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102 函数及其表示


102 课题: 函数及其表示 教学目标

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1. 理解函数的概念,会用几何与对应的语言刻画函数,明确函数的三个要素. 2. 掌握函数的三种不同表示法,并了解它们各自的优点. 3. 会求某些简单函数的解析式. 教学过程 一、自主学习: 1. 函数的概念: 设 A 、 B 是非空数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任

意一个 数 x ,在集合 B 中都有 的数 y 和它对应,那么称 f: A ? B 为从集合 A 到 集合 B 的一个函数,记作: y ? f ( x), x ? A . 其中 x 叫自变量, x 的取值范围 A 叫作函数

f ( x) 的
叫做函数 f ( x) 的

,与 x 的值对应的 y 值叫函数值,函数值的集合 ? y | y ? f ?x ?, x ? A? .

2. 映射的概念: { f ( x) | x ? A} 设 A 、 B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任 何一个元素 x ,在集合 B 中都有 的元素 y 与之对应,那么就称对应 f : . 、 , 当两个函数的三要素完全

A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个
3. 函数就是两个非空数集间的映射. 4. 函数的三要素: 5. 区间的概念: 设 a 、 b 是两个实数, 而且 a ? b , 我们规定: ⑴ 满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做 ⑵ 满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做 、 相同时,称这两个函数为同一函数.

, 表示为 , 表示为

; ; , 分别表示

⑶ 满足不等式 a ? x ? b 或 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做 为 , ; ⑷ 实数集 R 可以用区间表示为 数 x 的集合分别用区间表示为 6. 函数的定义域应满足下列条件: ①分母不为 0; 于零且不等于 1; 6. 函数值域的求法: ②偶次根式中被开方数不小于 0; ④零指数幂的底数不等于零; ,

, 满足 x ? a , x ? a , x ? a , x ? a 的实 , , .

③对数的真数大于 0,底数大

⑤实际问题要考虑实际意义等.

求函数的值域没有一般的方法, 但根据不同的条件, 常用的方法有: 观察法; 配方法; 判 别式法; 常数分离法; 反函数法; 单调性法; 有界性法;不等式法; 换元法; 导数法; 平方法; 三角代换法, 向量法; 复数代换法; 数形结合法等. 7. 函数表示法:解析法、列表法、图象法. 8. 函数表达式的求法:⑴ 定义法;⑵ 换元法;⑶ 待定系数法. 二、小试牛刀:

1

1. 下列各组中表示同一函数的是 ( A. y ? x 与 y ? C.

)

x

2

B. D. )

y ? x3 ? 1 与 y ? t 3 ? 1
(

y ? x与 y ? x y ? 1? x2 与 y ? 1? x ? 1? x

? ?

2

2. 下列说法正确的是

A. 函数值域中的每一个数在定义域中只有一个数与之对应 B. 函数的定义域和值域都可以是空集 C. 函数的定义域和值域一定是数集 D. 函数的定义域和值域确定后, 函数的对应法则也就确定了 ) A. 至多有一个 4. 若 f ?x ? ?
2

3. 函数 y ? f ?x ??x ? R ? 的图象与直线 x ? a ?a ? R ? 的交点 (

B. 至少有一个 C. 有且只有一个 D. 有一个或两个 .

1 ?1? ?1? , 则 f ?2? ? , f? ?? , f? ?? x ?1 ?3? ? x? 1 5. 函数 f ? x ? ? 2 的值域为 . x ?2 2 6. 已知函数 f ?x ? ? x ? 2 x 的定义域为 M ? ?0, 1, 2, 3?, 求这个函数的值域.

三、新课讲授: 1. 下面集合 P 到集合 M 的对应 f 是映射的是 A.P= N M= Z C.P= Z M= Q ( D. P ? N * . )

f : 求算术平方根

B.P= Z M={奇数} M=R

f :x?

f : 求倒数
y

f : 取常用对数
y

x 2

2. 下列四个图像中,是函数图像的是

y

y

O
O
(1) 3. 函数 f ?x ? ?
x

x
O
(3) .

x

O
(4)

x

(2) x ? 1 的值域为

4. 集合 A={3,4},集合 B={5,6,7},可建立从 A 到 B 的映射的个数是_________,建立 从 B 到 A 的映射的个数是___________. 5. 求下列函数的定义域 ⑴ y ? 3? x ? 8? x ⑵

y ? x 2 ?1 ? 1 ? x 2

2

⑶ y ? 3 x ?1 ?

x ?1



y ? log 2 ?3x ? 2?

6. 已知函数 f ? x ? 的定义域是[0,1],求下列函数的定义域: ⑴ f ?3 ? x ? ; ⑵

f ?2 x ? 1? .

7. 以下各组中,为同一函数的是 A. C.

(

) B. f ?x ? ? x ? 1 与 g ?x ? ?

? x ? 1?x ? 1? 0 f ?x ? ? x ? 1 与 g ?x ? ? ? D. f ? x ? ? 1 与 g ?x ? ? x ?1 ? x?x ? 1? ?3x 2 ? 4( x ? 0) ? 8. 若函数 f ( x) ? ?? ( x ? 0) ,则 f ?3? ? ______, f ?? 2? ? ____, f ( f (0)) = ?0( x ? 0) ?
9. 已知 f ?x ? ? x ? 2 x ? 3 ,求 f ?1?, f ?a ?, f ?t ? 1? .
2

f ?x ? ? x ? 2 与 g ? x ? ? x 2 ? 4 x ? 4

x2 ?1 x ?1



10. 已知 f ?x ? 1? ? 4 x ? 3, 求 f ?x ?, f ?3? .

12. 二次函数的图象经过三点 A?1, ? 2 ? , B ? 2, 3 ? , C ? ? 2, 19 ? ,求这个二次函数的解析式.

3

13. 已知 f ? x ? 是二次函数, 若 f ?0? ? 0 , 且 f ?x ? 1? ? f ?x ? ? x ? 1 , 求 f ? x ? .

三、知识归纳: 1. 求抽象函数的定义域时, 一定要找准自变量, 不要认为括号中的式子一定是自变量. 2. 在处理函数的一些综合问题时, 经常要用到分类讨论与数形结合的思想方法. 四、巩固练习: 1. 已知 f ? x ? ? ? 2. 已知 f

?

?3x ? 8 , ? x ? 1? , 则 f ?5? ? ? 7 ? x , ? x ? 1?

, f ??1? ?

, f ? f ?2?? ?

.

x ? 1 ? 4 x ? 3,

?

求 f ?x ?, f ?5? .

3. 已知 f ? x ? 是一次函数, 且 f ? f ?x ?? ? 9 x ? 8 , 求 f ? x ? 的解析式.

4. 某商店将每件进价为 180 元的商品按每件 280 元销售时, 每天只能卖出 30 件, 若每件降 低 10 元, 其日销售量就增加 15 件, 为了获得最大利润, 每件的售价应定为多少元?

4


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