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1.1正弦定理和余弦定理第3课时 正、余弦定理的综合应用 课件(人教A版必修5)


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第一章
1.1 第3课时 正弦定理和余弦定理 正、余弦定理的综合应用

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1

课前自主预习

2

课堂典例探究<

br />
3

课 时 作 业

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课前自主预习

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工人师傅的一个三角形的模型坏了,只剩下如右图所示的 部分,∠A=53° ,∠B=47° ,AB 长为 1m.他想修好这个零件, 但不知道 AC 和 BC 的长度是多少,所以无法截料. 你能帮工人师傅这个忙吗?

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1.正弦定理的数学表达式为________________.

[ 答案]

a b c = = sinA sinB sinC

2 . 余 弦 定 理 的 数 学 表 达 式 为 ________ 、 ________ 、 ________.

[ 答案]

a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB c2=

a2+b2-2abcosC

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1.正弦定理的作用 (1) 已知三角形的任意两个角与一边,求其他两边和另一 角. (2) 已知三角形的两边与其中一边的对角,求另一边的对 角,进而计算出其他的边和角. (3)边化角,角化边.

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(1)已知△ABC 中,a=2,A=45° ,B=30° ,求 b、c 和 C; (2)已知△ABC 中,a= 3,b=1,B=120° ,求 A; 2 (3)在△ABC 中,lga-lgc=lgsinB=lg ,且 B 为锐角,判 2 断三角形的形状.

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[ 解析]

(1)根据三角形内角和定理,得

C=180° -(A+B)=180° -(45° +30° )=105° . 根据正弦定理,得 1 2× 2 asinB 2sin30° b= = = = 2, sinA sin45° 2 2 6+ 2 2× 4 asinC 2sin105° 2sin75° c= = = = = 3+1. sinA sin45° sin45° 2 2

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(2)由条件知角 B 为最大角,∴b 为最大边,但已知 b<a, 故无解. 2 2 (3)由 lgsinB=lg ,得 sinB= .又 B 为锐角, 2 2 ∴B=45° . 2 a 2 又由 lga-lgc=lg ,得 = . 2 c 2 sinA 2 根据正弦定理,得 = , sinC 2 ∴ 2sinC=2sinA=2sin(135° -C),即 sinC=sinC+cosC. ∴cosC=0.∴C=90° .因此△ABC 为等腰直角三角形.

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2.余弦定理及其推论的作用
(1)已知三角形的两边及其夹角,求其他的边和角. (2)已知三角形的三边,求三个角. (3)边化角,角化边.

(1)在△ABC 中,已知 a=2,b=2 2,C=15° ,求角 A; (2)在△ABC 中,已知 a ? b ? c=2 ? 3? 5,求△ABC 中各内角的余弦值.

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[ 解析]

(1)由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcosC

=22+(2 2)2-2×2×2 2cos15° 6+ 2 =4+8-8 2× =8-4 3, 4 因此 c= 6- 2. a c 又∵ = , sinA sinC 6- 2 2× 4 asinC 2sin15° 1 ∴sinA= = = = . c 2 6- 2 6- 2 ∵b>a,∴B>A.又∵0° <A<180° , ∴A 必为锐角,即 A=30° .

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(2)令 a=2k,b= 3k,c= 5k(k>0),由余弦定理,得 b2+c2-a2 3k2+5k2-4k2 4k2 2 15 cosA= = = , 2= 2bc 15 2× 3k× 5k 2 15k a2+c2-b2 4k2+5k2-3k2 6k2 3 5 cosB= = = = , 2ac 2×2k× 5k 4 5k2 10 a2+b2-c2 4k2+3k2-5k2 2k2 3 cosC= = = = . 2ab 2×2k× 3k 4 3k2 6 2 15 3 5 3 故 cosA= ,cosB= ,cosC= . 15 10 6

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3.三角形的面积公式 1 1 1 由正弦定理可得三角形的面积 S = absinC = acsinB = 2 2 2 bcsinA.

1 (2014· 新课标Ⅱ理, 4)钝角三角形 ABC 的面积是 , AB=1, 2 BC= 2,则 AC=( A.5 C.2 ) B. 5 D.1

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[ 答案]
[ 解析]

B
本题考查余弦定理及三角形的面积公式.

1 1 1 ∵S△ABC= acsinB= · 2· 1· sinB= , 2 2 2 2 π 3π ∴sinB= ,∴B= 或 . 2 4 4 π 当 B= 时,经计算△ABC 为等腰直角三角形, 4 不符合题意,舍去. 3π ∴B= ,根据余弦定理, 4 b2=a2+c2-2accosB,解得 b= 5,故选 B.

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课堂典例探究

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三角函数的化简、求值

设△ABC 的内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a、 b、 3 c,cos(A-C)+cosB= ,b2=ac,求 B. 2

[ 分析]

三角形内角 A、B、C 满足 A+B+C=π,故条件

3 式 cos(A-C)+cosB= 可化为只含 A 与 C 的表达式.由正弦定 2 理可将条件式 b2=ac 化为角的表达式 sin2B=sinA· sinC, 进而可 解出角 B.

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3 [ 解析] 由 cos(A-C)+cosB= 及 B=π-(A+C)得 2 3 cos(A-C)-cos(A+C)= , 2 3 ∴cosAcosC+sinAsinC-(cosAcosC-sinAsinC)= , 2 3 ∴sinAsinC= . 4 又由 b2=ac 及正弦正理得,sin2B=sinAsinC, 3 3 3 2 故 sin B= ,sinB= 或 sinB=- (舍去), 4 2 2 π 2π 2π 3 于是 B= 或 B= .若 B= , 则 cos(A-C)= -cosB=2, 3 3 3 2 π 这不可能,所以 B= . 3

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在△ABC 中,BC= 5,AC=3,sinC=2sinA. (1)求 AB 的值; (2)求
? π? ? sin?2A-4? ?的值. ? ?

[ 解析]

(1)在△ABC 中,根据正弦定理得,

AB BC = . sinC sinA BC· sinC 于是 AB= =2BC=2 5. sinA

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(2)在△ABC 中,根据余弦定理得, AB2+AC2-BC2 2 5 cosA= = , 2AB· AC 5 5 于是 sinA= 1-cos A= . 5
2

4 从而 sin2A=2sinAcosA= , 5 3 cos2A=cos A-sin A= . 5
2 2

所以

? π? π π 2 ? ? sin?2A-4?=sin2Acos -cos2Asin = . 4 4 10 ? ?

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三角形的面积公式

在△ABC 中,a、b、c 分别是三个内角 A、B、C π B 2 5 的对边.若 a=2,C= ,cos = ,求△ABC 的面积 S. 4 2 5

[ 分析]

B 由 cos 可求得 cosB、sinB,由△ABC 内角关系及 2

边 a 用正弦定理可求 b(或 c),再代入面积公式可求面积.

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[ 解析]

3 由题意得,cosB=2cos -1= , 2 5
2

2B

4 ∴B 为锐角,sinB= 1-cos B= , 5
?3π ? 7 2 ? sinA=sin(π-B-C)=sin? 4 -B? ?= 10 , ? ?

asinC 10 由正弦定理得 c= = , sinA 7 1 1 10 4 8 ∴S= ac· sinB= ×2× × = . 2 2 7 5 7

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(2013· 浙江文,18)在锐角△ABC 中,内角 A、B、C 的对边 分别为 a、b、c,且 2asinB= 3b. (1)求角 A 的大小; (2)若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积. a b [ 解析] (1)由 2asinB= 3b 及正弦定理 = , 得 sinA sinA sinB

3 = . 2 π 因为 A 是锐角,所以 A= . 3

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(2)由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA,得 b2+c2-bc=36. 又 b+c=8,所以 28 bc= . 3 1 由三角形面积公式 S= bcsinA,得 2 7 3 △ABC 的面积为 . 3

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综合应用

在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、 π 4 c,B= ,cosA= ,b= 3. 3 5 (1)求 sinC 的值; (2)求△ABC 的面积.

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[ 分析]

(1)已知角 B 和 cosA,利用内角和定理及两角和与

差的三角函数,可求 sinC. (2)利用正弦定理求三角形面积需要两边及夹角,已知边 b 及三内角,可利用正弦定理再求出一边,然后求面积.
[ 解析] (1)∵角 A、B、C 为△ABC 的内角,

π 4 且 B= ,cosA= , 3 5 2π 3 ∴C= -A,sinA= . 3 5
?2π ? ? ∴sinC=sin? 3 -A? ?= ? ?

3+4 3 3 1 cosA+ sinA= . 2 2 10

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3+4 3 3 (2)由(1)知 sinA= ,sinC= . 5 10 π 又∵B= ,b= 3, 3 bsinA 6 ∴在△ABC 中,由正弦定理得 a= = . sinB 5 3+4 3 1 1 6 ∴ △ ABC 的 面 积 S = absinC = × × 3 × = 2 2 5 10 36+9 3 . 50

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在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且满 3 → → 足 cosA= ,AB· AC=3. 5 (1)求△ABC 的面积; (2)若 b+c=6,求边 a 的长.

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[ 解析]

→ → (1)∵AB· AC=3,∴bccosA=3,∴bc=5.

1 1 4 ∴S△ABC= bcsinA= ×5× =2. 2 2 5 (2)由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc-2bccosA 3 =36-10-10× =20, 5 ∴a=2 5.

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求取值范围

钝角三角形的三边长分别是 a,a+1,a+2,且 最大角不超过 120° ,求实数 a 的取值范围.

[分析]

a-3 a+2>a+1>a 设 最 大 内 角 为 α ――――――→ cosα = 2a 余弦定理

α>90° ―――→ a的取值范围 α≤120°

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[ 解析] 边长为 a+2.

∵a>0,∴a+2>a+1>A.

设钝角三角形的最大内角为 α,则 90° <α≤120° ,且其所对 a2+?a+1?2-?a+2?2 a-3 根据余弦定理,cosα= = . 2 a 2a?a+1? 1 ∵90° <α≤120° ,∴- ≤cosα<0, 2 1 a-3 即- ≤ <0. 2 2a 3 3 ∵a 为正实数,解得 ≤a<3.即所求 a 的取值范围是[ ,3). 2 2

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c 在△ABC 中,C=3B,求 的取值范围. b c sinC sin3B sin?B+2B? [ 解析 ] 由正弦定理,得 = = = = b sinB sinB sinB
sinBcos2B+cosBsin2B =cos2B+2cos2B=4cos2B-1. sinB 2 ∵A+B+C=180° ,C=3B,∴0° <B<45° ,即 <cosB<1, 2 1 c 2 ∴ <cos B<1,故 1< <3. 2 b
[ 方法总结] 在解该题时,将边之间的关系转化为角的关 系,应用三角函数来解决,但应注意对角的限定.

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在△ABC 中,角 A、B、C 满足 2B=A+C,B 的对边 b=1,求 a+c 的取值范围.
[ 错解] ∵2B=A+C,A+B+C=π, π 2π ∴B= ,C= -A, 3 3 bsinA bsinC 2 3 ∴a+c= + = (sinA+sinC) sinB sinB 3 2 3 2π = [sinA+sin( -A)] 3 3 π = 3sinA+cosA=2sin(A+ ), 6

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π π 7π ∵0<A<π,∴ <A+ < , 6 6 6 1 π 1 ∴- <sin(A+ )< , 2 6 2 ∴-1<a+c<1,又 a+c>0,∴0<a+c<1.

[ 辨析]

错解中前面还照顾到了 A 与 C 的相互制约关系,

π 后面在讨论 sin(A+ )的取值范围时又忽略了.误把(0,π)作为 6 π π 7π 1 A 的取值范围;另一处错误是,由 <A+ < 得出- <sin(A+ 6 6 6 2 π 1 π 7π )< ,事实上 sinx 在( , )上不单调. 6 2 6 6

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[ 正解]

在原解答中把“∵0<A<π”后面的去掉,换为 2π ,∴0<A< , 3

?0<A<π ?0<C<π ∵? ?C=2π-A 3 ? π π 5π ∴ < A+ < , 6 6 6

1 π ∴ <sin(A+ )≤1, 2 6 ∴1<a+c≤2.

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? ?定理: a = b = c =2R ? sinA sinB sinC ? ? ?正弦定理? ?已知两角和一边,解三角形 ?应用? ? ?已知两边和其中一边的对角,解三角形 ? ? ? 解三角形 ? ? a2=b2+c2-2bccosA ? ? 2 2 2 ? ? b =c +a -2accosB ?定理? ? 2 2 2 ? c = a + b -2abcosC ? ?余弦定理? ? ? ?已知两边及一角,解三角形 ? ?应用? ?已知三边,解三角形 ? ? ?

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