当该公司的年产量为 475 件时,当年获得的利润最大.

a2 ? 2 1 2ax( x ? ) a 2 a 2 ? 2x ? a ? 20.解: f ' ( x) ? 1 1 1 ? ax ? ax 2 2
a2 ? 2 1 ? 0 ,? a 2 ? a ? 2 ? 0 (1)由已知,得 f ' ( ) ? 0 且 2a 2

1分

2分

?a ? 0

?a ? 2

----3 分

第 6 页 共 8 页

(2)当 0 ? a ? 2 时,?

a 2 ? 2 1 a 2 ? a ? 2 (a ? 2)(a ? 1) ? ? ? ?0 2a 2 2a 2a
4分

?

1 a2 ? 2 ? 2 2a

a2 ? 2 1 ?0 ? 当 x ? 时, x ? 2a 2
故 f ( x) 在 [ ,??) 上是增函数



2ax ?0 1 ? ax

? f ' ( x) ? 0

5分

1 2

(3) a ? (1,2) 时,由(2)知, f ( x) 在 [ ,1) 上的最大值为 f (1) ? ln( ? 于是问题等价于:对任意的 a ? (1,2) ,不等式 ln( ? 记 g (a ) ? ln( ?

1 2

1 2

1 a) ? 1 ? a 2

1 2

1 a ) ? 1 ? a ? m(a 2 ? 1) ? 0 恒成立.--7 分 2

1 1 a ) ? 1 ? a ? m(a 2 ? 1), (1 ? a ? 2) 2 2 1 a 则 g ' (a) ? ? 1 ? 2ma ? [2ma ? (1 ? 2m)] . 8 分 1? a 1? a 2ma 1 因为 m ? 0 ? g ' (a ) ? 9分 [a ? ( ? 1)] 1? a 2m 1 1 若 ? 1 ? 1 ,可知 g (a ) 在区间 (1, min{2, ? 1}) 上递减,在此区间上,有 2m 2m 1 ? 1 ? 1 ,这时 g ' (a ) ? 0 , g (a ) ? g (1) ? 0 ,与 g (a ) ? 0 恒成立相矛盾,故 2m
g (a ) 在 (1,2) 上递增,恒有 g (a ) ? g (1) ? 0 ,满足题设要求,

12 分

?m ? 0 ? ?? 1 ?1 ? 1 ? ? 2m

即m ?

1 4
2

1 ? 实数 m 的取值范围为 [ ,??) 4

14 分

21.解: (Ⅰ)由 ? ? 4 cos ? 得 ? ? 4 ? cos ? ,故曲线 C 的直角坐标方程为: x ? y ? 4 x ,即
2 2

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 ;由直线 l 的参数方程消去参数 t 得 y ? 3 ?

3 ( x ? 1) , 3

即 x ? 3 y ? 4 ? 0 .????????????????????????4 分 (Ⅱ)因为圆心 C (2,0) 到到直线 l 的距离为 d ?

2 ? 3 ?0 ? 4 1? 3

? 1 , d 恰为圆 C 半径的

1 ,所以圆 C 上共 2

有 3 个点到直线 l 的距离为 1.????????????7 分 (2)解: (Ⅰ)由三个数的均值不等式得:

m ? ( a ? b) ? b ?

1 1 ? 33 (a ? b)b ? ?3 (a ? b)b (a ? b)b

(当且仅当 a ? b ? b ?

1 即 b ? 1, a ? 2 时取“=”号) ,故有 t ? 3 .??4 分 a?b
第 7 页 共 8 页

(Ⅱ)? x ? y ? z ? 3 ,由柯西不等式得:

[ x 2 ? (2 y ) 2 ? z 2 ](12 ? 12 ? 12 ) ? ( x ? 2 y ? z ) 2
(当且仅当

x 2y z 6 3 ? ? 即 x ? z ? , y ? 时取“=”号) 1 1 1 5 5

整理得: ( x ? 2 y ? z ) 2 ? 9 ,即 x ? 2 y ? z ? 3 .???????????7 分

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