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导数的计算(三)


导数的计算(三)

1. 若f ( x ) ? c(c为 常 数 ) , 则 f ' ( x ) ? 0; n 2. 若f ( x ) ? x( n ? Q*) , 则 f ' ( x ) ? nx n ?1; 3. 若f ( x ) ? si n x, 则f ' ( x ) ? cos x; 4. 若f ( x ) ? cos x, 则f ' ( x ) ? ? si n x; 5. 若f ( x ) ? a x, 则f ' ( x ) ? a x l n a; 6. 若f ( x ) ? e x, 则f ' ( x ) ? e x; 1 ' 7. 若f ( x ) ? l oga x, 则f ( x ) ? ; x l na 1 ' 8. 若f ( x ) ? l n x, 则f ( x ) ? . x

法则 1

两个函数的和(或差)的导数, 等于这两个函数的

导数的和(或差),即

证明:令 y ? f ( x ) ? g( x ). ?y ? ? f ( x ? ?x) ? g( x ? ?x)? ? ? f ( x) ? g( x)?
?y ? f ( x ? ?x ) ? f ( x )? ? ? g( x ? ?x ) ? g( x )? ? ?x ?x

? f ( x ) ? g( x )?? ?

f ?( x ) ? g?( x )

王新敞
奎屯

新疆

? ? f ( x ? ?x) ? f ( x)? ? ? g( x ? ?x) ? g( x)?
f ( x ? ?x ) ? ? ? ?x f ( x )? g( x ? ?x ) ? g( x )? ? ? ?x

? ? f ( x ) ? g( x )?? ? f ?( x ) ? g ?( x )

积的法则是怎样的呢?

法则 2: 两个函数的积的导数,等于第一个函 数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以

第二个函数的导数. [ f ( x ) g( x )]? ? f ?( x ) g( x ) ? f ( x ) g?( x ).
注:1.两个函数的积的导数不是这两个函数的导数的积.

2. 特殊地,

?Cf ( x )?? ? Cf ?( x ) (C 为常数)

积的法则说明

练习巩固

法则 2:

? f ( x) g( x)?' ?

f '( x) g( x) ? f ( x) g '( x)

证明:令 y ? f ( x ) g( x ) ,则 ?y ? f ( x ? ?x ) g( x ? ?x ) - f ( x ) g( x ) ? f ( x ? ?x ) g( x ? ?x ) - f ( x ) g( x ? ?x ) + f ( x ) g( x ? ?x ) - f ( x ) g( x ) , ?y f ( x ? ?x ) ? f ( x ) g ( x ? ?x ) ? g ( x ) ? g( x ? ?x ) + f ( x ) ∴ ?x ?x ?x ∵当 ?x ? 0 时, g( x ? ?x ) ? g( x ) , ?y f ( x ? ?x ) ? f ( x ) g ( x ? ?x ) ? g ( x ) ? ? lim lim lim g( x ? ?x ) + f ( x ) ∴y ? ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x ? 0 ?x ?x ? f '( x ) g( x ) ? f ( x ) g '( x ) . ∴ ? f ( x) g( x)? ' ? f '( x) g( x) ? f ( x) g '( x)

练习一下

练习
1.填空: ⑴ [(3x2+1)(4x2-3)]'= ( 6x )(4x2-3)+ (3x2+1)( 8x );
⑵ (x3sinx)'=( 3 )x2· sinx+x3· ( cosx ).

2.判断下列求导是否正确,如果不正确,加 以改正: [(3+x2)(2-x3)]'=2x(2-x3)+3x2(3+x2). [(3+x2)(2-x3)]'=2x(2-x3)-3x2(3+x2).

3.求下列函数的导数:

练习

(1)y=2x3+3x2-5x+4; (2) y=ax3-bx+c; (3) y=sinx-x+1; 2 (4) y=(3x +1)(2-x); (5) y=(1+x2)cosx; (6) y=2 cosx-3log2 x .
x

练习 2:⑴求函数 h( x ) ? x sin x 的导数;

解 : (1)h?( x ) ? ( x sin x )? ? x? sin x ? x(sin x )? ? sin x ? x cos x
⑵求函数 f ( x ) ? 2 x ln x 的导数.

解 : (2) f ?( x ) ? (2 x ln x )? ? (2 x )? ln x ? (2 x )(ln x )? ? 2 ln x ? 2
那么,商的求导法则又是怎样的呢?

练习. 函数 f(x)=x(x-1) (x-2)(x-3) …(x-100)在 x=0 处的导数值为 ( ) 2 A. 0 B. 100 C. 200 D. 100!

那么,商的求导法则又是怎样的呢?

法则 3 两个函数的商的导数, 等于分子的导数与分母的积, 减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方,即

? f ( x ) ?? f ?( x ) g( x ) ? f ( x ) g ?( x ) ? ? ? 2 g ( x ) g ( x ) ? ?

( g( x ) ? 0)

注:①商的导数的分母是原来分母的平方;

②商的导数的分子与两个函数积的导数结果的形 式类似,只是中间是减号. 1 1 ? 特殊地, ( ) ? ? 2 可以看作是商的求导结果 x x 1 (1)? x ? 1 ? ( x )? 0 ? x ? 1 ? 1 1 ? ? ?? 2 即( ) ? 2 2 x x x x
练习3

sin x (sin x )? cos x ? sin x(cos x )? 解 : (1) y? ? ( )? ? 2 cos x cos x cos 2 x ? sin 2 x 1 ? ? 2 cos x cos 2 x

练习 3.⑴求函数 y ? tan x 的导数; x ⑵求函数 f ( x ) ? x 的导数. e

x x x x ? ? x x e ? x(e ) e ? xe 1? x (2) f ?( x ) ? ( x )? ? ? ? x x 2 2x e (e ) e e

练习 求下列函数的导数
(1) y ? x 12 lnx ( 3) y ? x ?1
3

( 2) y ? l og4 x 3 ? l og4 x 2 1 1 ( 4) y ? ? 1? x 1? x
2

11 ( 1 ) y ' ? 12 x 解:

(2) y ? log4 x ? log4 x

? 3 l og4 x ? 2 l og4 x ? l og4 x 1 ? y' ? (l og4 x )' ? x l n4

求下列函数的导数
(1) y ? x 12 lnx ( 3) y ? x ?1 ( 2) y ? l og4 x 3 ? l og4 x 2 1 1 ( 4) y ? ? 1? x 1? x

(l n x )' ( x ? 1) ? l n x( x ? 1)' ( 3) y' ? 2 ( x ? 1) x?1 ? ln x x ? 1? x lnx x ? ? 2 2 ( x ? 1) x( x ? 1)

求下列函数的导数
(1) y ? x 12 lnx ( 3) y ? x ?1 ( 2) y ? l og4 x 3 ? l og4 x 2 1 1 ( 4) y ? ? 1? x 1? x

1 1 (1 ? x ) ? (1 ? x ) ( 4) y ? ? ? 1? x 1? x (1 ? x )(1 ? x ) 2 ? 2 1 ? x ? y' ? ? 2(1 ? x )' ? 2 2

(1 ? x )

(1 ? x )

真题透析

(2010 年高考辽宁卷 )已知点 P 在 4 曲线 y= x 上, α 为曲线在点 P 处的切线的 e +1 倾斜角,则 α 的取值范围是 ( ) π π π A. [0, ) B.[ , ) 4 4 2 π 3π C. ( , ] 2 4 3π D. [ , π ) 4

- 4ex 4 【解析】 ∵ y= x ,∴ y′= x . e +1 ? e + 1? 2 令 ex+1= t,则 ex= t- 1 且 t>1, - 4t+ 4 4 4 1 ∴ y′= = 2- .再令 = m,则 0<m<1, t2 t t t 1 ∴ y′=4m2- 4m=4(m- )2-1, m∈ (0,1). 2 3 容 易 求 得 - 1≤ y′ <0 , ∴ - 1≤tanα<0 , 得 4 π≤ α<π.

【答案】

D

【点评】

本题也可用下列方法求解: 4ex ∵y′=- x ,利用均值不等式先求 2 ?e +1? ex 1 1 1 = ≤ = . x 2 1 4 ?e +1? ex+ x+2 2+2 e 4ex ∴-1≤y′=- x <0.从而可求. 2 ?e +1? 若曲线变为 y= ,试求之. e +1
x

4ex


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