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平面向量填空题的三种常用解法


第 11 期

龙中么李徽与李

平面向量填空题 的三种常用解 法
王 宏良
(江苏省平潮高级中学 , 2 60 0 2 ) 平面向量是高中数学中基础且重要 的 内 容之一 , 然 而学生 却不 易掌握 究 其原 因 , 一 方面 , 平 面向量是 既有大 小又有方 向的量 , 是

_ (店 2 +

雳)
2

( A C 一A B )
一 3 2


- - 争

一一 净_

l雳 I, 一 l 履 f,

数 与 形 的结合体 , 而学生对数形结合 的 数学思想不能灵活 运用 ;另一 方面 , 对平 面向 量知识 的考察 常常与三 角函数 解 三角形 解 析几何等知 识 相结合 , 这就 无疑 提 升 了试题
的难 度 , 在 平 时练 习 中 , 我 们常 有 这样 的体 会 , 平 面 向量填 空题 要么 简单 , 大 家都 会做 ; 要 么很难甚 至不知 该如何 下手. 这 种情 况 的 出现 , 并不完全说 明学生对知 识点掌握 不牢 ,

而是很大程度上 因为学 生不善 于总结数 学解 题的 方法. 20 1 1 年 江 苏省 高考 数 学考 试 说

说明 利用外心的定义,耐 用履 ,茄 线

明 中提到 要 突 出对 数学 基础 知识 基 本 技
能 基本思 想方法 的考 察 , 也 就是 强 化通性 通法 , 淡 化特 殊技 巧 . 针对这样 的情况 , 结合
平时教 学 , 笔 者归 纳 了解决 平 面 向量填 空题 的三种常用解法. 一 利用 向盘和与差的运算 平面向量和与差 的运算 是学习 向量知识

性表示, 这样将看似毫无关联的 厉 与俞 , 通

过向 量的加减法转化为已知的 店和 泌 , 从而
问题得到解决.
二 向t 问题 代 数 化

向量是既 要有 大小 又有 方 向的量 , 向量

问题 代数化 能更好体现向量 数
化 的 方 法 主要 有 以下 几 种 :
1. 向 量 坐标 化 法

的特征 ,

使问题 转 化为 学生 熟 悉 的代 数运 算. 代 数

一开始就遇 到 的内容 , 很 多同学 觉 得这 部分 内容很简单 , 不愿加 以重视. 而实际 上灵活运
用 运 算 法 则 将 为 解 题 带来 胜 利 的曙 光 .
例l 如图 l, 在 A B C 中 滩B 二2 , A C =

通过 建立平 面直角 坐标 系 , 将 向量 用坐
标 的 形式 表示 , 使 其 实 现 代 数 化 题 得 到 解决 . , 从而使 问

l , o 为三角形的外心 , 则耐


澎 = _

由外 心 的定 义 , 点 口在 边 B C 的 中垂
- ~ ) 一 一卜

例2

若 等边 三角形 A B c 的边 长为 2万 ,

线 O D 上 , D 是 B C 中点 , 且 O D J - B C ,则
二份 D口 _ _ 月O
-一争

二 二 ~ .A :二卜 B 吮一 + A C B C聋 二 0 D 二A 乞 = 二 气
一一 一, -一 2
---争 ~- 今

平 面 内 一 点满 足 丽= 含 热哥 就 ,则
从今
.争

材刀 =

~一-争

~一.一 卜

= AD
一一争

+ D O ,
一 一于 ,今 一 今


BC

以 A B 所 在 直线 为 x 轴 , A B 中 点 O 为

AO

B C = (月 D + D O)
二 4D BC

原 点 , 建立 如 图 2 所 示平 面直 角 坐 标 系.则

月 ( 一万 ,0 ) , 丑(万 , o ) , c (o , 3 ).设 材(x , y ) , 则

云 茄 = (二 ,y 一 ) ,成 = (一 3 万, 一 ) , 3
43

龙中么母教与母
图 一 比 了 刀 凡 刀
, \ J 尸

2 011 年
将等式两边 分别平方得

淤 二人 , 淤 +声 耐 + 2协 耐 耐 ,
l = 入 , +拜 , + 2 娜 eos 乙A O B ,

其 中 乙A O B E (0 , 二 ),
(人一 拜) , < l < (^ + 拜) , ,
r人 一 拜 > 一 l ,

旅 二(万 , 一 ) . 3

士 足有 哎 入一林 < l ,
L人 + 拼 > l ,

由 丽二 含 丽号 鼠得
二 二 一 夺 ,, =冬 ,


进而可得取值范围为(2 , + a o ). 说明 本题线性 约束条 件也可 由 三角
得到. 形 两边之 和大于第三边
3 , 向量数量积法

:. 耐
一 -- 净

材刀
- 一 李

(一 夸 ,一 , ) 7 ( 警, 一 . ) f
材召 二一2 .
一卜

因为 a

a = l a ( , 所 以我们通过 对向量

等式两边用 某 个 向量 作数 量 积 , 同样 可 以将 向量问题 代数 化 . 等式 两边 用 哪个 向量 作
数量积 , 是 值得 推敲 的 , 选择 不 同 的向量 , 可 能会导致解题 的难易程度不同. 例4 如图 4 , 已知 O 是锐角 A B C 外接

于是 , 材 月
说明

此题用 向量和与差的运算也能使

问题得到解决(耐 耐 二(就 一 而 ) (而 一 丽) .
另外 , 运用 向量坐 标化方法 时 , 要 注意题

_ ,, _ _ 乙A. 二 O _ ,若 一c s 长 o B 二 s 二云A o C ;一 廿 圆的 圆心 .且 二 笋. A寸 B + c :子 C ~ , J~ 一 ,一 一 - , 曰 si n c 一 si n B 一

目中提供 的信息 , 如直角三角形 等腰(边 ) 三 角形 , 这样可 以合理建 系 , 易于 表示 出点的坐 标.
2. 平 方 法

二 Zm 丽户 贝 叨 z 二 n _
一 尹 寸 门 / , 月

(用a表 示)
峥 乡 一 \ J\ D 户 一

O

若题 目中含 有关 于 向量 的 等式 , 平 方 法 就是将等式两边分别平方 , 由扩 二! 引 , 从而 将原来等式 中的 向量转化 为数量 , 也就是 代
数化 的过程. 例3 如图 3 , 在平面直角坐标 系工 口 y 中,

解 黔 履+黯 澎二 Z斌 n
两边同时与履 数量积得

设A , B ,c 是圆二 ,十 尹二1上相异三点 ,若存在

正实 数 ^ ,拼 ,使得耐 = ^ 耐 + 拜耐 , 则犷 +
(I L 一3 ) 的取值范 围是_
习 下 门 l 图一 口 划 划 月 |
八 一 \ y

黔 藤泌 黯 补店二 爪 房
黔 庙,, 店 一乙 AD B +黔 , 劝 厉 c s乙 O D A c
二 爪 .AD j .

又因为
所以有

朋D,

A C D 都 是直 角三 角形 ,



耐 = 人 丽 +I L 旅,

黔粤 l耐l, 十 望 孕 夸l澎l
S ln 七 污I n 更

第1 期

龙中毅李徽与李
且是 常规武器 .另外 , 这三 种平面 向量填空
题 的常用解 法 , 并 不是 一个 题 目只能用 一种
-- 李

由正弦定理得
!AB 1 . 二 廿 . A C I 小 一 l = AD 1. 二1 A D I , i n C s 一 sin B
- 一 )

=川 店I . z

方 法 , 相 反 , 很 多 题 目能同 时用 几 种 方 法解
决 , 也就是一题 多解.

代人上式 , 并消去

1 A D }
- -卜

-



,得

例如, 给定两个长度为 1 的平面向量耐

eo, 召I 履 一 + 05
一 今
---~,

C 1 A C I 二 m I A 刀} ,

和耐 , 它们的夹角为120 0 .如图6所示 ,点c 在 以口 为圆心的圆弧汤 上变动.若耐 = 二 耐+ y 丽 , 其中二 ,y R , 则 二十y 的最大值是

即 m 二 , 召. 些塑土 +
!AD I

, e . l澎 l
一 辛

AD I

连结 B D C刀, 易见
m = e os B sin C + e os C sin B

= sin (B + C ) 二 sin o .

说明

若该题等式两边用厉 作数量积,

则化简过程要复杂得多.而通过用耐 作数量
积 , 再利用正 弦定理 , 大大简化解题. 三 借用几何 图形


图7

如果说 向量问题 代数化 更好地体现 了 向量 数 的特征 , 那么利用 数形结合 的思 想解题 就是要更好体现 向量 形 的方面的特
点. 例5 已知 a , b 是平 面 内两 个互 相垂直 (b 一c ) 二0 , . 的单位 向量 , 若 c 满足 (a 一c ) 则 , 川 的最大值是_

(作 向量数量积 ) 设 乙A O C 二a
A o
O B
.卜 , 一 A T y 凸 a 一 一 2 l 二X 一 + y O B

口注,



;

耐 +y耐 ,

(1 0 一) 二 2 一 书 +, .
x + y = 2 eos + eos(1200 一a )

= eos a + 万 sin a

= 乙 s, n(a + 了)
图5
\ 一 = 手时取得最值.) 3 一一 r一 一 ~ 一 z 2{a

,

. 1

下 \

解法2
解 如图 5 , (a 一e ) (b 一c ) 二0 且

( 坐 标 法 ) 如 图 7 , 由 题 意 A (l ,

a 土 b , 所 以 四个 向 量 围 成 的 四边 形 是 圆 的 内 接 四边 形 . 显 然 , 当 c 所 在 线 段 为 外 接 圆 直 径

),B(一 合 ,睿 ),并 设 c 一 一,
l

时 , l } 取得最 大值 , 而外 接圆直径 为万 , 所 以l ! 的最大值是万 .
说明
洁. 介绍 上 述 方 法 的 目的 就 是 让 学 生 在 解 这 类 题 目时 , 能 够 主 动 出击 , 不 至 于 被 动 麻 木 .

cos a 二x 一万少 ,
L ,n a

本题也 可用数 量积 的运 算去求 , 的思想 解题 , 显 然直观 简

万 了

但运用 数形结合



x + y = eos a + 涯 sin a (同上可得) 总之 , 在平 时的学习过程 中, 要 加强对 数

学 思 想 的 提 炼 和 升 华 ;对 数 学 方 法 的 归 纳 与

这些方法就相 当于给 学生 配备 了 武 器 , 而

总结. 只 有坚 持不懈 的这样 去做 , 在解 题 时 , 才 能 做 到有 理 可依 , 有 法 可循 .


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