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高中数学必修1、2、3、4、5教案全集(352页)


高中数学人教版必修 1—5 教案全集

必修一······p1 ····· 必修二······p55 ····· 必修三······p116 ····· 必修四······p187 ····· 必修五······p265 ·····

必修一
课题:§1.1 集合
教材分析:集合概念及其基本理论,称为集合论,是近、现代数学的一个重要的基础,一方 面,许多重要的数学分支,都建立在集合理论的基础上。另一方面,集合论及其 所反映的数学思想,在越来越广泛的领域种得到应用。 课 型:新授课 教学目标: (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的理解集合“属于”关系; (2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体 问题,感受集合语言的意义和作用; 教学重点:集合的基本概念与表示方法; 教学难点:运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法,正确表示一些简单的集合; 教学过程: 一、引入课题 军训前学校通知:8 月 15 日 8 点,高一年段在体育馆集合进行军训动员;试问这个通 知的对象是全体的高一学生还是个别学生? 在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是 高二、 高三) 对象的总体, 而不是个别的对象, 为此, 我们将学习一个新的概念——集合 (宣 布课题) ,即是一些研究对象的总体。 阅读课本 P2-P3 内容 二、新课教学 (一)集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到 这些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地,研究对象统称为元素(element) ,一些元素组成的总体叫集合(set) ,也 简称集。 3. 思考 1:课本 P3 的思考题,并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子,对学

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生的例子予以讨论、点评,进而讲解下面的问题。 4. 关于集合的元素的特征 (1)确定性:设 A 是一个给定的集合,x 是某一个具体对象,则或者是 A 的元素, 或者不是 A 的元素,两种情况必有一种且只有一种成立。 (2) 互异性: 一个给定集合中的元素, 指属于这个集合的互不相同的个体 (对象) , 因此,同一集合中不应重复出现同一元素。 (3)集合相等:构成两个集合的元素完全一样 5. 元素与集合的关系; (1)如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于(belong to)A,记作 a?A (2)如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于(not belong to)A,记作 a ? A(或 a A) (举例) ? 6. 常用数集及其记法 非负整数集(或自然数集) ,记作 N * 正整数集,记作 N 或 N+; 整数集,记作 Z 有理数集,记作 Q 实数集,记作 R (二)集合的表示方法 我们可以用自然语言来描述一个集合,但这将给我们带来很多不便,除此之外还 常用列举法和描述法来表示集合。 (1) 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内。 如:{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},?; 例 1. (课本例 1) 思考 2,引入描述法 说明:集合中的元素具有无序性,所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。 (2) 描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。 具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范 围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1},{直角三角形},?; 例 2. (课本例 2) 说明: (课本 P5 最后一段) 思考 3: (课本 P6 思考) 强调:描述法表示集合应注意集合的代表元素 {(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同,只要不引起误解,集合的代表元素也可省 略,例如:{整数},即代表整数集 Z。 辨析:这里的{ }已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集}, {R}也是错误的。 说明:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注 意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。 (三)课堂练习(课本 P6 练习) 三、归纳小结 本节课从实例入手, 非常自然贴切地引出集合与集合的概念, 并且结合实例对集合的概 念作了说明,然后介绍了集合的常用表示方法,包括列举法、描述法。 四、作业布置

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书面作业:习题 1.1,第 1- 4 题 五、板书设计(略)

课题:§1.2 集合间的基本关系
教材分析:类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系 了解空集的含义 课 型:新授课 教学目的: (1)了解集合之间的包含、相等关系的含义; (2)理解子集、真子集的概念; (3)能利用 Venn 图表达集合间的关系; (4)了解与空集的含义。 教学重点:子集与空集的概念;用 Venn 图表达集合间的关系。 教学难点:弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别; 教学过程: 六、引入课题 1、复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系,填以下空白: (1)0 N; (2) 2 Q; (3)-1.5 R

2、类比实数的大小关系,如 5<7,2≤2,试想集合间是否有类似的“大小”关系呢?(宣 布课题) 七、新课教学 (一) 集合与集合之间的“包含”关系; A={1,2,3},B={1,2,3,4} 集合 A 是集合 B 的部分元素构成的集合,我们说集合 B 包含集合 A; 如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们说这两个集合有包含关系,称 集合 A 是集合 B 的子集(subset) 。 记作: A ? B(或B ? A) 读作:A 包含于(is contained in)B,或 B 包含(contains)A 当集合 A 不包含于集合 B 时,记作 A ?B 用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系

B

A

A ? B(或B ? A)

(二) 集合与集合之间的 “相等”关系;

A ? B且B ? A ,则 A ? B 中的元素是一样的,因此 A ? B


?A ? B A?B?? ?B ? A

练习 结论: 任何一个集合是它本身的子集

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(三) 真子集的概念 若集合 A ? B ,存在元素 x ? B且x ? A ,则称集合 A 是集合 B 的真子集(proper subset) 。 记作:A B(或 B A) 读作:A 真包含于 B(或 B 真包含 A) 举例(由学生举例,共同辨析) (四) 空集的概念 (实例引入空集概念) 不含有任何元素的集合称为空集(empty set) ,记作: ? 规定: 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 (五) 结论: 1 2 ○A? A ○ A ? B ,且 B ? C ,则 A ? C (六) 例题 (1)写出集合{a,b}的所有的子集,并指出其中哪些是它的真子集。 (2)化简集合 A={x|x-3>2},B={x|x ? 5},并表示 A、B 的关系; (七) 课堂练习 (八) 归纳小结,强化思想 两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种,可类比两个实数间的大小 关系,同时还要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法; (九) 作业布置 1、 书面作业:习题 1.1 第 5 题 2、 提高作业:
1 ○ 已知集合 A ? {x | a ? x ? 5} , B ? {x | x ≥ 2} ,且满足 A ? B ,求实数 a

的取值范围。
2 ○ 设集合 A ? {四边形},B ? {平行四边形},C ? {矩形},

D ? {正方形} ,试用 Venn 图表示它们之间的关系。
板书设计(略)

课题:§1.3 集合的基本运算
教学目的: (1)理解两个集合的并集与交集的的含义,会求两个简单集合的并集与交集; (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; (3)能用 Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。 课 型:新授课 教学重点:集合的交集与并集、补集的概念; 教学难点:集合的交集与并集、补集“是什么”“为什么”“怎样做” , , ; 教学过程: 八、引入课题 我们两个实数除了可以比较大小外,还可以进行加法运算,类比实数的加法运算,两个 集合是否也可以“相加”呢?

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思考(P9 思考题) ,引入并集概念。 九、新课教学 1. 并集 一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集合 A 与 B 的并 集(Union) 记作:A∪B 读作: 并 B” “A 即: A∪B={x|x?A,或 x?B} Venn 图表示: B

A

?
A∪B

2.

说明:两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合 A 与 B 的所有元素组成的集合 (重复元素只看成一个元素) 。 例题(P9-10 例 4、例 5) 说明:连续的(用不等式表示的)实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。 问题:在上图中我们除了研究集合 A 与 B 的并集外,它们的公共部分(即问号部分) 还应是我们所关心的,我们称其为集合 A 与 B 的交集。 交集 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做集合 A 与 B 的交集 (intersection) 。 记作:A∩B 读作: 交 B” “A 即: A∩B={x|?A,且 x?B} 交集的 Venn 图表示

说明:两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合 A 与 B 的公共元素组成的集合。 例题(P9-10 例 6、例 7) 拓展:求下列各图中集合 A 与 B 的并集与交集 B A B B A(B) A A B A 说明:当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个集合没有交 集 补集 全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个

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集合为全集(Universe) ,通常记作 U。 补集:对于全集 U 的一个子集 A,由全集 U 中所有不属于集合 A 的所有元素组成的集 合称为集合 A 相对于全集 U 的补集(complementary set),简称为集合 A 的补集, 记作:CUA 即:CUA={x|x?U 且 x?A} 补集的 Venn 图表示

U A CUA
4. 说明:补集的概念必须要有全集的限制 例题(P12 例 8、例 9) 求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的 关键是“且”与“或” ,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭 示、挖掘题设条件,结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方 法。 集合基本运算的一些结论: A∩B ? A,A∩B ? B,A∩A=A,A∩ ? = ? ,A∩B=B∩A A ? A∪B,B ? A∪B,A∪A=A,A∪ ? =A,A∪B=B∪A (CUA)∪A=U, UA)∩A= ? (C 若 A∩B=A,则 A ? B,反之也成立 若 A∪B=B,则 A ? B,反之也成立 若 x?(A∩B) ,则 x?A 且 x?B 若 x?(A∪B) ,则 x?A,或 x?B 课堂练习 (1)设 A={奇数}、B={偶数},则 A∩Z=A,B∩Z=B,A∩B= ? (2)设 A={奇数}、B={偶数},则 A∪Z=Z,B∪Z=Z,A∪B=Z

5.

6.

(3)集合A ? {n |

n m ?1 ? Z},B ? {m | ? Z},则A ? B ? __________ 2 2

5 (4)集合A ? {x | ?4 ? x ? 2},B ? {x | ?1 ? x ? 3},C ? {x | x ? 0,或x ? } 2 那么A ? B ? C ? __________ _____,A ? B ? C ? __________ ___;
十、归纳小结(略) 十一、 作业布置 3、 书面作业:P13 习题 1.1,第 6-12 题 4、 提高内容: (1) 已知 X={x|x2+px+q=0,p2-4q>0},A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10},且

X ? A ? ?, X ? B ? X ,试求 p、q;
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(2) 集合 A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若 A ? B={-2,0,1},求 p、q; (3) A={2,3,a2+4a+2},B={0,7,a2+4a-2,2-a},且 A ? B ={3,7},求 B

课题:§1.2.1 函数的概念
教材分析: 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型. 高中阶段不仅把函数看成变量之 间的依赖关系,同时还用集合与对应的语言刻画函数,高中阶段更注重函数模型 化的思想. 教学目的: 通过丰富实例, (1) 进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型, 在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念 中的作用; (2)了解构成函数的要素; (3)会求一些简单函数的定义域和值域; (4)能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域; 教学重点:理解函数的模型化思想,用合与对应的语言来刻画函数; 教学难点:符号“y=f(x)”的含义,函数定义域和值域的区间表示; 教学过程: 十二、 引入课题 1. 复习初中所学函数的概念,强调函数的模型化思想; 2. 阅读课本引例,体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想: (1)炮弹的射高与时间的变化关系问题; (2)南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题; (3) “八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题 备用实例: 我国 2003 年 4 月份非典疫情统计: 日 期 22 106 23 105 24 89 25 103 26 113 27 126 28 98 29 152 30 101 新增确诊病例数

3. 引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系; 4. 根据初中所学函数的概念,判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系. 十三、 新课教学 (一)函数的有关概念 1.函数的概念: 设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个 数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数(function) . 记作: y=f(x),x?A. 其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域(domain) ;与 x 的值相对应 的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x?A }叫做函数的值域(range) . 注意: 1 ○ “y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)” ; 2 函数符号“y=f(x)”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值,一个数,而不是 f 乘 x. ○ 2. 构成函数的三要素: 定义域、对应关系和值域

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3.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示. 4.一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论 (由学生完成,师生共同分析讲评) (二)典型例题 1.求函数定义域 课本 P20 例 1 解: (略) 说明: 1 ○ 函数的定义域通常由问题的实际背景确定,如果课前三个实例; 2 ○ 如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这 个式子有意义的实数的集合; 3 ○ 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 巩固练习:课本 P22 第 1 题 2.判断两个函数是否为同一函数 课本 P21 例 2 解: (略) 说明: 1 ○ 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决 定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一 函数) 2 ○ 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数 值的字母无关。 巩固练习: 1 ○ 课本 P22 第 2 题 2 ○ 判断下列函数 f(x)与 g(x)是否表示同一个函数,说明理由? (1)f ( x ) = (x -1) 0;g ( x ) = 1 (2)f ( x ) = x; g ( x ) =

x2

(3)f ( x ) = x 2;f ( x ) = (x + 1) 2 (4)f ( x ) = | x | ;g ( x ) = (三)课堂练习 求下列函数的定义域 (1) f ( x ) ? (2) f ( x ) ?

x2

1 x? | x |

1 1? 1 x

(3) f ( x ) ?

? x 2 ? 4x ? 5

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(4) f ( x ) ? (5) f ( x ) ?

4 ? x2 x ?1
x 2 ? 6x ? 10

(6) f ( x ) ? 1 ? x ?

x ? 3 ?1

十四、 归纳小结,强化思想 从具体实例引入了函数的的概念,用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概 念,介绍了求函数定义域和判断同一函数的典型题目,引入了区间的概念来表示集合。 十五、 作业布置 课本 P28 习题 1.2(A 组) 第 1—7 题 (B 组)第 1 题

课题:§1.2.2 映射
教学目的: (1)了解映射的概念及表示方法,了解象、原象的概念; (2)结合简单的对应图示,了解一一映射的概念. 教学重点:映射的概念. 教学难点:映射的概念. 教学过程: 十六、 引入课题 复习初中已经遇到过的对应: 1. 对于任何一个实数 a,数轴上都有唯一的点 P 和它对应; 2. 对于坐标平面内任何一个点 A,都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应; 3. 对于任意一个三角形,都有唯一确定的面积和它对应; 4. 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应; 5. 函数的概念. 十七、 新课教学 1. 我们已经知道, 函数是建立在两个非空数集间的一种对应, 若将其中的条件 “非空数集” 弱化为“任意两个非空集合” ,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关 系,这种的对应就叫映射(mapping) (板书课题) . 2. 先看几个例子,两个集合 A、B 的元素之间的一些对应关系 (1)开平方; (2)求正弦 (3)求平方; (4)乘以 2; 3. 什么叫做映射? 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x, 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应, 那么就称对应 f: ? B A 为从集合 A 到集合 B 的一个映射(mapping) . 记作“f:A ? B” 说明: (1)这两个集合有先后顺序,A 到 B 的射与 B 到 A 的映射是截然不同的.其中 f 表示 具体的对应法则,可以用汉字叙述. (2) “都有唯一”什么意思?

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包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思。 4. 例题分析:下列哪些对应是从集合 A 到集合 B 的映射? (1)A={P | P 是数轴上的点},B=R,对应关系 f:数轴上的点与它所代表的实数对应; (2)A={ P | P 是平面直角体系中的点},B={(x,y)| x?R,y?R},对应关系 f:平 面直角体系中的点与它的坐标对应; (3)A={三角形},B={x | x 是圆},对应关系 f:每一个三角形都对应它的内切圆; (4)A={x | x 是新华中学的班级},B={x | x 是新华中学的学生},对应关系 f:每一个 班级都对应班里的学生. 思考: 将(3)中的对应关系 f 改为:每一个圆都对应它的内接三角形; (4)中的对应关系 f 改为:每一个学生都对应他的班级,那么对应 f: B ? A 是从集合 B 到集合 A 的映射吗? 5. 完成课本练习 十八、 作业布置 补充习题

课题:§1.2.2 函数的表示法
教学目的: (1)明确函数的三种表示方法; (2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数; (3)通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用; (4)纠正认为“y=f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识. 教学重点:函数的三种表示方法,分段函数的概念. 教学难点:根据不同的需要选择恰当的方法表示函数,什么才算“恰当”?分段函数的表示 及其图象. 教学过程: 十九、 引入课题 5. 复习:函数的概念; 6. 常用的函数表示法及各自的优点: (1)解析法; (2)图象法; (3)列表法. 二十、 新课教学 (一)典型例题 例 1.某种笔记本的单价是 5 元,买 x (x?{1,2,3,4,5})个笔记本需要 y 元.试用 三种表示法表示函数 y=f(x) . 分析:注意本例的设问,此处“y=f(x)”有三种含义,它可以是解析表达式,可以是图 象,也可以是对应值表. 解: (略) 注意: 1 ○ 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一 个图形是否是函数图象的依据; 2 ○ 解析法:必须注明函数的定义域; 3 ○ 图象法:是否连线; 4 ○ 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征. 巩固练习:

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课本 P27 练习第 1 题 例 2.下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班 级平均分表: 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 98 87 91 92 88 95 王 伟 90 76 88 75 86 80 张 城 68 65 73 72 75 82 赵 磊 班平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6 请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析. 分析:本例应引导学生分析题目要求,做学情分析,具体要分析什么?怎么分析?借助 什么工具? 解: (略) 注意: 1 ○ 本例为了研究学生的学习情况,将离散的点用虚线连接,这样更便于研究成绩的变 化特点; 2 ○ 本例能否用解析法?为什么? 巩固练习: 课本 P27 练习第 2 题 例 3.画出函数 y = | x | . 解: (略) 巩固练习:课本 P27 练习第 3 题 拓展练习: 任意画一个函数 y=f(x)的图象,然后作出 y=|f(x)| 和 y=f (|x|) 的图象,并尝试简要说明 三者(图象)之间的关系. 课本 P27 练习第 3 题 例 4.某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定: (1) 乘坐汽车 5 公里以内,票价 2 元; (2) 5 公里以上,每增加 5 公里,票价增加 1 元(不足 5 公里按 5 公里计算) . 已知两个相邻的公共汽车站间相距约为 1 公里,如果沿途(包括起点站和终点站)设 20 个汽车站,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象. 分析: 本例是一个实际问题, 有具体的实际意义. 根据实际情况公共汽车到站才能停车, 所以行车里程只能取整数值. 解:设票价为 y 元,里程为 x 公里,同根据题意, 如果某空调汽车运行路线中设 20 个汽车站 (包括起点站和终点站) 那么汽车行驶的里 , * 程约为 19 公里,所以自变量 x 的取值范围是{x?N | x≤19}. 由空调汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式:

?2 ?3 ? y?? ?4 ?5 ?

0? x?5 5 ? x ? 10 10 ? x ? 15 15 ? x ? 19
( x?N )
*

根据这个函数解析式,可画出函数图象,如下图所示:

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y 5 4 3 2 1 O 5 10 15 19 x

注意: 1 ○ 本例具有实际背景,所以解题时应考虑其实际意义; 2 ○ 本题可否用列表法表示函数,如果可以,应怎样列表? 实践与拓展: 请你设计一张乘车价目表,让售票员和乘客非常容易地知道任意两站之间的票价. (可 以实地考查一下某公交车线路) 说明:象上面两例中的函数,称为分段函数. 注意: 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程, 而就写函数值几种不同的表达式并 用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况. 二十一、 归纳小结,强化思想 理解函数的三种表示方法, 在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数, 注 意分段函数的表示方法及其图象的画法. 二十二、 作业布置 课本 P28 习题 1.2(A 组) 第 8—12 题 (B 组)第 2、3 题

课题:§1.3.1 函数的单调性
教学目的: (1)通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义; (2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质; (3)能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性. 教学重点:函数的单调性及其几何意义. 教学难点:利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性. 教学过程: 二十三、 引入课题 1. 观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律: y 1 -1 -1 1 x -1 -1 y 1 1 x -1 -1 y 1 1 x

1 ○ 随 x 的增大,y 的值有什么变化? 2 ○ 能否看出函数的最大、最小值?

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3 ○ 函数图象是否具有某种对称性? 2. 画出下列函数的图象,观察其变化规律: 1.f(x) = x 1 ○ 从左至右图象上升还是下降 ______? 2 ○ 在区间 ____________ 上,随着 x 的增 大,f(x)的值随着 ________ .

y 1 -1 -1 y 1 x

2.f(x) = -2x+1 1 ○ 从左至右图象上升还是下降 ______? 1 2 ○ 在区间 ____________ 上,随着 x 的增 -1 1 x 大,f(x)的值随着 ________ . -1 2 3.f(x) = x y 1 ○在区间 ____________ 上,f(x)的值随 着 x 的增大而 ________ . 1 2 ○ 在区间 ____________ 上,f(x)的值随 -1 1 x 着 x 的增大而 ________ . -1 二十四、 新课教学 (一)函数单调性定义 1.增函数 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数(increasing function) . 思考:仿照增函数的定义说出减函数的定义. (学生活动) 注意: 1 ○ 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; 2 ○ 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) . 2.函数的单调性定义 如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区 间具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间: 3.判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: 1 ○ 任取 x1,x2?D,且 x1<x2; 2 ○ 作差 f(x1)-f(x2); 3 ○ 变形(通常是因式分解和配方) ; 4 ○ 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; 5 ○ 下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) . (二)典型例题 例 1. (教材 P34 例 1)根据函数图象说明函数的单调性. 解: (略) 巩固练习:课本 P38 练习第 1、2 题 例 2. (教材 P34 例 2)根据函数单调性定义证明函数的单调性. 解: (略) 巩固练习: 1 ○ 课本 P38 练习第 3 题;

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2 ○ 证明函数 y ? x ?

1 在(1,+∞)上为增函数. x

例 3.借助计算机作出函数 y =-x2 +2 | x | + 3 的图象并指出它的的单调区间. 解: (略) 思考:画出反比例函数 y ?

1 的图象. x

1 ○ 这个函数的定义域是什么? 2 ○ 它在定义域 I 上的单调性怎样?证明你的结论. 说明:本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象. 二十五、 归纳小结,强化思想 函数的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机, 求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域,单调性的证明一般分五步: 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 二十六、 作业布置 1. 书面作业:课本 P45 习题 1.3(A 组) 第 1- 5 题. 2. 提高作业:设 f(x)是定义在 R 上的增函数,f(xy)=f(x)+f(y), 1 ○ 求 f(0)、f(1)的值; 2 ○ 若 f(3)=1,求不等式 f(x)+f(x-2)>1 的解集.

课题:§1.3.2 函数的奇偶性
教学目的: (1)理解函数的奇偶性及其几何意义; (2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质; (3)学会判断函数的奇偶性. 教学重点:函数的奇偶性及其几何意义. 教学难点:判断函数的奇偶性的方法与格式. 教学过程: 二十七、 引入课题 1.实践操作: (也可借助计算机演示) 取一张纸,在其上画出平面直角坐标系,并在第一象限任画一可作为函数图象的图形, 然后按如下操作并回答相应问题: 1 ○ 以 y 轴为折痕将纸对折,并在纸的背面(即第二象限)画出第一象限内图形的痕迹, 然后将纸展开,观察坐标系中的图形; 问题: 将第一象限和第二象限的图形看成一个整体, 则这个图形可否作为某个函数 y=f(x) 的图象, 若能请说出该图象具有什么特殊的性质?函数图象上相应的点的坐标有什么特 殊的关系? 答案: (1)可以作为某个函数 y=f(x)的图象,并且它的图象关于 y 轴对称; (2)若点(x,f(x))在函数图象上,则相应的点(-x,f(x))也在函数图象上, 即函数图象上横坐标互为相反数的点,它们的纵坐标一定相等. 2 ○ 以 y 轴为折痕将纸对折,然后以 x 轴为折痕将纸对折,在纸的背面(即第三象限) 画出第一象限内图形的痕迹,然后将纸展开,观察坐标系中的图形: 问题: 将第一象限和第三象限的图形看成一个整体, 则这个图形可否作为某个函数 y=f(x) 的图象, 若能请说出该图象具有什么特殊的性质?函数图象上相应的点的坐标有什么特 殊的关系? 答案: (1)可以作为某个函数 y=f(x)的图象,并且它的图象关于原点对称;

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(2)若点(x,f(x))在函数图象上,则相应的点(-x,-f(x))也在函数图象上, 即函数图象上横坐标互为相反数的点,它们的纵坐标也一定互为相反数. 2.观察思考(教材 P39、P40 观察思考) 二十八、 新课教学 (一)函数的奇偶性定义 1 2 象上面实践操作○中的图象关于 y 轴对称的函数即是偶函数, 操作○中的图象关于原点 对称的函数即是奇函数. 1.偶函数(even function) 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶 函数. (学生活动) :仿照偶函数的定义给出奇函数的定义 2.奇函数(odd function) 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做奇 函数. 注意: 1 ○ 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; 2 ○ 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任 意一个 x,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) . (二)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称; 奇函数的图象关于原点对称. (三)典型例题 1.判断函数的奇偶性 例 1.教材 P36 例 3) ( 应用函数奇偶性定义说明两个观察思考中的四个函数的奇偶性.本 ( 例由学生讨论,师生共同总结具体方法步骤) 解: (略) 总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: 1 ○ 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; 2 ○ 确定 f(-x)与 f(x)的关系; 3 ○ 作出相应结论: 若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数; 若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 巩固练习: (教材 P41 例 5) 例 2. (教材 P46 习题 1.3 B 组每 1 题) 解: (略) 说明:函数具有奇偶性的一个必要条件是,定义域关于原点对称,所以判断函数的奇偶 性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称,若不是即可断定函数是非奇非偶函 数. 2.利用函数的奇偶性补全函数的图象 (教材 P41 思考题) 规律: 偶函数的图象关于 y 轴对称; 奇函数的图象关于原点对称. 说明:这也可以作为判断函数奇偶性的依据.

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巩固练习: (教材 P42 练习 1) 3.函数的奇偶性与单调性的关系 (学生活动)举几个简单的奇函数和偶函数的例子,并画出其图象,根据图象判断奇函 数和偶函数的单调性具有什么特殊的特征. 例 3.已知 f(x)是奇函数,在(0,+∞)上是增函数,证明:f(x)在(-∞,0)上也是增函 数 解:(由一名学生板演,然后师生共同评析,规范格式与步骤) 规律: 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反; 奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致. 二十九、 归纳小结,强化思想 本节主要学习了函数的奇偶性, 判断函数的奇偶性通常有两种方法, 即定义法和图象法, 用定义法判断函数的奇偶性时, 必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称. 单调性 与奇偶性的综合应用是本节的一个难点, 需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶 性这两个性质. 三十、 作业布置 3. 书面作业:课本 P46 习题 1.3(A 组) 第 9、10 题, B 组第 2 题. 2.补充作业:判断下列函数的奇偶性:
1 ○

2x 2 ? 2x ; f ( x) ? x ?1
3

2 ○ f ( x) ? x ? 2 x ; 3 ○ f ( x) ? a

( x?R)

4 ○ f ( x) ? ?

? x(1 ? x) ? x(1 ? x)

x ? 0, x ? 0.

3. 课后思考: 已知 f (x) 是定义在 R 上的函数, 设 g ( x) ?

f ( x) ? f ( ? x) f ( x) ? f ( ? x) , h( x ) ? 2 2

1 ○ 试判断 g ( x)与h( x) 的奇偶性;

2 ○ 试判断 g ( x), h( x)与f ( x) 的关系; 3 ○ 由此你能猜想得出什么样的结论,并说明理由.

课题:§1.3.1 函数的最大(小)值
教学目的: (1)理解函数的最大(小)值及其几何意义; (2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质; 教学重点:函数的最大(小)值及其几何意义. 教学难点:利用函数的单调性求函数的最大(小)值.

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教学过程: 三十一、 引入课题 画出下列函数的图象,并根据图象解答下列问题: 1 ○ 说出 y=f(x)的单调区间,以及在各单调区间上的单调性; 2 ○ 指出图象的最高点或最低点,并说明它能体现函数的什么特征? (1) f ( x) ? ?2 x ? 3 (3) f ( x) ? x ? 2 x ? 1
2

(2) f ( x) ? ?2 x ? 3 x ?[?1,2] (4) f ( x) ? x ? 2 x ? 1
2

x ?[?2,2]

三十二、 新课教学 (一)函数最大(小)值定义 1.最大值 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x?I,都有 f(x)≤M; (2)存在 x0?I,使得 f(x0) = M 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值(Maximum Value) . 思考: 仿照函数最大值的定义, 给出函数 y=f(x)的最小值 (Minimum Value) 的定义. (学 生活动) 注意: 1 ○ 函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0?I,使得 f(x0) = M; 2 ○ 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x?I,都有 f(x) ≤M(f(x)≥M) . 2.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法 1 ○ 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 2 ○ 利用图象求函数的最大(小)值 3 ○ 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b); (二)典型例题 例 1. (教材 P36 例 3)利用二次函数的性质确定函数的最大(小)值. 解: (略) 说明:对于具有实际背景的问题,首先要仔细审清题意,适当设出变量,建立适当的函 数模型,然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大(小)值. 巩固练习:如图,把截面半径为 25cm 的圆形木头锯成矩形木料, 25 如果矩形一边长为 x,面积为 y 试将 y 表示成 x 的函数,并画出 函数的大致图象,并判断怎样锯 才能使得截面面积最大? 例 2. (新题讲解) 旅 馆 定 价 一个星级旅馆有 150 个标准房, 经过一段时间的经营, 经理得到一些定价和住房率

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的数据如下: 房价(元) 160 140 120 100 住房率(%) 55 65 75 85

欲使每天的的营业额最高,应如何定价? 解:根据已知数据,可假设该客房的最高价为 160 元,并假设在各价位之间,房价 与住房率之间存在线性关系. 设 y 为旅馆一天的客房总收入, x 为与房价 160 相比降低的房价,因此当房价为

(160 ? x) 元时,住房率为 (55 ?

x ?10)% ,于是得 20 x y =150? (160 ? x) ? (55 ? ?10)% . 20 x 由于 (55 ? ?10)% ≤1,可知 0≤ x ≤90. 20 因此问题转化为:当 0≤ x ≤90 时,求 y 的最大值的问题. 将 y 的两边同除以一个常数 0.75,得 y 1=- x 2+50 x +17600. 由于二次函数 y 1 在 x =25 时取得最大值,可知 y 也在 x =25 时取得最大值,此时

房价定位应是 160-25=135 (元) 相应的住房率为 67.5%, , 最大住房总收入为 13668.75 (元) . 所以该客房定价应为 135 元. (当然为了便于管理,定价 140 元也是比较合理的) 例 3. (教材 P37 例 4)求函数 y ?

2 在区间[2,6]上的最大值和最小值. x ?1

解: (略) 注意:利用函数的单调性求函数的最大(小)值的方法与格式. 巩固练习: (教材 P38 练习 4) 三十三、 归纳小结,强化思想 函数的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机, 求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域,单调性的证明一般分五步: 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 三十四、 作业布置 4. 书面作业:课本 P45 习题 1.3(A 组) 第 6、7、8 题. 提高作业:快艇和轮船分别从 A 地和 C 地同时开出,如下图,各沿箭头方向航行, 快艇和轮船的速度分别是 45 km/h 和 15 km/h,已知 AC=150km,经过多少时间后, 快艇和轮船之间的距离最短?

课题:§2.1.1 指数
B A 教学目的: (1)掌握根式的概念; C (2)规定分数指数幂的意义; (3)学会根式与分数指数幂之间的相互转化; (4)理解有理指数幂的含义及其运算性质; D (5)了解无理数指数幂的意义 教学重点:分数指数幂的意义,根式与分数指数幂之间的相互转化,有理指数幂的运算性质
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教学难点:根式的概念,根式与分数指数幂之间的相互转化,了解无理数指数幂. 教学过程: 三十五、 引入课题 1. 以折纸问题引入,激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性 2. 由实例引入,了解指数指数概念提出的背景,体会引入指数的必要性; 3. 复习初中整数指数幂的运算性质;

a m ? a n ? a m?n (a m ) n ? a mn (ab) n ? a n b n
4. 初中根式的概念; 如果一个数的平方等于 a,那么这个数叫做 a 的平方根,如果一个数的立方等于 a, 那么这个数叫做 a 的立方根; 三十六、 新课教学 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念 一般地, 如果 x ? a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根 th root) 其中 n >1, n ? N . (n , 且
n
*

当 n 是奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数.此时, a 的

n 次方根用符号 n a 表示.
式子 n a 叫做根式(radical) ,这里 n 叫做根指数(radical exponent) a 叫做被开方数 , (radicand) . 当 n 是偶数时,正数的 n 次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示,负的 n 次方根用符号- n a 表示.正的 n 次方根与负的 n 次方根可 以合并成± n a ( a >0) . 由此可得:负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 . 思考: (课本 P58 探究问题) a = a 一定成立吗?. (学生活动) 结论:当 n 是奇数时, a
n
n n n n

?a

当 n 是偶数时, a ?| a |? ?
n

?a (a ? 0) ?? a (a ? 0)

例 1. (教材 P58 例 1) . 解: (略) 巩固练习: (教材 P58 例 1) 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义 规定:

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a ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)
a
? m n

m n

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那 么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 3.有理指数幂的运算性质 (1) a ? a ? a
r r r ?s

(a ? 0, r , s ? Q) ; (a ? 0, r , s ? Q) ;

(2) (a ) ? a
r s r

rs

(3) (ab) ? a a
r

s

(a ? 0, b ? 0, r ? Q) .

引导学生解决本课开头实例问题 例 2. (教材 P60 例 2、例 3、例 4、例 5) 说明:让学生熟练掌握根式与分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质运用. 巩固练习: (教材 P63 练习 1-3) 4. 无理指数幂 结合教材 P62 实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义. 指出:一般地,无理数指数幂 a (a ? 0, ?是无理数) 是一个确定的实数.有理数指数 幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 思考: (教材 P63 练习 4) 巩固练习思考:(教材 P62 思考题) : 例 3. (新题讲解)从盛满 1 升纯酒精的容器中倒出
?

1 1 升,然后用水填满,再倒出 升, 3 3

又用水填满,这样进行 5 次,则容器中剩下的纯酒精的升数为多少? 解: (略) 点评:本题还可以进一步推广,说明可以用指数的运算来解决生活中的实际问题. 三十七、 归纳小结,强化思想 本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算, 分数指数幂是根式的另一种表示 形式, 根式与分数指数幂可以进行互化. 在进行指数幂的运算时, 一般地, 化指数为正指数, 化根式为分数指数幂,化小数为分数进行运算,便于进行乘除、乘方、开方运算,以达到化 繁为简的目的,对含有指数式或根式的乘除运算,还要善于利用幂的运算法则. 三十八、 作业布置 5. 必做题:教材 P69 习题 2.1(A 组) 第 1-4 题. 6. 选做题:教材 P70 习题 2.1(B 组) 第 2 题.

课题:§2.1.2 指数函数及其性质
教学任务: (1)使学生了解指数函数模型的实际背景,认识数学与现实生活及其他学科的联 系; (2)理解指数函数的的概念和意义,能画出具体指数函数的图象,探索并理解指

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数函数的单调性和特殊点; (3) 在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法, 如具体到一般的 过程、数形结合的方法等. 教学重点:指数函数的的概念和性质. 教学难点:用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质. 教学过程: 三十九、 引入课题 (备选引例) 5. (合作讨论)人口问题是全球性问题,由于全球人口迅猛增加,已引起全世界关 注.世界人口 2000 年大约是 60 亿,而且以每年 1.3%的增长率增长,按照这种增长 速度,到 2050 年世界人口将达到 100 多亿,大有“人口爆炸”的趋势.为此,全 球范围内敲起了人口警钟,并把每年的 7 月 11 日定为“世界人口日” ,呼吁各国要 控制人口增长.为了控制人口过快增长,许多国家都实行了计划生育. 我国人口问题更为突出,在耕地面积只占世界 7%的国土上,却养育着 22%的 世界人口.因此,中国的人口问题是公认的社会问题.2000 年第五次人口普查, 中国人口已达到 13 亿,年增长率约为 1%.为了有效地控制人口过快增长,实行 计划生育成为我国一项基本国策. 1 ○ 按照上述材料中的 1%的增长率,从 2000 年起,x 年后我国的人口将达到 2000 年的多少倍? 2 ○ 到 2050 年我国的人口将达到多少? 3 ○ 你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响? 6. 上一节中 GDP 问题中时间 x 与 GDP 值 y 的对应关系 y=1.073x(x?N*,x≤20)能 否构成函数? 7. 一种放射性物质不断变化成其他物质,每经过一年的残留量是原来的 84%,那么以 时间 x 年为自变量,残留量 y 的函数关系式是什么? 8. 上面的几个函数有什么共同特征? 四十、 新课教学 (一)指数函数的概念 一般地,函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数(exponential function) ,其中 x 是自
x

变量,函数的定义域为 R. 1 注意:○ 指数函数的定义是一个形式定义,要引导学生辨析; 2 ○ 注意指数函数的底数的取值范围,引导学生分析底数为什么不能是负数、零 和 1. 巩固练习:利用指数函数的定义解决(教材 P68 例 2、3) (二)指数函数的图象和性质 问题: 你能类比前面讨论函数性质时的思路, 提出研究指数函数性质的内容和方法吗? 研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性质. 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性. 探索研究: 1.在同一坐标系中画出下列函数的图象: (1) y ? ( )

1 3

x

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(2) y ? ( ) x (3) y ? 2 (4) y ? 3 (5) y ? 5
x

1 2

x

x

2. 从画出的图象中你能发现函数 y ? 2 的图象和函数 y ? ( ) x 的图象有什么关系?可
x

1 2

否利用 y ? 2 的图象画出 y ? ( ) x 的图象?
x

1 2

3.从画出的图象( y ? 2 、 y ? 3 和 y ? 5 )中,你能发现函数的图象与其底数之间
x x x

有什么样的规律? 4.你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗? 图象特征 函数性质

a ?1

0 ? a ?1

a ?1

0 ? a ?1
非奇非偶函数

向 x、y 轴正负方向无限延伸 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图象都在 x 轴上方 函数图象都过定点(0,1) 自左向右看, 图象逐渐上升 在第一象限内的图 象纵坐标都大于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都小于 1 图象上升趋势是越 来越陡 自左向右看, 图象逐渐下降 在第一象限内的图 象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于 1 图象上升趋势是越 来越缓

函数的定义域为 R 函数的值域为 R+

a0 ? 1
增函数 减函数

x ? 0, a x ? 1 x ? 0, a x ? 1
函数值开始增长较 慢,到了某一值后 增长速度极快;

x ? 0, a x ? 1 x ? 0, a x ? 1
函数值开始减小极 快,到了某一值后 减小速度较慢;

9. 利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上, f ( x ) ? a (a ? 0且a ? 1) 值域是 [f (a ), f (b)] 或 [f (b), f (a )] ;
x

(2)若 x ? 0 ,则 f ( x ) ? 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ; (3)对于指数函数 f ( x ) ? a (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ;
x

(4)当 a ? 1 时,若 x 1 ? x 2 ,则 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ; (三)典型例题 例 1. (教材 P66 例 6) . 解: (略)
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问题:你能根据本例说出确定一个指数函数需要几个条件吗? 例 2. (教材 P66 例 7) 解: (略) 问题:你能根据本例说明怎样利用指数函数的性质判断两个幂的大小? 说明:规范利用指数函数的性质判断两个幂的大小方法、步骤与格式. 巩固练习: (教材 P69 习题 A 组第 7 题) 四十一、 归纳小结,强化思想 本节主要学习了指数函数的图象,及利用图象研究函数性质的方法. 四十二、 作业布置 7. 必做题:教材 P69 习题 2.1(A 组) 第 5、6、8、12 题. 8. 选做题:教材 P70 习题 2.1(B 组) 第 1 题.

课题:§2.2.1 对数
教学目的: (1)理解对数的概念; (2)能够说明对数与指数的关系; (3)掌握对数式与指数式的相互转化. 教学重点:对数的概念,对数式与指数式的相互转化 教学难点:对数概念的理解. 教学过程: 四十三、 引入课题 10. (对数的起源) 价绍对数产生的历史背景与概念的形成过程, 体会引入对数的 必要性; 设计意图:激发学生学习对数的兴趣,培养对数学习的科学研究精神. 11. 尝试解决本小节开始提出的问题. 四十四、 新课教学 1.对数的概念 一般地,如果 a ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数(Logarithm) , . ..
x

记作:

x ? log a N

a — 底数, N — 真数, log a N — 对数式
1 说明:○ 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ; 2 ○ a ? N ? log a N ? x ;
x

3 ○ 注意对数的书写格式. a 1 思考:○ 为什么对数的定义中要求底数 a ? 0 ,且 a ? 1 ; 2 ○ 是否是所有的实数都有对数呢? 设计意图:正确理解对数定义中底数的限制,为以后对数型函数定义域的确定作准备. 两个重要对数: 1 ○ 常用对数(common logarithm) :以 10 为底的对数 lg N ; 2 ○ 自然对数(natural logarithm) :以无理数 e ? 2.71828 ? 为底的对数的对数

log N

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ln N .
2. 对数式与指数式的互化

log a N ? x

?

ax ? N

对数式 指数式 ? 对数底数 ← a → 幂底数 对数 ← x → 指数 真数 ← N → 幂 例 1. (教材 P73 例 1) 巩固练习: (教材 P74 练习 1、2) 设计意图:熟练对数式与指数式的相互转化,加深理解对数概念. 说明: 本例题和练习均让学生独立阅读思考完成, 并指出对数式与指数式的互化中应注 意哪些问题. 3. 对数的性质 (学生活动) 1 ○ 阅读教材 P73 例 2,指出其中求 x 的依据; 2 ○ 独立思考完成教材 P74 练习 3、4,指出其中蕴含的结论 对数的性质 (1)负数和零没有对数; (2)1 的对数是零: log a 1 ? 0 ; (3)底数的对数是 1: log a a ? 1 ; (4)对数恒等式: a (5) log a a ? n .
n

log a N

?N;

四十五、 归纳小结,强化思想 1 引入对数的必要性; ○ 2 ○ 指数与对数的关系; 3 ○ 对数的基本性质. 四十六、 作业布置 教材 P86 习题 2.2(A 组) 第 1、2 题, 组) 第 1 题. (B

课题:§2.2.2 对数函数(一)
教学任务: (1)通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函 数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型; (2) 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象, 探索并了解对数函数的单 调性与特殊点; (3)通过比较、对照的方法,引导学生结合图象类比指数函数,探索研究对数函 数的性质,培养学生数形结合的思想方法,学会研究函数性质的方法. 教学重点:掌握对数函数的图象和性质. 教学难点:对数函数的定义,对数函数的图象和性质及应用. 教学过程:

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四十七、 引入课题 1. (知识方法准备) 1 ○ 学习指数函数时,对其性质研究了哪些内容,采取怎样的方法? 设计意图:结合指数函数,让学生熟知对于函数性质的研究内容,熟练研究函数性质的 方法——借助图象研究性质. 2 ○ 对数的定义及其对底数的限制. 设计意图:为讲解对数函数时对底数的限制做准备. 2. (引例) 教材 P81 引例 处理建议:在教学时,可以让学生利用计算器填写下表: 碳 14 的含量 P 生物死亡年数 t 然后引导学生观察上表,体会“对每一个碳 14 的含量 P 的取值,通过对应关 系 t ? log
5730 1 2

0.5

0.3

0.1

0.01

0.001

生物死亡年数 t 都有唯一的值与之对应, 从而 t 是 P 的函数” . (进 P,

而引入对数函数的概念) 四十八、 新课教学 (一)对数函数的概念 1.定义:函数 y ? log a x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函数(logarithmic function) 其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞) . 注意:1 对数函数的定义与指数函数类似, ○ 都是形式定义, 注意辨别. y ? 2 log 2 x , 如:

y ? log 5

x 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数. 5
2 ○ 对数函数对底数的限制: (a ? 0 ,且 a ? 1) .

巩固练习: (教材 P68 例 2、3) (二)对数函数的图象和性质 问题:你能类比前面讨论指数函数性质的思路,提出研究对数函数性质的内容和方法 吗? 研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性质. 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性. 探索研究: 1 ○ 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象; (可用描点法, 也可借助科学计算器 或计算机) (1) y ? log 2 x (2) y ? log 1 x
2

(3) y ? log3 x (4) y ? log 1 x
3

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2 ○ 类比指数函数图象和性质的研究,研究对数函数的性质并填写如下表格:

图象特征

函数性质

a ?1

0 ? a ?1

a ?1

0 ? a ?1
非奇非偶函数 函数的值域为 R

函数图象都在 y 轴右侧 图象关于原点和 y 轴不对称 向 y 轴正负方向无限延伸 函数图象都过定点(1,1) 自左向右看, 图象逐渐上升 第一象限的图象 纵坐标都大于 0 第二象限的图象 纵坐标都小于 0 自左向右看, 图象逐渐下降 第一象限的图象 纵坐标都大于 0 第二象限的图象 纵坐标都小于 0

函数的定义域为(0,+∞)

1? ? 1
增函数 减函数

x ? 1, log a x ? 0
0 ? x ? 1, log a x ? 0

0 ? x ? 1, log a x ? 0
x ? 1, log a x ? 0

3 ○ 思考底数 a 是如何影响函数 y ? log a x 的. (学生独立思考,师生共同总结)

规律:在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. (三)典型例题 例 1. (教材 P83 例 7) . 解: (略) 说明: 本例主要考察学生对对数函数定义中底数和定义域的限制, 加深对对数函数的理 解. 巩固练习: (教材 P85 练习 2) . 例 2. (教材 P83 例 8) 解: (略) 说明:本例主要考察学生利用对数函数的单调性“比较两个数的大小”的方法,熟悉对 数函数的性质,渗透应用函数的观点解决问题的思想方法. 注意: 本例应着重强调利用对数函数的单调性比较两个对数值的大小的方法, 规范解题 格式. 巩固练习: (教材 P85 练习 3) . 例 2. (教材 P83 例 9) 解: (略) 说明:本例主要考察学生对实际问题题意的理解,把具体的实际问题化归为数学问题. 注意:本例在教学中,还应特别启发学生用所获得的结果去解释实际现象. 巩固练习: (教材 P86 习题 2.2 A 组第 6 题) . 四十九、 归纳小结,强化思想 本小节的目的要求是掌握对数函数的概念、 图象和性质. 在理解对数函数的定义的基础 上,掌握对数函数的图象和性质是本小节的重点. 五十、 作业布置 9. 必做题:教材 P86 习题 2.2(A 组) 第 7、8、9、12 题. 10. 选做题:教材 P86 习题 2.2(B 组) 第 5 题.

课题:§2.2.2 对数函数(二)
教学任务: (1)进一步理解对数函数的图象和性质; (2)熟练应用对数函数的图象和性质,解决一些综合问题;
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(3)通过例题和练习的讲解与演练,培养学生分析问题和解决问题的能力. 教学重点:对数函数的图象和性质. 教学难点:对对数函数的性质的综合运用. 教学过程: 五十一、 回顾与总结 1. 函 数 y ? log 2 x, y ? log 5 x, y ? lg x 的图象如图所示,回答下列问题. (1)说明哪个函数对应于哪个图象, 释为什么? (2)函数 y ? log a x 与 y ? log 1 x
a
2 ○ 3 ○ 1 ○

并解

(a ? 0, 且 a ? 0) 有 什么 关系? 图象之间
又有什么特殊的关系? ( 3 ) 以 y ? log 2 x, y ? log 5 x, y ? lg x 的 图 象 为 基 础 ,在 同 一 坐 标 系 中 画 出

y ? log 1 x, y ? log 1 x, y ? log 1 x 的图象.
2 5 10

(4)已知函数 y ? log a1 x, y ? log a2 x, y ? log a3 x, y ? log a4 x 的图象,则底数之 间的关系: . 教

y ? loga 1 x y ? loga 2 x

y ? loga 3 x
y ? loga 4 x

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2. 完成下表(对数函数 y ? log a x (a ? 0, 且 a ? 0) 的图象和性质)

0 ? a ?1

a ?1

图 象

定义域 值域 性 质

3. 根据对数函数的图象和性质填空.
1 ○ 已 知 函 数 y ? log 2 x , 则 当 x ? 0 时 , y ?

;当 x ?1时, .

y?

;当 0 ? x ? 1 时, y ?

;当 x ? 4 时, y ?

1 ○ 已 知 函 数 y ? lo g1 x , 则 当 0 ? x ? 1 时 , y ?

;当 x ? 1时, ;

3

y?

;当 x ? 5 时, y ? .

;当 0 ? x ? 2 时, y ?

当 y ? 2 时, x ? 五十二、 应用举例

1 例1. 比较大小:○ log a ? , log a e (a ? 0, 且 a ? 0) ;

2 ○ log 2

1 2 , log 2 (a ? a ? 1) (a ? R) . 2

解: (略) 例 2.已知 log a (3a ? 1) 恒为正数,求 a 的取值范围. 解: (略) [总结点评]: (由学生独立思考,师生共同归纳概括) . . 例 3.求函数 f ( x) ? lg(? x ? 8 x ? 7) 的定义域及值域.
2

解: (略)
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注意:函数值域的求法. 例 4. (1)函数 y ? log a x 在[2,4]上的最大值比最小值大 1,求 a 的值; (2)求函数 y ? log 3 ( x ? 6 x ? 10) 的最小值.
2

解: (略) 注意:利用函数单调性求函数最值的方法,复合函数最值的求法. 例 5. (2003 年上海高考题)已知函数 f ( x) ? 并讨论它的奇偶性和单调性. 解: (略) 注意:判断函数奇偶性和单调性的方法,规范判断函数奇偶性和单调性的步骤. 例 6.求函数 f ( x) y ? log 0.2 (? x ? 4 x ? 5) 的单调区间.
2

1 1? x ,求函数 f (x) 的定义域, ? log 2 x 1? x

解: (略) 注意:复合函数单调性的求法及规律: “同增异减” . 练习:求函数 y ? log 1 (3 ? 2 x ? x 2 ) 的单调区间.
2

五十三、 作业布置 考试卷一套

课题:§2.2.2 对数函数(三)
教学目标: 知识与技能 理解指数函数与对数函数的依赖关系, 了解反函数的概念, 加深对函数的 模型化思想的理解. 过程与方法 通过作图,体会两种函数的单调性的异同. 情感、态度、价值观 对体会指数函数与对数函数内在的对称统一. 教学重点: 重点 难两种函数的内在联系,反函数的概念. 难点 反函数的概念. 教学程序与环节设计: 创设情境 由函数的观点分析例题,引出反函数的概念.

组织探究

两种函数的内在联系,图象关系.
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尝试练习

简单的反函数问题,单调性问题.

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教学过程与操作设计: 环节 材料一: 当生物死亡后, 它机体内原有的碳 14 会按确定 的规律衰减, 大约每经过 5730 年衰减为原来的一半, 师:引导学生分析归 纳,总结概括得出结 这个时间称为“半衰期” .根据些规律,人们获得了 论: P 生物体碳 14 含量 P 与生物死亡年数 t 之间的关系. 回 (1) 和 t 之间的对应 关系是一一对应; 答下列问题: (2) 关于 t 是指数函 P (1) 求生物死亡 t 年后它机体内的碳 14 的含量 设 P, 并用函数的观点来解释 P 和 t 之间的关系, 指出 是我们所学过的何种函数? 情 (2)已知一生物体内碳 14 的残留量为 P,试求 该生物死亡的年数 t,并用函数的观点来解释 P 和 t 境 之间的关系,指出是我们所学过的何种函数? (3)这两个函数有什么特殊的关系? (4)用映射的观点来解释 P 和 t 之间的对应关 系是何种对应关系? (5)由此你能获得怎样的启示? 数 P ? (5730 呈现教学材料 师生互动设计 生:独立思考完成,讨 论展示并分析自己的 结果.



1 x ) ; 2

t 关于 P 是对数函数

t ? log
5730

1 2

x ,它们的

底数相同, 所描述的都 是碳 14 的衰变过程中, 碳 14 含量 P 与死亡年 数 t 之间的对应关系; (3)本问题中的同底 数的指数函数和对数 函数, 是描述同一种关 系(碳 14 含量 P 与死 亡年数 t 之间的对应关 系)的不同数学模型.

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材料二: 由对数函数的定义可知,对数函数 y ? log 2 x 是把指数函数 y ? 2 中的自变量与因变量对调位置
x

而得出的,在列表画 y ? log 2 x 的图象时,也是把 指数函数 y ? 2 的对应值表里的 x 和 y 的数值对
x

换,而得到对数函数 y ? log 2 x 的对应值表,如下:

表一

y ? 2x .

环节

呈现教学材料

师生互动设计 生:仿照材料一分析: 1 2 2 4 3 8 ? ?

x
y

? ?

-3

-2

-1

0 1

1 8

1 4

1 2

y ? 2 x 与 y ? log 2 x
的关系.

表二

y ? log 2 x .
? ? -3 -2 -1 0 1 1 2 2 4 3 8 ? ? 师:引导学生分析,讲 评得出结论, 进而引出 反函数的概念.

x
y

1 8

1 4

1 2

在同一坐标系中,用描点法画出图象. 材料一:反函数的概念: 当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的 因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数 的自变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函 数互为反函数. 由反函数的概念可知,同底数的指数函数和对 数函数互为反函数. 材料二:以 y ? 2 与 y ? log 2 x 为例研究互为
x

组织 探究

反函数的两个函数的图象和性质有什么特殊的联 系?

师:说明: (1)互为反函数的两 个函数是定义域、 值域 相互交换, 对应法则互 逆的两个函数; (2)由反函数的概念 可知 “单调函数一定有 反函数” ; (3)互为反函数的两 个函数是描述同一变 化过程中两个变量关 系的不同数学模型.

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师: 引导学生探索研究 材料二. 生:分组讨论材料二, 选出代表阐述各自的 结论, 师生共同评析归 纳. 尝试 练习 巩固 反思 作业 反馈 环节 求下列函数的反函数: (1) y ? 3 ;
x

(2) y ? log 6 x

生:独立完成.

从宏观性、关联性角度试着给指数函数、对数 函数的定义、图象、性质作一小结. 1. 求下列函数的反函数:

x y x y

1 3

2 5

3 7

4 9 师生互动设计 3 7 4 9 答案: 1.互换 x 、 y 的数值.

呈现教学材料 1 3 2 5

2. (1)试着举几个满足“对定义域内任意实数 a、b,都有 f (a?b) = f ( a ) + f ( b ) . ”的函数实例, 2.略. 你能说出这些函数具有哪些共同性质吗? (2) 试着举几个满足 “对定义域内任意实数 a、 b,都有 f (a + b) = f ( a )?f ( b ) . ”的函数实例,你 能说出这些函数具有哪些共同性质吗? 我们知道, 指数函数 y ? a (a ? 0 , a ? 1) 与 且
x

对数函数 y ? log a x(a ? 0 ,且 a ? 1) 互为反函数, 那么,它们的图象有什么关系呢?运用所学的数学 知识,探索下面几个问题,亲自发现其中的奥秘吧! 问题 1 在同一平面直角坐标系中,画出指数 课外 活动 函数 y ? 2 及其反函数 y ? log 2 x 的图象,你能发
x

现这两个函数的图象有什么特殊的对称性吗? 问题 2 取 y ? 2 图象上的几个点,说出它们
x

结论: 互为反函数的两 个函数的图象关于直 线 y ? x 对称.

关于直线 y ? x 的对称点的坐标,并判断它们是否 在 y ? log 2 x 的图象上,为什么? 问题 3 如果 P0(x0,y0)在函数 y ? 2 的图
x

象 上,那 么 P0 关于 直线 y ? x 的 对称 点在 函数

33

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y ? log 2 x 的图象上吗,为什么?
问题 4 由上述探究过程可以得到什么结论? 问题 5 上述结论对于指数函数 y ? a
x

(a ? 0 , 且 a ? 1) 及 其 反 函 数
y ? log a x(a ? 0 ,且 a ? 1) 也成立吗?为什么?

课题:§2.3 幂函数
教学目标: 知识与技能 通过具体实例了解幂函数的图象和性质,并能进行简单的应用. 过程与方法 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法,来研究幂函 数的图象和性质. 情感、态度、价值观 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性. 教学重点: 重点 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质. 难点 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质,体会图象的变化规律. 教学程序与环节设计: 创设情境 问题引入.

组织探究

幂函数的图象和性质.

尝试练习

幂函数性质的初步应用.

巩固反思

复述幂函数的图象规律及性质.

作业回馈

幂函数性质的初步应用.

课外活动

利用图形计算器或计算机探索一 般幂函数的图象规律.

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教学过程与操作设计: 环节 教学内容设计 阅读教材 P90 的具体实例(1)~(5) ,思考下列 问题: 创 设 (答案) 情 境 1. (1)乘以 1; (2)求平方; (3)求立方; (4) 师生: 共同辨析这种新 函数与指数函数的异 开方; (5)取倒数(或求-1 次方) . 同. ? 2.上述问题中涉及到的函数,都是形如 y ? x 的函数,其中 x 是自变量,是 ? 常数. 材料一:幂函数定义及其图象. 一般地,形如 师:说明: 幂 函 数 的 定义 来 自于实践, 它同指数函 数、对数函数一样,也 是基本初等函数, 同样 也是一种“形式定义” 的函数, 引导学生注意 辨析. 生: 利用所学知识和方 法尝试作出五个具体 幂函数的图象, 观察所 图象, 体会幂函数的变 化规律. 1.它们的对应法则分别是什么? 2.以上问题中的函数有什么共同特征? 师: 引导学生分析归纳 概括得出结论. 师生双边互动 生:独立思考完成引 例.

y ? x ? (a ? R)
的函数称为幂函数,其中 ? 为常数. 下面我们举例学习这类函数的一些性质. 作出下列函数的图象: 组 (1) y ? x ; (2) y ? x ; (3) y ? x ;
2

1 2

(4) y ? x ; (5) y ? x .
3

?1


1 [解] ○ 列表(略) 2 ○ 图象





师: 引导学生应用画函 数的性质画图象,如: 定义域、奇偶性.

师生共同分析, 强调画 图象易犯的错误.

环节

教学内容设计

师生双边互动

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材料二:幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并 且图象都过点(1,1) ; (2)? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且 在区间 [0,??) 上是增函数.特别地,当 ? ? 1 时, 幂函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1时,幂函数的图象 上凸;

师:引导学生观察图 象, 归纳概括幂函数的 的性质及图象变化规 律.

生:观察图象,分组讨 论, 探究幂函数的性质 和图象的变化规律, 并 (3) ? 0 时, 幂函数的图象在区间 (0,??) 上 ? 展示各自的结论进行 是减函数.在第一象限内,当 x 从右边趋向原点时, 交流评析,并填表. 图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于

? ? 时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴.
材料三:观察与思考 组 观察图象,总结填写下表:
y?x
1

织 定义域 探 值域 奇偶性 单调性 究 定点

y ? x2

y ? x3

y ? x2

y ? x ?1

材料五:例题 [例 1] (教材 P92 例题) [例 2] 比较下列两个代数值的大小: (1) (a ? 1) , a
1.5

1.5

师: 引导学生回顾讨论 函数性质的方法, 规范 解题格式与步骤. 并指出函数单调 性是判别大小的重要 工具, 幂函数的图象可 以在单调性、 奇偶性基 础上较快描出.

(2) (2 ? a 2 )

?

2 3

,2

?

2 3

2

[例 3] 讨论函数 y ? x 3 的定义域、奇偶性,作 出它的图象,并根据图象说明函数的单调性.

生:独立思考,给出解 答,共同讨论、评析.

环节

呈现教学材料

师生互动设计

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1.利用幂函数的性质,比较下列各题中两个幂 的值的大小: (1) 2.3 , 2 .4 ;
6
6

3 4

3 4

(2) 0.31 5 , 0.35 5 ; (3) ( 2 )
? 1
? 3 2

尝 试 练 习

, ( 3)
? 1 2

?

3 2



(4) 1.1 2 , 0.9



2.作出函数 y ? x 的图象,根据图象讨论这 个函数有哪些性质,并给出证明. 3.作出函数 y ? x
?2

3 2

和函数 y ? ( x ? 3)

?2

的图

象,求这两个函数的定义域和单调区间. 4.用图象法解方程: (1) x ? x ? 1 ; (2) x ? x ? 3 .
3 2

规律 1:在第一象限, 1.如图所示,曲线是幂 函数 y ? x 在第一象限内的 图 象 , 已 知 探 究 与 发 现
?

作直线 x ? a(a ? 1) , 它同各幂函数图象相 交, 按交点从下到上的 顺序, 幂指数按从小到 大的顺序排列.

? 分别取

1 ? 1,1, ,2 四个值,则相应图 2
象依次为: .

2.在同一坐标系内,作出下列函数的图象,你 能发现什么规律? (1) y ? x 和 y ? x
5
?3

?

1 3



规律 2:幂指数互为倒 数的幂函数在第一象 限内的图象关于直线

4

(2) y ? x 4 和 y ? x 5 .

y ? x 对称.
1.在函数 y ? 作业 回馈

1 , y ? 2 x 2 , y ? x 2 ? x, y ? 1 2 x
C.2 D.3 师生互动设计

中,幂函数的个数为: A.0 B.1

环节

呈现教学材料
37

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2.已知幂函数 y ? f (x) 的图象过点 (2, 2 ) , 试求出这个函数的解析式. 3.在固定压力差(压力差为常数)下,当气体 通过圆形管道时,其流量速率 R 与管道半径 r 的四 次方成正比. (1)写出函数解析式; (2)若气体在半径为 3cm 的管道中,流量速 率为 400cm3/s,求该气体通过半径为 r 的管道时, 其流量速率 R 的表达式; (3) (2) 已知 中的气体通过的管道半径为 5cm, 计算该气体的流量速率. 4.1992 年底世界人口达到 54.8 亿,若人口 的平均增长率为 x%, 2008 年底世界人口数为 (亿) y , 写出: (1)1993 年底、1994 年底、2000 年底的世界 人口数; (2)2008 年底的世界人口数 y 与 x 的函数解 析式. 课 外 活 动 收 获 与 体 会 利用图形计算器探索一般幂函数 y ? x 的图 象随 ? 的变化规律. 1. 谈谈五个基本幂函数的定义域与对应幂函数 的奇偶性、单调性之间的关系? 2. 幂函数与指数函数的不同点主要表现在哪些 方面?
?

课题:§3.1.1 方程的根与函数的零点
教学目标: 知识与技能 理解函数(结合二次函数)零点的概念,领会函数零点与相应方程要的关 系,掌握零点存在的判定条件. 过程与方法 零点存在性的判定. 情感、态度、价值观 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值. 教学重点: 重点 零点的概念及存在性的判定. 难点 零点的确定. 教学程序与环节设计:

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创设情境

结合二次函数引入课题.

组织探究

二次函数的零点及零点存在性的.

尝试练习

零点存在性为练习重点.

探索研究

进一步探索函数零点存在性的判定.

作业回馈

重点放在零点的存在性判断及零点的确定上. 研究二次函数在零点、零点之内及零点外的函数值符 号,并尝试进行系统的总结.

课外活动

39

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教学过程与操作设计: 环节 教学内容设置 先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相 应的二次函数的图象: 创 设 情 境
1 ○方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x ? 2 x ? 3
2
2

师生双边互动 师:引导学生解方程, 画函数图象, 分析方程 的 根 与图 象和 x 轴 交 点坐标的关系, 引出零 点的概念. 生:独立思考完成解 答, 观察、 思考、 总结、 概括得出结论, 并进行 交流. 师: 上述结论推广到一 般的一元二次方程和 二次函数又怎样?

2 ○方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 与函数 y ? x ? 2 x ? 1
2
2

3 ○方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x ? 2 x ? 3
2
2

函数零点的概念: 对于函数 y ? f ( x)( x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成 立的实数 x 叫做函数 y ? f ( x)( x ? D) 的零点. 师: 引导学生仔细体会 左边的这段文字, 感悟 其中的思想方法.

函数零点的意义: 函数 y ? f (x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数 组 根,亦即函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐 织 标. 即: 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f (x) 的 探 图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f (x) 有零点. 究 生: 认真理解函数零点 的意义, 并根据函数零 点的意义探索其求法: 1 ○ 代数法; 2 ○ 几何法.

函数零点的求法: 求函数 y ? f (x) 的零点:
1 ○ (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; 2 ○ (几何法)对于不能用求根公式的方程,可

以将它与函数 y ? f (x) 的图象联系起来,并利用函 数的性质找出零点.

40

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二次函数的零点: 二次函数

y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) .
1)△>0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等
2

师: 引导学生运用函数 零点的意义探索二次 函数零点的情况.

环节

教学内容设置 实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点,二 次函数有两个零点. 2)△=0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有两相等实 根(二重根) ,二次函数的图象与 x 轴有一个交 点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3)△<0,方程 ax ? bx ? c ? 0 无实根,二
2

师生双边互动 生: 根据函数零点的意 义探索研究二次函数 的零点情况, 并进行交 流,总结概括形成结 论.

次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点. 零点存在性的探索: (Ⅰ)观察二次函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 的图
2



象:
1 ○ 在区间 [?2,1] 上有零点______;

生:分析函数,按提示 探索,完成解答,并认 真思考.



f (?2) ? _______, f (1) ? _______,
. f (?2) ? f (1) _____0(<或>)


2 ○ 在区间 [ 2,4] 上有零点______;

师: 引导学生结合函数 图象, 分析函数在区间 端点上的函数值的符 号情况, 与函数零点是 否存在之间的关系.



. f (2) ? f (4) ____0(<或>) (Ⅱ)观察下面函数 y ? f (x) 的图象

生:结合函数图象,思 考、讨论、总结归纳得 出函数零点存在的条 件, 并进行交流、 评析.

1 ○ 在区间 [a, b] 上______(有/无)零点;

师: 引导学生理解函数 零点存在定理, 分析其 中各条件的作用.

. f (a) ? f (b) _____0(<或>)
2 ○ 在区间 [b, c] 上______(有/无)零点;

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. f (b) ? f (c) _____0(<或>)
3 ○ 在区间 [c, d ] 上______(有/无)零点;

. f (c) ? f (d ) _____0(<或>)

由以上两步探索,你可以得出什么样的结论? 怎样利用函数零点存在性定理,断定函数在某 给定区间上是否存在零点.

环节

教学内容设置

师生互动设计

例 题 研 究

师: 引导学生探索判断 函数零点的方法, 指出 可以借助计算机或计 例 1. 求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点个数. 算器来画函数的图象, 问题: 结合图象对函数有一 1) 你可以想到什么方法来判断函数零点个数? 个零点形成直观的认 2)判断函数的单调性,由单调性你能得该函数 识. 的单调性具有什么特性? 生: 借助计算机或计算 器画出函数的图象, 结 3 2 例 2.求函数 y ? x ? 2 x ? x ? 2 ,并画出它 合图象确定零点所在 的大致图象. 的区间, 然后利用函数 单调性判断零点的个 数.

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1.利用函数图象判断下列方程有没有根,有几 个根: (1) ? x ? 3x ? 5 ? 0 ;
2

(2) 2 x( x ? 2) ? ?3 ; (3) x ? 4 x ? 4 ;
2

尝 试 练 习

(4) 5x ? 2 x ? 3x ? 5 .
2 2

师: 结合图象考察零点 所在的大致区间与个 数, 结合函数的单调性 说明零点的个数; 让学 生认识到函数的图象 及基本性质 (特别是单 调性) 在确定函数零点 中的重要作用.

2.利用函数的图象,指出下列函数零点所在的 大致区间: (1) f ( x) ? ? x ? 3x ? 5 ;
3

(2) f ( x) ? 2 x ln( x ? 2) ? 3 ; (3) f ( x) ? e
x ?1

? 4x ? 4 ;

(4) f ( x) ? 3( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4) ? x .

1. 已知 f ( x) ? 2 x ? 7 x ? 17 x ? 58 x ? 24 ,
4 3 2

请探究方程 f ( x) ? 0 的根.如果方程有根,指出每 个根所在的区间(区间长度不超过 1) . 探 究 与 发 现 2.设函数 f ( x) ? 2 ? ax ? 1 .
x

(1)利用计算机探求 a ? 2 和 a ? 3 时函数

f (x) 的零点个数;
(2)当 a ? R 时,函数 f (x) 的零点是怎样分 布的?

环节

教学内容设置

师生互动设计

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1. 教材 P108 习题 3.1(A 组)第 1、2 题; 2. 求下列函数的零点: (1) y ? x ? 5 x ? 4 ;
2

(2) y ? ? x ? x ? 20 ;
2

(3) y ? ( x ? 1)( x ? 3x ? 1) ;
2

(4) f ( x) ? ( x ? 2)( x ? 3x ? 2) .
2 2

3. 求下列函数的零点,图象顶点的坐标,画 出各自的简图,并指出函数值在哪些区间 上大于零,哪些区间上小于零: 作 业 回 馈 (1) y ?

1 2 x ? 2 x ? 1; 3
2

(2) y ? ?2 x ? 4 x ? 1 . 4. 已知 f ( x) ? 2(m ? 1) x ? 4mx ? 2m ? 1 :
2

(1) m 为何值时,函数的图象与 x 轴有两个 零点; (2)如果函数至少有一个零点在原点右侧,求 m 的值. 5. 求下列函数的定义域: (1) y ? (2) y ? (3) y ?

x2 ? 9 ; x 2 ? 3x ? 4 ; ? x 2 ? 4 x ? 12
2

课 外 活 动

研究 y ? ax ? bx ? c , ax ? bx ? c ? 0 ,
2

以 ax2 ? bx ? c ? 0 ,ax2 ? bx ? c ? 0 的相互关系, 零点作为研究出发点,并将研究结果尝试用一种系 统的、简洁的方式总结表达.

考虑列表, 建议画出图 象帮助分析.

收 获 与 体 会

说说方程的根与函数的零点的关系,并给出判 定方程在某个区产存在根的基本步骤.

课题:§3.1.2 用二分法求方程的近似解
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教学目标: 知识与技能 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件, 了解二分法是求方程近似 解的常用方法,从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用. 过程与方法 能借助计算器用二分法求方程的近似解, 并了解这一数学思想, 为学习算 法做准备. 情感、态度、价值观 体会数学逼近过程,感受精确与近似的相对统一. 教学重点: 重点 通过用二分法求方程的近似解, 体会函数的零点与方程根之间的联系, 初步形成 用函数观点处理问题的意识. 难点 恰当地使用信息技术工具,利用二分法求给定精确度的方程的近似解. 教学程序与环节设计: 创设情境 由二分查找及高次多项式方程的求问题引入.

组织探究

二分法的意义、算法思想及方法步骤.

探索发现

体会函数零点的意义,明确二分法的适用范围.

尝试练习

二分法的算法思想及方法步骤,初步应用二分法解 决简单问题. 二分法应用于实际. 1. 二分法为什么可以逼近零点的再分析; 2. 追寻阿贝尔和伽罗瓦.

作业回馈

课外活动

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教学过程与操作设计: 环节 教学内容设计 材料一:二分查找(binary-search) (第六届全国青少年信息学(计算机)奥林匹 克分区联赛提高组初赛试题第 15 题) 某数列有 1000 个各不相同的单元,由低至高按序排列;现要对该 数列进行二分法检索(binary-search),在最坏的情况 下,需检索( )个单元。 A.1000 B.10 C.100 D.500 二分法检索(二分查找或折半查找)演示. 材料二:高次多项式方程公式解的探索史料 由于实际问题的需要,我们经常需要寻求函数 (即 f ( x) ? 0 的根) 对于 f (x) 为 , y ? f (x) 的零点 一次或二次函数,我们有熟知的公式解法(二次时, 称为求根公式) . 在十六世纪,已找到了三次和四次函数的求根 公式,但对于高于 4 次的函数,类似的努力却一直 没有成功,到了十九世纪,根据阿贝尔(Abel)和 伽罗瓦(Galois)的研究,人们认识到高于 4 次的代 数方程不存在求根公式,亦即,不存在用四则运算 及根号表示的一般的公式解.同时,即使对于 3 次 和 4 次的代数方程,其公式解的表示也相当复杂, 一般来讲并不适宜作具体计算.因此对于高次多项 式函数及其它的一些函数,有必要寻求其零点的近 似解的方法,这是一个在计算数学中十分重要的课 题. 二分法及步骤: 对 于 在 区 间 [a , b] 上 连 续 不 断 , 且 满 足 师:阐述二分法的逼近 原理,引导学生理解二 分法的算法思想,明确 二分法求函数近似零 点的具体步骤. 师:从高次代数方程的 解的探索历程,引导学 生认识引入二分法的 意义. 师生双边互动 师:从学生感兴趣的计 算机编程问题,引导学 生分析二分法的算法 思想与方法,引入课 题.

创 设 情 境

生:体会二分查找的思 想与方法.

组 织 探 究

f (a) ? f (b) ? 0 的函数 y ? f (x) ,通过不断地把
函数 f (x) 的零点所在的区间一分为二, 使区间的两 个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法 叫做二分法. 给定精度 ? , 用二分法求函数 f (x) 的零点近似 值的步骤如下:

分析条件 “ f (a ) ? f (b) ? 0 ” 、 “ 精 度 ? ” “ 区 间中 、

1.确定区间 [ a , b ] ,验证 f (a ) ? f (b) ? 0 , 点”及“ | a ? b |? ? ” 给定精度 ? ; 的意义.

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2.求区间 ( a , b) 的中点 x1 ; 3.计算 f ( x1 ) : 环节 呈现教学材料
1 ○ 若 f ( x1 ) = 0 ,则 x1 就是函数的零点;

师生互动设计 生:结合引例“二分查 找”理解二分法的算法 思想与计算原理.

2 ○ 若 f (a ) ? f ( x1 ) < 0 ,则令 b = x1 (此时零

点 x0 ? (a, x1 ) ) ;
3 ○ 若 f ( x1 ) ? f (b) < 0 ,则令 a = x1 (此时零

师:引导学生分析理解 求区间 ( a , b) 的中点

点 x0 ? ( x1 , b) ) ; 4.判断是否达到精度 ? ; 即若 | a ? b |? ? , 则得到零点零点值 a(或 b ) ; 否则重复步骤 2~4. 例题解析: 组 织 探 究 例 1.求函数 f ( x) ? x ? x ? 2 x ? 2 的一个
3

的方法 x1 ?

a?b . 2

正数零点(精确到 0.1 ) . 分析:首先利用函数性质或借助计算机、计算 器画出函数图象,确定函数零点大致所在的区间, 然后利用二分法逐步计算解答. 解: (略) . 注意:
1 ○ 第一步确定零点所在的大致区间 ( a , b) ,

师:引导学生利用二分 法逐步寻求函数零点 的近似值,注意规范方 法、步骤与书写格式.

生:根据二分法的思想 与步骤独立完成解答, 并进行交流、讨论、评 析.

可利用函数性质,也可借助计算机或计算器,但尽 量取端点为整数的区间,尽量缩短区间长度,通常 可确定一个长度为 1 的区间; 2 ○ 建议列表样式如下: 零点所在区间 [1,2] [1,1.5] [1.25,1.5] 中点函数值 区间长度 1 0.5 0.25 生:认真思考,运用所 学知识寻求确定方程 解的个数的方法,并进 行、 讨论、 交流、 归纳、 师:引导学生应用函数 单调性确定方程解的 个数.

f (1.5) >0 f (1.25) <0

f (1.375) <0

如此列表的优势:计算步数明确,区间长度小 于精度时,即为计算的最后一步.

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例 2.借助计算器或计算机用二分法求方程 . 2 x ? 3x ? 7 的近似解(精确到 0.1 ) 解: (略) . 思考:本例除借助计算器或计算机确定方程解 所在的大致区间和解的个数外,你是否还可以想到 有什么方法确定方程的根的个数?

概括、评析形成结论.

结论:图象在闭区间 [ a , b ] 上连续的单调函数

f (x) ,在 ( a , b) 上至多有一个零点.
环节 呈现教学材料 1) 函数零点的性质 师生互动设计 师:引导学生从“数”

从“数”的角度看:即是使 f ( x) ? 0 的实数; 和“形”两个角度去体 从“形”的角度看:即是函数 f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标; 探 究 与 发 现 若函数 f (x) 的图象在 x ? x0 处与 x 轴相切, 则 零点 x0 通常称为不变号零点; 若函数 f (x) 的图象在 x ? x0 处与 x 轴相交, 则 零点 x0 通常称为变号零点. 2) 用二分法求函数的变号零点 二分法的条件 f (a ) ? f (b) ? 0 表明用二分法 求函数的近似零点都是指变号零点. 1) 教材 P106 练习 1、2 题; 2) 教材 P108 习题 3.1(A 组)第 1、2 题; 3) 求方程 log 3 x ? x ? 3 的解的个数及其大致 尝 试 练 习 所在区间; 4) 求方程 0.9 ?
x

会函数零点的意义,掌 握常见函数零点的求 法,明确二分法的适用 范围.

2 x ? 0 的实数解的个数; 21
x

5) 探究函数 y ? 0.3 与函数 y ? log 0.3 x 的图 象有无交点,如有交点,求出交点,或给出 一个与交点距离不超过 0.1 的点.
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1) 教材 P108 习题 3.1(A 组)第 3~6 题、 (B 组)第 4 题; 2) 提高作业: 1 ○ 已知函数

f ( x) ? 2(m ? 1) x 2 ? 4mx ? 2m ? 1 .
作 业 回 馈 (1)m 为何值时, 函数的图象与 x 轴有两个交 点? (2)如果函数的一个零点在原点,求 m 的值.
2 ○ 借助于计算机或计算器,用二分法求函数

f ( x) ? x 3 ? 2 的零点(精确到 0.01 ) ;

3 ○ 用二分法求 3 3 的近似值(精确到 0.01 ) .

环节

呈现教学材料

师生互动设计

课 外 活 动

查找有关系资料或利用 internet 查找有关高次 代数方程的解的研究史料,追寻阿贝尔(Abel)和 伽罗瓦(Galois) ,增强探索精神,培养创新意识.

说说方程的根与函数的零点的关系,并给出判 收 获 与 体 会 定方程在某个区间存在根的基本步骤,及方程根的 个数的判定方法; 谈谈通过学习求函数的零点和求方程的近似 解,对数学有了哪些新的认识?

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课题:§3.2.1 几类不同增长的函数模型
教学目标: 知识与技能 结合实例体会直线上升、 指数爆炸、 对数增长等不同增长的函数模型意义, 理解它们的增长差异性. 过程与方法 能够借助信息技术, 利用函数图象及数据表格, 对几种常见增长类型的函 数的增长状况进行比较, 初步体会它们的增长差异性; 收集一些社会生活中普遍使用的函数 模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等) ,了解函数模型的广泛应用. 情感、态度、价值观 体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型,体验指数函 数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用. 教学重点: 重点 将实际问题转化为函数模型,比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模 型的增长差异, 结合实例体会直线上升、 指数爆炸、 对数增长等不同函数类型增长的含义. 难点 怎样选择数学模型分析解决实际问题. 教学程序与环节设计: 创设情境 实际问题引入,激发学生兴趣.

组织探究

选择变量、建立模型,利用数据表格、函数图象讨论 模型,体会不同函数模型增长的含义及其差异. 总结例题的探究方法,并进一步探索研究幂函数、指 数函数、对数函数的增长差异,形成结论性报告. 师生交流共同小结,归纳一般的应用题的求 解方法步骤. 强化基本方法,规范基本格式.

探索研究

巩固反思

作业回馈

课外活动

收集一些社会生活中普遍使用的函数模型,了解函数 模型的广泛应用.

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教学过程与操作设计: 环节 教学内容设计 师生双边互动 师:指出:一般而言, 材料:澳大利亚兔子数“爆炸” 在理想条件 (食物或养 在教科书第三章的章头图中,有一大群喝水、嬉 料充足,空间条件充 戏的兔子,但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑 裕,气候适宜,没有敌 筋.1859 年,有人从欧洲带进澳洲几只兔子,由于 害等)下,种群在一定 澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌,兔子数 时期内的增长大致符 量不断增加,不到 100 年,兔子们占领了整个澳大 合“J”型曲线;在有 利亚, 数量达到 75 亿只. 可爱的兔子变得可恶起来, 限环境(空间有限,食 75 亿只兔子吃掉了相当于 75 亿只羊所吃的牧草, 草 物有限, 有捕食者存在 原的载畜率大大降低,而牛羊是澳大利亚的主要牲 等)中,种群增长到一 口.这使澳大利亚头痛不已,他们采用各种方法消 定程度后不增长, 曲线 灭这些兔子,直至二十世纪五十年代,科学家采用 呈“S”型.可用指数 载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔,澳大利亚人 函数描述一个种群的 才算松了一口气. 前期增长, 用对数函数 描述后期增长的 例 1. 假设你有一笔资金用于投资, 现有三种投 资方案供你选择,这三种方案的回报如下: 方案一:每天回报 40 元; 方案二:第一天回报 10 元,以后每天比前一天 多回报 10 元; 方案三:第一天回报 0 .4 元,以后每天的回报 比前一天翻一番. 请问,你会选择哪种投资方案? 探究: 1) 在本例中涉及哪些数量关系?如何用函数描 述这些数量关系? 师:创设问题情境,以 问题引入能激起学生 的热情, 使课堂里的有 效思维增强. 生:阅读题目,理解题 意,思考探究问题. 师: 引导学生分析本例 中的数量关系, 并思考 应当选择怎样的函数 模型来描述. 生:观察表格,获取信 息, 体会三种函数的增 长差异, 特别是指数爆 炸,说出自己的发现, 并进行交流. 师: 引导学生观察表格 中三种方案的数量变 化情况, “增加量” 对于 进行比较,体会“直线 增长” 、 “指数爆炸” 等. 师生双边互动

创 设 情 境









2)分析解答(略)

3)根据例 1 表格中所提供的数据,你对三种方 案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识?

环节

教学内容设计

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4)你能借助计算器或计算机作出函数图象,并 通过图象描述一下三种方案的特点吗?

师: 引导学生利用函数 图象分析三种方案的 不同变化趋势. 生: 对三种方案的不同 变化趋势作出描述, 并 为方案选择提供依据.

5)根据以上分析,你认为就作出如何选择?

师: 引导学生分析影响 方案选择的因素, 使学 生认识到要做出正确 选择除了考虑每天的 收益, 还要考虑一段时 间内的总收益. 生:通过自主活动,分 析整理数据, 并根据其 中的信息做出推理判 断, 获得累计收益并给 出本全的完整解答, 然 后全班进行交流.









例 2.某公司为了实现 1000 万元利润的目标, 师: 引导学生分析三种 准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利 函数的不同增长情况 润达到 10 万元时,按销售利润进行奖励,且奖金 y 对于奖励模型的影响, (单位:万元)随销售利润 x (单位:万元)的增 使学生明确问题的实 加而增加但奖金不超过 5 万元,同时奖金不超过利 质就是比较三个函数 润的 25%.现有三个奖励模型: 的增长情况.

y ? 0.25 x

y ? log7 x ? 1

y ? 1.002 x .

问:其中哪个模型能符合公司的要求? 探究: 1) 本例涉及了哪几类函数模型? 本例的实质是什么?

生: 进一步体会三种基 本函数模型在实际中 的广泛应用, 体会它们 的增长差异. 师: 引导学生分析问题 使学生得出: 要对每一 个奖励模型的奖金总 额是否超出 5 万元, 以 及奖励比例是否超过 25%进行分析,才能做 出正确选择. 师生互动设计

2)你能根据问题中的数据,判定所给的奖励模 型是否符合公司要求吗? 环节 呈现教学材料

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生: 分析数据特点与作 用判定每一个奖励模 型是否符合要求. 组 织 探 究 生: 进一步认识三个函 数模型的增长差异, 对 问题作出具体解答. 幂函数、指数函数、对数函数的增长差异分析: 师: 引导学生仿照前面 例题的探究方法, 选用 你能否仿照前面例题使用的方法,探索研究幂 具体函数进行比较分 析. n x 函数 y ? x (n ? 0) 、 指数函数 y ? a (a ? 1) 、 对数 生: 仿照例题的探究方 法, 选用具体函数进行 异,并进行交流、讨论、概括总结,形成较为准确、 研究、论证,并进行交 详尽的结论性报告. 流总结, 形成结论性报 告. 函数 y ? log a x(a ? 1) 在区间 (0,??) 上的增长差 师: 对学生的结论进行 评析, 借助信息技术手 段进行验证演示. 尝试练习: 1) 教材 P116 练习 1、2; 2) 教材 P119 练习. 生: 通过尝试练习进一 步体会三种不同增长 的函数模型的增长差 异及其实际应用. 3)通过对三个函数模型增长差异的比较,写出 例 2 的解答. 师: 引导学生利用解析 式,结合图象,对三个 模型的增长情况进行 分析比较, 写出完整的 解答过程.

探 究 与 发 现

巩 固 与 反 思

小结与反思: 通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、 师: 培养学生对数学学 指数爆炸、 对数增长等不同函数模型的增长的含义, 科的深刻认识, 体会数 认识数学的价值,认识数学与现实生活、与其他学 学的应用美. 科的密切联系,从而体会数学的实用价值,享受数 学的应用美. 呈现教学材料 师生互动设计

环节

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作 业 与 回 馈

教材 P127 习题 32(A 组)第 1~5 题; (B 组)第 1 题

课 外 活 动

收集一些社会生活中普遍使用的递增的一次函 数、指数函数、对数函数的实例,对它们的增长速 度进行比较,了解函数模型的广泛应用; 有时同一个实际问题可以建立多个函数模 型.具体应用函数模型时,你认为应该怎样选用合 理的函数模型?

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必修二
第一章:空间几何体
1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征
一、教学目标 1.知识与技能 (1)通过实物操作,增强学生的直观感知。 (2)能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 (3)会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 (4)会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2.过程与方法 (1)让学生通过直观感受空间物体,从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。 (2)让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3.情感态度与价值观 (1)使学生感受空间几何体存在于现实生活周围,增强学生学习的积极性,同时 提高学生的观察能力。 (2)培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 重点:让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点:柱、锥、台、球的结构特征的概括。 三、教学用具 (1)学法:观察、思考、交流、讨论、概括。 (2)实物模型、投影仪 四、教学思路 (一)创设情景,揭示课题 1.教师提出问题:在我们生活周围中有不少有特色的建筑物,你能举出一些例子吗? 这些建筑的几何结构特征如何?引导学生回忆, 举例和相互交流。 教师对学生的活动及时给 予评价。 2.所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的, (展示具有柱、锥、台、球结构 特征的空间物体) ,你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗?这是我们所 要学习的内容。 (二) 、研探新知 1.引导学生观察物体、思考、交流、讨论,对物体进行分类,分辩棱柱、圆柱、棱

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锥。 2.观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片,它们各自的特点是什么?它们的共 同特点是什么? 3.组织学生分组讨论,每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱 柱的主要结构特征。 (1)有两个面互相平行; (2)其余各面都是平行四边形; (3)每相邻两 上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。 4.教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。 5.提出问题:各种这样的棱柱,主要有什么不同?可不可以根据不同对棱柱分类? 请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体,并说出组成这些物体的几何结构特 征?它们由哪些基本几何体组成的? 6.以类似的方法,让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征,并得出相关 的概念,分类以及表示。 7.让学生观察圆柱,并实物模型演示,如何得到圆柱,从而概括出圆标的概念以及 相关的概念及圆柱的表示。 8.引导学生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征,以及相关概念和表示, 借助实物模型演示引导学生思考、讨论、概括。 9.教师指出圆柱和棱柱统称为柱体,棱台与圆台统称为台体,圆锥与棱锥统称为锥 体。 10.现实世界中,我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体 组合而成。 请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体, 并说出组成这些物体的几何结构 特征?它们由哪些基本几何体组成的? (三)质疑答辩,排难解惑,发展思维,教师提出问题,让学生思考。 1.有两个面互相平行,其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱(举反例说明, 如图) 2.棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗? 3.课本 P8,习题 1.1 A 组第 1 题。 4.圆柱可以由矩形旋转得到,圆锥可以由直角三角形旋转得到,圆台可以由什么图 形旋转得到?如何旋转? 5.棱台与棱柱、棱锥有什么关系?圆台与圆柱、圆锥呢? 四、巩固深化 练习:课本 P7 练习 1、2(1) (2) 课本 P8 习题 1.1 第 2、3、4 题 五、归纳整理 由学生整理学习了哪些内容

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六、布置作业 课本 P8 练习题 1.1 B 组第 1 题 课外练习 课本 P8 习题 1.1 B 组第 2 题

1.2.1
一、教学目标 1.知识与技能 (1)掌握画三视图的基本技能 (2)丰富学生的空间想象力 2.过程与方法

空间几何体的三视图(1 课时)

主要通过学生自己的亲身实践,动手作图,体会三视图的作用。 3.情感态度与价值观 (1)提高学生空间想象力 (2)体会三视图的作用 二、教学重点、难点 重点:画出简单组合体的三视图 难点:识别三视图所表示的空间几何体 三、学法与教学用具 1.学法:观察、动手实践、讨论、类比 2.教学用具:实物模型、三角板 四、教学思路 (一)创设情景,揭开课题 “横看成岭侧看成峰”, 这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同, 要比较 真实反映出物体,我们可从多角度观看物体,这堂课我们主要学习空间几何体的三视图。 在初中,我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图(正视图、侧视图、 俯视图) ,你能画出空间几何体的三视图吗? (二)实践动手作图 1.讲台上放球、长方体实物,要求学生画出它们的三视图,教师巡视,学生画完后可 交流结果并讨论; 2.教师引导学生用类比方法画出简单组合体的三视图 (1)画出球放在长方体上的三视图 (2)画出矿泉水瓶(实物放在桌面上)的三视图 学生画完后,可把自己的作品展示并与同学交流,总结自己的作图心得。 作三视图之前应当细心观察,认识了它的基本结构特征后,再动手作图。 3.三视图与几何体之间的相互转化。

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(1)投影出示图片(课本 P10,图 1.2-3) 请同学们思考图中的三视图表示的几何体是什么? (2)你能画出圆台的三视图吗? (3)三视图对于认识空间几何体有何作用?你有何体会? 教师巡视指导,解答学生在学习中遇到的困难,然后让学生发表对上述问题的看法。 4.请同学们画出 1.2-4 中其他物体表示的空间几何体的三视图,并与其他同学交流。 (三)巩固练习 课本 P12 练习 1、2 P18 习题 1.2 A 组 1 (四)归纳整理 请学生回顾发表如何作好空间几何体的三视图 (五)课外练习 1.自己动手制作一个底面是正方形,侧面是全等的三角形的棱锥模型,并画出它的三 视图。 2.自己制作一个上、下底面都是相似的正三角形,侧面是全等的等腰梯形的棱台模型, 并画出它的三视图。

1.2.2
一、教学目标 1.知识与技能

空间几何体的直观图(1 课时)

(1)掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。 (2)采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方 法的各自特点。 2.过程与方法 学生通过观察和类比,利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。 3.情感态度与价值观 (1)提高空间想象力与直观感受。 (2)体会对比在学习中的作用。 (3)感受几何作图在生产活动中的应用。 二、教学重点、难点 重点、难点:用斜二测画法画空间几何值的直观图。 三、学法与教学用具 1.学法:学生通过作图感受图形直观感,并自然采用斜二测画法画空间几何体的过程。 2.教学用具:三角板、圆规

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四、教学思路 (一)创设情景,揭示课题 1.我们都学过画画,这节课我们画一物体:圆柱 把实物圆柱放在讲台上让学生画。 2.学生画完后展示自己的结果并与同学交流,比较谁画的效果更好,思考怎样才能画 好物体的直观图呢?这是我们这节主要学习的内容。 (二)研探新知 1.例 1,用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图,由学生阅读理解,并思考斜 二测画法的关键步骤,学生发表自己的见解,教师及时给予点评。 画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置, 因为多边形顶点的位置 一旦确定,依次连结这些顶点就可画出多边形来,因此平面多边形水平放置时,直观图的画 法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。 练习反馈 根据斜二测画法,画出水平放置的正五边形的直观图,让学生独立完成后,教师检查。 2.例 2,用斜二测画法画水平放置的圆的直观图 教师引导学生与例 1 进行比较, 与画水平放置的多边形的直观图一样, 画水平放置的圆 的直观图,也是要先画出一些有代表性的点,由于不能像多边那样直接以顶点为代表点,因 此需要自己构造出一些点。 教师组织学生思考、讨论和交流,如何构造出需要的一些点,与学生共同完成例 2 并详 细板书画法。 3.探求空间几何体的直观图的画法 (1) 3, 例 用斜二测画法画长、 高分别是 4cm、 宽、 3cm、 的长方体 ABCD-A’B’C’D’ 2cm 的直观图。 教师引导学生完成,要注意对每一步骤提出严格要求,让学生按部就班地画好每一步, 不能敷衍了事。 (2)投影出示几何体的三视图、课本 P15 图 1.2-9,请说出三视图表示的几何体?并 用斜二测画法画出它的直观图。教师组织学生思考,讨论和交流完成,教师巡视帮不懂的同 学解疑,引导学生正确把握图形尺寸大小之间的关系。 4.平行投影与中心投影 投影出示课本 P17 图 1.2-12,让学生观察比较概括在平行投影下画空间图形与在中心 投影下画空间图形的各自特点。 5.巩固练习,课本 P16 练习 1(1) ,2,3,4 三、归纳整理 学生回顾斜二测画法的关键与步骤

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四、作业 1.书画作业,课本 P17 练习第 5 题 2.课外思考 课本 P16,探究(1) (2)

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
一、教学目标 1、知识与技能 (1)通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。 (2)能运用公式求解,柱体、锥体和台全的全积,并且熟悉台体与术体和锥体之间 的转换关系。 (3)培养学生空间想象能力和思维能力。 2、过程与方法 (1)让学生经历几何全的侧面展一过程,感知几何体的形状。 (2)让学生通对照比较,理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。 3、情感与价值 通过学习,使学生感受到几何体面积和体积的求解过程,对自己空间思维能力影响。 从而增强学习的积极性。 二、教学重点、难点 重点:柱体、锥体、台体的表面积和体积计算 难点:台体体积公式的推导 三、学法与教学用具 1、学法:学生通过阅读教材,自主学习、思考、交流、讨论和概括,通过剖析实物 几何体感受几何体的特征,从而更好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具:实物几何体,投影仪 四、教学设想 1、创设情境 (1)教师提出问题:在过去的学习中,我们已经接触过一些几何体的面积和体积的 求法及公式,哪些几何体可以求出表面积和体积?引导学生回忆,互相交流,教师归类。 (2)教师设疑:几何体的表面积等于它的展开圈的面积,那么,柱体,锥体,台体 的侧面展开图是怎样的?你能否计算?引入本节内容。 2、探究新知 (1)利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图

(2)组织学生分组讨论:这三个图形的表面由哪些平面图形构成?表面积如何求? (3)教师对学生讨论归纳的结果进行点评。 3、质疑答辩、排难解惑、发展思维 (1)教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构,并归纳出其表面积的 计算公式:
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S圆台表面积 ? ?(r '2 ?r 2 ? r ' l ? rl )
r 为上底半径 r 为下底半径 l 为母线长 (2)组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。
1

(3)教师引导学生探究:如何把一个三棱柱分割成三个等体积 的棱锥?由此加深学生对等底、等高的锥体与柱体体积之间的关系的 了解。如图:

(4)教师指导学生思考,比较柱体、锥体,台体的体积公式之间存在的关系。

(s’,s 分别我上下底面面积,h 为台柱高) 4、例题分析讲解 (课本)例 1、 例 2、 例 3 5、巩固深化、反馈矫正 教师投影练习 1、已知圆锥的表面积为 a ㎡,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面直 2 (答案: 3a? m ) 径为 。 3? 2、棱台的两个底面面积分别是 245c ㎡和 80c㎡,截得这个棱台的棱锥的高为 35cm, 3 求这个棱台的体积。 (答案:2325cm ) 6、课堂小结 本节课学习了柱体、 锥体与台体的表面积和体积的结构和求解方法及公式。 用联系的关点看 待三者之间的关系,更加方便于我们对空间几何体的了解和掌握。 7、评价设计 习题 1.3 A 组 1.3

§1.3.2
一. 教学目标 1. 知识与技能

球的体积和表面积

⑴通过对球的体积和面积公式的推导,了解推导过程中所用的基本数学思想方法: “分 割——求和——化为准确和” ,有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。 ⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。 ⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。
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2. 过程与方法 通过球的体积和面积公式的推导, 从而得到一种推导球体积公式V=

4 π R3 和面积 3

公式S=4π R2 的方法,即“分割求近似值,再由近似和转化为球的体积和面积”的方 法,体现了极限思想。 3. 情感与价值观 通过学习,使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解,提高了空间 思维能力和空间想象能力,增强了我们探索问题和解决问题的信心。 二. 教学重点、难点 重点:引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。 难点:推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。 三. 学法和教学用具 1. 学法:学生通过阅读教材,发挥空间想象能力,了解并初步掌握“分割、求近似值 的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。 2. 教学用具:投影仪 四. 教学设计 (一) 创设情景 ⑴教师提出问题: 球既没有底面, 也无法像在柱体、 锥体和台体那样展开成平面图形, 那么怎样来求球的表面积与体积呢?引导学生进行思考。 ⑵教师设疑: 球的大小是与球的半径有关, 如何用球半径来表示球的体积和面积?激 发学生推导球的体积和面积公式。 (二) 探究新知 1.球的体积: 如果用一组等距离的平面去切割球,当距离很小之时得到很多“小圆片”“小圆片”的 , 体积的体积之和正好是球的体积,由于“小圆片”近似于圆柱形状,所以它的体积也近 似于圆柱形状, 所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积, 因此求球的体积可以按 “分 割——求和——化为准确和”的方法来进行。 步骤: 第一步:分割 如图:把半球的垂直于底面的半径OA作 n 等分,过这些 等分点, 用一组平行于底面的平面把半球切割成 n 个 “小圆片” , “小圆片”厚度近似为 如图:

R ,底面是“小圆片”的底面。 n

R ?R 3 i ?1 2 [1 ? ( ) ]  ? 1、2 ? n) (i ? 得 Vi ? ? ? r i ? ? n n n
2

第二步:求和

V半球=v1 ? v2 ? v3 ? ? ? vn ? ?R 3[1 ?
第三步:化为准确的和

(1 ? 1 )( 2 ? 1 ) n n ] 6

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当 n→∞时, n →0 (同学们讨论得出) 所以

1

V半球=?R 3 (1 ?

1? 2 2 ) ? ?R 3 6 3
V球 ? 4 ?R 3 3
3

得到定理:半径是R的球的体积

练习:一种空心钢球的质量是 142g,外径是 5cm,求它的内径(钢的密度是 7.9g/cm ) 2.球的表面积: 球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径 R 的函数,由于球面是不可展的曲面, 所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、 求近似和,再由近似和转化为准确和”方法推导。 思考:推导过程是以什么量作为等量变换的? 2 半径为 R 的球的表面积为 S=4π R 练习:长方体的一个顶点上三条棱长分别为 3、4、5,是它的八个顶点都在同一球面 上,则这个球的表面积是 。 (答案 50 元) (三) 典例分析 课本 P47 例 4 和 P29 例 5 (四) 巩固深化、反馈矫正 ⑴正方形的内切球和外接球的体积的比为 ,表面积比为 。 (答案: 3 3 : 1
2

; 3 :1)
2

⑵在球心同侧有相距 9cm 的两个平行截面,它们的面积分别为 49π cm 和 400π cm , 2 求球的表面积。 (答案:2500π cm ) 分析:可画出球的轴截面,利用球的截面性 质求球的半径

(五) 课堂小结 本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导, 以及利用公式解决相关的球 的问题,了解了推导中的“分割、求近似和,再由近似和转化为准确和”的解题方法。 (六) 评价设计 作业 P30 练习 1、3 ,B(1)

第二章 直线与平面的位置关系
§2.1.1 平面 一、教学目标: 1、知识与技能 (1)利用生活中的实物对平面进行描述; (2)掌握平面的表示法及水平放置的直观图;
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(3)掌握平面的基本性质及作用; (4)培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法 (1)通过师生的共同讨论,使学生对平面有了感性认识; (2)让学生归纳整理本节所学知识。 3、情感与价值 使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间,进而增强了学习的兴趣。 二、教学重点、难点 重点:1、平面的概念及表示; 2、平面的基本性质,注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。 难点:平面基本性质的掌握与运用。 三、学法与教学用具 1、学法:学生通过阅读教材,联系身边的实物思考、交流,师生共同讨论等,从而较好地 完成本节课的教学目标。 2、教学用具:投影仪、投影片、正(长)方形模型、三角板 四、教学思想 (一)实物引入、揭示课题 师:生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等,都给我们以平面的印象, 你们能举出更多例子吗?引导学生观察、思考、举例和互相交流。与此同时,教师对学生的 活动给予评价。 师:那么,平面的含义是什么呢?这就是我们这节课所要学习的内容。 (二)研探新知 1、平面含义 师:以上实物都给我们以平面的印象,几何里所说的平面,就是从这样的一些物体中抽象出 来的,但是,几何里的平面是无限延展的。 2、平面的画法及表示 师:在平面几何中,怎样画直线?(一学生上黑板画) 之后教师加以肯定,解说、类比,将知识迁移,得出平面的画法:水平放置的平面通常画成 0 一个平行四边形,锐角画成 45 ,且横边画成邻边的 2 倍长(如图) D α A B C

平面通常用希腊字母α 、β 、γ 等表示,如平面α 、平面β 等,也可以用表示平面的平行四 边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面 AC、平面 ABCD 等。 如果几个平面画在一起,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应画成虚线或不画(打 出投影片)

β

β

α

α
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?B 课本 P41 图 2.1-4 说明 平面内有无数个点,平面可以看成点的集合。 点 A 在平面α 内,记作:A?α 点 B 在平面α 外,记作:B ? α ?A

α

2.1-4 3、平面的基本性质 教师引导学生思考教材 P41 的思考题,让学生充分发表自己的见解。 师:把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边,可以看到,直尺的整个边缘就落在了桌面上, 用事实引导学生归纳出以下公理 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 (教师引导学生阅读教材 P42 前几行相关内容,并加以解析) 符号表示为 A?L A B?L => L α α ? ?B L A?α B?α 公理 1 作用:判断直线是否在平面内 师:生活中,我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等?? 引导学生归纳出公理 2 公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 A B α ? C ? 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α , ? 使 A?α 、B?α 、C?α 。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 教师用正(长)方形模型,让学生理解两个平面的交线的含义。 引导学生阅读 P42 的思考题,从而归纳出公理 3 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为:P?α ∩β =>α ∩β =L,且 P?L β 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据 P α ? L 4、教材 P43 例 1 通过例子,让学生掌握图形中点、线、面的位置关系及符号的正确使用。 5、课堂练习:课本 P44 练习 1、2、3、4 6、课时小结: (师生互动,共同归纳) (1)本节课我们学习了哪些知识内容?(2)三个公理的内容及作用是什么? 7、作业布置 (1)复习本节课内容; (2)预习:同一平面内的两条直线有几种位置关系?

§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
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一、教学目标: 1、知识与技能 (1)了解空间中两条直线的位置关系; (2)理解异面直线的概念、画法,培养学生的空间想象能力; (3)理解并掌握公理 4; (4)理解并掌握等角定理; (5)异面直线所成角的定义、范围及应用。 2、过程与方法 (1)师生的共同讨论与讲授法相结合; (2)让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。 3、情感与价值 让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性,提高学生的学习兴趣。 二、教学重点、难点 重点:1、异面直线的概念; 2、公理 4 及等角定理。 难点:异面直线所成角的计算。 三、学法与教学用具 1、学法:学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括,从而较好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具:投影仪、投影片、长方体模型、三角板 四、教学思想 (一)创设情景、导入课题 1、通过身边诸多实物,引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念:不同在任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。 2、师:那么,空间两条直线有多少种位置关系?(板书课题) (二)讲授新课 1、教师给出长方体模型,引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 共面直线 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 教师再次强调异面直线不共面的特点,作图时通常用一个或两个平面衬托,如下图:

2、 (1)师:在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行。 在空间中,是否有类似的规律? 组织学生思考: 长方体 ABCD-A'B'C'D'中, BB'∥AA',DD'∥AA', BB'与 DD'平行吗? 生:平行

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再联系其他相应实例归纳出公理 4 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b =>a∥c c∥b 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 (2)例 2(投影片) 例 2 的讲解让学生掌握了公理 4 的运用 (3)教材 P47 探究 让学生在思考和交流中提升了对公理 4 的运用能力。 3、组织学生思考教材 P47 的思考题 (投影)

让学生观察、思考: ∠ADC 与 A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何? 0 生:∠ADC = A'D'C',∠ADC + ∠A'B'C' = 180 教师画出更具一般性的图形,师生共同归纳出如下定理 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 教师强调:并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。 4、以教师讲授为主,师生共同交流,导出异面直线所成的角的概念。 (1)师:如图,已知异面直线 a、b,经过空间中任一点 O 作直线 a'∥a、b'∥b,我们把 a'与 b'所成的锐角(或直角)叫异面直线 a 与 b 所成的角(夹角) 。

(2)强调: ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为了简便,点 O 一般取在两直线中的一条上; ? ② 两条异面直线所成的角θ ?(0, ); 2 ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 (3)例 3(投影) 例 3 的给出让学生掌握了如何求异面直线所成的角,从而巩固了所学知识。 (三)课堂练习 教材 P49 练习 1、2 充分调动学生动手的积极性,教师适时给予肯定。

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(四)课堂小结 在师生互动中让学生了解: (1)本节课学习了哪些知识内容? (2)计算异面直线所成的角应注意什么? (五)课后作业 1、判断题: (1)a∥b c⊥a => c⊥b ( ) (1)a⊥c b⊥c => a⊥b ( ) 2、填空题: 在正方体 ABCD-A'B'C'D'中,与 BD'成异面直线的有 ________ 条。

§2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、 平面与平面之间的位置关系
一、教学目标: 1、知识与技能 (1)了解空间中直线与平面的位置关系; (2)了解空间中平面与平面的位置关系; (3)培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法 (1)学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握; (2)让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。 二、教学重点、难点 重点:空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。 难点:用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。 三、学法与教学用具 1、学法:学生借助实物,通过观察、类比、思考等,较好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具:投影仪、投影片、长方体模型 四、教学思想 (一)创设情景、导入课题 教师以生活中的实例以及课本 P49 的思考题为载体, 提出了: 空间中直线与平面有多少种位 置关系?(板书课题) (二)研探新知 1、引导学生观察、思考身边的实物,从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点

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指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a α 来表示

a α a∩α =A a∥α 例 4(投影) 师生共同完成例 4 例 4 的给出加深了学生对这几种位置关系的理解。 2、引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考,准确归纳出两个平面之间有两种 位置关系: (1)两个平面平行 —— 没有公共点 (2)两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线 用类比的方法,学生很快地理解与掌握了新内容,这两种位置关系用图形表示为 α α ∥β L α ∩β = L

教师指出:画两个相互平行的平面时,要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。 α β β 教材 P51 探究 让学生独立思考,稍后教师作指导,加深学生对这两种位置关系的理解 教材 P51 练习 学生独立完成后教师检查、指导 (三)归纳整理、整体认识 教师引导学生归纳,整理本节课的知识脉络,提升他们掌握知识的层次。 (四)作业 1、让学生回去整理这三节课的内容,理清脉络。 2、教材 P52 习题 2.1 A 组第 5 题

§2.2.1 直线与平面平行的判定
一、教学目标: 1、知识与技能 (1)理解并掌握直线与平面平行的判定定理; (2)进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力; 2、过程与方法 学生通过观察图形,借助已有知识,掌握直线与平面平行的判定定理。 3、情感、态度与价值观 (1)让学生在发现中学习,增强学习的积极性; (2)让学生了解空间与平面互相转换的数学思想。 二、教学重点、难点

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重点、难点:直线与平面平行的判定定理及应用。 三、学法与教学用具 1、学法:学生借助实例,通过观察、思考、交流、讨论等,理解判定定理。 2、教学用具:投影仪(片) 四、教学思想 (一)创设情景、揭示课题 引导学生观察身边的实物,如教材第 55 页观察题:封面所在直线与桌面所在平面具有什么 样的位置关系?如何去确定这种关系呢?这就是我们本节课所要学习的内容。 (二)研探新知 1、投影问题 a

α

直线 a 与平面α 平行吗?

a 若α 内有直线 b 与 a 平行, 那么α 与 a 的位置关系如何? 是否可以保证直线 a 与平面α 平行?

α

b

学生思考后,师生共同探讨,得出以下结论 直线与平面平行的判定定理: 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 则该直线与此平 面平行。 简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示: a α b β => a∥α a∥b 2、例 1 引导学生思考后,师生共同完成 该例是判定定理的应用,让学生掌握将空间问题转化为平面问题的化归思想。 (三)自主学习、发展思维 练习:教材第 57 页 1、2 题 让学生独立完成,教师检查、指导、讲评。 (四)归纳整理 1、同学们在运用该判定定理时应注意什么? 2、在解决空间几何问题时,常将之转换为平面几何问题。 (五)作业 1、教材第 64 页 习题 2.2 A 组第 3 题; 2、预习:如何判定两个平面平行?

§2.2.2 平面与平面平行的判定
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一、教学目标: 1、知识与技能 理解并掌握两平面平行的判定定理。 2、过程与方法 让学生通过观察实物及模型,得出两平面平行的判定。 3、情感、态度与价值观 进一步培养学生空间问题平面化的思想。 二、教学重点、难点 重点:两个平面平行的判定。 难点:判定定理、例题的证明。 三、学法与教学用具 1、学法:学生借助实物,通过观察、类比、思考、探讨,教师予以启发,得出两平面平行 的判定。 2、教学用具:投影仪、投影片、长方体模型 四、教学思想 (一)创设情景、引入课题 引导学生观察、思考教材第 57 页的观察题,导入本节课所学主题。 (二)研探新知 1、问题: (1)平面β 内有一条直线与平面α 平行,α 、β 平行吗? (2)平面β 内有两条直线与平面α 平行,α 、β 平行吗? 通过长方体模型,引导学生观察、思考、交流,得出结论。 两个平面平行的判定定理: 一个平面内的两条交直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行。 符号表示: a β b β a∩b = P β ∥α a∥α b∥α 教师指出:判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 2、例 2 引导学生思考后,教师讲授。 例子的给出,有利于学生掌握该定理的应用。 (三)自主学习、加深认识 练习:教材第 59 页 1、2、3 题。 学生先独立完成后,教师指导讲评。 (四)归纳整理、整体认识 1、判定定理中的线与线、线与面应具备什么条件? 2、在本节课的学习过程中,还有哪些不明白的地方,请向老师提出。 (五)作业布置

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第 65 页习题 2.2 A 组第 7 题。

§2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质
一、教学目标: 1、知识与技能 (1)掌握直线与平面平行的性质定理及其应用; (2)掌握两个平面平行的性质定理及其应用。 2、过程与方法 学生通过观察与类比,借助实物模型理解性质及应用。 3、情感、态度与价值观 (1)进一步提高学生空间想象能力、思维能力; (2)进一步体会类比的作用; (3)进一步渗透等价转化的思想。 二、教学重点、难点 重点:两个性质定理 。 难点: (1)性质定理的证明; (2)性质定理的正确运用。 三、学法与教学用具 1、学法:学生借助实物,通过类比、交流等,得出性质及基本应用。 2、教学用具:投影仪、投影片、长方体模型 四、教学思想 (一)创设情景、引入新课 1、思考题:教材第 60 页,思考(1) (2) 学生思考、交流,得出 (1)一条直线与平面平行,并不能保证这个平面内的所有直线都与这个直线平行; (2)直线 a 与平面α 平行,过直线 a 的某一平面,若与平面α 相交,则直线 a 就平行于这 条交线。 在教师的启发下,师生共同完成 该结论的证明过程。 于是,得到直线与平面平行的性质定理。

定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示: a∥α a β a∥b α ∩β = b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、例 3 培养学生思维,动手能力,激发学习兴趣。

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例 4 性质定理的直接应用,它渗透着化归思想,教师应多做引导。 3、思考:如果两个平面平行,那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么样的 位置关系? 学生借助长方体模型思考、交流得出结论:异面或平行。 再问:平面 AC 内哪些直线与 B'D'平行?怎么找? 在教师的启发下,师生 共同完成该结论及证明过程, 于是得到两个平面平行的性质定理。

定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 符号表示: α ∥β α ∩γ = a a∥b β ∩γ = b 教师指出:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 4、例 5 以讲授为主,引导学生共同完成,逐步培养学生应用定理解题的能力。 (三)自主学习、巩固知识 练习:课本第 63 页 学生独立完成,教师进行纠正。 (四)归纳整理、整体认识 1、通过对两个性质定理的学习,大家应注意些什么? 2、本节课涉及到哪些主要的数学思想方法? (五)布置作业 课本第 65 页 习题 2.2 A 组第 6 题。

§2.3.1 直线与平面垂直的判定
一、教学目标 1、知识与技能 (1)使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理; (2)使学生掌握判定直线和平面垂直的方法; (3)培养学生的几何直观能力,使他们在直观感知,操作确认的基础上学会归纳、 概括结论。 2、过程与方法 (1)通过教学活动,使学生了解,感受直线和平面垂直的定义的形成过程; (2)探究判定直线与平面垂直的方法。
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3、情态与价值 培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。 二、教学重点、难点 直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。 三、教学设计 (一)创设情景,揭示课题 1、教师首先提出问题:在现实生活中,我们经常看到一些直线与平面垂直的现象,例 如: “旗杆与地面,大桥的桥柱和水面等的位置关系” ,你能举出一些类似的例子吗?然后让 学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。 2、接着教师指出:一条直线与一个平面垂直的意义是什么?并通过分析旗杆与它在地 面上的射影的位置关系引出课题内容。 (二)研探新知 1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知,可再借助长方体模 型让学生感知直线与平面的垂直关系。然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题: 从直线与直线垂直、 直线与平面平行等的定义过程得到启发, 能否用一条直线垂直于一个平 面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢?并组织学生交流讨论,概括其定义。 如果直线 L 与平面α 内的任意一条直线都垂直, 我们就说直线 L 与平面α 互相垂直, 记 作 L⊥α ,直线 L 叫做平面α 的垂线,平面α 叫做直线 L 的垂面。如图 2.3-1,直线与平面 垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。并对画示表示进行说明。 L p α 图 2-3-1 2、老师提出问题,让学生思考: (1)问题:虽然可以根据定义判定直线与平面垂直,但这种方法实际上难以实施。有 没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢? (2)师生活动:请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起来做如图 2.3-2 试验:过 △ABC 的顶点 A 翻折纸片,得到折痕 AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC 与桌 面接触) ,问如何翻折才能保证折痕 AD 与桌面所在平面垂直? A

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B

D 图 2.3-2

C

(3)归纳结论:引导学生根据直观感知及已有经验(两条相交直线确定一个平面) ,进 行合情推理,获得判定定理: 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 老师特别强调:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思 想。 (三)实际应用,巩固深化 (1)课本 P69 例 1 教学 (2)课本 P69 例 2 教学 (四)归纳小结,课后思考 小结:采用师生对话形式,完成下列问题: ①请归纳一下获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程。②直线与平面垂直的判定 定理,体现的教学思想方法是什么? 课后作业: ①课本 P70 练习 2 ②求证:如果一条直线平行于一个平面,那么这个平面的任何垂线都和这条直线垂直。 思考题:如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线就和这个平面垂直, 这个结论对吗?为什么?

§2.3.2 平面与平面垂直的判定
一、教学目标 1、知识与技能 (1)使学生正确理解和掌握“二面角”“二面角的平面角”及“直二面角”“两个平 、 、 面互相垂直”的概念; (2)使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用;

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(3)使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。 2、过程与方法 (1)通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程; (2)类比已学知识,归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。 3、情态与价值 通过揭示概念的形成、发展和应用过程,使学生理会教学存在于观实生活周围,从中 激发学生积极思维,培养学生的观察、分析、解决问题能力。 二、教学重点、难点。 重点:平面与平面垂直的判定; 难点:如何度量二面角的大小。 三、学法与教学用具。 1、学法:实物观察,类比归纳,语言表达。 2、教学用具:二面角模型(两块硬纸板) 四、教学设计 (一)创设情景,揭示课题 问题 1:平面几何中“角”是怎样定义的? 问题 2:在立体几何中, “异面直线所成的角”“直线和平面所成的角”又是怎样定义 、 的?它们有什么共同的特征? 以上问题让学生自由发言,教师再作小结,并顺势抛出问题:在生产实践中,有许多 问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形,你能举出这个问题的一些例子吗?如修水坝、 发射人造卫星等,而这样的角有何特点,该如何表示呢?下面我们共同来观察,研探。 (二)研探新知 1、二面角的有关概念 老师展示一张纸面,并对折让学生观察其状,然后引导学生用数学思维思考,并对以 上问题类比,归纳出二面角的概念及记法表示(如下表所示)

角 A 图形 顶点 O 边 边 B A 梭 l B α

二面角

β

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从平面内一点出发的两条射线(半 定义 直线)所组成的图形 构成 表示 2、二面角的度量 射线 — 点(顶点)一 射线 ∠AOB

从空间一直线出发的两个半平面所组 成的图形 半平面 一 线(棱)一 半平面 二面角α -l-β 或α -AB-β

二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系,如我们常说“把门开大一些” ,是指二 面角大一些,那我们应如何度量二两角的大小呢?师生活动:师生共同做一个小实验(预先 准备好的二面角的模型)在其棱上位取一点为顶点,在两个半平面内各作一射线(如图 2.3-3) ,通过实验操作,研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。 教师特别指出: (1)在表示二面角的平面角时,要求“OA⊥L” ,OB⊥L; (2)∠AOB 的大小与点 O 在 L 上位置无关;

(3)当二面角的平面角是直角时,这两个平 面的位置关系怎样? 承上启下,引导学生观察,类比、自主探究, 获得两个平面互相垂直的判定定理: 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 (三)应用举例,强化所学 例题:课本 P.72 例 3 图 2.3-3 C O A α β B

做法:教师引导学生分析题意,先让学生自己动手推理证明,然后抽检学生掌握情况, 教师最后讲评并板书证明过程。 (四)运用反馈,深化巩固 问题:课本 P.73 的探究问题 做法:学生思考(或分组讨论) ,老师与学生对话完成。 (五)小结归纳,整体认识 (1)二面角以及平面角的有关概念; (2)两个平面垂直的判定定理的内容,它与直线与平面垂直的判定定理有何关系?
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(六)课后巩固,拓展思维 1、课后作业:自二面角内一点分别向两个面引垂线,求证:它们所成的角与二两角的 平面角互补。 2、课后思考问题:在表示二面角的平面角时,为何要求“OA⊥L、OB⊥L”?为什么∠ AOB 的大小与点 O 在 L 上的位置无关?

§2、3.3 直线与平面垂直的性质 §2、3.4 平面与平面垂直的性质
一、教学目标 1、知识与技能 (1)使学生掌握直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质定理; (2)能运用性质定理解决一些简单问题; (3)了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。 2、过程与方法 (1)让学生在观察物体模型的基础上,进行操作确认,获得对性质定理正确性的认识; (2)性质定理的推理论证。 3、情态与价值 通过“直观感知、操作确认,推理证明” ,培养学生空间概念、空间想象能力以及逻 辑推理能力。 二、教学重点、难点 两个性质定理的证明。 三、学法与用具 (1)学法:直观感知、操作确认,猜想与证明。 (2)用具:长方体模型。 四、教学设计 (一)创设情景,揭示课题 问题:若一条直线与一个平面垂直,则可得到什么结论?若两条直线与同一个平面垂 直呢? 让学生自由发言,教师不急于下结论,而是继续引导学生:欲知结论怎样,让我们一起来观 察、研探。 (自然进入课题内容) (二)研探新知 1、操作确认 观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系。如图 2.3—4,在长方体 ABCD—

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A B C D 中, AA 、 、 、 所在直线都垂直于平面 ABCD, 棱 BB CC DD 它们之间是有什么位置关系? (显然互相平行)然后进一步迁移活动:已知直线 a⊥α 、b⊥α 、那么直线 a、b 一定平 行吗?(一定)我们能否证明这一事实的正确性呢?
D1 B A1 D C α
1

1 1 1 1

1

1

1

1

C1 a b

A

图 2.3-4

B

图 2.3-5

2、推理证明 引导学生分析性质定理成立的条件,介绍证明性质定理成立的特殊方法——反证法, 然后师生互动共同完成该推理过程 ,最后归纳得出: 垂直于同一个平面的两条直线平行。 (三)应用巩固 例子:课本 P.74 例 4 做法:教师给出问题,学生思考探究、判断并说理由,教师最后评议。 (四)类比拓展,研探新知 类比上面定理:若在两个平面互相垂直的条件下,又会得出怎样的结论呢?例如:如 何在黑板面上画一条与地面垂直的直线? 引导学生观察教室相邻两面墙的交线,容易发现该交线与地面垂直,这时,只要在黑 板上画出一条与这交线平行的直线,则所画直线必与地面垂直。然后师生互动,共同完成性 质定理的确认与证明,并归纳性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 (五)巩固深化、发展思维 思考 1、设平面α ⊥平面β ,点 P 在平面α 内,过点 P 作平面β 的垂线 a,直线 a 与平面 α 具有什么位置关系? (答:直线 a 必在平面α 内) 思考 2、已知平面α 、β 和直线 a,若α ⊥β ,a⊥β ,a α ,则直线 a 与平面α 具有 什么位置关系? (六)归纳小结,课后巩固 小结: (1)请归纳一下本节学习了什么性质定理,其内容各是什么? (2)类比两个性质定理,你发现它们之间有何联系? 作业: (1)求证:两条异面直线不能同时和一个平面垂直; (2)求证:三个两两垂直的平面的交线两两垂直。

本章小结
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一、教学目标 1、知识与技能 (1)使学生掌握知识结构与联系,进一步巩固、深化所学知识; (2)通过对知识的梳理,提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。 2、过程与方法 利用框图对本章知识进行系统的小结,直观、简明再现所学知识,化抽象学习为直观 学习,易于识记;同时凸现数学知识的发展和联系。 3 情态与价值 学生通过知识的整合、梳理,理会空间点、线面间的位置关系及其互相联系,进一步 培养学生的空间想象能力和解决问题能力。 二、教学重点、难点 重点:各知识点间的网络关系; 难点:在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。 三、教学设计 (一)知识回顾,整体认识 1、本章知识回顾 (1)空间点、线、面间的位置关系; (2)直线、平面平行的判定及性质; (3)直线、平面垂直的判定及性质。 2、本章知识结构框图

平面(公理 1、公理 2、公理 3、公理 4)

空间直线、平面的位置关系

直线与直线的位置关系

直线与平面的位置关系

平面与平面的位置关系

(二)整合知识,发展思维 1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石,是研究空间图形问题,进行逻辑 推理的基础。 公理 1——判定直线是否在平面内的依据; 公理 2——提供确定平面最基本的依据; 公理 3——判定两个平面交线位置的依据; 公理 4——判定空间直线之间平行的依据。 2、空间问题解决的重要思想方法:化空间问题为平面问题;
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3、空间平行、垂直之间的转化与联系: 直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行

直线与直线垂直

直线与平面垂直

平面与平面垂直

4、观察和推理是认识世界的两种重要手段,两者相辅相成,缺一不可。 (三)应用举例,深化巩固 1、P.82 A 组第 1 题 本题主要是公理 1、2 知识的巩固与应用。 2、P.82 A 组第 8 题 本题主要是直线与平面垂直的判定与性质的知识巩固与应用。 (四)课后作业 1、阅读本章知识内容,从中体会知识的发展过程,理会问题解决的思想方法; 2、P.83 B 组第 2 题。

第三章

直线与方程

3.1.1 直线的倾斜角和斜率
教学目标: 知识与技能 (1) 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念. (2) 理解直线的倾斜角的唯一性. (3) 理解直线的斜率的存在性. (4) 斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式. 情感态度与价值观 (1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示,培养学 生观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力. (2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导, 帮助学生进一步理解数形结合思想, 培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精 神. 重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式. 教学用具:计算机 教学方法:启发、引导、讨论.
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教学过程: (一) 直线的倾斜角的概念 我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点 P 的直线 l 的位置 能确定吗? 如图, 过一点 P 可以作无数多条直线 a,b,c, ?易见,答案是否定的.这些直 线有什么联系呢?

Y

a

b

c

O

P

X

(1)它们都经过点 P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同? 引入直线的倾斜角的概念: 当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的 角α 叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定α = 0°. ... 问: 倾斜角α 的取值范围是什么? 0°≤α <180°. 当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°. 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α 来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.

Y a b c

O

X

如图, 直线 a∥b∥c, 那么它们 的倾斜角α 相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α 不能确定一条直线. 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点 P 和一个倾斜角α . .......... . (二)直线的斜率: 一条直线的倾斜角α (α ≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表 示,也就是 k = tanα
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⑴当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α =0°, k = tan0°=0; ⑵当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线 l 的倾斜角α 一定存在,但是斜率 k 不一定存在. 例如, α =45°时, k = tan45°= 1; α =135°时, k = tan135°= tan(180°- 45°) = - tan45°= - 1. 学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. (三) 直线的斜率公式: 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率? 可用计算机作动画演示: 直线 P1P2 的四种情况, 并引导学生如何作辅助线, 共同完成斜率公式的推导.(略)

斜率公式: 对于上面的斜率公式要注意下面四点: (1) 当 x1=x2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角α = 90°, 直线与 x 轴垂直; (2)k 与 P1、 的顺序无关, 即 y1,y2 和 x1,x2 在公式中的前后次序可以同时交换, 但 P2 分子与分母不能交换; (3)斜率 k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得; (4) 当 y1=y2 时, 斜率 k = 0, 直线的倾斜角α =0°,直线与 x 轴平行或重合. (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到. (四)例题: 例 1 已知 A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线 AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的 倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略) 分析: 已知两点坐标, 而且 x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得 k 的值; 而当 k = tanα <0 时, 倾斜角α 是钝角; 而当 k = tanα >0 时, 倾斜角α 是锐角; 而当 k = tanα =0 时, 倾斜角α 是 0°. 略解: 直线 AB 的斜率 k1=1/7>0, 所以它的倾斜角α 是锐角; 直线 BC 的斜率 k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α 是钝角; 直线 CA 的斜率 k3=1>0, 所以它的倾斜角α 是锐角. 例 2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为 1, -1, 2, 及-3 的直线 a, b, c, l. 分析:要画出经过原点的直线 a, 只要再找出 a 上的另外一点 M. 而 M 的坐标可以根据 直线 a 的斜率确定; 或者 k=tanα =1 是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的 正半轴为角的一边, 在 x 轴的上方作 45°的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即 可.
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略解: 设直线 a 上的另外一点 M 的坐标为(x,y),根据斜率公式有 1=(y-0)/(x-0) 所以 x = y 可令 x = 1, 则 y = 1, 于是点 M 的坐标为(1,1).此时过原点和点 M(1,1), 可作直线 a. 同理, 可作直线 b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程) (五)练习: P91 1. 2. 3. 4. (六)小结: (1)直线的倾斜角和斜率的概念. (2) 直线的斜率公式. (七)课后作业: P94 习题 3.1 1. 3. (八)板书设计:

1.直线倾斜角的概念 2. 直线的斜率

§ 3.1.1?? 3.例 1?? 4.例 2??

练习 1 练习 2

练习 3 练习 4

3.1.2 两条直线的平行与垂直()
教学目标 (一)知识教学 理解并掌握两条直线平行与垂直的条件,会运用条件判定两直线是否平行或垂直. (二)能力训练 通过探究两直线平行或垂直的条件, 培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结 合能力. (三)学科渗透 通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究,培养学生的成功意识,合作交流的学习方式, 激发学生的学习兴趣. 重点:两条直线平行和垂直的条件是重点,要求学生能熟练掌握,并灵活运用. 难点:启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关 系问题. 注意:对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解 决好这个问题.

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教学过程 (一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直 上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来 表示直线相对于 x 轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能 否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直. 讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾 斜角都为 90°, 它们互相平行; (2)当另一条直线的斜率为 0 时, 一条直线的倾斜角为 90°, 另一条直线的倾斜角为 0°,两直线互相垂直. (二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直 设直线 L1 和 L2 的斜率分别为 k1 和 k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的 方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究 的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系? 首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形.如果 L1∥L2(图 1-29),那么它们的倾斜角相 等:α 1=α 2.(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α 1, α 2 的关系) ∴tgα 1=tgα 2. 即 k1=k2.

反过来,如果两条直线的斜率相等: 即 k1=k2,那么 tgα 1=tgα 2. 由于 0°≤α 1<180°, 0°≤α <180°, ∴α 1=α 2. 又∵两条直线不重合, ∴L1∥L2. 结论: 两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它 们的斜率相等,那么它们平行,即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的, 缺少这个前提, 结论 ........ 并不成立.即如果 k1=k2, 那么一定有 L1∥L2; 反之则不一定. 下面我们研究两条直线垂直的情形. 如果 L1⊥L2,这时α 1≠α 2,否则两直线平行. 设 α 2<α 1(图 1-30),甲图的特征是 L1 与 L2 的交点在 x 轴上方;乙图的特征是 L1 与 L2 的交点在 x 轴下方;丙图的特征是 L1 与 L2 的交点在 x 轴上,无论哪种情况下都有 α 1=90°+α 2. 因为 L1、L2 的斜率分别是 k1、k2,即α 1≠90°,所以α 2≠0°.

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, 可以推出 : α 1=90°+α 2. L1⊥L2. 结论: 两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它 ........ 们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即

注意: 结论成立的条件. 即如果 k1?k2 = -1, 那么一定有 L1⊥L2; 反之则不一定. (借助计算机, 让学生通过度量, 感知 k1, k2 的关系, 并使 L1(或 L2)转动起来, 但仍保持 L1⊥L2, 观察 k1, k2 的关系, 得到猜想, 再加以验证. 转动时, 可使α 1 为锐角,钝角等). 例题 例 1 已知 A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线 BA 与 PQ 的位置关系, 并证 明你的结论. 分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略) 解: 直线 BA 的斜率 k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5, 直线 PQ 的斜率 k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5, 因为 k1=k2=0.5, 所以 直线 BA∥PQ. 例 2 已知四边形 ABCD 的四个顶点分别为 A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边 形 ABCD 的形状,并给出证明. (借助计算机作图, 通过观察猜想: 四边形 ABCD 是平行四边形, 再通过计算加以验证) 解同上. 例3 已知 A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线 AB 与 PQ 的位置关系. 解: 直线 AB 的斜率 k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3, 直线 PQ 的斜率 k2= (6-3)(-2-0)=-3/2, 因为 k1?k2 = -1 所以 AB⊥PQ. 例 4 已知 A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形 ABC 的形状. 分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形 ABC 是直角三角形, 其中 AB⊥BC, 再 通过计算加以验证.(图略) 课堂练习 P94 练习 1. 2. 课后小结
86

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(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件;(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直. (3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线. 布置作业 P94 习题 3.1 5. 8. 板书设计

3.2.1

直线的点斜式方程

一、教学目标 1、知识与技能 (1)理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围; (2)能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。 (3)体会直线的斜截式方程与一次函数的关系. 2、过程与方法 在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基 础上,通过师生探讨,得出直线的点斜式方程;学生通过对比理解“截距”与“距离”的区 别。 3、情态与价值观 通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系,进一步培养学生数形结合的思 想,渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点,使学生能用联系的观点看问题。 二、教学重点、难点: (1)重点:直线的点斜式方程和斜截式方程。 (2)难点:直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。 三、教学设想 问 题 设计意图 师生活动 1、在直线坐标系内确定一条直 线,应知道哪些条件? 使学生在已有 学生回顾, 并回答。 然后教师指 知 识 和 经 验 的 基 出, 直线的方程, 就是直线上任意 础上,探索新知。 一 点 的 坐 标 ( x, y ) 满 足 的 关 系 式。 2、直线 l 经过点 P0 ( x0 , y 0 ) ,且 斜率为 k 。设点 P ( x, y ) 是直线 l 上的任意一点,请建立 培养学生自主 探索的能力,并体 会直线的方程, 就 是直线上任意一 点的坐标 学生根据斜率公式,可以得到, 当x?

x0 时, k ?

y ? y0 x ? x0

,即

x, y



( x, y )

y ? y 0 ? k ( x ? x0 )

(1)

k , x0 , y0 之间的关系。

满足的关系式, 从 而掌握根据条件

教师对基础薄弱的学生给予关 注、 引导, 使每个学生都能推导出

87

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y P P0

求直线方程的方 法。

这个方程。

O

x
使学生了解方 程为直线方程必 须满两个条件。 设计意图 使学生了解方 程为直线方程必 须满两个条件。 学生验证,教师引导。

3、 (1)过点 P0 ( x0 , y 0 ) ,斜率是

k 的直线 l 上的点,其坐标都满足 方程(1)吗?
问 题 (2)坐标满足方程(1)的点都在 经过 P0 ( x0 , y 0 ) , 斜率为 k 的直线

师生活动 学生验证, 教师引导。 然后教师 指出方程(1)由直线上一定点及 其斜率确定, 所以叫做直线的点斜 式方程,简称点斜式(point slope form). 学生分组互相讨论, 然后说明理 由。

l 上吗?
4、 直线的点斜式方程能否表示坐 标平面上的所有直线呢? 5、 (1)x 轴所在直线的方程是什 么?
开始 输入

使学生理解直线 的点斜式方程的 适用范围。

f(x)的系数: a1,a2,a3,a4,a5
输入 0

x

n=1

v=a5
n=n+1

v=v x0+a5-n
n≤5 是

轴所在直线的方程是什么?
开始 输入

否 输出v

结束

a1,a2,a3,a4,a5

r=1

(2)经过点
开始 输入a,k,n i=1 b=0 t=GET a[i] i=i+1 b=b+t*k^(i-1)

i=1

ai>ai+1




x=ai ai=ai+1 ai+1=x

i=i+1

r=r+1

否 i=5



否 r=5

且平行于



输出

a1,a2,a3,a4,a5

结束

进一步使学生 教师学生引导通过画图分析,求 理 解 直 线 的 点 斜 得问题的解决。 式方程的适用范 y 围,掌握特殊直线 P0 方程的表示形式。

是 i<=n



输出b

轴(即垂直于

程 序 框 图 算法 算 法 语 句

辗转相除法与更相减损术

秦九韶算法

排序 进位制

轴)的直线方程
O
终端框(起止框) 输入.输出框 处理框

结束

是什么? (3) 经过点 且平行于
判断框

x

y P0

轴(即垂直于 x 轴)的直线方程 是什么?
O

x

6、例 1 的教学。

学会运用点斜式 方程解决问题, 清 楚用点斜式公式 求直线方程必须 具备的两个条件: (1)一个定点; (2)有斜率。同
88

教师引导学生分析要用点斜式 求直线方程应已知那些条件?题目 那些条件已经直接给予,那些条件 还有待已去求。在坐标平面内,要 画一条直线可以怎样去画。

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时掌握已知直线 方程画直线的方 法。 7、已知直线 l 的斜率为 k ,且与 引入斜截式方 程,让学生懂得斜 截式方程源于点 斜式方程, 是点斜 式方程的一种特 殊情形。 深入理解和 掌握斜截式方程 的特点? 设计意图
学生独立求出直线 l 的方程:

y 轴的交点为 (0, b) ,求直线 l 的
方程。

y ? kx ? b

(2)

再此基础上,教师给出截距的 概念,引导学生分析方程(2)由哪 两个条件确定,让学生理解斜截式 方程概念的内涵。 学生讨论,教师及时给予评价。

8、观察方程

y ? kx ? b ,它的


形式具有什么特点?

问 9、直线

师生活动

y ? kx ? b 在 x 轴上的

截距是什么?

使 学 生 理 解 学生思考回答,教师评价。 “截距” “距离” 与 两个概念的区别。 体会直线的斜 截式方程与一次 函数的关系.
学生思考、讨论,教师评价、归纳 概括。

10、你如何从直线方程的角度认 识一次函数

y ? kx ? b ?一次函

数中 k 和 b 的几何意义是什么?你 能 说 出 一 次 函 数

y ? 2 x ? 1, y ? 3x, y ? ? x ? 3
图象的特点吗?

11、例 2 的教学。

教师引导学生分析:用斜率判断 掌握从直线方 程 的 角 度 判 断 两 两条直 线平 行、 垂直 结论 。思考 条直线相互平行, (1) l1 // l 2 时, k1 , k 2 ; b1 , b2 有 或相互垂直;进一 步理解斜截式方 何关系?(2)

l1 ? l2

时,

程中

k, b 的 几 何
k1 , k 2 ; b1 , b2 有何关系?在此由学
生得出结论:

意义。

l1 // l2 ? k1 ? k 2 , 且 b1 ? b2 ; l1 ? l2 ? k1k 2 ? ?1
12、课堂练习第 100 页练习第 1, 巩 固 本 节 课 所 学 2,3,4 题。 过的知识。 13、小结 使学生对本节课 所学的知识有一 个整体性的认识, 了解知识的来龙
89

学生独立完成,教师检查反馈。 教师引导学生概括:(1)本节课我 们学过那些知识点; (2) 直线方程

的点斜式、 斜截式的形式特点和适 用范围是什么?(3)求一条直线

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去脉。 14、布置作业:第 106 页第 1 题 的(1)(2)(3)和第 3、5 题 、 、 巩固深化

的方程,要知道多少个条件?
学生课后独立完成。

3.2.2

直线的两点式方程

一、教学目标 1、知识与技能 (1)掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围; (2)了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。 2、过程与方法 让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论,并通过新旧知识的比较、分析、应 用获得新知识的特点。 3、情态与价值观 (1)认识事物之间的普遍联系与相互转化; (2)培养学生用联系的观点看问题。 二、教学重点、难点: 1、 重点:直线方程两点式。 2、难点:两点式推导过程的理解。 三、教学设想 问 题 设计意图 遵循由浅及 深,由特殊 到一般的认 知规律。使 学生在已有 的知识基础 上获得新结 论,达到温 故知新的目 的。 师生活动 教师引导学生:根据已有的知识,要求 直线方程,应知道什么条件?能不能把问 题转化为已经解决的问题呢?在此基础 上,学生根据已知两点的坐标,先判断是 否存在斜率,然后求出直线的斜率,从而 可求出直线方程: (1) y 1、利用点斜式解答如下问 题: (1)已知直线

l

经过两点

P1 (1,2), P2 (3,5) ,求直线 l 的方
程. ( 2 ) 已 知 两 点

P ( x1 , x2 ), P2 ( x2 , y2 ) 1

其 中

3 ? 2 ? ( x ? 1) 2
? y1 ? y 2 ? y1 ( x ? x1 ) x2 ? x1
? y 2 时,方程可以写成

( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,求通过这
两点的直线方程。

(2) y

教师指出:当 y1

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) y 2 ? y1 x2 ? x1
由于这个直线方程由两点确定,所以我们 把它叫直线的两点式方程,简称两点式 (two-point form). 2、若点 P ( x1 , x2 ), P2 ( x2 , y 2 ) 1 使学生懂得 两点式的适 用范围和当
90

教师引导学生通过画图、观察和分析, 发现当 x1

? x2 时,直线与 x 轴垂直,所

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中有 x1

? x2 ,或 y1 ? y 2 ,此

时这两点的直线方程是什么?

已知的两点 不满足两点 式的条件时 它的方程形 式。 设计意图 使学生学会 用两点式求 直线方程; 理解截距式 源 于 两 点 式,是两点 式的特殊情 形。

以直线方程为: x ?

x1 ;当 y1 ? y 2 时, ? y1 。

直线与 y 轴垂直,直线方程为: y

问 3、例 3 教学 已知直线 l 与 A



师生活动 教师引导学生分析题目中所给的条件有什 么特点?可以用多少方法来求直线 l 的方 程?那种方法更为简捷?然后由求出直线 方程:

x 轴的交点为
轴的交点为

(a,0)

,与

y

B (0, b) ,其中 a ? 0, b ? 0 , 求直线 l 的方程。

x y ? ?1 a b
教师指出: a, b 的几何意义和截距式方 程的概念。

4、例 4 教学 已知三角形的三个顶点 A (-5,0) ,B(3,-3) ,C(0,2) , 求 BC 边所在直线的方程,以及 该边上中线所在直线的方程。

让学生学 会根据题目 中所给的条 件,选择恰 当的直线方 程 解 决 问 题。

教师给出中点坐标公式, 学生根据自己 的理解,选择恰当方法求出边 BC 所在的 直线方程和该边上中线所在直线方程。在 此基础上,学生交流各自的作法,并进行 比较。

5、课堂练习 第 102 页第 1、2、3 题。 6、小结 增强学生对 直线方种四 种形式(点 斜式、斜截 式、两点式、 截距式)互 相之间的联 系的理解。 巩固深化, 培养学生的 独立解决问 题的能力。

学生独立完成,教师检查、反馈。 教师提出: (1)到目前为止,我们所学过 的直线方程的表达形式有多少种?它们之 间有什么关系? (2) 要求一条直线的方程, 必须知道多少 个条件?

7、布置作业

学生课后完成

3.2.3

直线的一般式方程

一、教学目标 1、知识与技能 (1)明确直线方程一般式的形式特征; (2)会把直线方程的一般式化为斜截式,进而求斜率和截距;
91

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(3)会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。 2、过程与方法 学会用分类讨论的思想方法解决问题。 3、情态与价值观 (1)认识事物之间的普遍联系与相互转化; (2)用联系的观点看问题。 二、教学重点、难点: 1、重点:直线方程的一般式。 2、难点:对直线方程一般式的理解与应用。 三、教学设想 问 题 设计意图 使学生理解直 线和二元一次 方程的关系。 师生活动 教师引导学生用分类讨论的方法思 考探究问题(1) ,即直线存在斜率和直 线不存在斜率时求出的直线方程是否 都为二元一次方程。对于问题(2) ,教 师引导学生理解要判断某一个方程是 否表示一条直线, 只需看这个方程是否 可以转化为直线方程的某种形式。 为此 要对 B 分类讨论,即当 B ? 0 时和当 B=0 时两种情形进行变形。 然后由学生 去变形判断,得出结论: 关于 x, y 的二元一次方程,它都表 示一条直线。 教师概括指出: 由于任何一条直线都 可以用一个关于 x, y 的二元一次方程 表示;同时,任何一个关于 x, y 的二 元一次方程都表示一条直线。 我们把关于关于 次方程 Ax ? 1、 (1) 平面直角坐标系中的每一 条直线都可以用一个关于 的二元一次方程表示吗? (2)每一个关于 x, y 的二元一 次方程 Ax ?

x, y

By ? C ? 0 (A,

B 不同时为 0)都表示一条直线 吗?

x, y 的二元一


By ? C ? 0 (A,B

同时为 0)叫做直线的一般式方程,简 称一般式(general form). 2、 直线方程的一般式与其他几种 形式的直线方程相比,它有什么 优点? 问 题 使学生理解直 线方程的一般 式的与其他形 设计意图 式的不同点。 学生通过对比、讨论,发现直线方程 的一般式与其他形式的直线方程的一 个不同点是: 师生活动 直线的一般式方程能够表示平面上的 所有直线,而点斜式、斜截式、两点式 方程,都不能表示与 x 轴垂直的直线。

92

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3、在方程

Ax ? By ? C ? 0

中,A,B,C 为何值时,方程表 示的直线 (1) 平行于 x 轴; (2) 平行于 y 轴; (3)与 x 轴重合; (4)与 y 重合。

使学生理解二 元一次方程的 系数和常数项 对直线的位置 的影响。

教师引导学生回顾前面所学过的与 与 x 轴平行和重合、 y 轴平行和重合的 直线方程的形式。 然后由学生自主探索 得到问题的答案。

4、例 5 的教学 使学生体会 已知直线经过点 A(6,-4) 把 直 线 方 程 的 , 点斜式转化为 4 把握直 斜率为 ? ,求直线的点斜式和 一般式, 3 线方程一般式 一般式方程。 的特点。

学生独立完成。然后教师检查、评价、 反馈。指出:对于直线方程的一般式, 一般作如下约定: 一般按含 x 项、 y 含 项、 常数项顺序排列;x 项的系数为正;

x , y 的系数和常数项一般不出现分
数;无特加要时,求直线方程的结果写 成一般式。

5、例 6 的教学

使学生体会直 把 直 线 l 的 一 般 式 方 程 线方程的一般 x ? 2 y ? 6 ? 0 化成斜截式, 式化为斜截式, 和已知直线方 求出直线 l 的斜率以及它在 x 轴 程 的 一 般 式 求 直线的斜率和 与 y 轴上的截距,并画出图形。 截距的方法。

先由学生思考解答, 并让一个学生上 黑板板书。 然后教师引导学生归纳出由 直线方程的一般式, 求直线的斜率和截 距的方法: 把一般式转化为斜截式可求 出直线的斜率的和直线在

y 轴上的截

距。求直线与 x 轴的截距,即求直线与 为此可在方程中令 x 轴交点的横坐标,

y =0,解出 x 值,即为与直线与 x 轴
的截距。 在直角坐标系中画直线时, 通常找 出直线下两个坐标轴的交点。 6、 二元一次方程的每一个解与坐 标平面中点的有什么关系?直线 与二元一次方程的解之间有什么 关系? 使学生进一步 理解二元一次 方程与直线的 关系, 体会直解 坐标系把直线 与方程联系起 来。 学生阅读教材第 105 页, 从中获得对 问题的理解。

7、课堂练习 巩固所学知识 第 105 练习第 2 题和第 3(2) 和方法。 问 8、小结 题 设计意图 使学生对直线 方程的理解有 一个整体的认
93

学生独立完成,教师检查、评价。 师生活动 (1)请学生写出直线方程常见的几 种形式,并说明它们之间的关系。 (2)比较各种直线方程的形式特点

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识。

和适用范围。 (3)求直线方程应具有多少个条 件? (4)学习本节用到了哪些数学思想 方法? 学生课后独立思考完成。

9、布置作业 第 106 页习题 3.2 第 10 题和 第 11 题。

巩固课堂上所 学的知识和方 法。

3.3-1 两直线的交点坐标
三维目标 知识与技能:1。直线和直线的交点 2.二元一次方程组的解 过程和方法:1。学习两直线交点坐标的求法,以及判断两直线位置的方法。 2.掌握数形结合的学习法。 3.组成学习小组,分别对直线和直线的位置进行判断,归纳过定点的 直线系方程。 情态和价值:1。通过两直线交点和二元一次方程组的联系,从而认识事物之间的内 的联系。 2.能够用辩证的观点看问题。 教学重点,难点 重点:判断两直线是否相交,求交点坐标。 难点:两直线相交与二元一次方程的关系。 教学方法:启发引导式 在学生认识直线方程的基础上,启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的 的相互关系。 引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程 组解的问题。由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决。 教具:用 POWERPOINT 课件的辅助式教学 教学过程: 一.情境设置,导入新课 用大屏幕打出直角坐标系中两直线, 移动直线, 让学生观察这两直线的位置关系。 课堂设问一:由直线方程的概念,我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的 关系,那如果两直线相交于一点,这一点与这两条直线的方程有何关系? 二.讲授新课 1. 分析任务,分组讨论,判断两直线的位置关系 已知两直线 L1:A1x+B1y +C1=0,L2: A2x+B2y+C2=0 如何判断这两条直线的关系? 教师引导学生先从点与直线的位置关系入手,看表一,并填空。 几何元素及关系 点A 直线 L
94

代数表示 A(a,b) L:Ax+By+C=0

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点 A 在直线上 直线 L1 与 L2 的交点 A 课堂设问二:如果两条直线相交,怎样求交点坐标?交点坐标与二元一次方程组有 什关系? 学生进行分组讨论,教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组 有何关系? (1) 若二元一次方程组有唯一解,L 1 与 L2 相交。 (2) 若二元一次方程组无解,则 L 1 与 L2 平行。 (3) 若二元一次方程组有无数解,则 L 1 与 L2 重合。 课后探究:两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系? 2. 例题讲解,规范表示,解决问题 例题 1:求下列两直线交点坐标 L1 :3x+4y-2=0 L1:2x+y +2=0

解:解方程组

? ?3x ? 4y ? 2 0 ? ? ?2 x ? 2y ? 2 0

得 x=-2,y=2 所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M(-2,2) ,如图 3。3。1。
6

y
4

2

-5

5

x
-2

-4

教师可以让学生自己动手解方程组,看解题是否规范,条理是否清楚,表达是否 简洁,然后才进行讲解。 同类练习:书本 110 页第 1,2 题。 例 2 判断下列各对直线的位置关系。如果相交,求出交点坐标。 (1) L1:x-y=0,L2:3x+3y-10=0 (2) L1:3x-y=0,L2:6x-2y=0 (3) L1:3x+4y-5=0,L2:6x+8y-10=0 这道题可以作为练习以巩固判断两直线位置关系。

95

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三.启发拓展,灵活应用。 课堂设问一。当 ? ? 变化时,方程 3x+4y-2+ ? (2x+y+2)=0 表示何图形,图形 有何特点?求出图形的交点坐标。 (1) 可以一用信息技术,当 取不同值时,通过各种图形,经过观察,让 学生从直观上得出结论,同时发现这些直线的共同特点是经过同一 点。 (2) 找出或猜想这个点的坐标,代入方程,得出结论。 (3) 结论,方程表示经过这两条直线 L1 与 L2 的交点的直线的集合。 例 2 已知 a 为实数,两直线 l1 : ax ? y ? 1 ? 0 , l 2 : x ? y ? a ? 0 相交于一点, 求证交点不可能在第一象限及 x 轴上. 分析:先通过联立方程组将交点坐标解出,再判断交点横纵坐标的范围. 解:解方程组若 内. 又因为 a 为任意实数时,都有 a ? 1 ? 1>0,故
2

a2 ?1 a ?1 >0,则 a >1.当 a >1 时,- <0,此时交点在第二象限 a ?1 a ?1

a2 ?1 ≠0 a ?1
新疆

因为 a ≠1(否则两直线平行,无交点) ,所以,交点不可能在 x 轴上 ,得交点(-
王新敞
学案

a ?1 a2 ?1 ) , a ?1 a ?1
四.小结:直线与直线的位置关系,求两直线的交点坐标,能将几何问题转化为代数 问题来解决,并能进行应用。 五.练习及作业: 1. 光线从 M(-2,3)射到 x 轴上的一点 P(1,0)后被 x 轴反射,求反射光线 所在的直线方程。 2. 求满足下列条件的直线方程。 经过两直线 2x-3y+10=0 与 3x+4y-2=0 的交点,且和直线 3x-2y+4=0 垂直。 板书设计:略

3.3.2 直线与直线之间的位置关系-两点间距离
三维目标 知识与技能:掌握直角坐标系两点间距离,用坐标法证明简单的几何问题。 过程和方法:通过两点间距离公式的推导,能更充分体会数形结合的优越性。 情态和价值:体会事物之间的内在联系, ,能用代数方法解决几何问题 教学重点, 难点: 重点, 两点间距离公式的推导。难点,应用两点间距离公式证明几何问题。 教学方式:启发引导式。 教学用具:用多媒体辅助教学。 教学过程: 一,情境设置,导入新课 课堂设问一: 回忆数轴上两点间的距离公式, 同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题

96

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平面直角坐标系中两点 P P2 ? ? x2 ? x2 ? ? ? y2 ? y1 ? 7 ,分别向 x 轴和 y 轴作垂线,垂足 1
2

0 分别为 N1 ? 0,y1 ?,M 2 ? x2, ?

直线 P N1与P2 N 2 相交于点 Q。 1 在直角 ? ABC 中, PP2 1
2

? PQ ? QP2 ,为了计算其长度,过点 P1 向 x 轴作垂线,垂足 1
2 2

0 为 M 1 ? x1, ? 过点 向 y 轴作垂线,垂足为 N 2 ? 0,y2 ?
PQ ? M 2 M 1 ? x2 ? x1 , 2 ? N1 N 2 ? y2 ? y1 QP 1
2 2 2 2 2 2

,于是有

所以, P P2 1

2

? PQ ? QP2 = x2 ? x1 ? y2 ? y1 。 1
2 2 2 2

由此得到两点间的距离公式

PP2 ? 1

? x2 ? x2 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

在教学过程中,可以提出问题让学生自己思考,教师提示,根据勾股定理,不难得到。 二,例题解答,细心演算,规范表达。例 1 :以知点 A(-1,2) ,B(2, 7 ) ,在 x 轴上 求一点,使 PA ? PB ,并求 解:设所求点 P(x,0) ,于是有

PA 的值。

? x ? 1? ? ? 0 ? 2?
2

2

?

? x ? 2?

2

? 0? 7

?

?

2



PA ? PB 得

x2 ? 2 x ? 5 ? x2 ? 4 x ? 11 解得 x=1。
所以,所求点 P(1,0)且 点间距离公式理解。应用。 解 法 二 : 由 已 知 得 , 线 段 AB 的 中 点 为 M ? ,

PA ?

?1 ? 1? ? ? 0 ? 2?
2

2

?2 2

通过例题,使学生对两

? 1 2+ 7? ? , 直 线 AB 的 斜 率 为 ?2 2 ? ? ?

k=

7 2+ 7 -2 3 1? 7 -2 2 2 ? = ? ?x- ? PA= ? 1+2 +? ? 0-2? =2 2 3 2 2? 3 2- 7 ? 2+ 7 3 1? ? = ? ?x- ? 2 2? 2- 7 ?

线段 AB 的垂直平分线的方程是 y-

在上述式子中,令 y=0,解得 x=1。 所以所求点 P 的坐标为(1,0) 。因此

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PA= ? 1+2 +0-2 =22 ? ? ?
2 2

同步练习:书本 112 页第 1,2 题 三. 巩固反思,灵活应用。 (用两点间距离公式来证明几何问题。 ) 例 2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。 分析:首先要建立直角坐标系,用坐标表示有关量,然后用代数进行运算,最后把代数运算 “翻译”成几何关系。 这一道题可以让学生讨论解决, 让学生深刻体会数形之间的关系和转化, 并从中归纳出应用 代数问题解决几何问题的基本步骤。 证明:如图所示,以顶点A为坐标原点,AB边所在的直线为x轴,建立直角坐标 系,有A(0,0) 。 设B(a,0) ,D(b,c) ,由平行四边形的性质的点C的坐标为(a+b,c) ,因为

AB ? a 2, CD ? a 2, AD ? b 2 ? c 2 ? BC
2 2 2

2

2, 2 AC ? ? a ? b ? +c BD =?b-a? +c 2






2 2 2 所以, AB +CD +AD +BC =2a+b+c









?

?

AC +BD =2a+b+c ? 所以, ?2 2 2
2 2

AB +CD +AD +BC =AC +BD













因此,平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。 上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下: 第一步:建立直角坐标系,用坐标表示有关的量。 第二步:进行有关代数运算。 第三步;把代数结果“翻译”成几何关系。 思考:同学们是否还有其它的解决办法? 还可用综合几何的方法证明这道题。 课堂小结:主要讲述了两点间距离公式的推导,以及应用,要懂得用代数的方法解决几何问 题,建立直角坐标系的重要性。 课后练习 1.:证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等 2.在直线 x-3y-2=0 上求两点,使它与(-2,2)构成一个等边三角形。 3. (1994 全国高考)点(0,5)到直线 y=2x 的距离是—— 板书设计:略。

3.3.3 两条直线的位置关系 ―点到直线的距离公式
三维目标: 知识与技能:1. 理解点到直线距离公式的推导,熟练掌握点到直线的距离公式;?? 能力和方法: 会用点到直线距离公式求解两平行线距离 情感和价值:1。 认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的观点看问题
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教学重点:点到直线的距离公式 教学难点:点到直线距离公式的理解与应用. 教学方法:学导式 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程 ?一、情境设置,导入新课: 前面几节课, 我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件, 两直线的夹角 公式,两直线的交点问题,两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题 的思想方法.这一节,我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点 P 到直线 l 的 距离。 用 POWERPOINT 打出平面直角坐标系中两直线, 进行移动, 使学生回顾两直线的位 置关系,且在直线上取两点,让学生指出两点间的距离公式,复习前面所学。要求学生思考 一直线上的计算?能否用两点间距离公式进行推导?
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两条直线方程如下:

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ? ? A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0
. 二、讲解新课: 1.点到直线距离公式: 点 P( x0 , y 0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离为: d ? (1)提出问题 在平面直角坐标系中,如果已知某点 P 的坐标为 ( x 0 , y 0 ) ,直线=0 或 B=0 时,以上 公式 l : Ax ? By ? C ? 0 ,怎样用点的坐标和直线的方程直接求点 P 到直线 l 的距离呢? 学生可自由讨论。 (2)数行结合,分析问题,提出解决方案 学生已有了点到直线的距离的概念,即由点 P 到直线 l 的距离 d 是点 P 到直线 l 的垂线 段的长. 这里体现了“画归”思想方法,把一个新问题转化为 一个曾今解决过的问题,一个自 己熟悉的问题。 画出图形,分析任务,理清思路,解决问题。 方案一: 设点 P 到直线 l 的垂线段为 PQ,垂足为 Q,由 PQ ⊥ l 可知,直线 PQ 的斜率为

Ax0 ? By 0 ? C
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A2 ? B 2

B (A≠0) ,根据点斜式 A

y

R d Q o S

P(x0,y0)

写出直线 PQ 的方程,并由 l 与 PQ 的方程求出点 Q 的 坐标;由此根据两点距离公式求出|PQ|,得到点 P 到直线 l 的距离为 d 此方法虽思路自然, 但运算较繁.下面我们探讨别
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x l

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一种方法

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方案二:设 A≠0,B≠0,这时 l 与 x 轴、 y 轴都相交,过点 P 作 x 轴的平行线,交 l 于 点 R( x1 , y 0 ) ;作 y 轴的平行线,交 l 于点 S ( x0 , y 2 ) , 由?

? A1 x1 ? By 0 ? C ? 0 ? By0 ? C ? Ax0 ? C 得 x1 ? . , y2 ? A B ? Ax 0 ? By 2 ? C ? 0
Ax 0 ? By 0 ? C A

所以,|PR|=| x0 ? x1 |=

|PS|=| y 0 ? y 2 |=

Ax 0 ? By 0 ? C B
?
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|RS|= PR ? PS
2

2

A2 ? B 2 ?| Ax0 ? By0 ? C |由三角形面积公式可知: AB
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d ?|RS|=|PR|?|PS|
所以 d ?

Ax0 ? By 0 ? C A2 ? B 2
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可证明,当 A=0 时仍适用 这个过程比较繁琐,但同时也使学生在知识,能力。意志品质等方面得到了提高。 3.例题应用,解决问题。 例 1 求点 P=(-1,2)到直线 3x=2 的距离。
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解:d=

3 ? ? ?1? ? 2 3 ?0
2 2

?

5 3

例 2 已知点 A(1,3) ,B(3,1) ,C(-1,0) ,求三角形 ABC 的面积。 解:设 AB 边上的高为 h,则 S ? ABC =

1 AB ? h 2
2

AB ?

?3 ?1? ? ?1 ? 3?
2

?2 2,

AB 边上的高 h 就是点 C 到 AB 的距离。 AB 边所在直线方程为

y ? 3 X ?1 ? 1 ? 3 3 ?1
即 x+y-4=0。 点 C 到 X+Y-4=0 的距离为 h h=

?1 ? 0 ? 4 1 ?1
2

?

5 , 2

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因此,S ? ABC =

1 5 ?2 2? ?5 2 2

通过这两道简单的例题, 使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用, 能逐步体会用 代数运算解决几

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