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高三数学第一轮复习章节测试11-4


第 11 章 第 4 节 一、选择题 1.对于事件 A 和事件 B,通过计算得到 χ2 的观测值 χ2≈4.514,下列说法正确的是( ) A.有 99%的把握说事件 A 和事件 B 有关 B.有 95%的把握说事件 A 和事件 B 有关 C.有 99%的把握说事件 A 和事件 B 无关 D.有 95%的把握说事件 A 和事件 B 无关 [答案] B [解析] 由独立性检验知有

95%的把握说事件 A 与 B 有关. 2.某化工厂为预测某产品的回收率 y,需要研究它和原料有效成分含量 x 之间的相关关系, 8 8 8 n 现取了 8 对观察值,计算得 ?xi=52, ?yi=228, ?xi2=478, ?xiyi=1849,则 y 与 x 的 i=1 i=1 i=1 i=1 回归方程是( )

^ A.y=11.47+2.62x ^ B.y=-11.47+2.62x ^ C.y=2.62+11.47x ^ D.y=11.47-2.62x [答案] A 3.假设有两个分类变量 X 与 Y,它们的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其 2×2 列联表为: y1 x1 x2 总计 a c a+c y2 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d )

以下各组数据中,对于同一样本能说明 X 与 Y 有关系的可能性最大的一组为( A.a=5,b=4,c=3,d=2 B.a=5,b=3,c=4,d=2 C.a=2,b=3,c=4,d=5 D.a=2,b=3,c=5,d=4 [答案] D [解析] 可以由公式 χ2= - + + + +

分别计算 χ2 的观测值,用 χ2 的大小来决定 X 与 Y 有关系的可能性的大小. 4.某卫生机构对 366 人进行健康体检,阳性家族史者糖尿病发病的有 16 人,不发病的有 93 人;阴性家族史者糖尿病发病的有 17 人,不发病的有 240 人,有______的把握认为糖尿病患 者与遗传有关系.( ) A.99.9% B.99.5% C.99% D.97.5% [答案] D [解析] 可以先作出如下列联表(单位:人):

糖尿病患者与遗传列联表 糖尿病发病 阳性家族史 阴性家族史 总计 - 109×257×33×333 16 17 33 糖尿病不发病 93 240 333 总计 109 257 366

根据列联表中的数据,得到 χ2 的观测值为 χ2= ≈6.067>5.024.

故我们有 97.5%的把握认为糖尿病患者与遗传有关系. 5.下列关于 χ2 的说法中正确的是( ) A.χ2 在任何相互独立问题中都可以用来检验有关还是无关 B.χ2 的值越大,两个事件的相关性就越大 C.χ2 是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量,只对于两个分类变量适合 D.χ2 的观测值的计算公式为 χ2= - + + + +

[答案] C [解析] χ2 值是用来判断两个分类变量是否有关系的一个随机变量, 并不是适应于任何独立问 题的相关性检验. 6.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是( ) A.若 χ2 的观测值为 k=6.635,我们有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,那么在 100 个吸 烟的人中必有 99 人患有肺病 B.从独立性检验可知,有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时,我们说某人吸烟,那么他 有 99%的可能患有肺病 C. 若从统计量中求出有 95%的把握认为吸烟与患肺病有关系, 是指有 5%的可能性使得推判出 现错误 D.以上三种说法都不正确 [答案] C [解析] 通过 χ2 的观测值对两个变量之间的关系作出的判断是一种概率性的描述,是一种统 计上的数据,不能把这种推断结果具体到某一个个体上. 7.为调查中学生近视情况,某校男生 150 名中有 80 名近视,女生 140 名中有 70 名近视,在 检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力( ) A.期望与方差 B.排列与组合 C.独立性检验 D.概率 [答案] C 8. (2011· 南通模拟)对两个变量 y 和 x 进行回归分析, 得到一组样本数据: (x1, y1), (x2, y2), …, (xn,yn),则下列说法中不正确的是( ) ^ - - A.由样本数据得到的回归方程y=bx+a 必过样本中心( x , y ) B.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好 C.用相关指数 R2 来刻画回归效果,R2 越小,说明模型的拟合效果越好 D.若变量 y 和 x 之间的相关系数为 r=-0.9362,则变量 y 和 x 之间具有线性相关关系 [答案] C [解析] C 中应为 R2 越大拟合效果越好. 二、填空题

9.若两个分类变量 x 与 y 的列联表为: y1 x1 x2 5 40 y2 15 10

则变量 y 与 x 有关系的可能性应为________. [答案] 0.999 [解析] χ2= - 45×25×20×50

≈18.82>10.828, 故有 99.9%的把握认为 x 与 y 有关系. 10.有人发现,多看电视容易使人变冷漠,下表是一个调查机构对此现象的调查结果: 冷漠 多看电视 少看电视 总计 68 20 88 不冷漠 42 38 80 总计 110 58 168

则大约有________的把握认为多看电视与人变冷漠有关系. [答案] 99.9% [解析] 首先算得 χ2 的值,然后查表可得概率. 11.已知两个变量 x 和 y 线性相关,5 次试验的观测数据如下: x y ^ [答案] y=0.575x-14.9 ^ [解析] 由线性回归参数公式可求出 b=0.575,a=-14.9,∴回归方程为y=0.575x-14.9. 三、解答题 12.调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系,得到下面的数据表.试问能以多 大把握认为婴儿的性别与出生时间有关系. 出生时间 性别 男婴 女婴 合计 晚上 24 8 32 白天 31 26 57 合计 55 34 89 100 45 120 54 140 62 160 75 180 92

那么变量 y 关于 x 的回归方程是________.

[分析] 利用表中的数据通过公式计算出 χ2 统计量,可以用它的值的大小来推断独立性是否 成立. [解析] 由公式 χ2= - 55×34×32×57

≈3.68892>2.706,有 90%把握认为有关系. 13.考察小麦种子经过灭菌与否跟发生黑穗病的关系,经试验观察,得到数据如下表所示: 黑穗病 无黑穗病 合计 种子灭菌 26 50 76 种子未灭菌 184 200 384 合计 210 250 460

试按照原试验目的作统计分析推断. [解析] 假设种子灭菌与黑穗病没有关系,则有 a=26,b=184,c=50,d=200,a+b=210,c+d=250, a+c=76,b+d=384,n=460, 代入公式求得 χ2= = - + + + + - 250×210×76×384

≈4.804. 因为 χ2≈4.804>3.841,因此我们有 95%的把握认为种子灭菌与小黑穗病有关系. 14.在调查的 180 名男性中有 38 名患有色盲,520 名女性中有 6 名患有色盲,分别利用图形 和独立性检验的方法来判断色盲是否与性别有关,你所得到的结论在什么范围内有效? [分析] 本题应首先作出调查数据的 2×2 列联表,并进行分析,最后利用独立检验作出判断. [解析] 根据题目所给的数据作出如下的列联表: 色盲 男 女 合计 根据 2×2 列联表所给的数据可以有 χ2= - 480×520×44×956 ≈27.1. 38 6 44 不色盲 442 514 956 合计 480 520 1000

由 χ2=27.1>6.635,所以我们有 99%的把握认为性别与患色盲有关系.这个结论只对所调查的 480 名男性和 520 名女性有效. [点评] 在利用 χ2 统计量进行独立性检验时,应该熟练掌握计算公式,注意准确地代入数据 和计算,牢记临界值,将计算结果与临界值进行比较,得出相应的结论,并且结论都是概率 性的描述. 15.假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万元)有如下统计资料: x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料知,y 对 x 呈线性关系,试求: ^ (1)回归直线方程y=bx+a 的回归系数; (2)估计使用年限为 10 年时,维修费用约是多少? [解析] (1)列表: i xi yi xiyi - - x =4, y =5, 1 2 2.2 4.4 2 3 3.8 11.4 3 4 5.5 22.0 4 5 6.5 32.5 5 6 7.0 42.0

?xi2=90, ?xiyi=112.3.
i=1 i=1

5

5

-- ?xiyi-5 x y i=1 112.3-5×4×5 12.3 其中,b= = = 10 =1.23, 90-5×42 5 - ?xi2-5 x 2 i=1 - - a= y -b x =5-1.23×4=0.08, (2)回归直线方程为 y=1.23x+0.08. ^ 当 x=10 时,y=1.23×10+0.08=12.38(万元), 即估计用 10 年时,维修费约为 12.38 万元. 教师备课平台 一、关于抽样方法的问题 抽样方法的本质就是研究如何从总体中抽取样本,使所抽取的样本能够更充分地反映总体的 情况.我们学习了三种抽样方法,即简单随机抽样、系统抽样、分层抽样. [例 1] 某中学有教职工 300 人,其中教学人员 220 人,管理人员 50 人,后勤服务人员 30 人, 为了了解职工的收入情况,从中抽取一个容量为 30 的样本,分别按下述三种方法抽取:①将 300 人从 1 至 300 编上号,再用白纸做成 1~300 号的签 300 个放入箱内拌匀,然后从中抽 30 个签,与签号相同的 30 个人被选出. ②将 300 人从 1 至 300 编上号,按编号顺序分成 30 组,每组 10 人,1~10 号,11~20 号,…, 先从第一组中用抽签方式抽出 k 号,其余组(k+10n)号(n=1,2,…,29)亦被抽到,如此抽取 30 人. ③按 = 的比例,从教学人员中抽取 22 人,从管理人员中抽取 5 人,从后勤人员 中抽取 3 人,都用随机数表法从各类人员中抽取所需,他们合在一起恰好 30 人. 问:(1)上述三种方法中,总体、个体、样本分别是什么? (2)上述三种方法中各自采取何种抽取样本的方法? [解析] (1)这三种抽取方式中,其总体都是该中学 300 名职工的收入,其个体都是该中学各个 职工的收入,其样本为所抽取的 30 名职工的收入. (2)第一种为简单随机抽样,第二种为系统抽样,第三种为分层抽样. 二、关于用样本估计总体的问题 用样本估计总体,主要包括用样本的频率分布估计总体的分布,用样本的数字特征去估计总 体的数字特征两部分内容,这两部分是从不同角度对收集到的样本数据进行加工、整理,并 分析、判断样本数据的分布状况和数字特征,进而对总体进行估计. [例 2] 甲、乙两名战士在相同条件下各射靶 10 次,每次命中的环数分别是: 甲:8,6,7,8,6,5,9,10,4,7 乙:6,7,7,8,6,7,8,7,9,5 (1)分别计算以上两组数据的平均数; (2)分别求出两组数据的方差; (3)根据计算结果,估计一下两名战士的射击情况. 1 - [解析] (1) x 甲=10(8+6+7+8+6+5+9+10+4+7)=7 1 - x 乙=10(6+7+7+8+6+7+8+7+9+5)=7

5

1 - - - (2)由方差公式:s2=n[(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2]得 s 甲 2=3.0,s 乙 2=1.2. - - (3) x 甲= x 乙,说明甲、乙两战士的平均水平相当. 又因为 s 甲 2>s 乙 2,说明甲战士射击情况波动大.因此乙战士比甲战士射击情况稳定. 三、关于独立性检验的问题 独立性检验的步骤是:①考察需抽样调查的背景问题,确定所涉及的变量是否为两个分类变 量;②根据样本数据制作 2×2 列联表;③通过图形直观判断两个分类变量是否相关;④计算 统计量 χ2,并查表分析. [例 3] 为了调查某生产线上质量监督员甲对产品质量好坏有无影响,现统计数据如下:甲在 生产现场时,990 件产品中有合格品 982 件,次品 8 件;甲不在生产现场时,510 件产品中有 合格品 493 件,次品 17 件.试分别用列联表、独立性检验的方法分析监督员甲对产品质量好 坏有无影响.能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下,认为质量监督员甲是否在生产现场 与产品质量有关? [分析] 由题目可获取以下主要信息: ①甲在生产现场和不在生产现场时,产品中的合格品和次品数量; ②共调查统计了 1500 件产品. 解答本题的关键是准确把握数据并作出 2×2 列联表,然后具体分析. [解析] (1)2×2 列联表如下: 合格品数 甲在生产现场 甲不在生产现场 合计 982 493 1475 次品数 8 17 25 合计 990 510 1500

由列联表可得|ad-bc|=|982×17-493×8|=12750,相差较大,可在某种程度上认为“质量监 督员甲是否在生产现场与产品质量有关系”. (2)由 2×2 列联表中数据,计算得到 χ2 的观测值为 χ2= - 990×510×1475×25 ≈13.097>

10.828,因此在犯错误不超过 0.001 的前提下,认为质量监督员甲是否在生产现场与产品质量 有关. 四、关于回归分析的问题 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的常用方法,采用回归分析思想解决实 际问题的基本步骤如下:①明确对象,即在两个变量中,确定哪个变量是 x,哪个变量是 y; ②画散点图;③选择模型,即通过观察、分析散点图确定回归方程的类型,如果观察到数据 呈线性相关,则选用线性回归方程 y=bx+a;④估算方程,即按一定的规则估计回归方程的 参数,如最小二乘法原理. [例 4] 想象一下一个人从出生到死亡,在每个生日都测量身高,并作出这些数据散点图,这 些点将不会落在一条直线上,但在一段时间内的身高数据有时可以用线性回归分析,下表是 一位母亲给儿子作的成长记录: 3 4 5 6 7 8 9 年龄/周岁 身高/cm 年龄/周岁 身高/cm 90.8 10 134.2 97.6 11 140.8 104.2 12 147.6 110.9 13 154.2 115.6 14 160.9 122.0 15 167.5 128.5 16 173.0

(1)求出年龄和身高之间的线性回归直线方程. (2)如果年龄相差 5 岁,则身高有多大差异(3~16 岁之间)?

(3)如果身高相差 20cm,其年龄相差多少(3~16 岁之间)? [解析] (1)设年龄 x 与身高 y 之间的回归直线方程. 为 y=bx+a, n ∑i=1xiyi-n x y 由公式 b= n =6.314, ∑i=1xi2-n x 2 a= y -b x =72, 所以 y=6.314x+72. (2)如果年龄相差 5 岁,则预报变量变化 6.314×5=31.57. 即身高相差约 31.6cm. (3)如果身高相差 20cm,年龄相差 20 Δx=6.314=3.168≈3(岁).


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