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精品说课稿


1.1.1《正弦定理》说课稿(第 1 课时) 一、 教材分析 1、本节课的地位、作用和意义 本节课内容选自普遍高中课程标准实验教科书(北京师范大学出 版社出版) 必修 5 P45 ? p48 ,第 2 章第 1 节内容。在初中,学生已经 学习了三角形的边和角的基本关系、 全等三角形等与三角形有关的基 础知识;同时在必修 4 ,学生也学习了三角函数、向量三角恒等变 换等内容。这些为

学生学习正弦定理提供了坚实的基础。正弦定理是 初中解直角三角形的延伸,是揭示三角形边、角之间数量关系的重要 公式,在物理学等其它学科、工业生产以及日常生活等常常涉及解三 角形的问题。 2、课时安排:2 课时,其中第 1 课时为正弦定理的推导、正弦 定理以及利用正弦定理来解已知两角一边的三角形等; 2 课时为利 第 用正弦定理来解已知两边以及其中一边的对角的三角形和其它简单 应用。 3、本节课的教学重点和难点 我通过解读新课标和分析教材,认为: 重点:通过新课程标准的解读,教材内容的解析,我认为正弦定 理的推导有利于培养的学生发散思维,学生能体验数学的探索过程, 能加深对数形结合解决数学问题的理解, 所以正弦定理的证明是本节 课的重点之一;同时,数学知识的学习最终是为了应用,所以正弦定 理以及正弦定理的应用也是本节课的重点之一。 突出重点的方法:①用引导学生进行分类讨论、类比法、分组讨 论法来突出正弦定理的推导; ②用讲练结合, 精选例题、 练习和问题, 归纳法来突出正弦定理的应用。 难点:新定理的发现需要一定得创新意识和发散思维,这正是多 数学生所缺乏的,但是社会需要的是创新人才,因此,正弦定理的猜 想发现是本节课的难点。 突破难点的方法:转化法(由特殊向一般转化) 、鼓励和引导法。 二、教学目标分析 1、知识与技能目标 (1)能在 2 分钟内写出正弦定理的符号表达式,准确率为 97%; (2)能利用正弦定理来解决已知两角一边的三角形以及相关简 单的实际问题。 2、过程方法与能力目标 (1)通过正弦定理的推导,逐步培养合情推理、探索数学规律的 思维能力; (2)在利用正弦定理来解已知两角及一边的三角形的过程中,逐
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步培养应用数学知识来解决社会实际问题的能力。 3、情感、态度、价值观目标 (1)通过参与、思考、交流,体验正弦定理的发现过程,逐步培 养探索精神和创新意识。 (2)在运用正弦定理的过程,逐步培养实事求是、扎实严谨的科 学态度。 三、学情分析 学法:以讨论法(师生对话、生生讨论)为主,以发现法、类比法、 接受法、练习法为辅。 理由: ①学生的认知发展理论; ②高中生已有的数学学习能力; ③本节课的内容特点; ④本班学生的实际情况 四、教法分析 教法:以引导—启发法为主,以讲授法、讨论法以及多媒体演示 法。 理由:①学生的学习方法;②我个人的知识水平以及经验;③学 校的条件 五、教学程序分析 教 学 教学内容以及问题设计 设计意图 环节 我会利用多媒体放映 一 幢建筑物(图 1) ,并 提出如下问题: (1)如何用量角器量 出测 量建筑物的高度 h? (2)如果建筑物前有小湖 等障碍物,又该如何测量其高 在学生进行思考、讨论后, 根据同学的思路,我会引导 A C 学生分别建立如图 1 和图 2 的数学模型,利用初中的解 直角三角形知识求解。 最后引入这节课的问题: 这个实际问题说明了三 C 角形的边与角有紧密的 联系,这节课将研究表示
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A

情 景 导 入

通过生活中的知 识引入,激发学生学 习需要和学习期待, 以问题引起学生学习 热情和探索新知的欲 度 h? 望。

B 图2

B D 图3

一般三角形的边与角的等 量关系的定理——正弦定理 我请同学们思考:在直角 A 三角形中,各角的正弦怎么 表示?能找到等量关系吗? b 因为:sinA= c ,sinB= b , c
a

c

探 a B a b c C 所以 c= = ,同时不难发现: = 索 sin A sin B sin C a b c c 发 =c。于是: = = ① ? sin A sin B sin C 现 sin 2 猜 说明:这个过程通过师生互动过程实现, 想 我的角色是引导、鼓励学生积极思考,并表 新 达其想法。 课 接着,我提出问题:这个结论对一般三 学 角形成立吗?如果成立,该如何证明? 习

1、奥苏伯尔认为,意 义学习就是将符号所 代表的新知识与学习 者认知结构中已有的 适当观念建立起非人 为的和实质的联系。 在此环节上,我突破 难点(正弦定理的发 现)的方法是利用学 引导学生从熟悉的求 直角三角形各角的正 弦入手,鼓励、引导 学生积极主动地思 考,创造意义学习的 条件。 2、对正弦定理的发现 采用的是由特殊到一 般地思想方法。

探 索 新 正 课 弦

首先,我引导学生认清“一般三角形”的 含义,包括直角三角形、锐角三角形和钝角 三角形。其次,把全班分组八个组(平时上 1、该环节在我的引导 课时候,已经分好组,各组差异不大) ,教室 下,学生分组讨论, 左边四个组探究锐角三角形,另四个组探究 合作交流,进行“再 钝角三角形,引导学生讨论探究:①式对于 创造” ,体现了数学新 锐角、钝角三角形是否成立?如成立,怎么 课标所倡导的积极主 证明? 动,勇于探索的学习 学生活动:分组讨论探究,我走动观察, 方式的课程理念。 收集信息,对有困难的学生进行启发,对证 明有进展的进行全班表扬,鼓励其继续努力。 教师讲授:首先,我放映利用《几何画 板》制作的多媒体动画,画面将显示:不管 a b 三角形的边、 角如何变化, 比值: , , 2、正弦定理的证明即 sin A sin B 是重点,这里,我采 c 的值都会相等。 用多媒体技术来突出 sin C 重点,直观且效率高, 正弦定理的证明方法有: 作高法、 面积法、 与数学新课标注重信
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学 定 外接圆法以及向量法等,我将根据学生探究 习 理 的实际情况利用多媒体显示这四种方法的一 的 种或两种,其中向量法证明钝角三角形的正 证 弦定理书写过程如下: 明 如下图,以 A 为原点,以射线 AB 的方向 为 x 轴正方向建立直角坐标系, 点在 y 轴上 C 的射影为 c1。 ??? ? ??? ? 因为,向量 AC 与 BC 在 y 轴 y ???? ? 上的射影均为 OC1 ,即 c1
???? ? ???? ? OC1 = AC cos ( A - ) 2
C x O (A) B

息技术与数学课程的 整合的理念相符。

=bsinA, ???? ? ??? ? OC1 = BC sinB=asinB, 所以 即 同理, 所以 bsinA= asinB
a b ? sin A sin B a c ? sin A sin C a b c ? ? sin A sin B sin C

3、对我的教学行为分 析。 新课程不仅要求教师 的理念要更新,而且 要求教师的角色也作 相应的变化,在这里, 我的角色是学生学习 的促进者、帮助者和 引导者。

若 A 为锐角或直角,也可以得到同样的结论。 于是,我们得到了这样的定理: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦 的比相等。即
a b c ? ? sin A sin B sin C

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例 1 某地出土一块类似三角形 D E 刀状的古代玉佩(如图 4) , 其中一角已经破损。现测得 B C 如 下 数 据 : BC=2.67cm , 图4 CE=3.57cm, ? ? BD=4.38cm,B= 45 , C= 120 。为了复原,请 计算原玉佩两边的长(结果精确到 0.001cm) 。 A 解 如图 5,将 BD,CE 分别相交 应 于一点 A,在 ?ABC 中, 用 A=180 ? (B+C)= 15? D E 举 BC AC ? 例 ∴ sin A sin B , B

练 习 反 馈

设计此环节目的有 三,其一是进一步深 C BC sin B 化学生对定理本质的 图5 ∵ AC ? ≈ 7.02 (cm) sin A 理解,突出重点(正 同理, AB≈8.60(cm) 弦定理的应用) 其 ; 小结 1(用方程的思想来解释) : 二,从例1的小结中, 已知两角及任一边, 利用正弦定理可求另 学生可以体会方程的 两边及一个角(有唯一解) 。 思想来思考、解决问 例 2 在△ABC 中, 一定成立的等式是 ( ) 题;其三,培养学生 A.asinA=bsinB B.acosA=bcosB 养成及时进行归纳的 C.asinB=bsinA D.acosB=bcosA 意识,提高其总结能 小结 2 如果等式两边是边(或者角的正弦) 力。 的齐次式,那么就可以利用正弦定理,将边 (或正弦)的齐次式换成对应正弦(或边) 的齐次式。 在△ABC 中,已知下列条件,解三角形 通过动手练习来巩 1、A=45°,C=120°,c=10cm 固、加深学生正弦定 2、A=60°,B=45°,c=20cm 理的理解,培养学生 注:请两个同学到黑板上进行解答并进行 的口头表达能力。 简单讲解 1、利用多媒体显示正弦定理: (适用一般三 角形)

课 堂 2、正弦定理可解以下两种类型的三角形: 小结 (1)已知两角以及任何一边; (2)下节课学习
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a b c ? ? sin A sin B sin C

通过师生的互动 对话,再现本节课的 主要内容和思想方 法,再次加深学生对

3、正弦定理的其他应用 对正弦定理的认识 如果等式两边是边(或者角的正弦)的 齐次式, 那么就可以利用正弦定理, 将边 (或 正弦)的齐次式换成对应正弦(或边)的齐 次式 1.阅读作业:预习 P47 ? P49 作业分为三种形 式,体现作业的巩固 2.课后作业: P52 ,2,7 作 业 3.弹 性作业: 在 ?ABC 中, 已知 a ? 2 2 , 性和发展性原则,同 布置 时考虑学生的差异 b ? 2 3 , A ? 45? ,解三角形。 性。阅读作业是后续 课堂的铺垫,而弹性 作业不做统一要求, 供学有余力的学生课 后研究。 板书设计 §1 正弦定理 正 弦 定 理 的 证 1.正弦定理 正弦定理的证明 a b c 明(向量法) (向量法) ? ?
sin A sin B sin C

2.正弦定理可解以下两种类型的三角 形: (1)已知两角以及任何一边; 3.正弦定理的其他应用 例 1 (题目) 解答: (板书) 例 2 (题目) 空白区,可以随意 书写,擦除 学生的解答 2

学生解答 1

设计意图:我的板书设计的指导原则:简明直观,重点突出。 本节课的板书教学重点放在黑板的正中间, 为了能加深学生对正弦定 理以及其应用的认识,把例题放在中间,以期全班同学都能看得到。 1.1.2 余弦定理说课稿 一.教材分析 1.地位及作用 “余弦定理” 是人教 A 版数学必修 5 主要内容之一, 是解决有关 斜三角形问题的两个重要定理之一,也是初中“勾股定理”内容的直 接延拓, 它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运

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用,是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际 问题的重要工具具有广泛的应用价值,起到承上启下的作用。 2.课时安排说明 参照教学大纲与课程标准,以及学生的现实情况,本节内容安排 两课时,本次说课内容为第一课时。 3.教学重、难点 重点:余弦定理的证明过程和定理的简单应用。 难点:利用向量的数量积证余弦定理的思路。 二.学情分析 本课之前,学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理 有关内容,对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础 上利用向量方法探求余弦定理,学生已有一定的学习基础和学习兴 趣。总体上学生应用数学知识的意识不强,创造力较弱,看待与分析 问题不深入,知识的系统性不完善,使得学生在余弦定理推导方法的 探求上有一定的难度,在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数 学美时,能够激发学生热爱数学的思想感情;从具体问题中抽象出数 学的本质, 应用方程的思想去审视, 解决问题是学生学习的一大难点。 三. 目标分析 根据新课程标准突出学生综合素质培养的特点,确定了本节课三 位一体的教学目标: 知识目标:能推导余弦定理及其推论,能运用余弦定理解已知 “边,角,边”和“边,边,边”两类三角形。 能力目标:培养学生知识的迁移能力;归纳总结的能力;运用 所学知识解决实际问题的能力。 情感目标:从实际问题出发运用数学知识解决问题这个过程体 验数学在实际生活中的运用,让学生感受数学的美,激发学生学习数 学的兴趣。 通过主动探索, 合作交流, 感受探索的乐趣和成功的体验, 体会数学的理性和严谨。 养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研 精神,形成学习数学知识的积极态度。 四. 教学方法 1.教法分析: 数学课堂上首先要重视知识的发生过程,既能展现知识的获取, 又能暴露解决问题的思维。在本节教学中,我将遵循“提出问题 、 分析问题、解决问题 ”的步骤逐步推进,以课堂教学的组织者、引 导者、合作者的身份,组织学生探究、归纳、推导,引导学生逐个突 破难点,师生共同解决问题,使学生在各种数学活动中掌握各种数学
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基本技能,初步学会从数学角度去观察事物和思考问题,产生学习数 学的愿望和兴趣。 2.学法分析: 教师的 “教” 不仅要让学生 “学会知识” 更重要的是要让学生 , “会 学知识” ,而正确的学法指导是培养学生这种能力的关键。本节教学 中通过创设情境,充分调动学生已有的学习经验,让学生经历“现实 问题转化为数学问题”的过程,发现新的知识,把学生的潜意识状态 的好奇心变为自觉求知的创新意识。又通过实际操作,使刚产生的数 学知识得到完善, 提高了学生动手动脑的能力和增强了研究探索的综 合素质。 五. 教学过程 师生活动 学情分析与设计 流程 意图 1、一般三角形全等的四种判断方法是什么? 知识 回顾 2、三角形的正弦定理内容
a b c ? ? , sin A sin A sin C 巩固旧知,为学习

主要解决哪几类问题的三角形? 3、正弦定理的证明方法。

新知识做准备。

实 际 问 题 提 出 问 题 工 程 设 计 提 出 问 题

武广高铁(武广客运专线)的路线规划要 经过一座小山丘,就需要挖隧洞。挖隧洞就涉 及到一个问题,就是要测量出山脚的长度。而 两山脚之间的距离是没有办法直接测量的,那 要怎样才能知道山脚的长度呢?(用 PPT 投影 通过实际问题,引 出小山丘)学生思考讨论 发学生思考,激发 学生的学习兴趣。 工程技术人员先在地面上选一适当位置 A, 给出技术人员的 量出 A 到山脚 B、C 的距离,再利用经纬仪测出 解决办法,引起学 A 对山脚 BC 的张角,最后通过计算求出山脚的 生的疑问。提出问 长度 BC。 若测得 AB=300m、 AC=400m, 张角 A= 60 ? 题,激起学生求知 则 BC?(配合 PPT 演示) 欲。充分调动学生 学习的积极性。 技术人员是怎么得到山脚 BC 的长度的 呢?

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问 题 化 归

问题转化为在 ?ABC 中已知 AB=300m, 将 实 际 问 题 转 化 AC=400m, A= 60 ? 要求 BC 边长的的数学问题。 成数学问题,引导 学生分析问题。

分 析 问 题

问 题 探 索

让学生觉得已学 问:这是一个解三角形的问题,那么我们 知识已经不够用, 可以用已学的解三角形知识解决吗? 需要新的理论依 据。 更一般的,问题可转化为已知三角形两边 长和夹角求第三边的问题,即:在 ?ABC 中已知 AC=b,AB=c 和 A,求 a。 C a 帮助学生从平面几 引导学生从相关 B 何、三角函数、向量知识 知识入手,积极讨 b 等方面进行分析讨论,选 论,选择简洁的工 c 择简洁的处理工具,引发 具。 A 学生的积极讨论。你能够 有更好的具体的量化方法吗? 学生对向量知识 可能遗忘,注意复 ? ? 习;在利用数量积 ? ? ? ? ? 已知: b ? b, c ? c 和 b 与 c 的夹角 A 且 a ? b ? c , 时,角度可能出现 ? 求a. 错误,出现不同的 ? ? ? ? ?2 ? ? a ? a ? a ? (b ? c ) ? (b ? c ) C 表示形式,让学生 a ? ? ? ? ? ? 从错误中发现问 ? a ? a ? b ? b ? 2b ? c B 题,巩固向量知 b ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A c 识,明确向量工具 即 : A 的作用。同时,让 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A 学生明确数学中 的转化思想:化未 知为已知。 在 ?ABC 中,设 AB ? c , AC ? b , BC ? a , ? ? ? ? ? ? 那么 a ? b ? c ,则 a ? a ? b ? c ,问题转化为
? ? ?

问 题 一 般 化

解 决 问 题 定 理 推 导

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自 主 探 究

(1)在 ?ABC 中已知: a, b和C 求 c (2)在 ?ABC 中已知: a, c和B求b

即学即用,让学生 进一步体验向量 作为工具的强大 作用。

归 纳 总 结

问 题 解 决

归纳总结,观察定 理特点,树立知三 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A 求一得方程思想。 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 由类比思想,类比 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC 勾股定理发现余 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的 弦定理是勾股定 和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 理的延续,理解数 思考:余弦定理与勾股定理有何联系,余弦定 学中一般和特殊 理有何作用。 之间的关系。 在 ?ABC 中 , 已 知 通过实际问题的 AB ? 300m, AC ? 400m, A ? 60? , 解决,树立学生的 求 BC . 信心,使得学生都 解:根据余弦定理: 有一种跃跃欲试 在 ?ABC 中:
BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC ? cos A ? 3002 ? 4002 ? 2 ? 300? 400cos60?

? 130000 故 BC ? 130000? 360.6(m)

的感觉,急于想试 一试定理的威力。 进一步调动学生 的积极性。 巩固新知, 加深对 余弦定理的理解。

问题 探究

在 ?ABC 中,已知 b ? 3, c ? 1, A ? 60? ,求 a 。

探索 理 论 创 新

定 理 推 论

由探索引出推论, 在 ?ABC 中已知 a=5,b=7,c=8,求 B。 能带动学生思考, 学生思考或者讨论,若有同学答则顺势引出推 让学生参与其中, 论,若不能作答则由老师引导推出推论,然后 让学生成为学习 返回解决该问题。 的主体。 观察推论特征, 再 b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 cos A ? cos B ? 次明确知三求一 2bc 2ac a2 ? b2 ? c2 的方程思想, 运用 cosC ? 2ab 推论可以解决 让学生观察推论的特征, 讨论该推论有什么用。 “边,边,边”的 问题。
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例题 新编 理 论 实 践

问 题

将一问改成两问, 在 ?ABC 中,已知 a ? 4, b ? 5, c ? 6 : 由浅入深, 层次分 (1) 、试求最大角的余弦值(2)试判断该三 明。 充分尊重学生 角形形状 的认知规律。 1 . 在 ?ABC 中 , 已 知 a ? 3 3 , c ? 2 , 用 练 习 去 巩 固 所 B ? 150 ? ,求 b。 学知识, 使学生逐 2.在 ?ABC 中,已知 a ? 20, b ? 29, c ? 21判 步 形 成 良 好 的 知 断三角形形状。 识结构, 加强数学 ,c 3.在 ?ABC 中,已知 b ? 8, ? 3, A ? 60? 求 a 知 识 应 用 能 力 的 培养。 1.定理的证明 2.定理和推论 3.定理的应用 1. 复习 2. 《师说》 P4 ? P6 3. 预习 通过知识回顾, 使 学生各自体会收 获。 巩固知识 多角度看待问题

小结

作业

六.板书设计 1.1.2 余弦定理 一:定理及推论 二:应用 定理推导及例题

投影幕布

七.教学理念 学习的主体是学生,要因材施教对症下药,具体情况具体分析, 不能照搬照抄。 教无定法, 关键是学生能不能有所思, 能不能有所得。 在本节课的教学中, 我始终本着 “教师是课堂教学的组织者、 引导者、 合作者”的原则,让学生通过分析、观察、归纳、推理等过程建构新 知识,并初步学会从数学的角度去观察事物和思考问题,产生学习数 学的浓厚兴趣。 同时, 以学生作为教学主体, 设计可操作的数学活动, 使每个同学都参与其中,降低了学数学的门槛,从而带动和提高全体
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学生的学习积极性和主动性。师生共同体验发现探索的快乐,感受合 作交流的愉悦。新课程的数学提倡学生动手实践,自主探索,合作交 流,深刻地理解基本结论的本质,体验数学发现和创造的历程,力求 对现实世界蕴涵的一些数学模式进行思考,作出判断;同时要求教师 从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化,从 课堂的执行者向实施者、 探究开发者转化。 本课尽力追求新课程要求, 利用师生的互动合作,提高学生的数学思维能力,发展学生的数学应 用意识和创新意识,深刻地体会数学思想方法及数学的应用,激发学 生探究数学、应用数学知识的潜能。 1.2 解三角形应用举例说课 各位评委各位同学,大家好! 我说课的题目是“解三角形应用举例” ,选自高中数学必修五第 一章第二节。我以新课标的理念为指导,时刻牢记教什么、怎样教, 为什么这样教。本次说课分为:教材与学情分析、教法与学法、教学 过程、评价与反思四个方面。 一、教材与学情分析 正弦定理和余弦定理是解决三角形的理论基础, 让学生掌握建立 “数学模型”的基本思想是本节课的重中之重。通过对解斜三角形在 实际中应用的讲解, 让学生体会具体问题已可以转化为抽象的数学问 题以及数学知识在生产,生活实际中所发挥的重要的作用。同时培养 学生数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力, 提高学 生解决实际问题的能力。激发学生学习数学的兴趣,并让学生体会数 学的应用价值。 根据教材内容分析, 考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有 知识水平,我制定如下三个教学目标: 知识与技能 能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距 离的实际问题。 ? 思想与方法 首先通过情境引入,顺利地导入新课,为以后的几节课做良好铺 垫。其次结合学生的实际情况,根据大纲要求以及教学内容之间的内 在关系,铺开例题,设计变式,同时通过多媒体演示,帮助学生掌握 解法,能够类比解决实际问题。对于开放性题目鼓励学生讨论,开放 多种思路,引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正。 ? 情感和态度价值观 激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值;同时培养学 生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能 力。
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? 教学重点:探索解三角形的条件,得到实际问题的解。 ? 教学难点:根据题意建立数学模型,画出示意图。 二、教法与学法 1、教法选择:根据本节课的教学目标、教材内容及学生的认知 特点,我选择创设情境教学法、探究教学法和引导发现法相结合。以 学生自主探究、合作交流为主,教师启发引导为辅。 2、教学组织形式:师生互动、生生互动。 3、 学法指导: 巴甫洛夫曾指出: 方法是最主要和最基本的东西” “ , 因此学之有法,才能学之有效,学之有趣。根据本节课的特点,我在 学法上指导学生: ①如何探究问题 ②遇到新的问题时如何转化为熟悉的问题 ③做好评价与反思 4、教学手段 根据数学课的特点,我采用的教具是:多媒体和黑板相结合。利用多 媒体进行动态和直观的演示,辅助课堂教学,为学生提供感性材料, 帮助学生探索并发现余弦定理。对证明过程和知识体系板书演示,力 争与学生的思维同步。学具是:纸张、直尺、量角器、计算器。 三、教学过程 为了实现本节课的教学目标, 在教学中注意突出重点、 突破难点, 我首先从大家最熟悉的城市入手,由美丽的九曲河产生疑问,进而将 同学的积极性调动起来。再复习正弦定理和余弦定理后,先练习两个 简单题,为后来的讲解做铺垫。在例 1 中,让同学学到如何测河流两 侧的点的距离,再让大家充分地讨论,如何测出同一测两点的距离。 一个练习题由两位同学到黑板上来书写,不但锻炼了学生的能力,更 给学生了自信心,也加促了同学之间竞争的意识。两个习题给同学们 更多的思考空间,这也是素质教育一个不可缺少的部分。高中数学锻 炼的有思维能力、想象能力、运算能力、建模能力等等,这节课充分 地体现了出来。最后,利用高考题将学生的情绪调动到高潮,达到教 育的效果。 板书是课堂教学必不可少的组成部分, 考虑到本节课的内容都来 源实际,我只写一道例题,让学生学会书写的格式。 四.评价与反思 新课标要求我们合理选用教学素材,优化教学内容。所以我在教 学中,选用具有现实性和趣味性的素材,并注意学科间的联系。忠实 于教材,但不迷信教材,在研究的基础上使用教材,对于课堂和课外 练习一部分取材于课本,而概念的引入却有别于教材。以激发学生的 学习积极性和主动探究数学问题的热情。教学方法合理化,不拘泥于
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形式。在教学中,通过问题串与活动系列,实施开放式教学,随处可 见学生思维间碰撞的火花,发展了学生的思维能力,培养了学生思考 的习惯,增强了学生运用数学知识解决实际问题的能力。无论是教学 环节设计,还是课外作业的安排上,我都重视知识的产生过程,关注 人的发展,意到个体间的差异,注意分层教学,让每一个学生在课堂 上都有所感悟,都有着各自的数学体验,不同的人在数学上都得到不 同的发展。 以上是我的说课,不当之处请各位评委、老师批评指正,谢谢! 2.1 数列的概念_说课稿 2 一 、课题介绍 课题《数列的概念与简单表示方法(一)》选自普通高中课程标 准试验教科书人教版 A 版数学必修 5 第二章第一节的第一课时. 二 、教材分析 1、教材的地位和作用 数列是高中数学的重要内容之一, 它的地位作用可以从三个方面 来看: (1)数列有着广泛的实际应用.如堆放的物品的总数计算要用到 数列的前 n 项和,又如分期储蓄、付款公式的有关计算也要用到数列 的一些知识. (2)数列起着承前启后的作用.一方面,初中数学的许多内容在 解决数列的某些问题中得到了充分运用, 数列是前面函数知识的延伸 及应用,可以使学生加深对函数概念的理解;另一方面,学习数列又 为进一步学习数列的极限,等差数列、 等比数列的前 n 项和以及通 项公式打好了铺垫.因此就有必要讲好、学好数列. (3)数列是培养学生数学能力的良好题材.是进行计算,推理等 基本训练,综合训练的重要教材.学习数列,要经常观察、分析、归 纳、猜想,还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题,这些都 有助于学生数学能力的提高. 2、教学目标 根据上面的教材分析以及学生们的认知水平和思维特点, 确定了 本节课的教学目标: (1) 知识目标:认识数列的特点,掌握数列的概念及表示方法, 并明白数列与集合的不同点.了解数列通项公式的意义及数列分类. 能由数列的通项公式求出数列的各项,反之,又能由数列的前几项写 出数列的一个通项公式. (2) 能力目标:通过对数列概念以及通项公式的探究、推导、应 用等过程,锻炼了学生的观察、归纳、类比等分析问题的能力.同时 更深层次的理解了数学知识之间的相互渗透性思想.
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(3) 情感目标:在教学中使学生体会教学知识与现实世界的联 系, 并且利用各种有趣的, 贴近学生生活的素材激发学生的学习兴趣, 培养热爱生活的情感. . 3、教学重点与难点 根据教学目标以及学生的理解能力与认知水平, 我确定了如下的 教学重难点 重点:理解数列的概念,能由函数的观点去认识数列,以及对通 项公式的理解. 难点:根据数列的前几项的特点,通过多角度、多层次的观察分 析归纳出数列的一个通项公式 . 三 、教学方法 根据本节课的内容和学生的实际情况, 结合波利亚的先猜后证理 论,本节课主要以讲解法为主,引导发现为辅,由老师带领同学们发 现问题,分析问题,并解决问题.考虑到学生的认知过程,本节课会 采用由易到难的教学进程以及实例给出与练习设置, 让学生们充分体 会到事物的发展规律.同时为了增大课堂容量,提高教学效率,更吸 引同学们的眼光,提高学习热情,本节课还会采用常规手段与现代手 段相结合的办法,充分利用多媒体,将引例、例题具体呈现. 四 、教学流程 为了突出重点,突破难点,探究新知,强化认识,激发兴趣,把 本节课的教学流程分为了创设情境引入课题、概念引出探究新知、类 比分析突破难点、知识应用深化认识、小结反思布置作业五个板块加 以说明. 流 程 创 设 情 境 引 入 课 题 问题或情景 有人说,大自然都是懂数学的,不知 道你注意过没有,树木的分叉、花瓣的 数量、植物种子的排列等等都遵循了某 种数学规律,你能发现这种规律与这列 数 的 关 系 吗 ? 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,其实很 多花瓣的数目都满足这列数,兔子生育 问题, 树发枝丫的数目也满足这列数.你 看出这几个数字的特点了吗?是不是前 面两个数之和等于后面两个数.这个规 律是不是很有趣啊?这就是我们今天要 学习的数列.旁边还会以多媒体呈现出
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设计意图 这样创设的有趣的 问题情境可以吸引学 生的注意力.情景中提 出了两个问题是为了 启发学生观察图形特 征,从而得到这些数有 一定的关系,而且是一 列数且按照一定的顺 序,为数列概念的引出 做好准备.

概 念 引 出 探 索 问 题

满足这个数列的许多自然规律比如许多 植物的花瓣,树木的枝丫等. 给出 5 个引例: 引例 1 我们班的同学的学号从小到大 排列构成一列数 1,2,3,4,5,?,64 引例 2 正奇数 1,3,5,7,?的倒数构 成一列数 1, 1 , 1 , 1 ,...
3 5 7

引例 3 某人的工资 1 月到 12 月按月排 序分别是(元)2500,2500,?,2500 (?1) x 引例 4 当 x 取正整数时 候构成的一列数为-1,1,-1,? 引例 5 一列数 2,4,8,16,? 问题 1 是什么? 上述的这些情景的共同特点

问题 2 这些数字能否调换顺序?顺 序变了之后所表达的意思变化了吗? 定义:按照一定的顺序排列着的一列 数 问题 3、 相同的一组数按不同的顺序排 列时,是否为同一个数列? 问题 4、 一个数列中的数可以重复吗? 这就是数列与集合的异同. 问题 5、你能举出身边的数列的例子 吗?

给出五个情景,有现 实生活中的一些实例, 也有与前面学过的一 些知识相关的例子,这 样既可以吸引同学们 的注意,增加他们的学 习兴趣,又可以让同学 们消除陌生感,更好的 接受新知识.更为后面 的数列分类给出了实 例. 问题 1,2 的设置是让 学生充分观察,猜想, 然后得出这些都是按 照一定顺序排列的数 的结果,从而就可以总 结出数列的定义,这样 既可以锻炼学生的观 察归纳能力,又可以让 学生体会知识的得出 过程,体会数学美. 而问题 3,4 是得出定 义后对定义的辨析,通 过回答者两个问题得 出数列与集合的不同 点,更深层次的理解数 列的含义. 最后一个问题的提 出主要是让学生通过 举例,进行辨析,明白 数列与实际生活中的 紧密联系,从而增加学 生主动学习数学的热 情.并且可以结合学生 所举的例子的以及前 面给出的情景归纳出

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类 比 分 析 突 破 难 点

知 识 应 用 深 化 认 识

数列的分类. 提出问题:引例 5 中给出的数列中的 意图:对数列序号写 某一项的值与它的序号间有什么关系? 在上面,下面相应的位 哪个是变动的量,哪个是随之 变对的 置写上数列的各项,通 量?而且这是定义在数集上的关系,那 过 几 个 问 题 引 导 学 生 么你能联想到以前学过的哪些相关的内 说出上,下两行是两组 容? 变量,然后分析这两组 旁边可以写出这个数列,并且分别对 变 量 之 间 的 关 系 使 学 应着它们各自的序数. 生联想到函数间的变 得出结论: 数列就是一列特殊的函数, 量依赖关系,认识到数 它的定义域为正整数 列是一种特殊的函数 那么我们是不是可以像函数一样用一 ( 突 破 本 节 课 的 重 个解析式来表示数列呢? 点),从而可以由函数 通项公式:用来表述数列的项与序号 的解析式引出,某些特 之间的关系的公式叫做通项公式. 殊的数列可以写出其 问题 1 是不是每个数列都有自己的通 通项,即通项公式 项公式? 问题引发学生们得深 问题 2 一个数列的通项公式唯一吗? 思,从而巧妙的把函数 这里可以给出数列 1,0,1,0, ?的两个通 与数列结合起来了,通 项公式加以说明 过函数解析式类比得 问题 3 通项公式有什么用途呢? 出数列的通项公式 这三个问题可以引出 通项公式的应用以及 应该注意的,从而加深 同学们对数列理解.而 给出的两个通项公式 不仅对那个问题给出 了佐证,也为后面的联 系题做下了铺垫. 例 求数列 1,3,5,7,?的通向公式 本例很简单,旨在教 会学生分析问题,并且 明白规范的解题格式. 后面的两个练习题都 练习 求下列数列的通项公式 关系求数列的通项这 一问题,让学生明白求 1、2,0,2,0,? 通向公式的方法与技 2、9,99,999,9999,? 巧. 这几个例题与练习
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小 节课的小节主要分为 3 点 结 反 (1)数列的概念以及分类 思 布 (2) 数列的通项公式以及与函数的关 置 系 4 个作业题,由易到 作 难,体现了学生接受事 业 作业:(1)复习本节课的知识 物的客观规律,孔子 说:温故而知新所以我 (2)预习下节课的知识 让同学们复习今天所 讲的内容,预习是为了 (3)A 组 1,3 B 组 3 题(选) 让同学们下节课效率 上课做准备.必做题和 (4)思考题: 选做题更区分了难度, 让不同了学生得到不 求数列 7,77,777,7777,?的 同的锻炼,更体现了层 通项公式 次性.两个思考题紧紧 结合本节课的重难点, 让同学们更深的理解 1 分钟回忆法: 掌握运用这节课的知 下课前 1 分钟让同学们快速浏览黑板 识,其中思考题是对练 今天老师所讲的内容,然后闭上眼睛头 习的加深,是对学有余 脑里再现一遍今天所讲的内容 力的同学的一种吸引 与肯定.更能激发学生 们得学习热情. 根据艾宾浩斯的遗 忘曲线和夸美纽斯的 巩固性原则,我用了 1 分钟回忆法,增加同学 们的快速记忆次数,延
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题紧扣本节课的重点 与难点,通过练习使同 学们更深刻的理解掌 握了本节课的知识,同 时练习 1 是前面数列 1,0,1,0,?的变式, 练习 2 是后面思考题的 基础. 小节的这 2 点设置主 要是为了巩固本堂课 的知识,再次突出重点 与难点.

缓遗忘时间. 五 板书设计: 根据这节课的内容,我把黑板分为了四个板块.第一个板块给出 引入的情景,第二个和第三个板块推出定义,以及定义的辨析.第四 个板块为例题讲解和练习题得给出,以及作业的布置.这样设计直观 大方,把情景放在第一板块更能吸引同学们得目光.把最重要的知识 放在 2,3 板块更照顾全体同学.更引起同学们的注意. 2.1 数列的概念说课稿 1 今天我将要为大家讲的课题是“数列(第一课时) ” 一、教材结构与内容简析 本节内容在全书及章节的地位: 《数列(第一课时) 》是中等职业 学校数学教材第二册第 一章第一节。数列是高中数学的重要内容之 一,它的地位作用可以从三个方面来看: (1)数列有着广泛的实际应用。如堆放物品总数的计算要用到数列 前 n 项和公式;又如产品规格设计的某些问题要用到等比数列的原 理;再如储蓄、分期付款的有关计算也要用到数列的一些知识。 (2)数列起着承前启后的作用。一方面,初中数学的许多内容在解 决数列的某些问题中得到了充分运用, 数列与前面学习的函数等知识 有密切的联系; 数列是刻画离散现象的函数, 是一种重要的数学模型, 人们往往通过离散现象认识连续现象.另一方面,学习数列又为进一 步学习数列的极限等内容作好了准备。因此就有必要研究数列。 (3) 数列是培养学生数学能力的良好题材。 学习数列, 要经常观察、 分析、 归纳、 猜想, 还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题, 这些都有助于学生数学能力的提高。 所以说数列是高中数学重要内容 之一 二、 教学目标 根据上述教材结构与内容分析, 考虑到学生已有的认知结构心理 特征 ,我制定如下教学目标: 1、基础知识目标:形成并掌握数列的概念,理解数列的通项公 式。并通过数列与函数的比较加深对数列的认识。 2、能力训练目标: 培养学生观察、归纳、类比、联想等发现规 律的一般方法。 3、情感目标:让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐 趣。 三、 教学重点、难点、关键 本着课程标准,在吃透教材基础上,我觉得本节课是本章内容的 第一节课,是学生学习本章的基础,为了本章后面知识的学习,首先 必须掌握数列的概念,其次数列的通项公式是研究后面等差数列、等
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比数列的灵魂,所以我认为数列的概念及其通项公式是教学的重点。 由特殊到一般,由现象到本质,要学生从一个数列的前几项或相邻的 几项来观察、归纳、类比、联想出数列的通项公式,学生必须通过自 己的努力寻找出数列的通项 an 与项数 n 之间的关系来,对学生的能 力要求比较高,所以我认为建立数列的通项公式是教学的难点。我觉 得教学的关键就是教会学生克服难点, 办法是让学生学会观察数列的 前几项的特点,在观察和比较中揭示数列的变化规律。 下面, 为了讲清重点、 难点, 使学生能达到本节设定的教学目标, 我再从教法和学法上谈谈: 四、 教法、学法 根据本节课的内容和学生的实际情况, 本节课主要采用 “提问法、 观察法、发现法、启发式法相结合的方法”引导学生发现问题,探索 问题,并解决问题。 课程改革的具体目标之一是“改变课程实施过于强调接受学习、 死记硬背、机械训练的现状,倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动 手,培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解 决问题的能力以及交流与合作的能力”。 我以建构主义理论为指导,从学情出发,采用着重于学生探索 研究的启发式教学方法,结合师生共同讨论、归纳总结。在课堂结构 上,我根据学生的认知水平,设计了 ①创设情境——引入概念②观 察归纳——形成概念③讨论研究——深化概念④即时训练—巩固新 知⑤总结反思——提高认识⑥任务后延——自主探究六个层次的学 法,它们环环相扣,层层深入,从而顺利完成教学目标。 五、 教学程序及设想 (一) 创设情境——引入概念 我经常在思考:长期以来,我们的学生为什么对数学不感兴趣, 甚至害怕数学, 其中的一个重要因素就是数学离学生的生活实际太远 了。事实上,数学学习应该与学生的生活融合起来,从学生的生活经 验和已有的知识背景出发,让他们在生活中去发现数学、探究数学、 认识并掌握数学。 1、由生活中的具体的数列实例引入: a、时间:时钟、挂历 b、植物:植物的茎 2、用古老的有关国际象棋的传说引入,符合高一学生喜欢探究 新奇奥妙事物的特点。有利于激发学生的学习兴趣。 (二)观察归纳——形成概念 由实例得出几列数, 再有目的地设计, 如自然数、 自然数的倒数、 大于零的偶数、开关(0,1,0,1,0,1,?)“一尺之棰,日取其 、 半,永世不竭。 ”以及从 1984 年到 2004 年我国体育健儿参加六次奥
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运会获得的金牌数 15,5,16,16,28,32 所形成的数列,教师引导 学生概括总结出本课新的知识点:数列的定义。 (三)讨论研究——深化概念 课前我精心设计的几个数列中已经含概了有穷数列、无穷数列、 递增数列、递减数列、常数数列,等待学生观察、讨论、交流后掌握 以上几个概念。数列的相关概念:数列中的每一个数都叫这个数列的 项, 并且依次叫做这个数列的第一项 (首项) 第二项, , ?第 n 项, ?。 数列的一般形式可写成:a1,a2,a3,?,an?,简记为{an} ,其 中 an 表示数列的第 n 项。 接着引导学生再观察以上几个数列的项与项数之间的关系, 如果 数列{an}的第 n 项 an 与序号 n 之间的关系可以用一个公式 an=f (n)来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。 最后通过数列通项公式与函数解析式的对比研究, 使学生得出数 列通项公式 an=f(n)的图象是一群孤立的点。 在数列中,项数 n 与项 an 之间存在着对应关系。如果把项数 n 看作自变量, 那么数列可以看作以自然数集 (或它的有限子集 {1, 2, 3,?,n} )为定义域的函数。当自变量由小到大依次取值时对应的 一列函数值。而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。当我们把 直角坐标系的横坐标看作项数 n,纵坐标看作项 an 时,我们得到的 图象就是一群孤立的点。 (四)即时训练—巩固新知 为了使学生达到对知识的深化理解,从而达到巩固提高的效果, 我特地设计了一组即时训练题,并且把课本的例题熔入即时训练题 中,通过学生的观察尝试,讨论研究,教师引导来巩固新知识。 (五)总结反思——提高认识 由学生总结本节课所学习的主要内容:⑴数列及其有关概念; ⑵根据数列的通项公式求其任意一项; ⑶根据数列的一些相邻项求数 列的通项公式;⑷数列与函数的关系(数列是一种特殊的函数) 。让 学生通过知识性内容的小结, 把课堂教学传授的知识尽快化为学生的 素质;通过数学思想方法的小结,使学生更深刻地理解数学思想方法 在解题中的地位和应用,并且逐渐培养学生的良好的个性品质目标。 (六)任务后延——自主探究 学生经过以上五个环节的学习, 已经初步掌握了探究数列规律的 一般方法,有待进一步提高认知水平,因此我针对学生素质的差异设 计了有层次的训练题,留给学生课后自主探究,这样既使学生掌握基 础知识,又使学有佘力的学生有所提高,从而达到拔尖和“减负”的 目的。 六、简述板书设计。
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1.概念:

§3.1 数 2、例题1 (学生板书) 例题 2 例题 3

列 3、练习 4.小结

结束语:以上,我仅从说教材,说学情,说教法,说学法,说教 学程序上说明了“教什么”和“怎么教” ,阐明了“为什么这样教” 。 希望各位老师对本堂课提出宝贵意见。 2.2《等差数列》说课稿 各位专家、评委:大家好! 我是###中学的数学教师###,很高兴有机会参加这次说课活动, 希望各位专家对我的说课提出宝贵意见. 我说课的内容是人教版高一 数学(上)第三章第 2 节,等差数列第一课时。我将从教学内容的分 析、教法与学法选择、教学过程设计和板书设计这四个方面来汇报我 对这节课的教学设想。 一、教学内容的分析 1.教材的地位与作用 数列是高中数学的重要内容,是历年高考的热点与重点之一。 数列作为离散型函数有着承前启后的作用,它既是前一章《函数》内 容的延伸,也是数学归纳法、数列极限等后续课程的基础。它不仅有 着广泛的实际应用, 而且对学生观察能力与应用能力的培养是不可或 缺的。 等差数列是这章两大核心内容之一, 其第一课时是学生探究特殊 数列的开始, 是继续研究等差数列的基础, 它为等比数列概念的学习、 通项公式的推导与应用,给出了“示范”提供了“模式”。 2.教学目标的确定及依据 (1)教材分析 从教学大纲和教材看: 本节教材先在具体例子的基础上引出等差 数列的概念,接着用不完全归纳法归纳出等差数列的通项公式,最后 根据这个公式去进行有关计算。 由此可见本安排旨在培养学生的观察 分析、归纳猜想、应用能力。 (2)学情分析 从学生知识层面看: 学生对数列已有初步的认识, 对方程、 函数、 数学公式的运用已有一定的基础,对方程、函数思想的体会也逐渐深 刻。

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从学生素质层面看:从高一新生入学开始,我就很注意学生自主 探究习惯的养成。现阶段我的学生思维活跃,课堂参与意识较强,而 且已经具有一定的分析、推理能力。 鉴于上述分析我制定了本节课的教学目标和重点、难点如下: 1) 教学目标 我们认为本节课应该以三维目标中的知识目标和能力目标为 主。 知识目标:掌握等差数列的概念;理解等差数列的通项公式的 推导过程;了解等差数列的函数特征;能用等差数列的通项公式解 决相应的一些问题。 能力目标:让学生亲身体验“从特殊入手,研究对象的性质, 再逐步扩大到一般”的研究过程,培养他们观察、分析、归纳、推 理的能力。通过阶梯性的强化练习,培养学生分析问题解决问题的 能力。 2) 重点难点 重 点:等差数列的概念的理解,通项公式的推导与应用。 难 点:(1)对等差数列中“等差”特点的理解; (2)对等差数列函数特征的理解; (3)用不完全归纳法推导等差数列的通项公式。 (因为学生第一次接触不完全归纳法,所以用不完全归纳法推导 等差数列的通项公式是这节课的又一个难点。 同时, ) 由于学生对“数 学建模”的思想方法比较陌生, 为分散难点我把用数列的思想解决实 际问题放在了下节课。 二、教法和学法的选择 1.教法 ⑴启发式、讨论式:通过问题激发学生求知欲,使学生主动参与 活动, 以独立思考和相互交流的形式, 在教师的指导下发现问题、 分析问题和解决问题。 (2)讲练结合法:可以及时巩固所学内容,抓住重点,突破难点。 2.学法 引导学生联想、探索,鼓励学生大胆质疑,学会探究。 3.教学手段 教学中使用了多媒体投影和计算机来辅助教学. 目的是充分发挥 其快捷、生动、形象的特点,为学生提供直观感性的材料,而且有助 于适当增加课堂容量,提高课堂效率。 三、教学过程的设计 为达到本节课的教学目标,突出重点,突破难点,我把教学过程 设计为六个阶段:创设情境,引入课题;师生互动,形成概念;启发
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引导,演绎结论;实践应用,开放思考;归纳小结,提炼精华;课后 作业 运用巩固。具体过程如下: (一)创设情境,引入课题 1.复习回顾:从函数的观点看,数列可看成是定义域为 N﹡(或它 的子集 ? ,2,3,?, n?)的函数,当自变量从小到大的依次取值时,所对应 1 的一列函数值。数列的通项公式 a n ? f (n) 是该函数的解析式。 [设计意图]:为本节课用函数思想研究等差数列通项公式作准备 2. 引例 : 1)德国数学家高斯八岁计算 1+2+3+···+100=? 时,所用到的数 列:1,2,3,4,···,100① 2)姚明刚进 NBA 一周里每天训练发球的个数依次是:6000,6500, . 7000,7500,8000,8500,9000② 3)匡威运动鞋(女)的尺码(鞋底长,单位 cm): 22 1 ,23,23 1 ,24,24 1 ,25,25 1 ,26
2 2 2 2



引导学生观察:数列①、②、③有何共同点? 引导学生得出“从第 2 项起,每一项与前一项的差都是同一个常 数”,我们把这样的数列叫做等差数列. (板书课题) (三个引例引出三个具体的等差数列,为后面的概念学习建立基础, 为学习新知识创设问题情境,激发他们的求知欲。由学生观察三个数 列特点,引出等差数列的概念,以此培养学生由具体到抽象、特殊到 一般的认知能力。使学生认识到生活离不开数学,同样数学也是离不 开生活的。请看引入的教学片断) (二)师生互动,形成概念 (本环节将由学生通过数列的共同点归纳出等差数列的概念, 在理解 概念的基础上, 将等差数列的文字语言转化为数学语言, 归纳出数学 表达。) 1.(由学生归纳出)等差数列的概念. 如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同 一常数,这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差,通 常用字母 d 来表示。(教师引导学生抓住定义中有关键词并强调) 强调:①“从第二项起”(这是为了使每一项与它的前一项都存在); ②每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(因为“同一个 常数”体现了等差数列的本质特征); , 2.等差数列的定义的数学表达式: an ? an?1 ? d (d是常数 n ? N且n ? 2) [设计意图]:在学生理解等差数列概念的文字语言的基础上,进一步 让学生掌握等差数列定义的符号语言表达式,为学生今后应用 等差数列的定义解决问题打下基础。
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试一试: (通过此练习加深对概念的理解)-为配合概念的理解而设 计 ①9,6,3,0,-3,??是等差数列吗? ②数列3,3,?,3,?是等差数列吗? ③数列 1,4,7,11,15,19 是等差数列吗? ④若数列 ?a n ?满足: a n?1 ? a n ? 2(n ? N且n ? 2) ,则数列 ?a n ?是等差数列 吗? ①②及引例目的在于强调公差 d 可以是正数、 负数, 也可以是 0; ③再一次强调: “同一个常数” ④目的在于强调定义中 “从第二项起, 每一项与它的前一项的差都要是同一个常数”。 (三)启发引导,演绎结论(本环节是这节课的第二个重点内容,我 充分发挥学生主体作用完成通项公式的推导.) 1. 公式推导—探究活动一: 在不完全归纳法导出等差数列通项公式中, 我采用讨论式的教学 方法。给出等差数列 ?a n ?首项是 a 1 ,公差是 d ,由学生分组讨论出 a2 , a3 , a4 ,并猜想出 a n 。步步为营,层层推进的整个过程由学生完成, 通过这种互相讨论的方式既培养了学生的协作意识又化解了教学难 点。 为了培养学生严谨的学习态度, 体现 “注重方法,凸现思想” 的 教学要求, 我在这里采用启发式教学方法向学生介绍求等差数列通项 公式的另外一种方法—叠加法。请看教学片断。 2.为帮助学生从方程角度理解通项公式,培养学生用运动变化的 观点看问题的能力 ,我引导学生观察通项公式发现: 通项公式含有 a1 , d , n, an 这 4 个量,只要知道其中任何三个量, 通项公式就变成关于第 4 个量的一元方程,解方程就可实现“知三得 一”。 (四)实践应用,开放思考 这一环节是使学生通过例题和练习和探究活动,增强对等差数 列定义及通项公式的理解运用,提高解决问题的能力。 1.公式的简单应用 例1:已知等差数列18,15,12,9??, ①请写出 a20 , an ②-279 是否是这个数列中的项,如果是,是第几项? (整个求解由学生完成,教师只强调②的实质上是求方程 an ? ?279的正整数解, 也是通项公式中已知 a1 , d , a n , 求项数 n 的问题。 ) [设计意图]:通过此例使学生熟悉通项公式,完成基本技能训练。 2.公式的深化
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例 2:已知等差数列 ?a n ?中, a5 ? 10, a15 ? 25, 求 a25 的值。 [设计意图]将例 2 作为对通项公式的巩固及深化,已知等差数列中 任意两项能利用通项公式熟练求出第三项,并引导发现: a15 ? a5 ? 10d ? (15 ? 5)d —是一种巧合,还是对任意的两项差都满足? 从而引出探究活动二 3.通项公式的推广—变通式 思考:在公差为 d 的等差数列中, an ? am ? (n ? m)d 是否成立? 学生通过分组讨论方式很容易得到 an ? am ? (n ? m)d ,变形成 对照通项公式并指出: an ? am ? (n ? m)d 是通项公式 an ? am ? (n ? m)d , 的推广,称为通项公式的变通式。 [设计意图]:已知数列中任意两项,可利用 d ?
an ? am 求出 d ,再利用 n?m

变通式求出第三项,这样可避开解方程组。至此要求学生能用此法解 例 2 强化变通式。 通过等差数列变形公式的教学培养学生思维的深刻 性和灵活性。 4.练习反馈 ,强化目标 练一练: (1)在等差数列 ?a n ?中,已知 a5 ? 10 , a12 ? 31 ,则 an ? ; (2)若 d ? ?2, a20 ? ?397,则 an ?
(3)5 3是数列 3, 7, 11 15, 的第 , ? 项; (4) 在等差数列 ?a n ?中,已知 a1 ? 1 , a 2 ? a5 ? 4, a n ? 33 ,则 n 的值 3

为 . [设计意图]: 为及时巩固所学内容设计 4 个由浅入深的练习, 以此 培养学生观察问题,分析问题的能力 。 5.研究与探讨--力求引导学生用函数的观点认识通项公式,培养 多角度理解问题的能力。 (由等差数列通项公式得 an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? (a1 ? d ) ( d , b 是常 数),当 d ? 0 的时候,通项公式是关于 n 的一次式 ,一次项的系数 是公差。等差数列通项可以写成 a n ? pn ? q 形式) 反之如果一个数列 ?an ? 的通项公式为 an ? pn ? q (其中 p , q 是常 数),那么这个数列是等差数列吗?引出例 3,学生根据等差数列的 定义易判断 ?an ? 是等差数列。由些得出:数列{an}为等差数列的充要 条件是其通项 a n ? pn ? q (p、q 是常数)。 [设计意图]: 强化如何应用定义证明一个数列是等差数列的同时导出 判断一个数列是否为等差数列的第二个方法.

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探究活动三: 为研究等差数列的通项公式与一次函数的关系而设 计。 (1)在直角坐标系中,画出 an ? ?3n ? 21的图象。这个图象有 什么特点? (2)在同一坐标系下,画出函数 y ? ?3 x ? 21 的图象。你发现 了什么? (3)等差数列 an ? pn ? q 与函数 y ? px ? q 图象间的有什么关 系? (当 p ? 0 时,an ? pn ? q 也是关于正整数 n 的一次式;其 图象是直线 y ? px ? q 上均匀排开的无穷多个孤立点。) [设计意图]: 通过此环节让学生认识等差数列通项公式的函数特征, 并让他们再次体验从特殊到一般,具体到抽象的认知过程。 (五)归纳小结 提炼精华 [设计意图]:老师作适当引导,让学生反思、归纳、总结本节课所学 主要内容,培养学生的概括能力、表达能力。 本节课主要学习: , 一个定义: an ? an?1 ? d (d是常数 n ? N且n ? 2) 两个公式: an ? a1 ? (n ? 1)d an ? am ? (n ? m)d 两种思想:方程思想 、函数的思想 两种方法:不完全归纳法、叠加法 (六)课后作业 运用巩固 必做题: A.课本 P114 习题 3.2 第 1,2,6 题 B. 补:1.已知等差数列 ?an ? 的首项 a1=-2 ,第 10 项是第一 个大于 1 的项。求公差 d 的取值范围。 2.我国古代算书 《孙子算经》 卷中第 25 题记有: “今 有五等诸侯,共分橘子六十颗。人分加三颗。问:五人各 得几何? 选做题:在等差数列 ?an ?中,已知 a7 ? 16 ,求下列各式的值: (1) a6 ? a8 ; (2) a3 ? a11 [设计意图]:通过分层作业,以满足不同层次学生的需求,同时为下 一节课研究等差数列的性质做铺垫。 四、板书设计 在板书中教师必要的板演突出本节重点, 同时给学生留有作题的 地方,整个板面看上去自然、清晰、美观,还能充分表现出精讲多练 的教学方法。

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§3.2 等差数列 例 2(略) 1、定义(略) 2、数学表达式 3、等差数列的通项 练习: 公式 4、变通式

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各 位专家,以上就是我对这节课的教学设想.不足之处恳请各位专家批 评指正.谢谢! 2.3 等差数列的前 n 项和说课稿(1) 各位老师,同学们大家好,很高兴能有这次机会与大家一起交流,今 天我说课的内容是“等差数列的前 N 项和”, 有不当之处望多多指正 根据新课标中提到的说课标准 下面我将从教材分析,教法分析,学 法分析,教学过程这四个部分进行说明。 一、教材分析 1、本节在教材中的地位和作用 “等差数列的前 n 项和” 选自人民教育出版社高三上册第二 章.课时为第二课时,课型为新知课.它是对前面所学的等差数列相 关知识的巩固和应用,无论在知识还是能力上,都是进一步学习其他 数列知识的基础.同时,在推导等差数列的前 n 项和公式的过程中所 采用的“倒序相加法”是今后数列求和的一种常用且重要的方法.因 此,掌握等差数列的前 n 项公式及推导为后面将要学习的等比数列的 相关知识打下坚实的基础.同时起到了承上启下的重要作用. 2、目标分析 根据上述教材结构与内容分析, 考虑到学生已有的认识结构和新 课程标准,我从三个方面确定了本节课的教学目标: (1)知识目标: (a)掌握等差数列的前 n 项和公式及推导过程; (b)会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的与前 n 项 和有关的问题. (2)能力目标: (a)培养学生的逻辑推理能力; (b)培养学生分析问题,解决问题的能力. (3)情感目标: (a)培养学生的辩证唯物主义思想. (b)提高学生的数学修养. 3、教学重点与难点
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为了实现上述三个教学目标,我把本节课的重、难点确定为: (1)教学重点:等差数列前 n 项和公式的推导,理解及应用. (2)教学难点:等差数列前 n 项和公式的推导及应用. 为了突出重点、突破难点,在教学中我采取以下措施:从学生已 有的知识出发,精心设计一个符合学生知识水平的具体问题,并通过 相关的数学史,逐步引导学生观察,类比推导出等差数列的前 n 项公 式,并能灵活应用解决相关的问题. 三、教法分析 为了调动学生积极的非智力因素, 同时为了更好的培养学生的自 学能力,本节课我将采用自主式探索式教学法,在遵循启发式教学原 则的基础上,主要采用以引导发现法,谈话法为主,练习法为辅的教 学方法, 意在通过特殊等差数列求和问题出发引导学生导出一般等差 数列的求和公式,从而调动学生的积极性,同时给学生提供一个广阔 的探索空间,一个充分展示创新能力的机会. 四、学法分析 在学法指导上,根据新课程标准理念,学生是学习的主体,教师 只是学习的组织者、辅导者、引导者,因此,在本节课的教学中我主 要是引导学生通过观察、类比得到等差数列的前 n 项和公式,从而激 发学生的求知欲和学习积极性, 从而把传授知识和培养能力有机地结 合起来. 五、教学过程 2、展示新知 在引出等差数列的求和问题后,我并不是直接给出解决的办法, 而是进一步把学生引导到对问题的观察、分析、归纳活动之中,不仅 让学生通过自己的尝试活动解决了特殊的等差数列的求和问题, 还通 过师生互动协作用类比的方法,导出了一般等差数列的求和公式.在 采用对特殊数列的求和问题的求解得到了一般等差数列的求和问 题.把单纯死记知识改变为让学生积极参与,主动掌握探索的过程, 体现了师生的互动性, 在的得到了 sn ? 问题出发,进而推导的公式 sn ? na1 ?
n(a1 ? an ) 公式后,我并不是直接 2

介绍推导前 n 项和的第二个公式,而是通过一个特殊等差数列的求和
n(n ? 1) d .把单纯死记知识改变为 2

让学生积极参与,主动掌握探索的过程,体现了师生的互动性,从而 在此过程中不仅获得了新知识, 而且能力得到了培养, 真正体现了 “以 培养学生能力为中心”的教学思想. 3、例题讲解 根据教学过程的基本阶段,我将把巩固知识和运用知识两个阶段有机结 合,以达到学懂会用,学以致用.因而,当这部分知识讲解完后,我将通过
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讲解例题来强化学生对 知识的理解. 例 1.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 20 , a15 ? 48 ,求这个数列前 15 项的和? 目的:使学生对所学知识的应用.因为这道题都比较基础,学生很容易完 成,这样不但可以增加他们学习的兴趣和自信心,还能够加深对公式的理解 和应用. 例 2.求等差数列 2, 4, 6,? 前 n 的和? 目的:让学生巩固所学公式,能对公式进行简单运用. 例 3.等差数列 ?10, ?6, ?2, 2,? 前多少项的和为 54 ? 目的:该题目主要是让学生来对题目的理解和分析,并能指出题 目中的已知量和发现要求的未知量,使学生熟练掌握公式,进一步提 高学生的应用能力. 4、课堂练习 根据夸美纽斯的教学巩固性原则, 为了培养学生独立解决问题的 能力,教师要让学生掌握系统知识的结构,通过归纳总结来提示知识 的内在联系,强化知识系统,从而形成牢固的知识结构.因此,分析 完例题后,为了加深学生对公式的理解和掌握,我将让学生们做书上 的练习题.通过抽个别同学上黑板演算,其余同学在草稿本上完成练 习的方式来了解学生的学习情况,从而对讲解内容作适当的补充. 5、课时小结 本节课讲到了这里, 就接近了尾声, 待对学生的练习指导完成后, 先由学生来总结本节课所学的内容,并对学生的回答加以鼓励.学生 发表意见完毕后,由我对本节课的内容做一个较为全面的总结,使学 生对本节知识结构有一个清晰而系统的认识. 6、作业布置 按照循序渐进的原则,我对作业布置分为三层,这样既让大部分 学生对所学知识能加以巩固, 同时又为学有余力的学生留有自由发展 的空间,以弥补课堂上照顾学生的个别差异,进行因材施教的不足。 作业布置如下: 1、作业题:教材 P118 的习题 3.3 的 1、2、3 题; 2、预习内容:教材 P117 的例 3、例 4; 3、 思考题: 老师在推导公式过程采用与书上不同的方法,下来请 同学们把书上的推导方法看一下.比较这两种方法有什么不同之处. 目的:使学生进一步掌握所学知识,提高学生的思维能力,探 索能力. 六、板书设计 板书设计的好坏直接影响这节课的效果,因此它起着举足轻重 的作用.为了使整个板面重点突出,层次分明,我将黑板分为四版:
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第一和第二版是新课的讲解;第三版是用于书写例 1 和例 2;第四版 作副版使用,用于旧知识的复习和情景问题的提出,以及书写例 3; 再借助小黑板展现一部分小结,这样的排版使学生一目了然. §3.3 等差数列的前 n 项和 1、等差数列的 2、 等差数列的前 例 1: 复习引入 前n n项 项 和 公 式 一 的 和公式二的推导 推导 过程 例 3: 过程 例 2: 3、 等差数列的前 n项 和的两个公式 总之,我这节课的设计充分体现了教师为主导,学生为主体,练 习为主线,思维为核心,能力为目标的教学思想. 2.4 等比数列说课稿 1.教学任务分析 1.1 学情分析 本节课的授课对象是 c 班学生,数学水平参差不齐,依赖性强, 接受能力一般,灵活性不够。因此本节课采用低起点,由浅到深,由 易到难逐步推进,热情地启发学生的思维,让学生在欢愉的气氛中获 取知识和运用知识的能力。 1.2 教材分析 1.2.1 教材地位和作用 本节课是人教版《必修 5》第二章第二节第一课时的内容,是在 学生已经系统地学习了一种常用数列,即等差数列的概念、通项公式 和前 n 项和公式的基础上,开始学习另一种常用数列。教材通过日常 生活中的实例,讲解等比数列的概念,通过列表,图像,通项公式来 表达等比数列,把数列融于函数之中,体现了数列的本质和内涵。等 比数列的定义与通项不仅是本章的重点和难点, 也是高中阶段培养学 生逻辑推理的重要载体之一。 1.2.2 教学目标: 知识与技能:理解并掌握等比数列的定义和通项公式,并加以初步 应用。 过程与方法:通过概念、公式和例题的教学,渗透类比思想、方程 思想、函数思想以及从特殊到—般等数学思想,着重培养学生观察、 比较、 概括、 归纳、 演绎等方面的思维能力, 并进—步培养运算能力, 分析问题和解决问题的能力,增强应用意识。
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情感态度与价值观:在传授知识培养能力的同时,培养学生勇于探 求,敢于创新的精神,同时帮助学生树立克服困难的信心,培养学生 良好的学习习惯意志品质。 1.2.3 教学重点和难点 教学重点:等比数列、等比中项的概念的形成与深化;等比数 列通项公式的推导及应用。 教学难点是:等比数列概念深化:体现它是一种特殊函数,等 比数列的判定、证明及初步应用。 2.教材教法和学法分析 2.1 教材的处理 考虑到学生的基础较差,故应稀释、放大、拉长等比数列概念 的形成,展示深化过程和通项公式的推导过程,体现过程教学法。本 节着重体现等比数列概念形成的过程及通项公式的推导与运用, 因此 把等比中项的概念安排到第二课时教学。 2.2 教材的教法 遵循“教为主导,学为主体,练为主线”的教育思想,我所采 用的教学方法主要是启发引导探究法,并以讨论法,讲授法相佐。 2.3 教材的学法 自学——类比——归纳——练习 3.教学过程 具体教学过程分为复习引新、新课教学、练习反馈、总结提高、 归纳小结与布置作业六个阶段。 3.1、复习引新 等差数列的定义: ?n ? N? , an?1 ? an ? d (d为常数)
?an ? a1 ? ? n ? 1? d ? ? a ? a ? n ? m? d 等差数列的通项公式; ? n m ? ? ?an ? pn ? q ? p, q为常数 ? ?

3.2 新课教学 3.2.1 等比数列概念的教学 具体分为四个环节 ㈠创设情境,引入概念 引例 1:细胞分裂问题 假设每经过一个单位时间每个细胞都分裂为两个细胞,再假设 开始有一个细胞,经过一个单位时间它分裂为两个细胞,经过两个单 位时间就有了四个细胞,?,一直进行下去,记录下每个单位时间的
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细胞个数,依次得到了一列数,求这些数所构成的数列。
1 , ,, , , 2 4 8 16 …

引例 2:某轿车的售价约36万元,年折旧率约为 10%(就是 说这辆车每年减少它的价值的 10%) ,那么该车从购买当年算起,逐 年的价值依次为:
36,36 ? 0.9,36 ? 0.92 ,36 ? 0.93 ,?

引例 3: 《庄子·天下篇》曰:“一尺之棰,日取其半,万世不 竭.” 如果把“一尺之棰”看成单位”1”,你能用一个数列来表达这 句话的含义吗?
1 1 1 1 1, , , , , … 2 4 8 16

意图:由生活中的实例,激发学生学习兴趣,通过类比等差数 列的定义,让学生自行给出等比数列的定义,它与等差数列定义仅一 个关键字之差。 等比数列:一般的,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它前 一项的比等于同一个常数, 这个数列就叫做等比数列。 这个常数叫做 等比数列的公比,公比通常用字母 q 表示。(q≠0 且 an ≠0 ) ㈡抓本质,理解概念 试判断下列数列是不是等比数列,如果是求出公比。 (1) 1,3,9,27,81,243,?(公比为 3) 1,1, ? (2) 1,1,1, (公比为 1) (3) 2, 4, 8, 16, 32, 47,?(不是) (4) a, a, a, a,?(不一定) (5) 1, 6, 36, 0,?(不是) ㈢破难点 强化概念 举例:数列 ,
3 4 3 ,3,6,12? 3 ? 2n?3 ?是否为等比数列,如 2

是,其公比是多少?并给出证明。 意图:等比数列的判定和证明是一个难点,因此,通过问题的训 练和辨析可以突破难点。 ㈣强训练,巩固概念 思考:判断下列哪些说法是正确的: (1)如果—个公比为 q 等比数列的各项均改为它本身的相反数, 所 得到的数列是否成等比数列? (2)如果—个等比数列的各项均改为它本身的倒数,所得到的数 列是否成等比数列?
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(3)如果一个等比列的各项均改为它本身的平方, 所得到的数列是 否成等比数列? (4)如果把二个项数相同的公比不同分别为 q1 , q 2 等比数列的对应 项相乘,所得到的数列是否成等比数列? 意图:数学概念只有经过学生的一定练习,不断辨析,反复纠 错,才能真正理解,领会、掌握和巩固。 意图:等差列、等比数列,是二个既有区别又有联系的数学概 念。 通过问题的训练和辩析, 可以达到等比数列等概念的进一步强化、 深化、活化。 3.2 等比数列通项公式的推导 3.2.1 不完全归纳法 问题:如果一个等比数列的首项为 a1,公比为 q,请写出这个数 列的前 4 项,且归纳出其通项公式。 类比等差数列通项公式推导方法,得到: a2 ? a1q , a3 ? a2q ? (a1q) ? a1q2 , a4 ? a3q ? (a1q2 ) ? a1q3 ,?, 等比数列 ?an ? 的通项公式是 an ? a1q n?1 意图:让学生从首项起,写出 a2,a3,?,让学生进行观察、归 纳,猜想出等比数列的通项公式。真正做到授之鱼不如授之以渔。 思考题:以上的方法是不完全归纳法,证法是不严密的,只能适 用于探究与猜想,不能作为证明的根据。能否用严密的推理来论证 呢? 3.2.2 演绎推理论证(累积法) 意图:这时教师要鼓励学生根据问题的起因和内部联系的条件, 自由思考,大胆设想别的推导方法,例如,可引导学生围绕等比数列 的基本概念, 从等比数列的定义出发, 运用各式相乘, 来导出公式 (演 绎法) ,有时学生难以想到的路,教师可以为学生架座桥,当然也可 以直接让学生完成。 教师:设 a1,a2,a3?是公比为 q 的等比数列,则由定义得:
a2 ? q ??????????????(1) a1 a3 ? q ??????????????(2) a2

?????
an ? q ??????????????(n-1) an ?1

问:结合求等差数列的通项公式的方法,如何求得等比数列的通项公 式? 由定义式得:(n-1)个等式
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a ?a =q ? ?a =q ?a ?? ?aa =q ?
2 1 3 2

① ② ?

n

n-1

n-1

若将上述 n-1 个等式相乘,便可得:

a2 a3 a4 an × × ×?× =qn-1 a1 a2 a3 an-1 n-1 即:an=a1·q (n≥2) 当 n=1 时,左=a1,右=a1,所以等式成立, ∴等比数列通项公式为:an=a1·qn-1(a1,q≠0)
问题拓展:(1)问等比数列中任意两项 am , an 之间的关系式是什么? 能否得到更一般的通项公式? 结论:? an ? a1q n?1 , am ? a1q m?1 ,?
an ? am q n?m ,
an ? q n?m ,所以更一般的通项公式为 am

效果:这个过程中教师要放慢教学节奏,不要急于下结论,而让 学生充分思考讨论,这样有利于启发学生发散性思维,使学生的思维 处于活跃状态, 探究;由一个等比数列 ?an ? 中的任意两项 am 和 ak 是否可以确定这 个等比数列的通项公式?为什么? 意图:这个过程教师不要急于下结论,适时点拔,要让学生有充 分的展示机会,这样培养学生的独立解决问题的能力大有好处的。 因为 q m?k ?
am ,当 m ? k 为奇数时,q 唯一解,所以可以确定这个 ak

等比数列;当 m ? k 为偶数时,q 有两个不同互为相反数的解,所以不 可以确定这个等比数列。即只有当已知两项的项数奇偶性不同时,才 可以确定这个数列,否则有两个数列满足题意。 等比数列的通项公式: 1、 an ? a1q n?1 ,其中 a1 首项, q 为公比 2、 an ? amqn?m , m, n为正整数 3.3 例题讲解 3.3.1 精讲例题 例题、在等比数列 ?an ?中, (1)已知 a1 ? 3, q ? ?2, 求 a6 ;
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(2)已知 a3 ? 20, a6 ? 160,求 an 学生讲教师写:第(1)小题只要代入等比数列通项公式即可,即
?a3 ? a1 q 2 ? 20 ? ,解得 a6 ? 3 ? (?2) ? ?96 ;第(2)题,先求 a1 , q ,即 ? ?a 6 ? a1 q 5 ? 1 6 0 ? a1 ? 5, q ? 2 ,所以 an ? 5 ? 2 n?1 。
6?1

(引探)本题(2)还有其他解法吗? 先解出? q 3 ?
a6 ? 8,? q ? 2 ,所以通项公式为 an ? a3 2 n?3 ? 20? 2 n?3 , a3

即 an ? 5 ? 2 n?1 。 变式题:一个等比数列的第 2 项是 10,第 3 项是 20,求它的第 1 项与第 4 项. 解 : 在 等 比 数 列 中 , ∵ a2=10, a3=20. ∴ q=2, ∴ a1=5, a4=a2q2=40. 答:它的第 1 项为 5,第 4 项为 40. 3.3.2 学生板演 习题 2.4,A 组题第 1 题共 4 个小题 请四位同学板演,其余学生自做,教师通过课堂巡视了解学生做 的情况和答疑,板演后老师讲评,修正做题中的错误,强调解题规范 格式。 3.4 总结与作业布置 3.4.1 课堂小结: 知识小结:等比数列的定义,其通项公式及推广公式的推导和其应 用。 思想方法小结:类比思想,函数思想,整体思想。 能力小结:培养观察、归纳,猜想能力,演绎推理能力和计算的技 巧能力。 意图:师生共同归纳本节课的主要内容及方法,小结采用提问的 形式,让学生思考,这节课主要学习什么知识?解决什么问题?在学 生回答的在基础上,老师总结。 3.4.2 作业布置 (1)阅读课本(目的培养学生的良好习惯) (2) 《必修 5》第 60 页习题 2.4A 组 2,3,4,5. 4.板书设计

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an ?1 ? ?等比数列定义:?n ? N ? , a ? q(q ? 0且an ? 0) n ? n?m ? ?an ? am q ? ? ?通项公式 ? n ?1 ?an ? a1q ? ? ?例题讲解 ? ? ?

5.教学设计反思 现代数学教学观念要求学生从“学会”向“会学”转变,本课 从单调性与导数关系的发现到应用都有意识地营造一个较为自由的 空间,让学生能主动地去观察、猜测、发现、验证,积极地动手、动 口、动脑,使学生在学知识的同时形成方法。 特点: 1、自始至终坚持以学生为主体,体现了学生是课堂中学习的主 体。 2、极大地训练了学生思维的全面性与深刻性,突出了对学生的 思维训练和思维品质的培养。 存在问题:几位落后生接受不了,而一些理解与思维能力好的学 生不够吃的现象。 解决方法:抓中间顾两头,设计时尽可能考虑中等水平的学生, 选几个比较难问题让一些理解与思维能力好的学生的潜能得以发挥, 对落后生多加以启发和爱护,以及加强课后辅导。 6、评价分析: (1)整个设计依据了建构主义理论,符合学生的认知规律。 (2)用探究的活动形式突破了难点。 (3) 教师以引路人的身份, 引导学生去探究问题发生发展的过程, 把主体地位交还给学生。 (4)学生积极主动地参与探索问题的情景中。 2.5《等比数列的前 n 项和公式》说课稿 今天我将要为大家讲的课题是等比数列前 n 项和。对于这个课 题,我主要从下面六个方面来进行讲解。 一、教材结构与内容分析: 《等比数列前 n 项和公式》 是高中数学二年级第二学期第十三章 第五节内容。教学对象为高二学生,教学课时为 2 课时。本节课为第 一课时。在此之前,学生已学习了数列的定义、等比数列、等比数列 的通项公式等知识内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用,而本 节内容也为后面学习数列求和、数列极限打下基础。本节课既是本章 的重点,同时也是教材的重点。
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从高中数学的整体内容来看, 《数列与数学归纳法》这一章是高 中数学的重要内容之一,在整个高中数学领域里占据着重要地位,也 起着作用性的作用。首先:数列有着广泛的实际应用。例如产品的规 格设计、储蓄、分期付款的有关计算等。 其次:数列有着承前启后 的作用。数列是函数的延续,它实质上是一种特殊的函数;学习数列 又为进一步学习数列的极限等内容打下基础。 再次:数列也是培养 提高学生思维能力的好题材。学习数列要经常观察、分析、猜想,还 要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题, 这些都有利于学生数 学能力的提高。 本节的教学重点是等比数列前 n 项和公式及应用。 教学难点是等比数列前 n 项和公式的推导。 二、教学目标分析: 作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传 授给学生数学思想、数学意识。根据上述教材结构与内容分析,考虑 到学生已有的认知结构心理特征,我制定了如下的教学目标: 1、知识目标:理解等比数列前 n 项和公式的推导方法,掌握等 比数列前 n 项和公式及应用。 2、能力目标:培养学生观察问题、思考问题的能力,并能灵活 运用基本概念分析问题解决问题的能力,锻炼数学思维能力。 3、情感目标:培养学生学习数学的积极性,锻炼学生遇到困难 不气馁的坚强意志和勇于创新的精神。 三、学生情况分析: 学生在学习本节内容之前已经学习等差、 等比数列的概念和通项 公式,等差数列的前N项和的公式,具备一定的数学思想方法,能够 就接下来的内容展开思考,而且在情感上也具备了学习新知识的渴 求。 四、教学方法分析: 教法:数学是一门培养和发展人的思维的重要学科,因此在教学 中不仅要让学生“知其然”,还要“知其所以然”,为了体现以学生 发展为本,遵循学生的认知规律,体现循序渐进和启发式教学原则, 我进行这样的教学设计:在教师的引导下,创设情景,通过开放式问 题的设置来启发学生进行思考, 在思考中体会数学概念形成过程中蕴 涵的数学方法和思想,使之获得内心感受。 本节课将采用“多媒体优化组合—激励—发现”式教学模式进行 教学。该模式能够将教学过程中的各要素,如教师、学生、教材、教 法等进行积极的整合,使其融为一体,创造最佳的教学氛围。主要包 括启发式讲解、互动式讨论、研究式探索、反馈式评价。

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学法:根据二期课改的精神,转变学生的学习方式也是本次课改 的重要内容,数学作为基础教育的核心学科之一,转变学生的数学学 习方式,变学生被动接受式学习为主动参与式学习,不仅有利于提高 学生的整体数学素养,也有利于促进学生整体学习方式的转变。在课 堂结构上我根据学生的认知层次,设计了(1)创设情景(2)观察 归纳(3)讨论研究(4)即时训练(5)总结反思(6)任务延续, 六个层次的学法, 他们环环相扣, 层层深入, 从而顺利完成教学目的。 自主探索、观察发现、类比猜想、合作交流。 教学手段,利用多媒体和POWERPOINT软件进行辅助教 学。 五、教学程序设计: 1、创设情景: 引例:某公司,由于资金短缺,决定向银行进行贷款,双方约定, 在 3 年内,公司每月向银行借款 10 万元,为了还本付息,公司第一 个月要向银行还款 10 元,第二个月还款 20 元,第三个月还款 40 元,??。即每月还款的数量是前一个月的 2 倍,请问,假如你是公 司经理或银行主管,你会在这个合约上签字吗? 这是一个悬念式的实例,后面的“假如”又把学生带入了实例创 设的情境,让学生直接参与了“市场经济” 。根据心理学,情境具有 暗示作用,在暗示作用下,学生自觉不自觉地参与了情境中的角色, 这样他们的学习积极性和思维活动就会极大的调动起来。 这样引入课题有以下几个好处: (1) 利用学生求知好奇心理,以一个实际问题为切入点,便于调 动学生学习本节课的趣味性和积极性。 (2) 在实际情况下进行学习,可以使学生利用已有知识与经验, 同化和索引出当前学习的新知识,这样获取的知识,不但易于保持, 而且易于迁移到陌生的问题情境中。 (3) 问题内容紧扣本节课教学内容的主题与重点。 (4) 有利于知识的迁移,使学生明确知识的现实应用性。 在教师的诱导下,学生根据自己掌握的知识和经验,很快建立起 两个等比数列的数学模型。数列{an}是以 100000 为首项,1 为公比的 等比数列, 即常数列。 数列{bn}是以 10 为首项, 为公比的等比数列。 2 当学生跃跃欲试要求这两个数列的和的时候,课题的引入已经水 到渠成。教师再由特殊到一般、具体到抽象的启示,正式引入课题。 2、讲授新课: 本节课有两项主要内容,等比数列的前 n 项和公式的推导和等比 数列的前 n 项和公式及应用。 等比数列的前 n 项和公式的推导是本节 课的难点。依据如下:
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(1) 从认知领域上讲,它在陈述性知识、 程序性知识与策略性知识 的分类中,属于学生最高需求层次的掌握策略与方法的策略性知识。 (2) 从学科知识上讲,推导属于学科逻辑中的“瓶颈”, 突破这一 “瓶颈”则后面的问题迎刃而解。 (3) 从心理学上讲,学生对这项学习内容的“熟悉度”不高, 原有 知识薄弱,不易理解。 这里我讲述的主要是怎样利用多媒体激励、启发学生思维,突破 教材难点。 等比数列有两大类:公比 q=1 和 q ? 1 两种情形 当 q=1 时,Sn=na1 a (1 ? q ) n-1 1 1q 当 q ? 1 时,Sn=a1+a1q+??+a? q = q ? 1 时,Sn 的结果是怎么推导出来的呢?本节课的难点就在 于此。 预习过课本的学生会知道这个结果以及推导过程,但是他们知其 然而不知其所以然, 可以说大部分学生根据他们掌握的知识和经验是 难以推出这个公式的。 这时候我们可以首先让学生们进行思考,如果运用数学中“从特 殊到一般”的数学思想方法,能不能向这个结果靠拢呢? 我们不难得到下述结论: S1=a1, S2=a1+a2=a1+a1q=a1(1+q) S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=a1(1+q+q2) ?? Sn=a1+a2+??+an=a1(1+q+q2+??+qn-1) a (1 ? q ) 不少同学根据这个式子可能会想到 2 n-1 2 n-1 1? q a1(1+q+q +??+q )= a1(1+q+q +??+q )(1-q)/(1-q)= 这时我要向学生说明,这种从特殊到一般,逐步归纳的思想方法 很好,是我们解决数学问题中经常会运用到的方法。然后又要指出在 现阶段, 我们还无法对这个过程进行证明, 因此它的给出是不严密的。 这样不仅让学生再一次体会到数学的最基本特点,严密的逻辑性。也 为将来学习二项式展开的内容打下了伏笔。 此时,仅仅从形式上进行的归纳在现阶段是无法进行系统而严谨 的证明的,那我们只能在思想的过程中另辟蹊径,因此,要通过复习 等差数列的求和公式,借助推导等差数列求和公式的思想方法,来找 到推导等比数列的前 n 项和公式的方法! 让学生们一起回忆一下等差数列的前 n 项和公式的推导过程。 可以发现当时我们是将 a1 与 an, a2 与 an-1,所有与首末等距两项 交换位置,得到 Sn 的倒序和的形式。然后两式相加。这样 2Sn 就是
n 1 n 1

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一个有 n 项的每一项都是 a1+an 的常数列。从而导出了 Sn 的公式。 等差数列的求和方法是根据等差数列的特点和根据学生的知识结 构和认知水平产生的,形式上是倒序相加,本质上就是消去数列中项 与项之间的差异,构造一个新的各项相同的常数列,然后根据常数列 的和导出 Sn 的公式来,其本质特征是等差数列从第二项起,每一项 都比前一项多了一个 d。 那么等比数列是不是也可以用类似的方法,构造出一个常数列或 者部分常数列呢?让学生亲自去试一试,结果呢? 这时候学生们很自然的会用倒序相加的方法来进行思考。结果显 然是行不通的。 此时教师的主要任务是要让学生的思维迅速发散——从倒序相加 的定势中解脱出来。抓住学生迫切想解决这个问题的心态,及时地通 过媒体进行启发。老师要告诉学生,构造常数列或者部分常数列的思 路是正确的。既然倒序行不通,那么还有没有其它的方式构造常数列 呢? 接着要引导学生从等比数列的定义出发,进一步认识等比数列从 第二项起,每一项都是前一项的 q 倍,也就是说将每一项乘以 q 以后 就变成了它的后一项, 那么将 Sn 这个和式的两边同时乘以 q, q Sn 在 这个和式中的第一项就是 Sn 的第二项,也就是 Sn 和 q Sn 之间产生 了一个错位。 由两个和式能否构造常数列或者部分常数列的和式呢? 相加行不行?显然不行!相减行不行?显然行。 将 Sn 和 q Sn 相减后,中间就得到了 n-1 项各项都是 0 的常数 列, 找到了这个常数列,难点就突破了, Sn 的导出就容易了,导出 了 Sn 就基本上达到了本节课的认知目标。 为了加深理解,这时还应该对等差、等比两种数列的求和公式的 推导过程进行类比和分析: 两种数列求和的基本思路都是构造常数列,构造常数列的思想也 是其他一些数列求和的基本思想。等比数列在构造常数列的过程中, 采用“错位相减” ,等差数列采用的是“倒序相加” 倒序相加本质 , 上也是“错位相加” ,是一种大幅度的“错位相加” ,等比数列只不过 是步幅为 1 的小幅度的“错位相加” 。说明一下,在 Sn 的和式中,两 边同时乘以 q 是解决问题——构造常数列的关键所在, 是推导等比数 列求和公式的一把钥匙。 所以,这两种数列的求和公式的推导方法,从数学思想和数学方 法上来讲是一致的,但是它们也有差异,即错位的方法不同。正是由 于这种差异,教师才有了更大的教学空间。当教师把学生从“倒序相 加”的思维定式中引导出来的时候,学生的数学思维的深刻性、广阔 性等思维品质就得到了提高, 思维品质提高了, 思维能力也就提高了。
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这样,这节课的认知目标和素质目标就基本上都达到了。 推导出公式之后,对公式的特征要加以说明,以便学生记忆。同 时还要对公式的另一种表示形式和应用中的注意事项加以说明。 帮助 学生弄清其形式和本质,明确其内涵和外延,为灵活运用公式打下基 础。 有了求和公式后,回头让学生亲自计算一下引例中的钱款数量, 从计算结果中让学生明确实际问题的解决离不开数学, 在市场经济中 必须有敏锐的数学头脑才行。 3.例题讲解。 我们在讲解例题时,不仅在于怎样解,更在于为什么这样解,而 及时对解题方法和规律进行概括,有利于发展学生的思维能力。本节 课设置如下两种类型的例题: 1) 等比数列中知三求二的解答题 例:求首项为 2,公比为 2 的等比数列的前 8 项和以及第 5 项的 值。 以及书上的例 4 2) 实际应用题。 例:某制糖厂第 1 年制糖 5 万吨,如果平均每年的产量比上一年 增加 10%,那么从第 1 年起,约几年内可使总产量达到 30 万 吨(保留到个位)? 这样设置主要依据: (1)例题与大纲中规定的教学目标与任务及本节课的重点、 难点有 相对应的匹配关系。 (2)遵循巩固性原则和传授——反馈——再传 授的教学系统的思想确立这样的例题。 (3)应用题比较切合对智力技能进行检测,有利于数学能力的提 高。同时,它可以使学生在后半程学习中保持兴趣的持续性和 学习的主动性。 4.形成性练习: 例题处理后,设置一组形成性练习,作为对本节课的实时检测。 练习基本上是直接运用公式求和,三个练习是按由易到难、由简单到 复杂的认识规律和心理特征设计的,有利于提高学生的积极性。学生 练习时,教师巡查,观察学情,及时从中获取反馈信息。对学生练习 中出现的独到解法提出表扬和鼓励,对其中偶发性错误进行辨析、指 正。通过形成性练习,培养学生的应变和举一反三的能力,逐步形成 技能。 5.课堂小结 本节课的小结从以下几个方面进行: (1) 等比数列的前 n 项和公式
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(2) 公式的推导方法——错位相减法 (3) 求和思路——构造常数列或部分常数列。 通过师生的共同小结,发挥学生的主体作用,有利于学生巩固所 学知识,也能培养学生的归纳和概括能力。进一步完成认知目标和素 质目标。 最后用古印度国王西拉谟与国际象棋发明家的故事做为结尾, 发 明者要国王在他的棋盘上的 64 格中的第 1 格放入 1 粒麦粒,第 2 格 放入 2 粒麦粒,第 3 格放入 4 粒麦粒,第 4 格放入 8 粒麦粒??问应 给发明家多少粒麦粒?再让学生感受一下数学的奇妙, 激发他们学习 数学的热情。 6.布置作业 针对学生素质的差异进行分层训练,既使学生掌握基础知识,又 使学有余力的学生有所提高,从而达到拔尖和“减负”的目的。 并可布置相应的研究作业, 思考如何用其他方法来推导等比数列 的前N项和公式,来加深学生对这一知识点的理解程度。 六、教学评价与反馈: 根据高二学生心理特点、教材内容、遵循因材施教原则和启发性 教学思想,本节课的教学策略与方法我采用规则学习和问题解决策 略,即“案例—公式—应用”,案例为浅层次要求,使学生有概括印 象。 公式为中层次要求,由浅入深,重难点集中推导讲解,便于突 破。应用为综合要求,多角度、多情境中消化巩固所学,反馈验证本 节教学目标的落实。 其中,案例是基础,使学生感知教材;公式为关键,使学生理解 教材;练习为应用,使学生巩固知识,举一反三。 在这三步教学中,以启发性强的小设问层层推导,辅之以学生的 分组小讨论并充分运用直观完整的板书和计算机课件等教辅用具、 手 段,改变教师讲、学生听的填鸭式教学模式,充分体现学生是主体, 教师教学服务于学生的思路,而且学生通过“案例—公式—应用”, 由浅入深,由感性到理性,由直观到抽象,不仅加深了学生理解巩固 与应用,也培养了学生的思维能力。 3.1《不等式与不等关系 1》说课稿 1 各位评委、各位学员大家好,今天我说课的课题是《不等式与不 等关系 1》.我将从教材分析、教学设计、教法学法三个方面来说明. 【说教材分析】 1.教材的前后联系及地位作用 本节课是高中新课程人教 A 版必修 5 第三章第一节第一课时的内 容. 本节的内容是继学习等量关系之后,在实际生活中存在的又一新
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的关系-----不等关系。 不等关系在现实世界与日常生活中大量存在, 在数学研究和数学应用中与等量关系同样起着重要的作用, 它是学习 不等式性质及解法的基础,又是构造方程、不等式与函数的基石;因 此本节具有重要的奠基作用. 2.课标要求 通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关 系,了解不等式(组)的实际背景。 3.教学目标 基于新课标的要求, 结合本节内容的地位, 我提出教学目标如下: (1)知识与技能: ①通过具体情景, 感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不 等关系,理解不等式(组)的实际背景; ②能用不等式或不等式组解决简单的实际问题. (2)过程与方法: ①以问题方式代替例题,学习如何利用不等式研究及表示不等 式; ②通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、 解决问题的方法. (3)情感态度与价值观: ①通过解决具体问题,让学生在学习过程中的感受、体验、认识 状况及理解程度; ②注重问题情境、实际背景的设置,让学生体会数学在生活中的 重要作用,培养严谨的思维习惯. ③学生通过对问题的探究思考,广泛参与,使学生改变自己的学 习方式,提高学习质量. 3 教学重点、难点 根据本节课的地位和作用以及新课程标准的具体要求,制订教学 重点。 教学重点:用不等式(组)表示实际问题的不等关系,并用不等 式(组)研究含有不等关系的问题。理解不等式(组)对于刻画不等 关系的意义和价值。 根据本节课的内容,以及学生的心理特点和认知水平,制定了教学 难点 教学难点:用不等式(组)正确表示出不等关系。 【说教学设计】 一、提出问题、引入新课 问题 1: 在现实世界和日常生活中, 同学们发现了哪些数量关系? 你能举出一些例子吗?
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(既有相等关系,又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最 短,三角形两边之和大于第三边,等等。人们还经常用长与短、高与 矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事 物在数量上存在的不等关系。 ) 问题 2: 在数学中,我们用不等式来表示不等关系。下面我们 首先来看如何利用不等式来表示不等关系? 【设计意图】问题 1:主要是 通过课前的问题展示, 让学生感受不等关系与等量关系一样来源 于现实世界和日常生活中;随着新问题的提出,激发了学生的求知欲 望,通过观察对比,培养了学生发现问题的能力。 二、思考交流、形成概念 1)用不等式表示不等关系 引例 1:限速 40km/h 的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽 车的速度 v 不超过 40km/h,写成不等式就是:
v ? 40

引例 2:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应不少于 2.5%,蛋白质的含量 p 应不少于 2.3%,写成不等式组就是——用不 等式组来表示
? f ? 2.5% ? ? p ? 2.3%

【设计意图】让学生从问题的相同点和不同点中找出列不等关系的 方法,这能培养学生分析问题的能力,同时也教会学生运用对立统一 的辩证唯物主义观点来分析问题的一种方法。 教师的注解可以使学生 更好的把握问题的关键。 三、反馈矫正、巩固提高 [例 1]. 问题 1:某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售,可以售出 8 万本。据市场调查,若单价每提高 0.1 元,销售量就可能相应减少 2000 本。若把提价后杂志的定价设为 x 元,怎样用不等式表示销售 的总收入仍不低于 20 万元呢? 【设计意图】本题的设计主要是加深学生对不等关系的认识(进 一步体现本节的重点)的理解;培养分析问题的能力。在启发诱导的 同时,训练了学生观察和概括归纳的能力,同时为下面的例 2 起铺垫 作用,体现认知过程中由简单到复杂,由感性到理性的认知规律. [例 2]. 问题 2:某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种。按照生产的要求,600mm 的数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢? 【设计意图】 本题的设计是为了进一步使学生更加准确的把握本 节知识。突破了如何判断用不等式组正确表示不等式这一教学难点;
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教学时可先请二位同学(最好是学生自愿)分别上台板演,同学们集 体纠正,同时给学生一个解题的规范示例. [巩固练习].教师将教材的例题和习题整和在一起 【设计意图】对教材的二次开发,将练习进行有机整合,考察学生对 定义的理解,培养学生简单的应用能力. 四、总结评估、内化结构 【学生活动】 思考讨论得出结论,教师可作适当补充. 1.本节课学习的主要内容是什么?揭示了什么数学思想? 2.通过这节课的学习,你的表现怎么样?你有哪些收获? 【布置作业】 1、必做题:教材后习题以及 A 组试题 2、课外拓展练习:教师根据学生的实际情况适当补充. 【设计意图】必做题加深对本节内容的理解,并能进行灵活运用,再 一次突出本节课的重点.课外拓展练习供学有余力的学生选做,为学 生提供选择和发展的空间,体现了新课标“不同的学生在数学上得到 不同的发展”这一基本理念. 【说板书设计】 (见课件) 【说教法、学情与学法】 1.说学法 根据本节课的特点,采用引导发现和归纳概括相结合的教学方 法,通过提出问题、思考问题、解决问题等教学过程,观察对比、概 括归纳,再通过具体问题的提出和解决,来激发学生的学习兴趣,调 动学生的主体能动性,让每一个学生充分地参与到学习活动中来。 2.说教法 学生在教师创设的问题情景中,通过观察、类比、思考、探究、 概括、归纳和动手尝试相结合,体现了学生的主体地位,培养了学生 由具体到抽象,由特殊到一般的数学思维能力,形成了实事求是的科 学态度,增强了锲而不舍的求学精神。 本节教材的特点注重展现知识的形成过程,具有很强的探究性, 而且学生参加高中新课程的学习有一段时间了, 初步养成了探究习惯 和一定的合作交流的能力,绝大多数学生能够积极主动参与数学活 动;因此本节课主要采用“引导发现、讨论交流”的教学方法. 3.说教用具与学生用具: 投影仪、胶片、三角尺、刻度尺 【说课综述】 本节课是有一定难度的概念课,我从学生实际出发,照顾到学生 的最近发展区,在整个教学过程中采用了“引导发现、讨论交流”的
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方法来进行教学,最大限度的挖掘学生的潜力;同时学生通过“自主 学习”有利于培养学生的创新能力和富有个性化学习方式,从而使学 生最大限度发现自己的潜能. 以上即是我对《不等式与不等关系 1》的认识与处理.不妥之处, 敬请批评指正,谢谢大家! 3.2《一元二次不等式及其解法》教学设计说明 一.教学内容分析: 1.本节课内容在整个教材中的地位和作用. 必修五第三章不等式第二节一元二次不等式及其解法共有三个 课时,本节课是第一课时,教学内容的地位体现在它的基础性,作用 体现在它的工具性. 一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或 一元一次不等式组的延续和深化, 对已学习过的集合知识的巩固和运 用具有重要的作用.许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解 法.因此,一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的 基础性,体现出很大的工具作用. 2.教学目标定位. 根据教学大纲要求、高考考试大纲说明、新课程标准精神、高一 学生已有的知识储备状况和学生心理认知特征, 我确定了四个层面的 教学目标.第一层面是面向全体学生的知识目标:熟练掌握一元二次 不等式的解法,正确理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数 三者的关系.第二层面是能力目标,培养学生运用数形结合与分类讨 论等数学思想方法解决问题的能力,提高运算和作图能力.第三层面 是德育目标,通过对解不等式过程中等与不等对立统一关系的认识, 向学生逐步渗透辨证唯物主义思想.第四层面是情感目标,在教师的 启发引导下,学生自主探究,交流讨论,培养学生的合作意识和创新 精神. 3.教学重点、难点确定. 本节课是在复习了一元二次方程和二次函数之后, 利用二次函数 的图象研究一元二次不等式的解法.只要学生能够理解一元二次方 程、一元二次不等式和二次函数三者的关系,并利用其关系解不等式 即可.因此,我确定本节课的教学重点为一元二次不等式的解法,关 键是一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系. 二.教法学法分析: 数学是发展学生思维、 培养学生良好意志品质和美好情感的重要 学科,在教学中,我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力,还要 让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习,感受数学学科的人 文思想,使学生在学习中培养坚强的意志品质、形成良好的道德情 感.为了更好地体现课堂教学中“教师为主导,学生为主体”的教学
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关系和 “以人为本, 以学定教” 的教学理念, 在本节课的教学过程中, 将紧紧围绕教师组织——启发引导,学生探究——交流发现,组织开 展教学活动.我设计了①回忆旧知,服务新知,②创设情境,提出问 题,③合作交流,探究新知,④数学运用,深化认知,⑤练习检测, 反馈新知,⑥谈谈收获,强化思想,⑦布置作业,实践新知,环环相 扣、层层深入的教学环节,在教学中注意关注整个过程和全体学生, 充分调动学生积极参与教学过程的每个环节. 三.教学过程分析: (一)联系旧知,构建新知 设置一系列的问题唤起学生对旧知识的回忆. 问题 1:一元二次方程的解法有哪些呢? (意图:让学生回顾一元二次方程的解法,为解一元二次不等式做准 备. ) 问题 2:同学们还记得二次函数吗?二次函数的形式是怎样的? 你记得二次函数的性质吗? (意图:引导学生从图象的角度出发,并启发学生二次函数的图象是 一条抛物线,其开口方向由二次项系数决定,为突出重点做准备) (二)创设情景,提出问题 首先认识植树节的图标,然后提出问题:今年的植树节我校高一 年级的同学去植树时遇到一个这样的问题, 我们准备的树苗恰好能够 栽满面积为 40 平方米的空地,而要绿化的空地是一个长比宽多 6 米 的矩形,那么,矩形绿化带长为多少时,准备的树苗有剩余? (设计意图:①开篇引入数学实际问题,贴近生活,直奔主题,构造 悬念,激活学生的思维兴趣;②让学生经历从实际情境中抽象出一元 二次不等式模型的过程. ) 建立数学模型:分析:设绿化带长为 x m. 则依题意有 x ? x ? 6? ? 40 . 整理得 x2 ? 6 x ? 40 ? 0 . (设计意图:体现应用问题数学化,具体问题一般化. ) 2 明确问题:如何求出满足不等式 x ? 6 x ? 40 ? 0 的 x 的取值? 对于 x2 ? 6 x ? 40 ? 0 是个什么问题?如何解决? (意图:1.让学生明确讨论的问题是一元二次不等式; 2.让学生自己说出一元二次不等式的定义及它的形式. ) (三)合作交流,探究新知 1. 探究一元二次不等式 x2 ? x ? 2 ? 0 的解. 容 易 知 道 : 一 元 二 次 方 程 x2 ? x ? 2 ? 0 的 有 两 个 实 数 根 : x1 ? ?1或x2 ? 2 . 二次函数 y ? x2 ? x ? 2 与 x 轴有两个交点: ? ?1,0? 和? 2,0? .
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思考 1:观察图象一元二次方程的根与二次函数之间有什么关系? 思考 2:观察图象,当 x 为何值时, y ? 0 ; 当 x 为何值时, y ? 0 ; 当 x 为何值时, y ? 0 . (设计意图 : ①体现学生的主体性;②有利于加强对图象的认识, 从而加强数形结合的数学思想 ;③有利于加强学生理解一元二次不 等式的解相关的三个因素;④为归纳解一元二次不等式做好准备.根 据前面探讨的问题引导学生归纳一元二次不等式的解. ) 2 2 2. 探究一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0或ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 的解 法. 组织讨论:从上面的例子出发,综合学生的意见,可以归纳出确 定一元二次不等式的解集,关键要考虑: 2 抛物线 y ? ax ? bx ? c 与 x 轴的相关位置的情况,也就是一元二次 2 方程 ax ? bx ? c =0 的根的情况,而一元二次方程根的情况是由判别式 ? ? b 2 ? 4ac 三种取值情况( ? ? 0 , ? ? 0 , ? ? 0 )来确定. (设计意图:这里我将运用多媒体图标的形式来展现出其解法思路, 学生有一个完整的逻辑思维,让学生在探究中建立知识间的联系,体 会数形结合,强调突出本节的难点. ) (四)数学运用,深化认知. 2 例 1.求不等式 2 x ? 3x ? 2 ? 0 的解集. 2 变式为:求不等式 2 x ? 3x ? 2 ? 0 的解集. 2 例 2.解不等式 ? x ? 2x ? 3 ? 0 . (设计意图:先让学生来解答例题,若教师巡视、指导,讲评学生完 成情况,寻找学生中的闪光点,给予热情表扬. ) 回答开篇的数学问题,什么情况下准备的树苗会有剩余? 补充:矩形空地长为多少时,树苗正好将空地植满呢?什么时候会不 够用? 目的: 强调对于实际问题还应考虑实际情况 (即长度必须大于零) 另 . 外,再次巩固学生对三个“二次”的理解. (五)练习检测,巩固收获 (1)求下列一元二次不等式的解集:
x 2 ? 5 x ? 14. ? x2 ? 4 x ? 6.

(2)函数 y ? x2 ? x ? 2 的定义域是 ( ) A. ? x x ? ?2或x ? 1? . B. ? x ?2 ? x ? 1? . C. ? x ?2 ? x ? 1? . D. ?. (设计意图:为了巩固和加深一元二次不等式的解法,让学生学以致
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用,接下来及时组织学生进行课堂练习.然后就学生在解题中出现的 问题共同纠正. ) (六)归纳小结,强化思想 设计意图:梳理本节课的知识点,总结一元二次不等式解法的步 骤: “一化,二判,三求根,四画图,五写解集”的口诀来帮助学生 记忆和归纳,让学生掌握严谨的做题方法,知晓本节课的重难点. (七)布置作业,拓展延伸 必做题:课本第 80 页习题 A 组 1,2. 2 选做题: (1)若关于 m 的一元二次方程 x ? (m ? 1) x ? m ? 0 有两 个不相 等的实数根,求 m 的取值范围. (2) 已知不等式 x 2 ? ax ? b ? 0 的解集为 ? x 2 ? x ? 3? , 求
a, b 的

值. (设计意图:以作业的巩固性和发展性为出发点,我设计了必做题和 选做题,必做题是对本节课内容的反馈,选做题是对本节课知识的延 伸,整体的设计意图是反馈教学,巩固提高. ) 四.教学总结 本节课的所有内容以习题的形式展现给学生, 学生始终在解题中 探究,在解题中发现,学生参与教学的全过程,成为课堂教学的主体 和学习的主人, 而老师只须时刻关注学生的活动过程, 不时给予引导, 及时纠正. 3.3.1 二元一次不等式表示平面区域说课稿
系统教学设计论指导

教 材 分 析

学 生 分 析

教 学 目 标

教 学 策 略

教 学 过 程

教 学 评 价

一、教材分析 1、教材的地位和作用 本节课是新教材高二(上)第七章第 4 节第一课时内容,教学大 纲对这部分内容的要求是了解二元一次不等式表示平面区域, 了解线 性规划的意义,并会简单的应用。这是《新大纲》中增加的新内容, 不仅为传统的高中数学注入了新鲜的血液,而且给学生提供了学数 学、用数学的机会,体现了新课程理念。
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在此之前,学生已经学习了直线的方程,已掌握二元一次方程与 平面直线的对应关系,同时也学习了数形结合的思想方法。为研究二 元一次不等式与平面区域的对应关系做了准备。这一节内容,是介绍 直线方程的简单应用(即简单的线性规划)的基础,起到承前启后的 作用。 2、 教材的重点、难点和关键 教学重点:二元一次不等式(组)表示平面区域; 教学难点:准确画出二元一次不等式(组)表示平面区域; 关 键:理解掌握口诀“直线定界,取点定域”, “系数化 正、左小右大”。 二、学生情况分析 1、对象:重点中学的高二理科学生,有一定的思维能力; 2、学情:学生前三节学习的基础上,对解析几何的理性思维能 力已经有了初步形成,但存在个别差异。 3、心理:厌倦教师的单独说教,希望教师能创设便于他们进行 思考探索的空间,给他们发表自己见解和表现才华的机会。 三、教学目标分析 1、知识目标:准确画出二元一次不等式(组)表示平面区域; 2、能力目标:学生在学会知识的过程中,培养学生运用数学方 法解决问题的能力,会准确地阐述自己的思路和观点,着重培养学生 的认知和元认知能力; 3、情感目标:通过对新知识的构建,优化学生的思维品质,通 过自主探索、合作交流,增强数学的情感体验,提高创新意识。 四、教学策略分析 1、教学方法:引导发现法、探索讨论法、题组教学法等等; 2、教学手段:利用多媒体技术优化课堂教学,体现辅助功能; 3、学法指导: 这是一节抽象的概念作图课,教师应注重创设认 知情境,引导学生进行尝试、猜想、证明、归纳,帮助学生在原有 经验上对新知识主动建构,在交流合作中学习。 五、教学过程设计 设计 教学 教 学 内 容(师生双边活动) 说明 环节 一、 【电脑演示】 一只蚂蚁在地平面上寻找食物,蚂蚁的位置可由 创导 坐标(x,y)确定,现知在直线 L: x + y-1=0 设入 左下方区域某处有一食物,如果蚂蚁运动的坐标 情新 始终满足 x + y-1>0,那么蚂蚁能找到食物吗? 境课 (揭示课题)
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创 设 情 景,构造 问 题 悬 念,激发 兴趣,明

确 学 习 目标。

二、 猜构 想建 探新 索知

【学生尝试】 没 有 猜 取点 A(1,3) ,B(1,4)?? 满足 x+ y–1>0 , 想 就 没 A、B 在直线 L: x + y-1=0 右上方。 有 伟 大 【学生猜想】 的发现, 直线 L: x + y-1=0 右上方的点都满足 x + 鼓 励 学 ?( x, y) | x ? y ?1 ? 0? y–1>0 吗?即点的集合 表 生 大 胆 示右上方区域吗? 猜想。 【数学实验】 (电脑演示结果) 在直线 L: x + y-1=0 右上方的点都满足 x + 通 过 数 y–1>0, (而左下方的点都满足 x + y–1<0) 学实验, 证明思路一:在直线右上方任取一点 (x,y), 为 感 性 过此点作垂直于 y 轴的直线。 认 识 上 证明思路二:在直线右上方任取一点(x,y),过 升 为 理 y y (x,y) 此点作垂直于0xy轴的直线。 性 认 识 P( x , 0 ) (x,y) 打 好 基 P( x0 , y0 ) 础。 x O x O 通 过 证 x + y – 1=0 x + y – 1=0 明 思 路 结论 :直线 L: x + y-1=0 右上方的任意点都 的启发, ?( x, y) | x ? y ?1 ? 0? 满 足 x + y–1>0 , 点集 给 学 生 y 表示右上方区域,即蚂蚁运动区域,蚂蚁不能找 自 己 证 x + y – 1>0 到食物。 明,培养 x 了 学 生 O l:x + y – 1=0 逻 辑 思 维能力, 又 使 教 归纳:一般地,二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平 学 具 有 面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所 开放性。 有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表 示区域不包含边界直线;不等式 Ax+By+C≥0 所 表示的平面区域,包括边界直线,应把边界直线 画成实线。
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二、 强调:直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点 (x,y) 把它的坐标代入 Ax+By+C 所得到的实数符号相 建 构 主 猜构 同,所以在直线某一侧取一个特殊点(x0,y0)代 义认为: 想建 入,从 Ax0+By0+C 的正负可以判断出 Ax+By+C>0 数 学 知 探新 表示哪一侧的区域。 识 不 是 索知 概括:“直线定界,取点定域”,特别地,当 C 简 单 机 ≠0 时,常把原点作为特殊点。 械 地 从 【例题示范1】 (利用口诀“直线定界,取点定 一 个 人 域”) 迁 移 到 画出不等式 2x+y-6<0 表示的平面区域。 另 一 个 (强调画图规范和注意点) 人,而是 变式一:指出不等式-2x+y-6<0 表示的平面区 基 于 个 域; 人 经 验 变式二:指出不等式 2x-y-6≥0 表示的平面区 的操作、 域; 交流,通 变式三: 指出不等式-2x-y-6≥0 表示的平面区 过 反 身 域。 来 主 动 ?? 建构的。 【教师提问】 给 学 生 从上面判断过程中能得到什么新规律,使区域的 提 供 活 判断更方便呢?学生在教师指导下归纳: (主要 动 的 时 从不等号方向和 A 的正负考虑) ( 思 维 规律:一般地,二元一次不等式 Ax+By+C>0(A 不 时间)空 等于 0)当 A >0 时,Ax+By+C>0 表示平面区域在 ( 思 维 直线 Ax+By+C=0 的右方, Ax+By+C<0 表示平面在 空 间 ) , 直线 Ax+By+C=0 的左方。 通 过 问 概括: “系数化正、左小右大”,系数指 x 前 题变式, 系数 A, “左(右)”指平面区域的左(右)方, 重 组 学 “小(大)”指不等式的小于(大于)号。 生 的 认 【例题示范2】 知结构, ?x ? y ? 5 ? 0 从 而 得 ? 画出不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域。 到规律, ?x ? 3 概 括 为 ? 变式一:用二元一次不等式组表示下列平面区 口诀,便 于操作。 域;

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题 组 变 式 既 使 2 2 变式二:能画出不等式 y ? x ? 0 表示的平面区 学 生 掌 握双基, 域吗? 引申:能画出不等式 y ? x 2 ? 0 表示的平面区域 又 使 学 生 的 知 吗? 识深化, 使 数 学 思 想 方 法迁移, 为 二 次 曲 线 的 学 习 打 下埋伏, 教 给 了 学 生 研 究 问 题 的方法。 1、画出下列不等式(组)表示的平面区域(课 练习 1、 2 本练习) : 重在检 ?y ? x 查学生 ? (1)2x+3y-6>0 (1)? x ? 2 y ? 4 对知识 ? y ? ?2 ? 握情况, 2、用二元一次不等式组所表示的平面区域: 及时反 馈学生 和教学 中的不 足。 (思考、讨论得出小结,教师作适当的补充) 1、这节课学习的主要内容是什么? 2、 如何理解口诀“直线定界, 取点定域”和“系 数化正,左小右大”。 3、请同学们认真总结在探索和交流中的体会。 小 结 是 知 识 的 提炼、深 化,经验 的升华。

三、 练形 习成 反技 馈能

四、 小作 结业 提布

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炼置

板 书

布置作 业有弹 性,目的 在于培 1、课本 P65 习题 7.4 第 1 题。 养学生 2、选做题:求不等式 | x ? 2 | ? | y ? 2 |? 2 表示的平 自主学, 面区域的面积。 合作交 3、预习第二课时。 流的学 习方式, 培养探 究能力。 课题: §7.4.1 练习二 反映教 1、 用二元一次 例一 ? 材的重 不等式表示平 ? 学生板演 点、难点 面区域 例二 知识,体 2、判断方法: ? 现教学 注意事项? 练习 1 意图。
创设情境引导分析 创 设 情 境 数 学 实 验 引 导 分 析 例 题 示 范 练 习 评 价 问 题 深 化

教 师

教 学 流 程 图

通 过 教 学 内 容

双 边 活 动

学 生

问 题 思 考

尝 试 猜 想

证 明 归 纳

结 论 应 用

达 标 巩 固

合作交流主动构建

拓 展 引 申 学 生 活 动

整个教学过程的体现:以知识为载体,思维为主线,能力为目标 的设计原则。时间安排:创设情境引入课题约 2 分钟,猜想探索构建 新知环节约 25 分钟,课堂练习约 15 分钟,小结作业约 3 分钟,依据 上课的具体情况可适当调整。
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六、教学评价的分析 1、教师行为评价:教师应充分为学生创造主动探索建构的认知 环境,体现引导和指导作用。 2、学生行为评价:学生主动探索过程中提倡过程评价,交流中 体现的团结协作、创新精神实现多元化评 3、课堂教学评价:重在培养学生掌握数学的基本思想和提高学 生的能力,培养学生的创新意识,使课堂教学成为学生亲自参与的充 满丰富生动的数学思维活动的场所。 说明: 课件软件:Flash、Powerpoint、几何画板等制作 CAI 课件。 3.3.2 线性规划_说课稿(定稿) 各位评委、老师们: 大家好! 我是江西省新余市第四中学的聂清平, 今天我说课的内容是人教 版高二 (上) 第七章第四节中的内容 《线性规划在实际生活中的应用》 , 我主要从以下几个方面说课:教材分析,教学方法与手段,教学过程 设计. 一.教材分析 1.教材地位和作用 “线性规划”这节课是在学习了直线方程的基础上, 介绍直线方 程的一个简单应用, 是新教材改版之后增加的一个新内容. 反映了 《新 大纲》对数学知识在实际应用方面的重视.在实际生活中,经常会遇 到一定的人力、物力、财力等资源条件下,如何精打细算巧安排,用 最少的资源取得最大的效益是线性规划研究的基本内容, 它在实际生 活中有着非常广泛的应用.当然,中学所学的线性规划只是规划论中 的极小一部分,但这部分内容,也能体现数学的工具性、应用性,同 时渗透了化归、数形结合的数学思想,为学生解决实际问题提供了良 好素材。 依据教材的上述地位和作用,我确定如下教学目标和重难点 2.教学目标 (1) 知识目标: 会用线性规划的知识解决一些较简单的实际问题; (2)能力目标:培养学生的观察能力、分析能力和作图能力,渗 透化归和数形结合的数学思想,提高学生解决实际问题的能力. (3)情感目标:激发学生学习数学的兴趣,让学生享受学习数学 带来的情感体验和成功喜悦,同时融入集体荣誉感教育. 3.教学重、难点:
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教学重点:把实际问题转化成线性规划问题,即数学建模. 建模是解决线性规划问题极为重要的环节.一个正确数学模型的 建立要求建模者熟悉规划问题的具体实际内容.对初学者来说,面对 文字长、数据多的应用题,要明确目标函数和约束条件有相当的难 度. 解决这个难点的关键是引导学生通过表格的形式把问题中的已知 条件和各种数据进 行整理分析,从而找出约束条件和目标函数,并从数学角度有条 理地表述出来. 教学难点: 1.建立数学模型.把实际问题转化为线性规划问题; 2.寻找整点最优解.线性规划中寻找整点最优解的问题,教材 中提供了利用作图解决问题的方法,这种方法简单方便,学生容易掌 握,体现了数形结合的数学思想.教师要引导学生规范地作出精确图 形,并从图形中观察出整点最优解.另外,教师在本节课后还可介绍 其它一些代数求解方法. 教学中为了达到上述目标, 突破上述重难点, 我将采用如下方法与手 段 二.教学方法与手段 1.教学方法:诱导启发、自主探究的互动式教学方法 在教学过程中,教师适当的设置疑问,学生通过自己的努力解决 问题,同时教学过程中,应着重学生的动手训练. 2.教学工具:多媒体课件、实物投影仪、印发准备好的习题纸 多媒体辅助教学的采用: ①由于本课例题文字过长,作图比较复杂,所以采用多媒体辅助 教学。既增加课堂容量,提高课堂效率,又直观、生动地揭示图形的 变化过程,让学生轻松观察出结果. ②通过多媒体展示音频、视频,极大的刺激学生的听觉和视觉, 吸引学生的注意力, 活跃课堂气氛, 调动学生参与解决问题的积极性。 在进行课堂练习时,运用实物投影仪将学生的练习结果展示出 来, 通过老师的讲解与点评, 纠正学生在解题过程中可能出现的错误, 规范解题过程,使得课堂上学生们的学和老师的教结合的更加紧密. 为了提高课堂效率,便于学生动手练习,我把本节课的例题、课 堂练习,都印在一张习题纸上,课前发给学生. 下面我讲解如何运用上述教学方法和手段开展教学过程 三.教学过程设计 本课时讲线性规划在实际生活中的应用. 我将教学过程分为例题 讲解和课堂练习两部分.在教材例题的框架下,我本着贴近生活、贴 近学生、贴近时代的原则,设计了两道例题、一道练习题.
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教学流程图:
例题讲解 背景引入 例题 1 例题 2 课堂练习 背景引入 练习题 课时小结

布置作业

例题小结

1.实例 1 李咏主持的《非常 6+1》是大家很喜欢的娱乐节目,可以说是 家喻户晓.利用李咏的 MV 作为引入和切入点设计一道电视台如何播 放节目和广告的例题,引导学生在新鲜感和好奇心的作用下,寻找最 优方案,使枯燥无味的应用题显得生趣盎然.极大的调动学生学习的 积极性和主动性. 例 1:央视为改版后的《非常 6+1》栏目播放两套宣传片.其中 宣传片甲播映时间为 3 分 30 秒,广告时间为 30 秒,收视观众为 60 万,宣传片乙播映时间为 1 分钟,广告时间为 1 分钟,收视观众为 20 万.广告公司规定每周至少有 3.5 分钟广告,而电视台每周只能 为该栏目宣传片提供不多于 16 分钟的节目时间.电视台每周应播映 两套宣传片各多少次,才能使得收视观众最多? 设计意图: 让学生学会如何通过列表对纷繁复杂的条件和数据进行整理, 从 而找出约束条件和目标函数. 教学亮点: 对学生来说,要从题目冗长的文字和繁多的数据中明确目标函数 和约束条件是有相当难度的. 要解决这个难点关键是引导学生通过列 表的形式把问题中的已知条件和各种数据进行整理.刚开始,学生不 会列表,教师可以先帮助学生整理条件和数据,列出一个空表,让学 生去填,在填表的过程中理清题意,并逐步学会如何列表. 播放片 播放片 节目要求 甲 乙 片集时间 (min) 广告时间 (min)
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收视观众 (万) 具体解答过程: 分析:将已知数据列成下表 播放片 播放片 节目要求 甲 乙 片集时间 3.5 1 (min) ≤ 16 广告时间 ≥ 0.5 1 (min) 3.5 收视观众 60 20 (万) 解:设电视台每周应播映片甲 x 次, 片乙 y 次总 收视观众为 z 万人.
? 4 x ? 2 y ? 16 ? ?0.5 x ? y ? 3.5 ? x, y ? N ?
z ? 60 x ? 20 y

由图解法可得:当 x=3, y=2 时,zmax=220. 答:电视台每周应播映甲种片集 3 次,乙种片集 2 次才能使得收视观 众最多. 讲解完例题后,引导学生进行归纳总结,将求解思路一般化: 简单线性规划应用问题的求解步骤: (教师示意学生观看板书,并给予适当的提示) 1. 将已知数据列成表格的形式,设出变量 x,y 和 z; 2. 找出约束条件和目标函数; 3. 作出可行域,并结合图象求出最优解; 4. 按题意作答. 2.实例 2 我省第十二届运动会 11 月上旬在我市举行.这是 10 月 29 日开 幕式文体表演中我校学生的表演, 为了这场表演学生从 6 月底一直训 练 10 月底,训练过程中,同学们克服困难,不怕艰辛,体现了很强 的集体荣誉感. 表演过程中需要各种纸花,我用如何制作纸花使得用料最省,设 计一道例题,让学生感受到数学来源于实践,服务于生活.使学生在 掌握数学知识和方法的同时, 享受学习数学带来的情感体验和成功的 喜悦.
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例 2:江西省第十二届运动会在新余市举行,在 10 月 29 日晚的 开幕式大型文体表演中, 新余四中学生参演的映山红方阵表演非常精 彩.演出要制作道具纸花,组委会要将甲、乙两种大小不同的彩纸截 成 A、B、C 三种规格的纸片,折成纸花.已知甲种彩纸每张 8 元,乙 种每张 6 元,每张彩纸可同时截得三种规格纸片的块数如下表所示: A 规格 B 规格 C 规格 甲种彩纸 2 1 1 乙种彩纸 1 2 3 今需要 A、B、C 三种规格的纸片各 15、18、27 块,问各截这两种彩 纸多少张可得所需三种规格小纸片,且花费最少? 设计意图:讲解如何运用网格法处理整数最优解问题. 教学亮点: 在图解法求解过程中,学生发现:直线 l 最先经过的可行域内的 点 A(3.6,7.8)并不是最优解, 因为 A(3.6,7.8)不是整点.此时,绝 大部分学生都认为最优解可能是 (4, , 8) 引导学生计算花费为 80 元. 教师设置疑问:既然可能是(4,8) ,那么可能是(3,9) 此 , 时花费为 78 元;也可能是(2,10) ,此时花费为 76 元,??,难道 花费最少的点就一定最优解吗? 问题提出后,学生自主思考发现:既然满足题意的点是可行域内 的整点,那么最优解是可行域内使得花费最少的整点.所以网格法求 解思路呼之欲出,先通过网格寻找整点,然后平移直线 l0 ,观察出整 数最优解. 例题讲解中的教学反馈与设计: 在学生回答问题过程中,抓住学生语言、思想等方面的亮点给予 表杨.及时鼓励与肯定学生在探究过程中的努力,提高学生学数学、 用数学的信心. 具体解题过程: 分析:将已知数据列成下表 甲种彩 乙种彩 所需张 纸 纸 数 A 规格 2 1 15 B 规格 1 2 18 C 规格 1 3 27 彩纸单价 8 6 解:设需购买甲种彩纸 x 张、乙种彩纸 y 张,共 花费 z 元;

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? 2 x ? y ? 15 ? x ? 2 y ? 18 ? ? ? x ? 3 y ? 27 ? x, y ? N ?

z=8x+6y

由图解法可得:当 x=3,y=9 时,zmin=78. 答:应购买 3 张甲种彩纸、9 张乙种彩纸,可使花费最少! 同样,归纳此类问题求解思路: (结合例题 1、例题 2 可归纳得) 确定最优整数解的方法: 1.若可行域的“顶点”处恰好为整点,那么它就是最优解; (在 包括边界的情况下) 2.若可行域的“顶点”不是整点或不包括边界时,一般采用网 格法,即先在可行域内打网格、描整点、平移直线 l、最先经过或最 后经过的整点坐标是整数最优解;这种方法依赖作图,所以作图应尽 可能精确,图上操作尽可能规范. 通过两道例题的讲解后, 学生对如何用线性规划知识解决生活的一些 简单问题有了一定的认识 3.课堂练习 设计意图:为了巩固课堂内容,提高学生动手作图能力,发现和 弥补教与学中的遗漏和不足, 以便及时矫正, 我设计了如下练习环节. 随着北京 2008 奥运的临近,北京奥运场馆建设如火如荼.2006 年 9 月,奥运主场地国家体育场“鸟巢”主体钢结构安装完成,标志 着“鸟巢”从图纸变成现实.2008 年奥运期间,清华大学计划安排 志愿者到国家体育场去进行志愿活动,如果你是组织者,你怎么安排 前往过程?运用这样一个悬念设计一道安排人员调运使得花费最少 的练习题,点燃学生积极思考、动手练习的热情. 练习:北京 2008 奥运期间,清华大学计划安排 480 名志愿者前 往国家体育场( “鸟巢” )进行志愿活动.清华后勤集团有 7 辆小巴、 4 辆大巴,其中小巴能载 16 人、大巴能载 32 人.前往过程中,每辆 客车最多往返次数小巴为 5 次、大巴为 3 次,每次运输成本小巴为 48 元,大巴为 60 元.请问应派出小巴、大巴各多少辆,能使总费用 最少? 练习过程设计: 课堂练习期间,要求学生立刻动手求解出最后结果,这是相当有 难度的.为了引导学生动手,分解难点,我将学生练习分为三部分: (学生在习题纸上作答、画图)
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1. 练习列表理解题意 这道题条件和数据比较多,学生一下子拿到,感觉无从下手,不 会列表.为了引导学生列表,我把表格的大致轮廓给出来. 小巴 大巴 思考片刻后,请学生回答. 2.练习通过表格寻找约束条件和目标函数 首先可将学生分为三组,分组讨论,各组竞争.教师进行巡视, 对学生列式中出现的错误进行个别指导; 然后从三组中选出一位在列式过程出现典型错误的结果,用投影 仪展示,教师讲解、点评. 典型错误: ①对题意理解不透,忽略了校车在前往过程中可以走多次,题目 中给出的成本是每次的成本; ②有同学忽略了校车中大巴和小巴的辆数限制; ③学生的解答过程:设变量、列约束条件、目标函数,书写很随 意,不规范和工整. 教师可对上述典型错误进行针对性讲解. 3.练习画图,寻找整数最优解 首先为了画图更好操作,习题纸上已画好网格和坐标系.学生练 习画图,教师进行巡视,对学生画图中出现的错误进行个别指导; 然后把寻找一个完成的一般,但暴露出了学生画图中出现典型错 误的结果进行讲解、点评. 典型错误: ①做图不规范,不用尺规做图,画不出可行域,找错最优解; ②画错直线 l0 : 4x ? 3 y ? 0 ; ③求可行域的顶点时,有同学仅仅简单的从图上观察出,似乎是 (1,4) ,从而认为它是最优解,实际上这个点并不是整点. 课堂练习中教学反馈与评价: 在练习过程中,对学生回答问题、列式、动手画图等方面的亮点 进行表扬,其中的不足之处,指出后要及时鼓励,使学生爱数学,愿 意学数学. 具体解题过程: 解:设每天派出小巴 x 辆、大巴 y 辆,总 运费为 z 元;
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?5 x ? 6 y ? 30 ? 0? x?7 ? ? ? 0? y?4 ? x, y ? N ?

z=240x+180y

由网格法可得:x=2,y=4 时,zmin=1200. 答:派 4 辆小巴、2 辆大巴费用最少. 4.回顾与小结 请同学们相互讨论交流: 1.本节课你学习到了哪些知识? 2.本节课渗透了些什么数学思想方法? (引导学生从知识和思想方法两个方面进行小结) 知识:1.把实际问题转化成线性规划问题即建立数学模型的方 法.建模主要分清已知条件中,哪些属于约束条件,哪些与目标函数 有关. (链接到例题 1,进行具体实例回顾) 2.求解整点最优解的解法:网格法.网格法主要依赖作图,要 规范地作出精确图形. (链接到例题 2,进行具体实例回顾) 思想方法: 数形结合思想、 化归思想, 用几何方法处理代数问题. 为了巩固课堂内容,布置如下作业: 5.布置作业 课本 65 页 习题 7.4 第 3、5 题 说课小结: 这堂课运用同学们感兴趣的实例设计例题和引入例题, 通过解决 这些有着强烈实际背景的应用题学习数学知识. 整个学习过程轻松愉 悦,和谐自然,达到了寓教于乐的效果. 3.4 基本不等式_说课稿(定稿) 各位评委老师: 大家好! 今天我说课的内容选自普遍高中课程标准实验教科书(人民教育 出版社出版高中数学 A 版) 必修 5,第 3 章第 4 节《基本不等式》我 主要从教材分析,教法学法分析,教学过程分析,评价分析,教学反 思等五个方面进行说课。 一、教材分析: (一)本节课的地位、作用和意义 基本不等式又称为均值不等式,学生在初中学习了完全平方公 式、 圆、 初步认识了不等式, 同时, 在本章前面三节学习了比较大小、 一元二次不等式解法和简单线性规划等, 这些给本节课提供了坚实的 基础;基本不等式是后面应用基本不等式求最大(小)值的基础,在 高中数学中有着比较重要的地位,在工业生产等有比较广的实际应
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用。 (二)教学目标 我通过解读新课标和分析教材以及对学生现状的分析确定以下教 学目标: 1、知识与技能目标 (1)学会推导基本不等式: (2)理解
a?b ? ab 的几何意义; 2 a?b ? ab ; 2

(3)会利用基本不等式求最值。 2、过程方法与能力目标 (1)探索并了解均值不等式的形成和证明过程; (2)体会均值不等式的证明方法和简单应用。 3、情感、态度、价值观目标 (1)通过探索均值不等式的证明过程,培养探索、研究精神; (2)通过对均值不等式成立的条件的分析,养成严谨的科学态 度,勇于提出问题、分析问题的习惯。 (三)重点难点 依据教材的上述地位和作用,我确定如下教学重难点: 重点:通过对新课程标准的解读,教材内容的解析,我认为结果 固然重要,但数学学习过程更重要,它有利于培养学生的数学思维和 探究能力,所以应用数形结合的思想理解基本不等式为重点之一,并 从不同角度探索基本不等式
a?b ? ab 证明过程;再者,均值不等式 2

有比较广的应用,需重点掌握,而掌握均值不等式,关键是对不等式 成立条件的准确理解,因此,均值不等式成立的条件及应用也是教学 重点。 突出重点的方法:我将采用分组讨论,多媒体展示、引导启发法 来突出基本不等式的推导。 难点:很多同学对均值不等式成立的条件的认识不深刻,在应用 时候常常出错误,所以,本节课的难点是基本不等式成立的条件以及 应用基本不等式求最大值和最小值。 突破难点的方法:我将采用重复法(在课堂的每一环节,以各种 方式进行强调均值不等式和其成立的条件) ,变式教学等等来突破均 值不等式成立的条件这个难点。 二、教法学法分析 1、教法的解析 先让学生观察常见的图形, 通过面积的直观比较抽象出重要不 等式。从生活中实际问题还原出数学本质,可调动学生的学习热情。
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定理的证明要留给学生充分的思考空间,让他们自主探究,通过类比 得到答案。“将课堂还给学生,让课堂焕发出生命的活力” 是进行 教学的指导思想,充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用,采用 “启发—探究—讨论”式教学模式。 2、学法的解析 以培养学生探究精神为出发点,着眼于知识的形成和发展,着眼 于学生的学习体验,设置问题,由浅入深、循序渐进,给不同层次的 学生提供思考、创造和成功的机会。 三、教学过程分析 (一)设问激疑,创设情景 展示北京召开的第 24 届国际数学家大会的 会标,让学生思考,能通过这个简单的风车造型 中得到一些相等和不等关系。 引导学生通过面积 2 2 关系得到重要不等式 a ? b ? 2ab , 进一步启发学 生总结什么时候这两部分面积相等。 设计意图:从实际问题出发,激发学生学习兴趣,从而在感性上认识 不等式。 (二)启发引导,形成概念 展示该图中两三角形和矩形的面积的关系, 引导学生进 一步得到不等式和等号成立的条件。 设计意图: 从不同角度归纳不等式, 加深对基本不等式的理 解。 从而得到重要不等式:一般地,对于任意实数 a 、b ,我们 有 a 2 ? b 2 ? 2ab ,当且仅当 a ? b 时,等号成立。 然后让学生利用初中学习的完全平方公式给出代数证明。 进而提出新 的问题:是否可以用代换的思想:用 a, b 分别代替 a,b 能得到什么 结果,引导学生通过类比得到基本不等式:
a?b ? ab ( a ? 0, b ? 0 ),指出当且仅当 a ? b 时取到等号。 2 a?b 在这里还要注明 和 ab 的概念即: 几何平均数和算术 2

平均数,由此可以得到均值不等式的表述:两个正数的 算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数。 为了进一步让学生理解不等式的含义,则借助初中讲的 圆的知识得到均值不等式的几何解释是: 半径不小于半 弦。同时分析结构特点: 均值不等式的左式为和结构, 右式为积的 形式, 该不等式表明两正数的和与两正数的积之间的大小关系, 指 出运用该不等式可作和与积之间的不等变换.
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(三)讨论探究,相等条件 为了深刻体会取等号的条件,引导学生去讨论,从而加深理解: 当a ? b ? 当
a?b ? ab ? a ? b 。 到此学生可以完成课本 98 页基本不等式的推理 2
a?b ? ab ; 2

过程。 (四)初步运用,归纳提升 为了让学生初步理解基本不等式的应用, 特设计了以下两个简单 问题,让学生初步体验不等式中构造“定积”和“定和”的原理,以 及取等号的条件。 1、已知 x>0,y>0 且 xy=100,则 x+y 的最小值是 _______,此时 x=___,y= _____ 2、已知 0 ? x ? 1 ,求 x(1 ? x) 的最大值。 由此可以归纳一般原理, 放手让学生自己讨论归纳出不等式的一般结 论: x、y都是正数,求证: 已 知 ① 如 果 积
xy 是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2 p


1 x ? 是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值 y 4


2


S



学生通过讨论得到结论后,教师适时加以强调结论: 1、最值的含义:“和”定“积”最大,“积”定“和”最小。 2、用基本不等式求最值的三个限制条件:一“正”、二“定”、 三“相等”。 设计意图:通过小组讨论完成探究,引导学生归纳出利用不等式 确定最大值和最小值的结论,这样设计既符合学生的认知特点,也让 学生经历从特殊到一般过程. (五)观察感知,例题学习 为了巩固所学的知识,特设计以下两道例题: 例 1、 (1)用篱笆围一个面积为 100 m 2 的矩形菜园,问这个矩形 的长、宽各为多少时,所用的篱笆最短,最短的篱笆是多少? (2)一段长为 36 m 的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、 宽各为多少时,菜园的面积最大。最大面积是多少? 这两道题目的让学生初步掌握不等式的应用原理。 对例题的解析 要注意引导学生理解取等号的条件, 进一步理解最值的含义和用基本 不等式求最值的三个限制条件。为了加深对不等式取等号的理解,我 设计了例 2:

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例 2、已知正数 x、y 满足 2 x ? y ? 1 ,求 ? 的最小值。 对本道题我首先给出正确解决方法,强调利用不等式时代换“1” 和乘“1”的思想;但是针对本道题学生容易出现的错误,又给出第 二种解法,并分析错误原因:两次运用了均值不等式中取“=”号过 渡,而这两次取“=”号的条件是不同的,故结果错。 (六)知识应用,尝试练习 为了巩固以上学习的知识设计以下两道练习题,让学生演板: 1、 2、
x=

1 x

1 y

已知 0 ? x ? ,求函数 y ? x(1 ? 3x) 的最大值; 已 知 x ? 0 , 则 6x ?
24 的最小值是 x

1 3

,此时

。 设计意图:对新知识的理解需要一个不断深化完善的过程, 通过 练习、学生演板,进行数学思想方法的小结,可使学生更深刻地理解 数学思想方法在解题中的地位和应用,同时反映教学效果,便于教师 进行查漏补缺。 (七)反思小结,培养能力 对练习稍做总结以后,教师要及时针对本节所学引导学生讨论并 试着总结:已知 x, y 都是正数,可以得到: 1、如果积 xy 是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2 p , 2、如果和 x ? y 是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值 S 2 。 同时强调 “和定积最大, 积定和最小” 以及取最值的三个限制条件 “一 正二定三相等” 设计意图:通过师生共同反思,优化学生的认知结构,把课堂教学传 授的知识较快转化为学生的素质。 (八)课后作业,自主学习 1、课本第 100 页习题 3.4A 组第 1 题; 2、选作题:若 x ? 0, 求x ? 的最大值 。 设计意图:巩固学生所学的新知识,将学生的思维向外延伸,激发学 生的发散思维.达到熟练使用均值不等式的目的,利用选做题可以使 不同层次的学生得到应有的提高,同时为下一节课作好铺垫。 四、评价分析 本节课的教学通过提出问题,引导学生发现问题,经历思考交流 概括归纳概念,由问题的提出进一步加深理解;这一过程能够培养学 生发现问题、分析问题、解决问题的能力。加强过程性评价,创设公 平、平等、宽松、积极向上的课堂环境,这就要求对学生的语言行为
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1 4

1 x

及时地给予肯定性的表扬和鼓励,充分暴露思维,及时矫正,调整思 路。 五、教学反思 1、 逐层铺垫,降低难度 由具体到一般,建立实际生活中的图形与不等式的联系,然后归 纳出重要不等式和均值不等式以及其取等号的条件。 2、恰当使用信息技术 恰当地使用多媒体,让学生直观形象地理解问题,了解知识的形 成过程。 3、采用“启发—探究—讨论”教学模式 精心设置一个个问题链,给每个学生提供思考、创造、表现和成 功的机会。 附:板书设计:

§3.4.1 基本不等式
一、 定理 1 重要不等式) a ( : 当且仅当 a ? b 时取等号
多 媒 体 演 示
2

例1 ? b 2 ? 2 ab , 例2

练习: 1、 ??

二、 定理 2 均值不等式) a ? b ? 2 ab ( : , 当且仅当 a ? b 时取等号 1、几何平均数 2、算术平均数 3、不等式的说明(取等号条件) :积定 和最小,和定积最大

2、 ??

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