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2014—2015学年高三数学专题练习及答案 :直线与圆锥曲线(5)


直线与圆锥曲线(5)
1. 已知椭圆的焦点为 F1 (0,?1) 和 F2 (0,1) ,直线 y ? 4 是椭圆的一条准线. (1)求椭圆的方程; (2)又设 P 在此椭圆上,且 | PF 1 | ? | PF2 |? 1 ,求 tan?F 1 PF 2 的值.

2. (本小题满分 12 分)已知圆 C : x2 ? y 2 ? 4x ?14 y

? 45 ? 0 , (1)若 M 为圆上任一点, Q(?2,3) ,求 MQ 的最大值和最小值; (2)求 u ? x ? 2 y 的最大值和最小值; (3)求 v ?

y ?3 的最大值. x?2

3.已知点 A(2,0) 、 B(0,6) , O 为坐标原点. (1)若点 C 在线段 OB 上,且 ?BAC ?

? ,求 ?ABC 的面积; 4

(2) 若原点 O 关于直线 AB 的对称点为 D , 延长 BD 到 P , 且 | PD |? 2 | BD | .已知直线 l :

ax ? 10y ? 84 ? 108 3 ? 0 经过点 P ,求直线 l 的倾斜角.

4. .如图, F 为抛物线 y ? 2 px 的焦点, A(4,2) 为抛物线内一定点, P 为抛物线上一动
2

1

点,且 | PA | ? | PF | 的最小值为 8. (1)求该抛物线方程;

y
P A O F

(2)如果过 F 的直线 l 交抛物线于 M 、 N 两点, 且 | MN |? 32,求直线 l 倾斜角的取值范围.

x

5. 如图,某隧道设计为双向四车道,车道总宽 22 米,要 求通行车辆限高 4.5 米,隧道全长 2.5 千米,隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状. (1)若最大拱高 h 为 6 米,则隧道设计的拱 宽 l 是多少? (2)若最大拱高 h 不小于 6 米,则应如何设 计拱高 h 和拱宽 l ,才能使半个椭圆形隧道的 土方工程量最最小? (半个椭圆的面积公式为 S ?

?
4

lh ,柱体体积为:底面积乘以高. )

6.在以 O 为原点的直角坐标系中,点 A(4,?3) 为 ?OAB 的直角顶点. 已知 | AB |? 2 | OA | , 且 点 B 的纵坐标大于零. (1)求向量 AB 的坐标;

2

(2)求圆 x 2 ? 6x ? y 2 ? 2 y ? 0 关于直线 OB 对称的圆的方程; (3)是否存在实数 a ,使抛物线 y ? ax2 ? 1 上总有关于直线 OB 对称的两个点?若不存 在,说明理由:若存在,求 a 的取值范围.

1. ( 1)

y2 x2 ? ? 1; 4 3

(2) tan ?F1 PF2 ?

4 。 3

2. (1) | MQ |min ? 2 2 , | MQ |max ? 6 2 ; (2) umax ? 2 10 ?10 , umin ? ?2 10 ?10 ; (3) vmax ? 2 ? 3 3. (1)解:设 C (0, c) ,则 k AB ? ?3, k AC ? ?

? c ,因为 ?BAC ? ,故 4 2

3

?

c ?3 2 ? 1 ? c ? 1,? S ? ABC ? 5 ; 3c 1? 2

(2)

? 3
p 的距离为 d ,由抛物线的定义知 d ?| PF | , 2 p ? 4 (3 分) 2

4.(1)解:设 P 点到抛物线的准线: x ? ? (1 分)

? (| PA | ? | PF |)min ? (| PA | ? d ) min ? ? p ?4?8? P ?8 2

?抛物线的方程为 y 2 ? 16x .(4 分)
(2)解法一:由(1)得 F (4,0) ,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) ,显然, k ? 0 把直 线方程代入抛物线,得 k 2 x 2 ? (8k 2 ? 16) x ? 16k 2 ? 0 ,

? | MN |? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 ? (

8k 2 ? 16 2 ) ? 64 k2

64k 4 ? 162 k 2 ? 162 ? 64k 4 1? k 2 ? 1? k ? ? ? 16 1 ? k 2 4 2 k k
2

?

16(1 ? k 2 ) ? 32 k2

? k 2 ? 1即 ? 1 ? k ? 1 ,(10 分)

?直线 l 斜率的取值范围为 [?1,0) ? (0,1] ,
所以,直线 l 倾斜角的取值范围为 (0,

?
4

]?[

3? , ? ) .(12 分) 4
椭圆方程为

5.[解](1)如图建立直角坐标系,则点 P(11,4.5) ,

x2 y2 ? ? 1. a2 b2

将 b=h=6 与点 P 坐标代入椭圆方程,得 a ? 的拱宽约为 33.3 米. (2)[解一] 由椭圆方程

44 7 88 7 , 此时l ? 2a ? ? 33.3 . 因此隧道 7 7

x2 y2 112 4.5 2 ? 2 ? 1. ? ? 1 ,得 a2 b a2 b2
4

112 4.5 2 2 ? 11? 4.5 因为 2 ? 2 ? 即ab ? 99, 且l ? 2a, h ? b, ab a b ? ?ab 99? 所以S ? lh ? ? . 4 2 2 112 4.5 2 1 9 2 当S取最小值时 , 有 2 ? 2 ? , 得a ? 11 2 , b ? 2 2 a b 此时l ? 2a ? 22 2 ? 31.1, h ? b ? 6.4
故当拱高约为 6.4 米、拱宽约为 31.1 米时,土方工程量最小.

x2 y2 112 4.5 2 81 a2 2 [解二]由椭圆方程 2 ? 2 ? 1 ,得 2 ? 2 ? 1. 于是 b ? ? , 4 a 2 ? 121 a b a b

81 2 1212 81 (a ? 121? 2 ? 242) ? (2 1212 ? 242) ? 81? 121 , 4 4 a ? 121 1212 即ab ? 99,当S取最小值时 , 有a 2 ? 121? 2 , a ? 121 a 2b 2 ?
得 a ? 11 2 , b ? 6.[解](1) 设 AB ? {u, v}, 则由?

9 2 . 以下同解一. 2

? ?| AB |? 2 | OA |

?u 2 ? v 2 ? 100 ,即? 得 4 u ? 3 v ? 0 , ? | AB | ? | OA | ? 0 ? ?

?u ? 6 ?u ? ?6 , 或? .因为OB ? OA ? AB ? {u ? 4, v ? 3}, ? ?v ? 8 ?v ? ?8
所以 v -3>0, 得 v =8, 故 AB ={6,8}. (2)由 OB ={10,5},得 B(10,5) ,于是直线 OB 方程: y ?

1 x. 2

2 2 由条件可知圆的标准方程为: (x-3) +y(y+1) =10, 得圆心 (3, -1) , 半径为 10 . 设圆心 (3,

-1)关于直线 OB 的对称点为(x , y)则

y ?1 ?x ? 3 ? 2? ?0 ? ?x ? 1 ? 2 2 , 得? , 故所求圆的方程为(x-1)2 +(y-3)2 =10. ? ?y ? 3 ? y ? 1 ? ?2 ? ?x ?3
(3)设 P (x1,y1 ), Q (x2,y2 ) 为抛物线上关于直线 OB 对称两点,则

5

y ? y2 ? x1 ? x 2 2 ?2 1 ?0 ? x1 ? x 2 ? ? ? ? 2 ? 2 ? a , 得? , ?y ? y 5 ? 2 a 2 ? 1 ? ? ?2 xx ? ? 1 2 ? 2a 2 ? ? x1 ? x 2 即x1 , x 2为方程x 2 ? 2 5 ? 2a x? ? 0的两个相异实根 , a 2a 2 4 5 ? 2a 3 于是由? ? 2 ? 4 ? ? 0, 得a ? . 2 2 a 2a

故当 a ?

3 时,抛物线 y=ax2 -1 上总有关于直线 OB 对称的两点. 2

6


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