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宁夏银川一中2014届高三上学期第5次月考数学(理)试题


银川一中 2014 届高三年级第五次月考数学试卷(理)
命题人:张金荣、周天佐

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.设集合 U ? {1,2,3,4,5,6}, A ? {1,2,3}, B ? {2,5}, 则A ? (CU B) =( A.{1,3} B.{2} C.{2,3} ) D.2 D.{3} )

2. 设复数 Z 满足 ( 3 ? i) ? Z ? 2i ,则| Z |=( A. 2 B. 3 C.1

3.设 ? , ? 为两个不同平面,m、 n 为两条不同的直线,且 m ? ? , n ? ? , 有两个命题:

P:若 m∥n,则 ? ∥β ;q:若 m⊥β , 则 α ⊥β . 那么(
A.“p 或 q”是假命题 C.“非 p 或 q”是假命题



B.“p 且 q”是真命题 D.“非 p 且 q”是真命题

4. 在平面直角坐标系中, 已知向量 a ? (1,2), a ? A.-2 B.-4 C.-3

1 b ? (3,1), c ? ( x,3), 若 (2a ? b) // c , 则 x=( 2
D.-1

)

5.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S9=-18,S13=-52,{bn}为等比数列,且 b5 =a5,b7=a7,则 b15 的值为( A.64 ) B.128 C.-64 D.-128 ) D.{x|x<-2 或 x>2}

6.设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x-4(x>0),则不等式 f(x-2)>0 的解集为( A.{x|x<-2 或 x>4} B.{x|x<0 或 x>4} C.{x|x<0 或 x>6}

? 7. 若将函数 y=tan?ω x+ ?

π? π? π ? (ω >0)的图象向右平移 个单位长度后, 与函数 y=tan?ω x+ ?的 ? 4? 6? 6 ? )
1 1 1 1

图象重合,则 ω 的最小值为( 1 A. 6 1 B. 4 1 C. 3 1 D. 2

2

8.如图是一个几何体的三视图,正视图和侧视图 均为矩形,俯视图中曲线部分为半圆,尺寸如 图,则该几何体的全面积为( )
1 俯视图 正视图 侧视图

A.2+3 ? ? 4 2 C.8+5 ? ? 2 3

B.2+2 ? ? 4 2 D.6+3 ? ? 2 3

9. 已知命题 p: 函数 f ( x) ? 2ax2 ? x ?1(a ? 0) 在 (0, 1) 内恰有一个零点; 命题 q: 函数 y ? x2?a 在 (0, ??) 上是减函数,若 p 且 ? q 为真命题,则实数 a 的取值范围是( A. a ? 1 B.a≤2 C. 1<a≤2 D.a≤l 或 a>2 )

10.三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,AC=BC=1,PA= 3 ,则该三棱锥外接球的表面积 为( A.5 ? ) B. 2?
x

C.20 ?

D.4 ? )

11.设方程 lnx=-x 与方程 e =-x(其中 e 是自然对数的底数)的所有根之和为 m,则( A.m<0 B. m=0 C.0<m<1 D.m>1

12. 函数 f ? x ? 对任意 x ? R都有f ? x ? 6? ? f ? x ? ? 2 f ?3? , y ? f ? x ?1? 的图象关于点 ?1,0 ? 对 称,则 f ? 2013? ? ( A. ?16 ) B. ?8 C. ?4 D.0

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做答. 第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

?x ? 2 y ? 4 ? 13.已知关于 x, y 的二元一次不等式组 ? x ? y ? 1 ,则 3x-y 的最大值为__________ ?x ? 2 ? 0 A ?
14. 曲线 y ? x 2 和曲线 y 2 ? x 围成的图形面积是____________. 15. 如图, 在 ?ABC 中, ?B ? 45 , D 是 BC 边上一点,
?

B

AD ? 5, AC ? 7, DC ? 3 ,则 AB 的长为
16.数列{an}的通项为 an=(-1) ?n ? sin
n

.

D (第 15 题)

C

n? ? 1, 前 n 项和为 Sn, 则 S100=_________. 2

三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= 2 3 sin x cos x ? 3sin x ? cos x ? 2 .
2 2

2

(1)当 x ? [0,

?
2

] 时,求 f ( x ) 的值域;

(2)若 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且满足

b ? 3, a

sin(2 A ? C ) ? 2 ? 2 cos( A ? C ) ,求 f ( B ) 的值. sin A
18.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 an 是 Sn 和 1 的等差中项,等差数列 {bn } 满足 b1 ? a1 ,

b4 ? S3 .
(1)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (2)设 cn ?

1 ,数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn 的取值范围. bn bn ?1
P

19. (本小题满分 12 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , ?ABC 是正三角形,
AC 与 BD 的交点 M 恰好是 AC 中点,又 PA ? AB ? 4 , ?CDA ? 120 ,
N

点 N 在线段 PB 上,且 PN ? 2 . (1)求证: BD ? PC ; (2)求证: MN / / 平面 PDC ; (3)求二面角 A ? PC ? B 的余弦值.
B A D M C

20. (本小题满分 12 分) “地沟油”严重危害了人民群众的身体健康,某企业在政府部门的支持下,进行技术攻关, 新上了一种从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目,经测算,该项目月处理成本 y(元)与月处 理量 x(吨)之间的函数关系可以近似的表示为:

?1 3 x ? 80x 2 ? 5 040x, x ? [120,144) ? ?3 y?? , 且每处理一吨“食品残渣”,可得到能利用的生物柴 1 2 ? x ? 200x ? 80 000, x ? [144,500) ? ?2
油价值为 200 元,若该项目不获利,政府将补贴. (1)当 x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则政府 每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损. (2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?
3

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 g ( x) ?

1 3 1 x ? (a ? 2) x 2 ,h(x)=2alnx, f ( x) ? g ?( x) ? h( x) 。 6 2

(1)当 a∈R 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性. (2)是否存在实数 a,对任意的 x1 , x2 ? (0, ??) ,且 x1 ? x2 ,都有 恒成立,若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由。 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 AB 经过⊙ O 上的点 C ,并且 OA ? OB, CA ? CB, ⊙ O 交直线 OB 于 E , D , 连接 EC, CD . (1)求证:直线 AB 是⊙ O 的切线; (2)若 tan ?CED ? E O D A C B

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?a x1 ? x2

1 , ⊙ O 的半径为 3,求 OA 的长. 2

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程

1 ? x ? t ? 2 ? 已知直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) ,曲线 C 的参数方程为 ? y ? 3 t ?1 ? ? 2

? x ? 2 ? cos ? ( ? 为参数) 。 ? ? y ? sin ?
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正 半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为 (4,

?
3

) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系;

(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求点 Q 到直线 l 的距离的最小值与最大值。 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 (1)解关于 x 的不等式 x ? x ? 1 ? 3 ;
4

(2)若关于 x 的不等式 x ? x ? 1 ? a 有解,求实数 a 的取值范围.

2014 届高三第四次月考数学(理)参考答案
1—5.ACDDC, 6—10.BDACA 13.5 三.解答题: 17. (本小题满分 12 分) (1) f ( x) ? 2 ? (3sin2 x ? cos2 x ? 2 3sin x cos x) 14. 11.B 15. 12.D

1 3

5 6 , 2

16.

150

? cos2 x ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) 6 ? ? ? 7? ? 1 x ? [0, ],? 2 x ? ? [ , ] , sin(2 x ? ) ? [ ? ,1] , 2 6 6 6 6 2 ?????6 分 ? f ( x) ? [?1,2] (2)由条件得 sin(2 A ? C ) ? 2sin A ? 2sin A cos( A ? C ) sin A cos( A ? C ) ? cos Asin( A ? C ) ? 2sin A ? 2sin A cos( A ? C )
? ? ? 化简得 sin C ? 2sin A ?c ? 2a, b ? 3a, 由余弦定理得 A ? 30 , B ? 60 , C ? 90

?

? f ( B) ? f (60? ) ? 2sin150? ? 1 ?????12 分 18、 (本小题满分 12 分) (1)∵ an 是 Sn 和 1 的等差中项,∴ Sn ? 2an ? 1
5

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2a1 ? 1,∴ a1 ? 1 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2an ?1) ? (2an?1 ?1) ? 2an ? 2an?1 , ∴ an ? 2an?1 ,即

an ?2 an ?1

3分

∴数列 {an } 是以 a1 ? 1 为首项, 2 为公比的等比数列, ∴ an ? 2n?1 , Sn ? 2n ? 1 设 {bn } 的公差为 d , b1 ? a1 ? 1 , b4 ? 1 ? 3d ? 7 ,∴ d ? 2 ∴ bn ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 (2) cn ? ?????6 分 5分

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) bnbn?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ? ) ? (1 ? )? ∴ Tn ? (1 ? ? ? ? ... ? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1 1? 1 ? 1 * ∵ n ? N ,∴ Tn ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2 n n ?1 1 Tn ? Tn?1 ? ? ? ?0 2n ? 1 2n ? 1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 1 ∴数列 {Tn } 是一个递增数列 ∴ Tn ? T1 ? . 3 1 1 综上所述, ? Tn ? ?????12 分 3 2
所以 BM ? AC ,即 BD ? AC ?????1 分 又因为 PA ? 平面ABCD , BD ? 平面 ABCD , PA ? BD 又 PA AC ? A ,所以 BD ? 平面 PAC 又 PC ? 平面 PAC ,所以 BD ? PC

19. (本小题满分 12 分)证明:(I) 因为 ?ABC 是正三角形, M 是 AC 中点,

?????4 分

(Ⅱ)在正三角形 ABC 中, BM ? 2 3 在 ?ACD 中,因为 M 为 AC 中点, DM ? AC ,所以 AD ? CD

2 3 ?CDA ? 120 ,所以 3 ,所以 BM : MD ? 3 : 1 ?????6 分 在等腰直角三角形 PAB 中, PA ? AB ? 4 , PB ? 4 2 , 所以 BN : NP ? 3 :1 , BN : NP ? BM : MD ,所以 MN / / PD 分 MN ? PDC PDC MN / / PDC PD ? 又 平面 , 平面 ,所以 平面 ?????8 分 (Ⅲ)因为 ?BAD ? ?BAC ? ?CAD ? 90 , 所以 AB ? AD ,分别以 AB, AD, AP 为 x 轴, y 轴, z 轴建立如图的空间直角坐标系, 4 3 z 所以 B(4,0,0), C (2,2 3,0), D(0, ,0), P(0,0,4) P 3 DM ?
6
N

A

D

y

由(Ⅱ)可知,

4 3 ,0) 为平面 PAC 的法向量 3 PC ? (2,2 3, ?4) , PB ? (4,0, ?4) DB ? (4, ?
设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) , 则?

??????9 分

? ?n ? PC ? 0 ? ?n ? PB ? 0

,即 ?

? ?2 x ? 2 3 y ? 4 z ? 0 , ? ?4 x ? 4 z ? 0
?????11 分

令 z ? 3, 则平面 PBC 的一个法向量为 n ? (3, 3,3) 设二面角 A ? PC ? B 的大小为 ? , 则 cos ? ?

n ? DB n ? DB

?

7 7

?????12 分 20. (本小题满分 12 分) (1)当 x∈[200,300]时,设该项目获利为 S,则 1 2 1 2 1 2 S=200x-( x -200x+80 000)=- x +400x-80 000=- (x-400) , 2 2 2 所以当 x∈[200,300]时,S<0.因此,该项目不会获利.当 x=300 时,S 取得最大值-5 000, ∴政府每月至少需要补贴 5 000 元才能使该项目不亏损. ?????6 分

7 所以二面角 A ? PC ? B 余弦值为 7

?1 2 x ? 80x ? 5 040, x ? [120,144) y ? ?3 . (2)由题意可知,食品残渣的每吨平均处理成本为: ? ? x ?1 x ? 80 000x ? 200, x ? [144,500) ? ?2
y 1 2 1 y 2 ①当 x∈[120,144)时, = x -80x+5 040= (x-120) +240, ∴当 x=120 时, 取得最小值 240; x 3 3 x y 1 80 000 1 80 000 ②当 x∈[144,500)时, = x+ -200≥2 x· -200=200. x 2 x 2 x 1 80 000 y 当且仅当 x= ,即 x=400 时, 取得最小值 200.∵200<240, 2 x x ∴当每月处理量为 400 吨时,才能使每吨的平均处理成本最低。 ?????12 分 21. (1) f ?( x) ?

( x ? 2)( x ? a) , f(x)的定义域为(0,+ ?) ?????2 分 x ①当 a>0 时,f(x)在(0,2)上是减函数,在在 (2,??) 上是增函数。

②当-2<a≤0 时,f(x)在(0,-a)上是增函数;在(-a,2)是是减函数;在 (2,??) 上是 增函数。 ③当 a=-2 时,f(x)在(0,+ ?) 上是增函数。 ④当 a<-2 时,f(x)在(0,2)上是增函数;在(2,-a)上是减函数;在 (?a,??) 上是增
7

函数。

???? 6 分

(2)假设存在实数 a,对任意的 x1 , x2 ? (0, ??) ,且 x1 ? x2 ,都有 不妨设 0<x1<x2,要使

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a 恒成立, x1 ? x2

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a ,即 f(x2)+ax2>f(x1)+ax1。 x1 ? x2 1 2 令 g(x)=f(x)+ax= x ? 2a ln x ? 2 x ? 2ax ,只要 g(x)在(0,+ ?) 为增函数。 2 2a x 2 ? (2a ? 2) x ? 2a ? 2 ? 2a ? 又 g ?( x) ? x ? x x ? 由题意 g ( x) ? 0 在(0,+ ?) 上恒成立,得 a 不存在。??????12 分 22 证明: (Ⅰ)如图,连接 OC, OA =OB,CA=CB,? OC ? AB OC 是圆的半径,? AB 是圆的切线. (3 分) (Ⅱ) ED 是直径,??ECD ? 90?,??E ? ?EDC ? 90? 又 ?BCD ? ?OCD ? 90?, ?OCD ? ?OCD,??BCD ? ?E, 又?CBD ? ?EBC, BC BD ? BCD∽ BEC ,? ? ? BC 2 ? BD.BE (5 分) BE BC CD 1 tan ?CED ? ? , BC 2 BD CD 1 BCD ∽ BEC , ? ? (7 分) BC EC 2 2 2 (2?) =?(?+6)? BD =2 ?(9 分) 设 BD =X ,则 BC =2 X , BC =BD BE ? ? OA ? OB =BD +OD =2+3=5 (10)分
23.选修 4—4:坐标系与参数方程 ? ?? 2 3 ,??????????(2 分) 解: (Ⅰ)将点 P ? 4, ? 化为直角坐标,得 P 2, ? 3?

?

?

直线 l 的普通方程为 y ? 3x ? 1 ,显然点 P 不满足直线 l 的方程, 所以点 P 不在直线 l 上.???????????????????(5 分) 点 Q 到直线 l : y ? 3x ? 1 的距离为 (Ⅱ)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q ? 2 ? cos? ,sin ? ? ,???????(6 分)

?? ? 2sin ? ? ? ? ? 2 3 ? 1 | 2 3 ? 3 cos ? ? sin ? ? 1| ?3 ? ,???????(8 分) d? ? 2 3 ?1
2 3 ?1 ?? ? , ? ? ? ? ?1 时, d min ? 2 ?3 ? 2 3 ?3 ?? ? 当 sin ? ? ? ? ? 1 时, d max ? . 2 ?3 ?
所以当 sin ?
8

故点 Q 到直线 l 的距离的最小值为 24.选修 4-5:不等式选讲

2 3 ?1 2 3 ?3 ,最大值为 .?????(10 分) 2 2

9


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