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2012浙江省高等数学微积分竞赛(经管类)含答案


2012 浙江省高等数学(微积分)竞赛试题 经管类
题 号 得 分 姓名 评阅人 线 一 二 三 四 五 六 总分

一、计算题(每小题 14 分,满分 70 分)
1 求极限 lim log x ( x ? x ) 。
a b x ???

准考证号

订 2.设 f ( x) ? eax

sin bx ( a, b ? R 为常数) ,求 f ( n ) (0) 。 装

学校

专业

第 1 页 共 8 页

3.计算

?

n? 0

。 x sin x dx ( n 为正整数)

1 ? x2 dx 4.求积分 ? 1 ? x2 ? x4

第 2 页 共 8 页

5. 设函数 f ( x ) ?

1 2 a x ? ,x ? 0 , 常数 a ? 0 , 试求最小的常数 a , 使得 f ( x) ? 6 。 2 x

二、 (满分 20 分)
证明:
n 1 1 ? ln n ? ? ? 1 ? ln n , n ? ? ? n i ?1 i

第 3 页 共 8 页

三、 (满分 20 分)


? (2n ? 1)2
n ?1

?

1

2n

n C2 n 的值。

四、 (满分 20 分)
在草地中间有一个半径为 R 的圆形池塘,池塘边拴着一只山羊,拴山羊的绳子 长为 kR, (0 ? k ? 2) ,求山羊能吃到草的草地面积。

第 4 页 共 8 页

五、 (满分 20 分)
(1)求极限 lim 2 cos
n ?? n

?

cos ? cos n 4 8 2

?

?

(2)证明

2

?

?

2 2

2? 2 2

2? 2?2 ? 2

经管类 一、计算题 1、若 a ? b
x ???

lim lo x a (? x b ? ) lim lo x a ?(x 1b? x g x g
x ???

a

? a)?

x ???

?b a lim ? lo xg (? 1a x

)
所 以

同 理 , 当

a<b

时 ,

x ???

l i mx x la ? o x bg

= (b



)

x ???

l i mx x la ? o x bg =m ( aa x b ()

,

)

2、解:

? ? a b f ?( x) ? ae ax sin bx ? be ax cos bx ? e ax a 2 ? b 2 ? sin bx ? cos bx ? 2 2 2 2 a ?b ? a ?b ?

? eax a 2 ? b 2 ? cos ? sin bx ? sin ? cos bx ? ? a 2 ? b 2 eax sin ? bx ? ? ?

第 5 页 共 8 页

? ? b a ? arccos ? ? ? arcsin ? a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? ?
同理 f ??( x) ? e
ax

a 2 ? b 2 ? a sin(bx ? ? ) ? b cos(bx ? ? ) ?

? (a2 ? b2 )eax sin(bx ? 2? )
可得 f
? n?

? x ? ? ? a 2 ? b2 ?
n? 0

n/2

eax ? sin(bx ? n? ) ? ? f ( n ) ? 0 ? ? ? a 2 ? b2 ?
j? j? ??

n/2

sin(n? )

3、解:

?

x sin x dx ? ? ?
j ?1

n

x sin x dx ? ? ?
j ?1 n

n

?

0

? x ? j? ? ? ? sin xdx

? n? x sin xdx ? 2? ? ? j ? 1? ? n? ? 2n ? ? n ? n ? 1? ? n 2? ? 2n
0 j ?1

?

4、解: 1 ? x2 ? x4 ? x4 ? 2x2 ? 1 ? x2 ? ( x2 ? 1 ? x)( x2 ? 1 ? x)

??
?

? 1 ? x2 1 ? 1 1 1 ? 1 1 ? dx ? ? ? 2 ? 2 ? ? dx ? dx ? ? ? 2 2 4 2 ? x ? x ?1 2 ? x ? x ?1 x ? x ?1 ? 2 ? x ? 1/ 2 ? 3 / 4 x ? 1/ 2 ? 3 / 4 ? ? ? ? ? ?
1 2x ? 1 arctan ? 3 3 1 3 x2? 1 a r c t a n ?C 3

5、解: f ?( x) ? x ?

a ?0 x2

x0 ? 3 a

f ??( x0 )? 1 ?
3

2a ? 0 3 x0
33 2 a 2
所以

? f ( x) 在 3 a 处取到最小值, f


? a? ? 1 2
3

a2 ? 3 a2 ?

33 2 a ?6 2

即 a ? 8时

f ( x) ? 6 ,且在 x0 ? 2 时, f (2) ? 6

amin ? 8

二、证明:显然

?

j ?1 j

j 1 1 1 dx ? ? ? dx j ? 1 x j x

j?2

n n n j 1 n1 1 1 ?? ? 1? ? ? 1? ? ? dx ? 1 ? ? dx ? 1 ? ln n j ?1 x 1 x j ?1 j j ?2 j j ?2

第 6 页 共 8 页

另一方面

1 n?1 1 1 n?1 j ?1 1 1 1 ? ? ? ? ?? dx ? ? ? ln n ? n j ?1 j x n n j ?1 j j ?1 j
n

三、解:

1 (2n)! (2n ? 2)! (2n ? 2)! 1 n C2 ? 2n?1 ? 2 n?2 n ? 2 2n 2n 2 (2n ? 1)2 (2n ? 1)2 (n!) 2 n!(n ?1)! 2 ?(n ? 1)!? 2n
? 1 n C2 n ? 2n (2 n? 1) 2
2n ? 2



1 2n(2n ? 1) ? 1? 2n 22 n 2


1 n ?1 C2 n ? 2

2

?

1 n C 2n 2 n 2

1 n C2 n ? 0 22 n

? 原级数 ? 1

四、解:以过拴羊点与池塘圆心为 x 轴,拴山羊点为原点,则池塘边界圆为

( x ? R)2 ? y 2 ? R 2 而羊能跑的最大圆周为 x2 ? y 2 ? k 2 R2 ,易知在 x ?
两圆有两个交点
R 2 k 1 2 2 ? S ? ? k R ? 2? 2 0 2

R 2 k 时, 2

?

k 2 R 2 ? x 2 ? 2 xR ? x 2 dx

?

?

?

x x?R? R 2 ? k 2 R 2 ? ? x k 2 R 2 ? x 2 ? k 2 R 2 arcsin ? ( x ? R) 2Rx ? x 2 ? R 2 arcsin ? k 2 kR R ?2 ?

?

?
2

k 2 R2 ?

R2k 3 k 4 ? k 2 ? k 2 R 2 arcsin 4 2

? k2 1 ? ? k 2 ? ? R2 ? ? ? ? R 2 k 4 ? k 2 ? R 2 arcsin ? ? 1? ? 2 ? 4 2? ? 2 ? ?

?
2

k 2 R2 ?

? k2 ? R2k ? k 4 ? k 2 ? R 2 ? k 2 R 2 arcsin ? R 2 arcsin ? ? 1 ? 2 2 2 ? 2 ?

五(1)解: cos

? ? ? ? ? n ? cos ? cos n ? cos cos ? cos n ? sin n / sin n 4 8 2 4 8 2 2 2 1 ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? cos cos ?cos n?1 sin n?1 ? cos sin ? ? ? 4 8 2 2 4 4 2n?1 sin n 2sin n 2n?2 sin n 2 2 2n

?

第 7 页 共 8 页

? 原极限 ? lim
n ??

2 2n sin
2 2

?
2
n

?

2

?
1 ? c o ?s ? 2 /? 4 2 ? ? 2 4 ? 2 ? 2 2

(2) cos

?
4

?

cos ? 8

?

2 ? 2 c o sn ?1 1 ? c o s n ?1 ? 2 2 cos n ? ? 2 2 2

?

?

2 2

2? 2 2

? ? ? 2 2? 2?2 ? ? cos cos ? cos n ? ? 4 8 2 ? 2

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