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重庆市云阳县云阳外国语实验学校2010届高三第二次月考数学试题


云阳外国语实验学校 高 2010 届三年级第二次月考试卷(理)


命题人:向飞
第Ⅰ卷


审题人:何兴俊

★祝考试顺利★

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号 填在题后的括号内(本大题共 10 个小题,每小题 5

分,共 50 分)。把答案填写在答题卡 相应位置上 1. “我是重庆市云阳外国语实验学校高三的一名理科学生”的一个必要不充分条件是“我就读 于重庆市云阳外国语实验学校 (※)” A.高 2010 级 1 班 2.数列{an}满足 a1 =1, a2 = B. 高 2010 级 4 班 C.高 2010 级某个理科班 D.某个班 (※)。

2 1 1 2 ,且 (n≥2),则 an 等于 ? ? 3 an?1 an?1 an

A.

2 n ?1

B.

?2? ? ? ?3?

n ?1

C. ? ?

?2? ?3?

n

D.

2 n?2

3.定义 A ? B ? {x | x ? A且x ? B}, 若M ? {1,2,3,4,5}, N ? {2,3,6}, 是N ? M 等于( ※)。 C.{1,4,5} D.{6} ? ? 4.如果α 是第一象限的角,且 1 ? sin? ? 1 ? sin? ? 2 cos , 那么 的象限 2 2 A.第一象限 B.第二象限 A.M B.N

( ※)

C.第三象限 D.第四象限 ? 5.把曲线 y cos x ? 2 y ? 1 ? 0 先沿 x 轴向右平移 个单位,再沿 y 轴向下平移 1 个单位, 2 得到的曲线方程是 ( ※) (A) ?1 ? y ?sin x ? 2 y ? 3 ? 0 (B) ? y ? 1?sin x ? 2 y ? 3 ? 0 (C) ? y ? 1?sin x ? 2 y ? 1 ? 0 (D) ? ? y ? 1? sin x ? 2 y ? 1 ? 0 6.设 f

1 ( x) 是函数 f ( x) ? (2 x ? 2? x ) 的反函数,则 f ?1 ( x) ? 1 的解集为( ※ ) 2 3 3 3 A. (??, ) B. ( , ??) C. ( , 2) D. (2, ??) 4 4 4
?1

第 1 页

(?1) n ?1 7.若不等式 (?1) a ? 2 ? 对于任意正整数 n 成立,则实数 a 的取值范围是( ※ )。 n
n

A. [?2, )

3 2

B. (?2, )

3 2

C. [ ?3, )

3 2

D. (?3, )

3 2

?2 x , x ? 1, ? 8.若函数 f ( x) ? ?log x, x ? 1,则y ? f (1 ? x) 的图象可以是 1 ? ? 2

( ※ )。

9. 若关于 x 的方程 a ? ? sin x ? 2sin x 有实数解,则实数 a 的范围是( ※ )
2

A.

[? 3 ? , 1]

B. [?3,1]

C. (??,1]

D. [1, ??)

10. 设定义域为 R 的函数 f ( x ) 满足下列条件:① 对任意 x ? R, f ( x) ? f (? x) ? 0 ;② 对任 意 x1, x2 ??1, a? ,当x2 > x1时,都有f ( x2 ) > f ( x1 ) > 0 ,则下列不等式不一定成立的是( ※ )

A f (a) > f (0)

1? a B f( ) > f ( a) 2

1 ? 5a C f( ) > f ( ?a ) 1? a

1 ? 3a D f( ) > f ( ?a ) 1? a

第Ⅱ卷
二、填空题:(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分)把答案填写在答题卡相应位置上。 2 0 x ? y x ? y ? ,则 11.设 ? x, y ? 在映射 f 下的象是 ? . ?2 , 0? 在 f 下的原象是 ※※※ 。 , 0 ? ? 2 ? ? 2 8 0 1 3 (? , ],则f (cos x) 的定义域为 ※※※ 12. 已知 f ( x)的定义域为 . 8 2 2 0 1 ? an , 当a n为偶数时。 ? 13. 已知数列 {an } 满足 a1 ? m (m 为正整数), a n ?1 ? ? 2 若 a6 ? 1 ,

? ?3a n ? 1, 当a n为奇数时。

则 m 所有可能的取值为: ※※※ ..
第 2 页

14. 设正数数列 ?an ? 的前 n 项和是 bn ,数列 ?bn ? 的前 n 项之积是 cn ,且 bn ? cn ? 1 n ? N ? , 则?

?

?

?1? ? 的前 10 项之和等于 ※※※ . ? an ?

15. 定义:

?a
i ?1

n

i

? a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an ,设函数 f ( x) ? lg

?i
i ?1

m ?1

x

? mxa m
,其中 m∈R,是给定的正

整数,且 m ? 2 ,如果关于 x 的不等式 f ( x) ? ( x ? 1) lg m 在区间 [1, ??) 有解,则实数 a 的取值 范围是 _ . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 个大题,共 75 分)。 16.(13 分)(注意:在试题卷上作答无效 )如图 1 在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始 .........

边作两个锐角 ? , ? 。它们的终边分别与单位圆相交于 A、B 两点,已知点 A、B 的横坐标分别为

2 2 5 。 , 10 5

? ? ? ) 的值; (Ⅰ)求 tan(
(Ⅱ)求 ? ? 2? 的值.

图1
? 17. (13 分) ( . 注意: 在试题卷上作答无效 ) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? 2an ? 1 n ? N .........

?

?

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足 4 1 4
b ?1 b2 ?1 b3 ?1

4

?4bn ?1 ? (an ? 1) bn ,证明: ?an ? 是等差数列;

18.(13 分)(注意:在试 题卷上作答无效 )设 cos( ? ? .. .......

?

1 ? 2 ) ? ? , sin( ? ? ) ? 且 2 9 2 3

?
2

? ? ? ?, 0 ? ? ?

?
2

。求 cos

? ??
2

的值。

第 3 页

19 . ( 12 分 ) ( 注 意 : 在 .试 .题 .卷 .上 .作 .答 .无 .效 .) 已 知 ?, ? 是 方 程

4 x 2 ? 4kx ? 1 ? 0(k ? R) 的两个不等实根,函数 f ( x) ?
(Ⅰ)判断函数 f ( x) 在定义域内的单调性,并证明。

2x ? k 的定义域为 ?? , ? ? 。 x2 ?1

(Ⅱ)记: g (k ) ? max f ( x) ? min f ( x) ,若对任意 k ? R ,恒有 g (k ) ? a ? 1 ? k 2 成立, 求实数 a 的取值范围。 20.(12 分)(注意:在试题卷上作答无效 )宏伟的三峡工程不仅有发电、防洪的功能; ......... 水库中还能生长各种鱼,自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需 从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 云外数学课外活动小组拟用 xn 表 示某鱼群在第 n 年年初的总量,n∈N*,且 x1>0.不考虑其它因素,研究表明:设在第 n 年 内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 xn 成正比,死亡量与 xn2 成正比,这些比例系数依次为正常 数 a,b,c. (Ⅰ)求 xn+1 与 xn 的关系式; (Ⅱ)猜测:当且仅当 x1,a,b,c 满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变?(不 要求证明) (Ⅲ)设 a=2,c=1,为保证对任意 x1∈(0,2),都有 xn>0,n∈N*,则捕捞强度 b 的 最大允许值是多少?证明你的结论. 21.(12 分)(注意:在试题卷上作答无效 )已知 f ( x) ? x | x ? a | ?2 x ? 3 ......... (Ⅰ)当 a ? 4 , 2 ? x ? 5 时,问 x 分别取何值时,函数 f ( x ) 取得最大值和最小值,并求出 相应的最大值和最小值; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 R 上恒为增函数,试求 a 的取值范围; (Ⅲ)已知常数 a ? 4 ,数列 ?an ? 满足 an ?1 ?

f (an ) ? 3 (n ? N ? ) ,试探求 a1 的值,使得数列 an

?an ? (n ? N ? ) 成等差数列.
考后反思:

第 4 页

云外高三第二次月考试卷数学参考答案(理)
一、选择题 1 D 二、填空题 11, (2 ,2 ) 。 13, 4、5、32。 14.440 三解答题 16.(1)-3;(2) 15, ? 12, (2k? ? ? ,2k? ? 2 A 3 D 4 A 5 C 6 B 7 A 8 C 9 B 10 C

2 3

? ? 2 ] ? [2k? ? ,2k? ? ? ).( k ? Z ) 。 6 6 3

? 3? m ? , ?? ? ? 2 ?

3 ? 4

17.解:(1)? an?1 ? 2an ? 1 ,? an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ????????2 分 故数列 {an ? 1} 是首项为 2,公比为 2 的等比数列。????????4 分

? an ? 1 ? 2n , an ? 2n ? 1 ????????????????6 分
(2)? 4b1 ?14b2 ?14b3 ?1 ?4bn ?1 ? (an ? 1) bn ,? 4
( b1 ? b2 ??? bn ? n )

? 2 nbn ?????8 分

2(b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? 2n ? nbn ① 2(b1 ? b2 ? ? ? bn ?b n?1 ) ? 2(n ? 1) ? (n ? 1)bn?1 ②
②—①得 2bn?1 ? 2 ? (n ? 1)bn?1 ? nbn ,即 nbn ? 2 ? (n ? 1)bn?1 ③????????10 分

? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? nbn?2 ④
④—③得 2nbn?1 ? nbn ? nbn?1 ,即 2bn?1 ? bn ? bn?1 ????????12 分 所以数列 {bn } 是等差数列????????????????????13 分

18 .

7 5 ????????????????????13 分 27
第 5 页

2 2 19.证一:设 ? ? x1 ? x2 ? ? , 则4x1 ? 4tx1 ?1 ? 0, 4x2 ? 4tx2 ?1 ? 0, ????2 分
2 ? 4( x12 ? x2 ) ? 4t ( x1 ? x2 ) ? 2 ? 0, ? 2 x1 x2 ? t ( x1 ? x2 ) ?

1 ? 0 ????4 分 2

则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?

2 x2 ? t 2 x1 ? t ( x2 ? x1 ) ?t ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 2? ????6 分 ? ? 2 2 x2 ? 1 x12 ? 1 ( x2 ? 1)( x12 ? 1)
1 ? 0 ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 2

又 t ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 2 ? t ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 故 f ( x ) 在区间 ?? , ? ? 上是增函数。 证二: f ' ( x) ?

????.??.(7 分)

? 2 x 2 ? 2kx ? 2 k ? k 2 ?1 k ? k 2 ?1 , x ? [ , ] 2 2 ( x 2 ? 1) 2
2 2

易知:当 x ? [? , ? ]时,4 x ? 4kx ? 1 ? 0,? ?2 x ? 2kx ? 2 ?

3 ? f ' ( x) ? 0 2

故 f ( x ) 在区间 ?? , ? ? 上是增函数。 ??????????????????7 分 (Ⅱ)解: g (k ) ? f ( ? ) ? f (? ) ?

k 2 ? 1(16k 2 ? 40) ? a ? 1 ? k 2 恒成立。???(10 分) 16k 2 ? 25

a?

16k 2 ? 40 15 15 3 8 ? 1? , 考虑 的最大值为 ,? a ? ???(13 分) 2 2 2 5 5 16k ? 25 16k ? 25 16k ? 25

20 解(I)从第 n 年初到第 n+1 年初,鱼群的繁殖量为 axn,被捕捞量为 bxn,死亡量为
2 2 cxn ,因此xn?1 ? xn ? axn ? bxn ? cxn , n ? N * .(*)

即xn?1 ? xn (a ? b ? 1 ? cxn ), n ? N * .(**)

???(4 分)

(II)若每年年初鱼群总量保持不变,则 xn 恒等于 x1, n∈N*,从而由(*)式得

x n (a ? b ? cx n )恒等于 0, n ? N *, 所以 a ? b ? cx1 ? 0.即x1 ?
因为 x1>0,所以 a>b. 猜测:当且仅当 a>b,且 x1 ?

a ?b . c

a?b 时,每年年初鱼群的总量保持不变. ???(8 分) c

(Ⅲ)若 b 的值使得 xn>0,n∈N* 由 xn+1=xn(3-b-xn), n∈N*, 知 0<xn<3-b, n∈N*, 特别地,有 0<x1<3-b. 即 0<b<3-x1. 而 x1∈(0, 2),所以 b ? (0,1]

第 6 页

由此猜测 b 的最大允许值是 1. ???????????????(10 分) 下证 当 x1∈(0, 2) ,b=1 时,都有 xn∈(0, 2), n∈N* ①当 n=1 时,结论显然成立. ②假设当 n=k 时结论成立,即 xk∈(0, 2), 则当 n=k+1 时,xk+1=xk(2-xk)>0. 又因为 xk+1=xk(2-xk)=-(xk-1)2+1≤1<2, 所以 xk+1∈(0, 2),故当 n=k+1 时结论也成立. 由①、②可知,对于任意的 n∈N*,都有 xn∈(0,2). ???????(12 分) 综上所述,为保证对任意 x1 ∈ (0, 2), 都有 xn>0 , n ∈ N*,则捕捞强度 b 的最大允许值是 1. ????????????????????????????????????(13 分) 21.解:(Ⅰ)当 a ? 4 时, f ( x) ? x | x ? 4 | ?2 x ? 3 ?????????1 分 (1) 2 ? x ? 4 时, f ( x) ? x(4 ? x) ? 2 x ? 3 ? ?( x ? 3)2 ? 6 当 x ? 2 时, f ( x)min ? 5 ;当 x ? 3 时, f ( x)max ? 6 (2)当 4 ? x ? 5 时, f ( x) ? x( x ? 4) ? 2x ? 3 ? ( x ?1) ? 4
2

???????2 分 ????????3 分

当 x ? 4 时, f ( x)min ? 5 ;当 x ? 5 时, f ( x)max ? 12

综上所述,当 x ? 2 或 4 时, f ( x)min ? 5 ;当 x ? 5 时, f ( x)max ? 12 ?? 4 分

? a ? 2 2 (a ? 2) 2 ( x ? ) ? ? 3, x ? a ? x 2 ? (2 ? a) x ? 3, x ? a ? ? 2 4 (Ⅱ) f ( x) ? ? 2 ?6 分 ?? 2 ?? x ? (2 ? a) x ? 3, x ? a ??( x ? a ? 2 )2 ? (a ? 2) ? 3, x ? a ? ? 2 4 ?a ? 2 ?a ? ? 2 f ( x) 在 R 上恒为增函数的充要条件是 ? ,解得 ?2 ? a ? 2 ???8 分 ?a ? 2 ? a ? ? 2 f (an ) ? 3 (Ⅲ) an ?1 ? ?| an ? 4 | ?2(n ? N * ) , an ① 当 an ? 4 时, an?1 ? ?an ? 6 ,即 an?1 ? an ? 6 (1) 当 n=1 时, a1 ? a2 ? 6 ;当 n≥2 时, an ? an?1 ? 6 (2)
(1)—(2)得,n≥2 时, an?1 ? an?1 ? 0 ,即 an?1 ? an?1 ????10 分 an ? 3 (n ? N * ) 此时 a1 ? 3 ②当 an ? 4 时 an?1 ? an ? 2 ,即 an?1 ? an ? ?2 ∴ d ? ?2 若 d ? ?2 时,则 an?1 ? an ? 2 (3),将(3)代入(1)得 an ? 4 ?| an ? 4 | , 又 ?an ? 为等差数列,∴

? an ? 4 对一切 n ? N * 都成立
另一方面, an ? a1 ? 2(n ?1) , an ? 4 当且仅当 n ?

? d ? ?2 不符合题意,舍去.
综合①②知,要使数列 ?an ? (n ? N
?

a1 ? 1 时成立,矛盾 2

) 成等差数列,则 a1 ? 3 ??????12 分
第 7 页


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