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棱锥


§9.8

棱锥(2)

2009年4月

§9.8

棱锥(2)

回顾:棱锥的定义
有一个面是多边形,其余各面是有 一个公共顶点的三角形,这些面围成的 几何体叫做棱锥.
S 三角形
S

E A O B C D A

E O
B C D

多边形

探索

s

O

此棱锥的特点: 1.底面为正多边形 2.顶点在底面的射影恰好 是底面正多边形的中心
……

正棱柱——棱锥? 正棱柱: 1.底面为正多边形 2.侧棱与底面垂直

成果

正棱锥的定义

如果一个棱锥的底面是正多边形,并且 底面是正多边形,并且 顶点在底面的射影是底面中心的棱锥 顶点在底面的射影是底面中心,这样的棱锥叫 做正棱锥. S
例如:正五棱锥 S-ABCDE
E
A B O C D

埃及金字塔

如图,在正五棱锥中,SO为高, M、N分别为AB、CD的中点。

成果 一、正棱锥的定义: 如果一

个棱锥的底面是正多边形,并 且顶点在底面的射影是底面中 心,这样的棱锥叫做正棱锥. 1)侧棱SA、SB、…是否相等? 二、正棱锥的性质 2)哪个角是SC与底面所成的角? (1)各侧棱都相等, 各侧面都是 哪个角是二面角S-AB-O的平面角? 全等的等腰三角形. 各等腰三角 它叫做正棱 S 形底边上的高相等, 锥的斜高.

看 一 看
A M B C

O

E N

D

正棱锥的性 质(1)

成果 一、正棱锥的定义: 如果一
如图,在正五棱锥中,SO为高, 个棱锥的底面是正多边形,并 M、N分别为AB、CD的中点。 且顶点在底面的射影是底面中 1)侧棱SA、SB、…是否相等? 心,这样的棱锥叫做正棱锥. 2)哪个角是SC与底面所成的角? 二、正棱锥的性质 哪个角是二面角S-AB-O的平面角? (1)各侧棱都相等, 各侧面都是 全等的等腰三角形. 各等腰三角 S 形底边上的高相等, 它叫做正棱 锥的斜高.

看 一 看
A M B C O

其它规律: ①侧棱与底面所成的角都相等 E D N

②侧面与底面所成的二面角都
相等

想一想 1 . 底面是正多边形的棱锥是正棱锥吗? 【不一定】 (因为顶点在底面内的射影不一定是底面中心.如图1) 2. 侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥吗? 【不一定】 反例:如图2,AV=AC=BV=BC=2,AB=VC=1
S
(图1)

V

E A

A C

O
B C

D
B

(图2)

做一做

已知正三棱锥V-ABC,底面边长为6, 。 侧面与底面所成的二面角为60 , 求它的高和侧棱长。

解:过V作VO?面ABC,O是垂足,由题设可知点O为正?ABC的中心, 设D是AB的中点,连结VD、CD,则CD必过O点,且CD?AB,VD?AB ??VDO是侧面VAB与底面ABC所成二面角的平面角, 。 V 即?VDO = 60
在正三角形?ABC中,AB=6, 3 ∴CD = AB = 3 3 2 1 2 ∴OD = CD = 3 , OC = CD ? 2 3 3 3

600

A
D O
6

C

在RtΔVOD中:V ? OD ? tan600 O ? 3? 3 ?3 在Rt?VOC中:VC = VO2 + CO 2 = 21

B

成果

二、正棱锥的性质

(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组 成一个直角三形(如Rt?SMO); 棱锥的高、侧 棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角 形(如 :Rt?SBO). 正
S
S
棱 锥 的 性 质
(2)

A
M O

C
A M B C

E

O

D

S S

E E A M B B C O O

对一般的正棱锥 涉及到正棱锥的相关元素: *都有四个基本的直角三角形: 1.线: Rt?SBO、Rt?SMO、 Rt?OMB、Rt?SMB; 高h、斜高h’、 侧棱l、 *都存在一个基本的小三棱锥
D

底面外接圆半径R和内 切圆半径r、 底面 边长的一半a/2
h’ l r a/2 R

h

2.角: 侧棱与底面所成的线面角?SBO 侧面与底面所成的二面角?SMO

练习已知底面边长是 a ,高为 h .
①正三棱锥 V
2

求下列棱 锥的侧棱与底面所成角的正切与侧面与底面所 成角的正切的比值.
②正四棱锥
2 2

③正六棱锥
2

答案:① 1 ②

③ 3
V V

A
M B

C
M

O

A
M

O B

D
C B

O

数学之奇、妙、美无处不在

思考题:正三棱锥各棱长均为a,
求它的体积。
2 3 答案:V= a 12


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